经济学拉普拉斯变换
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第七章 拉普拉斯变换
上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了 重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它 仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号 分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东 西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们 针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这 些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的 刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介 绍的是后面这种情况．
在s某一域内收敛，则称 F (s) f (t)estdt 为函数f (t)的拉普拉斯变换式， 0 记为：F (s) L%[ f (t)]. F(s)称为函数f (t)的拉氏变换，f (t)称为函数F(s)的拉氏逆变换， 记为：f (t) L%1[F (s)]. 函数f (t)，(t 0)的拉氏变换 就是 f (t)u(t)et，( 0)的傅氏变换.
2020/5/24
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第七章 拉普拉斯变换
➢7.1 拉普拉斯变换的概念 ➢7.2 拉氏变换的性质 ➢7.3 拉普拉斯逆变换 ➢7.4 拉氏变换的应用及综合举例 ➢本章小结 ❖ 思考题
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第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
定义1：设函数f (t)当t 0时有定义，而积分 f (t)estdt，(s为一个复参量) 0
由上式可得： L%[eat ] 1 , (Re(s) a), sa L%[ect ] 1 , (Re(s) Re(c)). sc
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第二节 拉氏变换的性质
➢ 一、线性与相似性质
1．线性性质 设 , 为常数，且有L%[ f1(t)] F1(s)，L%[ f2 (t)] F2 (s)，则有：
Байду номын сангаас解得:
Y
(s)
s2
2
,
有前面结果，可以得到：
y(t) L%1[Y ()] L%1[ ] sin t. s2 2
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2．象函数的导数 设L%[ f (t)] F (s)，则 F(s) L%[tf (t)] 或f (t) 1 L%1[F(s)]. t
L%[ f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s), L%1[ F1(s) F2 (s)] f1(t) f2 (t).
F%[ f1(t) f2 (t)] F1() F2 (), F%1[ F1() F2 ()] f1(t) f2 (t),
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一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
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• 例2．求指数函数f (t) eat的拉氏变换（a为实数）.
解： L%[ f (t)] eat estdt e(sa)tdt
0
0
1 e(sa) sa
0
1, sa
R(s a) 0
即：L%[eat ] 1 , (Re(s) a). sa
即：L%[cos t ]
s2
s
2
，同理：L%[sin t ]
s2
2
.
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w偶函数
w奇函数
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• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L%1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L%[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
解：令 Y (s) L%[ y(t)],
对方程两边取拉氏变换，有: L%[ y(t) 2 y(t)] L%[0]， 利用线性性质，有: L%[ y(t)] 2L%[ y(t)] 0，
利用线性性质及微分性质，有: s2Y (s) sy(0) y(0) 2Y (s) 0,
代入初值: y(0) 0, y(0)
sa
L%1[F (s)] 2L%1[ 1 ] 3L%1[ 1 ] 2et 3e2t .
s 1
s2
2．相似性质
设L%[ f (t)] F ()，则对任一实数a 0有：
L%[ f (at)] 1 F( s ). aa
F%[ f (at)] 1 F ( ).
aa
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➢ 二、微分性质
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•
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1 的拉氏变换.
t t
0，符号函数 sgn 0
t
1,
0,
1,
t0 | t | 0， t0
解： (1)L%[u(t)]
est dt
0
1 est s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L%[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
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• 例1．求函数cost的拉氏变换.
解：L%[cost] costestdt 计算很困难K K 0 例2中，L%[eat ] 1 , (Re(s) a) sa 由于cost 1 (e jt e jt )，由线性性质得： 2 L%[cost] 1 (L%[e jt ] L%[e jt ]), 2 1[ 1 1 ] s . 2 s j s j s2 2
L%[ f (t)] sF (s), L%[ f (t)] s2F (s),L , L%[ f (n) (t)] snF (s).
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程， 因此它对分析线性系统有重要的作用．
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• 例3．求解微分方程y(t) 2 y(t) 0，y(0) 0, y(0) .
1．导数的象函数 设L[ f (t)] F(s)，则有 L%[ f (t)] sF (s) f (0). F%[ f (n) (t)] ( j)n F ()
推广：L%[ f (n) (t)] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) L f (n1) (0). 特别地，当f (0) f (0) L f (n1) (0) 0时，有
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
(2)L%[sgn t]
(sgn
t )e st dt
0
estdt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s)
0
即：L%[sgn t] 1 , Re(s) 0； s
(3)L%[1]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L%[1] 1 , Re(s) 0. s
上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了 重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它 仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号 分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东 西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们 针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这 些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的 刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介 绍的是后面这种情况．
在s某一域内收敛，则称 F (s) f (t)estdt 为函数f (t)的拉普拉斯变换式， 0 记为：F (s) L%[ f (t)]. F(s)称为函数f (t)的拉氏变换，f (t)称为函数F(s)的拉氏逆变换， 记为：f (t) L%1[F (s)]. 函数f (t)，(t 0)的拉氏变换 就是 f (t)u(t)et，( 0)的傅氏变换.
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第七章 拉普拉斯变换
➢7.1 拉普拉斯变换的概念 ➢7.2 拉氏变换的性质 ➢7.3 拉普拉斯逆变换 ➢7.4 拉氏变换的应用及综合举例 ➢本章小结 ❖ 思考题
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第一节 拉普拉斯变换的概念
1．拉普拉斯变换的定义
定义1：设函数f (t)当t 0时有定义，而积分 f (t)estdt，(s为一个复参量) 0
由上式可得： L%[eat ] 1 , (Re(s) a), sa L%[ect ] 1 , (Re(s) Re(c)). sc
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第二节 拉氏变换的性质
➢ 一、线性与相似性质
1．线性性质 设 , 为常数，且有L%[ f1(t)] F1(s)，L%[ f2 (t)] F2 (s)，则有：
Байду номын сангаас解得:
Y
(s)
s2
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,
有前面结果，可以得到：
y(t) L%1[Y ()] L%1[ ] sin t. s2 2
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2．象函数的导数 设L%[ f (t)] F (s)，则 F(s) L%[tf (t)] 或f (t) 1 L%1[F(s)]. t
L%[ f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s), L%1[ F1(s) F2 (s)] f1(t) f2 (t).
F%[ f1(t) f2 (t)] F1() F2 (), F%1[ F1() F2 ()] f1(t) f2 (t),
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一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
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• 例2．求指数函数f (t) eat的拉氏变换（a为实数）.
解： L%[ f (t)] eat estdt e(sa)tdt
0
0
1 e(sa) sa
0
1, sa
R(s a) 0
即：L%[eat ] 1 , (Re(s) a). sa
即：L%[cos t ]
s2
s
2
，同理：L%[sin t ]
s2
2
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w偶函数
w奇函数
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• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L%1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L%[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
解：令 Y (s) L%[ y(t)],
对方程两边取拉氏变换，有: L%[ y(t) 2 y(t)] L%[0]， 利用线性性质，有: L%[ y(t)] 2L%[ y(t)] 0，
利用线性性质及微分性质，有: s2Y (s) sy(0) y(0) 2Y (s) 0,
代入初值: y(0) 0, y(0)
sa
L%1[F (s)] 2L%1[ 1 ] 3L%1[ 1 ] 2et 3e2t .
s 1
s2
2．相似性质
设L%[ f (t)] F ()，则对任一实数a 0有：
L%[ f (at)] 1 F( s ). aa
F%[ f (at)] 1 F ( ).
aa
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➢ 二、微分性质
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例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1 的拉氏变换.
t t
0，符号函数 sgn 0
t
1,
0,
1,
t0 | t | 0， t0
解： (1)L%[u(t)]
est dt
0
1 est s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L%[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
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• 例1．求函数cost的拉氏变换.
解：L%[cost] costestdt 计算很困难K K 0 例2中，L%[eat ] 1 , (Re(s) a) sa 由于cost 1 (e jt e jt )，由线性性质得： 2 L%[cost] 1 (L%[e jt ] L%[e jt ]), 2 1[ 1 1 ] s . 2 s j s j s2 2
L%[ f (t)] sF (s), L%[ f (t)] s2F (s),L , L%[ f (n) (t)] snF (s).
此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程， 因此它对分析线性系统有重要的作用．
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• 例3．求解微分方程y(t) 2 y(t) 0，y(0) 0, y(0) .
1．导数的象函数 设L[ f (t)] F(s)，则有 L%[ f (t)] sF (s) f (0). F%[ f (n) (t)] ( j)n F ()
推广：L%[ f (n) (t)] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) L f (n1) (0). 特别地，当f (0) f (0) L f (n1) (0) 0时，有
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
(2)L%[sgn t]
(sgn
t )e st dt
0
estdt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s)
0
即：L%[sgn t] 1 , Re(s) 0； s
(3)L%[1]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L%[1] 1 , Re(s) 0. s