平面向量基本概念

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平面向量的解析几何应用

平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。

一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。

它具有大小和方向两个重要的特征。

平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。

平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。

其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。

二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。

通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。

在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。

例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。

我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。

2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。

通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。

3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。

通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。

4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。

通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。

5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。

通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。

6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。

例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。

平面向量的基本概念和表示方法

平面向量的基本概念和表示方法平面向量是向量的一种特殊形式，它在平面上具有方向和大小。

在数学和物理学中，平面向量是一种常见的工具，用于描述物体的位移、力的作用、速度的方向等等。

本文将介绍平面向量的基本概念和表示方法。

一、基本概念平面向量由两个有序数构成，其中，第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

向量通常用小写字母加箭头来表示，比如向量a可以表示为➡a。

平面向量有三个重要的性质，即方向、大小和起点。

向量的方向由向量指向的位置决定，大小由向量的长度表示，起点是向量的起始位置。

二、表示方法平面向量有多种表示方法，下面介绍其中常见的两种方法：坐标表示法和分解表示法。

1. 坐标表示法坐标表示法是一种常见的表示方法，将向量的两个分量表示为一个有序数对。

例如，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x 轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。

以单位向量为例，单位向量在坐标表示法中的坐标为(1, 0)和(0, 1)，分别代表x轴和y轴的正方向。

2. 分解表示法分解表示法是将向量分解成两个分量的和的形式。

以向量a为例，向量a可以分解为两个分量i和j的线性组合，即a = ai + aj。

其中，i 表示向量在x轴上的分量，j表示向量在y轴上的分量。

这种表示方法更直观，能够清晰地描述向量的方向和大小。

三、向量运算平面向量有四种基本运算，即加法、减法、数乘和点乘。

下面分别介绍这四种运算。

1. 加法向量加法将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，向量a和向量b的和可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。

向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 减法向量减法将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，向量a和向量b的差可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。

2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)

3若a，b满足|a| |b|且a与b同向，贝y a b；
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr

§5-1 平面向量的基本概念

2
2
.
0
•
x
P ( x1 , y1 )
[举例说明举例说明] 举例说明
如已知A(2，)，B(3，)，则 : 6 8 AB =
(3 − 2) + (8 − 6)
2
2
= 5 ; BA =
(2 − 3) + (6 − 8)
2
2
= 5.
[向量的模的计算] 向量的模的计算]
例2：已知平面直角坐标系中，点M（-1，7），已知平面直角坐标系中， MN 点N（5，-10）求： MN. 10）解：由两点间的距离公式得：由两点间的距离公式得：
3、向量的平行与相等两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行；两个向量的方向相同或相反叫做两个向量平行；两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 两个向量的方向相同且模相等叫做两个向量相等. 4、把与 AB 的模相等且方向相反的向量叫做 AB 的、负向量：记作－负向量：记作－BA. ∴AB=－BA . － 5、长度为 0 的向量叫做零向量：零向量方向不确定、的向量叫做零向量：零向量方向不确定. 叫做零向量 6、向量的模的计算：即，平面直角坐标系中两点间向量的模的计算：的距离公式. 的距离公式.
． P(1,3)
A(0,1)
0
x
（2）∵向量长度就是向量的模，）向量长度就是向量的模的长度就是|AP|，即： ∴AP的长度就是的长度就是， |AP|= (1 − 0) 2 + (3 − 1) 2 = 5 ；|0P| = 12 + 32 = 10 .
uuu r PQ 例5：是以二次函数y = 2 x 2 + 1图象上的顶点P为 uuu r 始点、Q为终点的向量，且 PQ = 2，求Q的坐标。

平面向量知识点梳理

平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。

2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。

3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。

三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。

2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。

3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。

5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。

四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。

2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。

五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。

2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。

六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。

2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。

通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。

平面向量的基本概念与运算法则

平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。

在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。

一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。

例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。

平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。

向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。

向量的长度是一个非负数。

二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。

例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。

2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。

例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。

3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。

例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。

4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。

4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。

数量积的结果是一个标量。

对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。

4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。

平面向量课件

04
平面向量的应用
向量在几何中的应用
向量在平面几何中的应用广泛，如证明平行、垂直、等角等性质。
向量可以表示空间中的点、线、面等基本元素，有助于解决空间几何问题。
利用向量的数量积和向量积，可以计算角度、距离等几何量。
向量在物理中的应用
向量在物理中常用于描述物体的运动状态和相互作用。
力的合成与分解：通过向量的加减法，可以将多个力合成一个力，也可以将一个力分解成多个力
2. 向量减法的定义：同向、反向、共线等条件下的两个向量的差，以线段为工具进行求解。
详细描述
1. 向量加法的定义：同向、反向、共线等条件下的两个向量的和，以线段为工具进行求解。
例题二：向量的数乘与数量积
详细描述
2. 向量数量积的定义：两个向量的数量积等于它们对应分量乘积的和，结果
为一个标量。
平面向量课件
目录
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的坐标表示 • 平面向量的应用 • 平面向量的扩展知识 • 平面向量综合例题
01
平面向量基本概念
向量的定义
既有大小又有方向的量称为向量
向量的表示方法：用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向
向量的坐标运算
对于两个向量(x1，y1)和(x2，y2)，它们的加法、减法、数乘和数量积等运算均可以通过对应坐标的加法、减法、数乘和数量积来实现。
向量的模
向量的模的定义
向量(x，y)的模（或长度）可以用 sqrt(x²+y²) 来计算。
向量的模的性质
向量的模是非负实数，且对于任意两个向量(x1，y1)和(x2，y2) ，满足|(x1，y1)| ≤ |(x2，y2)| 当且仅当 x1 ≤ x2 且 y1 ≤ y2。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

平面向量基础知识

平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

平面向量模块

平面向量模块一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行3、向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反4、两个非零向量a 、b 的夹角：做OA =a ；OB =b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角。

5、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=aj y i x +，则()y x ,叫做a 的坐标。

6.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：()11,y x a =；()22,y x b =加法三角形法则(作图)：=+BC AB AC平行四边形法则(作图)：AB AD +=ACa +b=()2121,y y x x ++减法作图：=-AC AB CBa -b=()2121,y y x x --数乘a λ是一个向量，=aλ||||a λ方向：0>λ时，与a 同向；0<λ时，与a 反向；0=λ时，0=a λ()11,y x a λλλ=数量积 a ·b=θcos ||||b a a ·b=2121y y x x +A BC ABC DABC三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+。

2、向量的模：a＝a a ⋅＝22y x +；非零向量a 与b 的夹角：=θcos 222221212121||||y x y x y y x x b a ba +++=⋅3、向量平行：a ∥b⇔b a λ=⇔1221y x y x =；向量垂直：a ⊥b⇔0=⋅b a ⇔02121=+y y x x4、中点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ；四、复习题1、在下列命题中，正确命题的个数为．①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c ） ④b a b a +=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 2、化简下列各式：（1）)(CD AB -－)(BD AC -= ；（2）BA CO BO OC OA -+++= ．（3）)(MB AB ++)(BC BO ++OM =__________3．已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为( ) A ．-7，2 B ．5，2 C ．-7，52 D ．5，524、向量a ，b 满足6=a ，10=b ，则b a -的取值范围是．5、已知6=a ，8=b ，10=-b a ，则=+b a ．6、已知OA ＝1e ，OB ＝2e ，且1==OB OA ．∠AOB ＝︒120，又5=OC ，且OC 平分∠AOB ，用1e ，2e 表示OC = ．7、已知∆ABC 顶点A （―1，12-），B （2，3）及重心坐标G （1，12），则顶点C 的坐标为__________8．已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2PA OP =，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是 9、已知3,2==b a ，且4=⋅b a ，则向量b 在向量a 上的投影为．10、已知|a |=3，|b |=4，且|a －b |=37，则a 与b的夹角为．11．已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________ 12.已知点A （4，1），B （-2，7），P 是直线AB 是一点，且||2||AP PB =，求P 的坐标。

平面向量知识点总结(精华)

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

平面向量的基本概念与运算

平面向量的基本概念与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。

平面向量的基本概念和运算是研究平面向量性质的基础，对于解决平面力学问题和几何问题具有重要的应用价值。

一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用大写字母表示，如 A、B、C。

2. 零向量：长度为零的向量称为零向量，记作 O。

3. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

4. 直角向量：互相垂直的向量称为直角向量。

二、平面向量的表示方法1. 端点表示法：使用有向线段的起点和终点来表示向量，如 AB 表示从点 A 到点 B 的向量。

2. 坐标表示法：使用坐标表示向量的起点和终点，在平面直角坐标系中，向量 A 的坐标表示为 (x, y)。

三、平面向量的运算1. 加法运算：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法运算：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。

3. 数乘运算：向量与一个实数的乘积称为数乘运算。

设有向量 A 的坐标表示为 (x, y)，实数 k，则 kA 的坐标表示为(kx, ky)。

4. 内积运算：两个向量的内积（数量积）是它们对应分量的乘积之和。

设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A · B 的坐标表示为 x1 * x2 + y1 * y2。

四、平面向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 数乘分配律：k(A + B) = kA + kB4. 数乘结合律：(kl)A = k(lA)，其中 k、l 为实数五、平面向量的应用1. 向量共线性判定：若两个向量的模与它们的夹角满足 a = kb (k 为常数)，则称这两个向量共线。

平面向量的基本概念

平面向量的基本概念平面向量是平面上具有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，平面向量可以用两个有序实数表示，分别表示向量的横坐标和纵坐标。

平面向量的表示形式通常为< x, y >，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

平面向量有以下基本概念：1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，表示没有大小和方向的向量，即<0, 0>。

它与任何向量相加都不改变原向量，满足向量加法的单位元的性质。

2. 向量的模：向量的模表示向量的大小，用直线的长度来表示。

平面向量< x, y >的模可以用以下公式计算：< x, y > = √(x^2 + y^2)。

模为正数，且零向量的模为0。

3. 单位向量：单位向量是模为1的向量，用来表示方向。

一个非零向量v除以它的模，可以得到一个与v方向相同的单位向量，即v/ v 。

单位向量与原向量的方向相同，但长度为1。

4. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。

具体而言，如果向量< x1, y1 >和< x2, y2 >平行，则有x1/x2 = y1/y2。

平行向量的模可以是相同的或相反的。

5. 相等向量：若两个向量的横坐标和纵坐标分别相等，则它们相等。

即< x1, y1 > = < x2, y2 >当且仅当x1 = x2，y1 = y2。

6. 负向量：给定一个向量v = < x, y >，存在一个负向量-v = < -x, -y >，它的大小和方向与v相反。

7. 向量的加法：两个向量的加法定义为横坐标相加，纵坐标相加。

即给定向量v1 = < x1, y1 >和v2 = < x2, y2 >，它们的和为v1 + v2 = < x1 + x2, y1 + y2 >。

8. 向量的减法：两个向量的减法定义为先求减向量的负向量，再进行加法运算。

高考数学中的平面向量基本概念及相关性质

高考数学中的平面向量基本概念及相关性质随着人们生活中科技的快速发展，数学的地位越来越重要。

高考数学是整个中学阶段最关键的考试之一，考查学生的数学运算能力和逻辑思维能力。

在高考数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及多个方面的知识，而且在实际生活中也有很广泛的应用，因此深入理解平面向量的基本概念及相关性质，对于提高数学水平和应对高考具有重要意义。

一. 矢量的概念和表示平面向量，又称矢量，是由大小和方向决定的量。

矢量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示矢量的大小，而方向则是有向线段的方向。

例如，有向线段AB表示一个矢量，长度为5，方向为从A指向B。

记作$\overrightarrow{AB}$，其中上方的箭头表示矢量方向。

二. 矢量的加法和减法矢量的加法和减法是矢量数乘的特殊情形。

设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个矢量，$\lambda$是一个实数，则：（1）矢量加法 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$表示从起点为$\overrightarrow{a}$的有向线段终点作为起点，画一条有向线段使之终点与$\overrightarrow{b}$的终点重合，这条线段的长度与方向所表示的量即为$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$。

（2）矢量减法 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$表示从起点为$\overrightarrow{a}$的有向线段终点作为起点，画一条有向线段使之终点与$\overrightarrow{b}$的终点重合，这条线段的方向相反，长度为$\left| \overrightarrow{a} \right|-\left|\overrightarrow{b}\right|$，所表示的量即为$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$。

平面向量的基本概念和基本定理

【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理：考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算）考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算：减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算：交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向量的减法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向量的乘法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向量的数量积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围；（Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（）Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。

平面向量基本概念框架梳理

平面向量基本概念框架梳理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

它具有大小和方向，并可通过向量的加法和数乘进行运算。

本文将从向量的定义、表示形式、运算以及向量的性质等方面进行基本概念的框架梳理，以帮助读者全面理解和掌握平面向量的基本概念。

一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。

有向线段的起点和终点分别称为向量的始点和终点，记作A和B，向量AB表示从A到B的有向线段。

若两个向量的大小和方向相等，则它们相等。

二、向量的表示形式1. 箭头表示法：向量AB用箭头AB表示。

2. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量AB的表示形式为AB = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。

三、向量的运算1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。

设向量AB和向量CD，它们的和为向量AC。

即AB + CD = AC。

2. 数乘：向量的数乘即将向量的大小与方向分别与一个实数相乘。

设向量AB，实数k，它们的数乘表示为kAB。

3. 减法：向量的减法可视为加法和数乘的结合运算。

设向量AB和向量CD，它们的差为向量AD。

即AB - CD = AD。

四、向量的性质1. 零向量：零向量是大小为0的向量，任何向量与零向量的和都等于该向量本身。

2. 负向量：向量AB的负向量记作-AB，它与向量AB大小相等，方向相反，且满足AB + (-AB) = 0。

3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们称为平行向量。

4. 共线向量：如果两个向量的直线上的任意一点都与这两个向量的始点连线和终点连线共线，它们称为共线向量。

5. 模长与单位向量：向量AB的模长表示为|AB|，它的计算公式为|AB| = √(x² + y²)。

单位向量是模长为1的向量，它可以通过向量AB除以它的模长得到，记作u = AB/|AB|。

通过对平面向量的基本概念进行框架梳理，我们可以更好地理解和应用平面向量的相关知识。

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC （1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅= 2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b ∙<>=∙= 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质。

平面向量的基本概念与运算知识点总结

平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。

本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。

1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。

平面向量有两个基本属性：方向和大小。

方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。

2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。

在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。

位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。

3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。

4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。

向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。

5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。

若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。

8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。

平面向量的基本概念

平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。

数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

4.有向线段的三要素：起点，大小，方向a5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。

②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线段表示相同（等）的向量。

③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；7.向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模，记作|AB|.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。

长度为1的向量称为单位向量。

9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。

（2）共线向量是可以相互平行的。

例1.判断下列说法是否正确，为什么（1）平行向量是否一定方向相同（2）不相等的向量是否一定不平行（3）与零向量相等的向量必定是什么向量（4）与任意向量都平行的向量是什么向量（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量（6）两个非零向量相等当且仅当什么（7）共线向量一定在同一直线上吗解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。

一年级数学平面向量复习题

一年级数学平面向量复习题一、平面向量基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。

2. 向量的表示方法：通常用带箭头的线段表示，箭头指向表示向量的方向。

3. 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别是向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

二、向量的运算1. 向量的加法：- 几何法：将两个向量的起点对齐，然后将它们的终点连接起来，得到的向量就是它们的和。

- 代数法：如果向量 A = (a1, a2) 和向量 B = (b1, b2)，则它们的和 A + B = (a1 + b1, a2 + b2)。

2. 向量的减法：- 几何法：将向量 B 的起点对齐到向量 A 的终点，然后将 A 的起点连接到 B 的终点，得到的向量就是它们的差。

- 代数法：如果向量 A = (a1, a2) 和向量 B = (b1, b2)，则它们的差 A - B = (a1 - b1, a2 - b2)。

3. 向量的数乘：- 如果向量 A = (a1, a2)，数乘 k，则 kA = (ka1, ka2)。

4. 向量的点积（内积）：- 如果向量 A = (a1, a2) 和向量 B = (b1, b2)，它们的点积为A·B = a1b1 + a2b2。

5. 向量的叉积（外积）：- 在平面内，向量 A 和 B 的叉积定义为A×B = |A||B|sinθ，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角。

三、向量的应用1. 位移：用向量表示物体从一点移动到另一点的过程。

2. 速度：用向量表示物体运动的方向和快慢。

3. 加速度：用向量表示速度变化的快慢和方向。

四、平面向量复习题1. 已知向量 A = (3, 4) 和向量 B = (1, -2)，求 A + B 和 A - B。

2. 已知向量 A = (-2, 5) 和向量 B = (3, 1)，求 3A - 2B。