21一元二次方程学案

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2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案

第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

一元二次方程根与系数的关系学案

21.2.4一元二次方程根与系数的关系主备人：学科组长：【教师寄语】：你是泊于青春的港口的一叶小舟，愿你扬起信念的帆，载着希望的梦幻，驶向辽阔的知识海洋。

【学习目标】1．理解并掌握根与系数关系：a bx x-=+21，a cx x =21；2．会用根的判别式及根与系数关系解题.【学习过程】自学交流【学习方式】1.独立思考解决问题。

2.小组交流，互相补充完善。

3.小组代表展示相对完善的答案。

知识准备（1）一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：质疑合作2、知识探究：设1x ，2x 是一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根，试推导a b-x x 21=+， a cx x =21.；【方法点拨】：通过一元二次方程根的公式去探索归纳：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若1x ，2x 是一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根，则a b -x x 21=+，a cx x =21.巩固提升【方法点拨】：熟记一元二次方程根与系数的关系，掌握公示特征。

一、填空：1．若方程20ax bx c ++=(a≠0)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x = 2 ．方程22310x x --= 则12x x += ，12.x x =3 ．若方程220x px ++=的一个根2，则它的另一个根为____ p=____4 ．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是____ m= ____5 ．若0和-3是方程的20x px q ++=两根，则p+q= ____二、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）0156x 2=--x （2）0973x 2=-+x （3）2415x x =-三、已知方程2290x kx +-=的一个根是 -3 ，求另一根及k 的值。

拓展延伸1、已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 βα111+）（ 222βα+）（ βα-）（32 ．两根均为负数的一元二次方程是（）。

21.1 一元二次方程1教学案

21．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k－1|＝2，k＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝3或k＝－1，k≠－1.∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为 1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1 C ．x 1＝0，x 2＝2 D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.。

中职数学2.1一元二次方程学案

1、一元二次方程学案学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。

重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。

导学流程一、自主学习1、概念学习：（1）一元二次方程：________________________________________________________________________;(2)一元二次方程的一般形式：______________________________,其中，____是二次项系数, ____ 是一次项系数, ____是常数项。

（3）方程的解：___________________________________________________________________________;（4）解方程：_____________________________________________________________________________.2、自学教科书例题，做到练习本上。

二、精讲点拨我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋23x ＋（）＝（x ＋）2；从这些练习中你发现了什么特点?(1)当二次项系数为1时，加的常数是________________________________________________；(2)依据的公式是________________________________________________。

三、合作交流1、用配方法解下列方程：（1）x 2 ＋2x －3＝0；（2）x 2-4x-3＝0. （3）x 2 -6x ＋10＝02、总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？四、深入探究用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03522=--x x这两道题与前面的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。

人教版九年级上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程根与系数的关系学案(无答案)-word

根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(一)、前提：⑴一元二次方程一般形式：ax 2+bx+c=0 (a ≠0) ⑵⊿≥0（二）、结果：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ，那么acx x a b x x =-=+2121,特殊的：x 2+px+q=0的两个实数根是21,x x ，那么x 1+x 2=-p,x 1x 2=q （三）、应用：1、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；2、已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；3、已知两数，求以这两个数为根的一元二次方程。

以21,x x 为根的一元二次方程：①二次项系数是1，②一次项系数是x 1与x 2和的相反数；③常数项是x 1与x 2的积。

即：x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0 4、不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到的有：③()|a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x ④(x 1＋m)(x 2＋m)＝x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2. ⑤.1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2. ⑥ .x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2.5、特殊关系：（1）两根互为相反数，即：21x x +=0且21x x ≤0；（2）有一根是0，=0且⊿≥0（3）两根互为倒数，即21x x =1且⊿≥0。

（注意：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a ≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验；我们可以先利用根与系数的关系进行求解，把求得的结果再进行检验，是否满足a ≠0，⊿≥0，如果满足则保留，不满足就舍去。

）例题及巩固练习（一）、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；例1 已知方程5x 2＋kx －6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.解：设方程的另一根是x 1，由根与系数的关系得：2x 1= -6/5 解得：x 1= - 53由(－53)＋2=－5k ，得k =－7，所以，方程的另一个根为－53，k 的值为－7. 例2．方程x 2＋3x ＋k=0的一根是2，则方程的另一根及k 的值。

21.1一元二次方程“教案”(杨几何人教课件+教案+学案三统一)

六、布置作业:课本P4，“练习”第1，2题.
教学反思：
二备
教学Biblioteka 过程一、新课导入
1.自主学习课本P1“雕像设计”；
2.自主学习课本P2“问题1”；
3.自主学习课本P2“问题2”。
二、新知探究
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
2．定义：
一元二次方程是：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程.
三、例题讲解
【例1】将方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.
中小学电子教案（导学案）
年级
九年级
班级
九（1）、九（2）班
学科
数学
执教
课题
21.1一元二次方程
课类
新授课
主备
审定
授课时间
第课时
教学
目标
1.了解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程（重点）；
2.理解将实际问题转化为一元二次方程模型的方法（难点）；
3.感受“形式化”的数学思想（重点）.
教法
教师主导步骤（要点问题化）
（2）若x＝2是方程的一个根，你能求出a的值吗？
【例2】关于x的方程的一个根为x=3，则实数k的值为（）
A．1B．-1C．2D．-2
跟踪训练：你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
四、随堂练习
1.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，请列出相应的方程。
2.上海世博会某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元.请列出相应的方程。
3.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3千万元，预计2010年投入5千万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，请列出相应的方程。

21.1一元二次方程

学科内容
数学
制作人
“四环节 16 字”课堂教学改革探究案实验班级初二班 21.1 一元二次方程
学生姓名
一、知识回顾你知道什么是方程吗？想一想你以前学过什么方程？它的特点是什么？二、阅读课本第 2-3 页内容，回答下列问题：问题 1：如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为__ 化简整理，得 _．① _，宽为_ __．列方程__ __，
反思
环节二合作展示
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项： 2 ⑴ 5x -1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3
2.根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x;
5.关于 x 的方程： (a－1)x2 +3ax－3=0，当 a ____时它是一元二次方程，当 a ____时，它为一元一次方程。 6.将下列方程化成一元二次方程一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项。（1）3x2+1=6x (4)4x2+5x=81 (3) x(x+5) =0
有一根 1m 长的铁丝，怎样用它围成一个面积为 0.06m2 的矩形？
（5）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握 10 次，有多少人参加聚会？
8.下列哪些数是方程 x2+x-12=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。

人教版初中数学九年级第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程学案(1)

一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。

二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

列得方程：解得：x=2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染x台电脑，则依题意可列方程为______________-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000问题2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=______．解：类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物”1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

21.1一元二次方程学生学案

豫灵一中九年级数学学案 21.1一元二次方程班级__________ 姓名__________学号________学习目标：1.了解一元二次方程的概念，正确掌握一元二次方程的一般形式。

2.能准确判断一个数是否是一元二次方程的根。

学习重点：一元二次方程的概念及一般形式。

学习难点：正确识别一般形式的“项”及“系数”。

学习过程：一、自主导学1、自学课本P2问题1和问题2，列出方程：思考：这两个方程及方程x 2+2x-4=0都是不是一元一次方程？它们与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：_________________________________________________________ 归纳：一元二次方程的定义：等号两边都是______，只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：___________________________________________ 其中ax 2是_____________，a 是_________________；bx 是______________，b 是_________________；C 是_______________。

思考：二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉，为什么？二、交流展示下列方程中哪些是一元二次方程？3523)1(-=+x x 4)2(2=x2112)3(x x x =-+- 3)2)(1()4(=--x x33)5(2=+y x 22)2(4)6(+=-x x 三、点拨例析例：将方程3x （x-1）=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

四、巩固训练1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：2(1)6y y = (2)(21)3(2)x x x x ---= (3)(2)(3)8x x -+= 2(4)(3)(34)(2)x x x +-=+2、关于x 的方程(k －3)x 2 ＋ 2x －1＝0,当k___________时，是一元二次方程．3、关于x 的方程(k 2－1)x 2 ＋ 2 (k －1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k_____________时，是一元二次方程．当k_____________时，是一元一次方程．自主导学（二）自学课本p3例题上面内容，并完成下列问题：什么是一元二次方程的根？练习：1、下列哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.五、归整检测1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的一般形式3、一元二次方程的根堂清1、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A.31x 2=+B.1x x 2x 22-=+C.0c bx ax 2=++D.)1x (21x 32+=+）（2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：（1）x 41x 52=-（2）81x 42=（3）252x x 4=+）（（4）3x 8)1x (2x 3-=+-）（ 3、下列哪些数是方程012x x 2=-+的根？-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3, 44.关于x 的方程07x 2x 2a a=-+-）（是一元二次方程，则a=_______________ 5.若方程1x m x 1-m 2=+）（是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是___。

21.1一元二次方程教案+学案+课件(6份打包,新版)-1.doc

21.1 一元二次方程教学时间课题21.1 一元二次方程课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根过程方法1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。

从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知● 探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ； 0621=-+x x● 概念归纳： 1.一元二次方程定义：分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式：分析： ○1.为什么规定a ≠0？点题，板书课题.学生读题找等量关系列方程. 学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念. 学生尝试叙述，然后师生归纳师生分析概念和一般形式.联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容淡化列方程难度，重点突出方程特点通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.全面理解和掌握○2.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax● 课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.● 一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0 （3）x 2-3x=0 （4）0122=++x x 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x 的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳：○1一元二次方程的根的情况 ○2一元二次方程的解要满足实际问题三、课堂训练 1.课本练习 2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2）.关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 范围________． 3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________4).关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计必做：P4：1.2.4.6.7选做：.P29：3.5.7 学生根据相关概念作答，复习巩固. 学生类比一元一次方程的解尝试叙述学生思考，讨论完成，学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记. 识记、理解相关概念通过类比，迁移提高加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统教学反思。

一元二次方程的教案(必备3篇)

一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。

（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。

过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。

二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。

难点：准确理解一元二次方程的意义。

三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。

解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

《一元二次方程》学案

22.1 « 一元二次方程》(1)学案学习目标：1.通过设置问题，建立数学模型，？模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念.3.解决一些概念性的题目.学习过程：1、温故互查(1)一元一次方程定义 .(2)一元一次方程的一般形式 .2、设问导读合作预习章前页的问题和教材P25-P26问题1和2。

(1 )、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①；②；③。

(2)、一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____________________ ,只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程。

(3)任何一个关于x的一元二次方程都可以化为(a,b,c为常数，)的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式。

a为, b为, c为。

(4)、注意点：①一元二次方程必须满足三个条件： a ；b ；c②任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、- 次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

③ 二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？3、自我检测(1)、下列列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？① 5x2 0 ② V2x2 x V3x ③ J Z 3 0x x④ 3x3x 0 ⑤ x2xy 3 0 (2 )、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:① 3x2 5x 1 ②(x 2)(x 1) 6 ③ 4 7x2 0(3 )、关于x的方程(a-1 )x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是 .学生分小组交流解疑，教师点评升华。

4、巩固练习：课本27页练习1、2题5、拓展延伸(1 )、a满足什么条件时，关于x的方程a (x2+x) =V3x- (x+1)是一元二次方程？(2 )、关于x的方程(2m2+m) x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？评价1、这节课你学到了什么？2、组长对你这节课的表现进行评价:3 2.1 « 一元二次方程》(2)学案学习目标：1、会进行简单的一元二次方程的试解；2、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力；3、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义。

2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程同步学案(无答案)

2019-2020学年人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程同步学案一．解一元二次方程-直接开平方法例1．解方程：（y+2）2﹣6＝0【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．二．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．例2．解方程：x（x﹣2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x（x﹣2）＝4，∴x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝5，∴（x﹣1）2＝5，∴x＝1±【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．三．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．例3．解方程：﹣3x2+6x＝1【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+6x＝1，﹣3x2+6x﹣1＝0，b2﹣4ac＝62﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝24，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．四．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．例4．解方程：x2﹣3x＝﹣2【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x＝1或x＝2；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．五．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．例5．解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．【分析】设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y的值，即可得到原方程的根．【解答】解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0解得：y1＝1，y2＝4当y＝1时，x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，x﹣1＝4，解得x＝5，∴原方程的根是x1＝2，x2＝5．【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．六．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．例6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0，当b＝a+3时，请判断此方程根的情况．【分析】先计算出判别式的值，再把b＝a+3代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝b2﹣4a×3＝b2﹣12a，而b＝a+3，所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，所以方程有两个实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．七．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．例7．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）先根据根与系数的关系求出x1+x2＝2，x1•x2＝m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得：m＜1，∴实数m的取值范围是m＜1；（2）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝m，∵x1﹣x2＝1，∴两边平方得：（x1﹣x2）2＝12，（x1+x2）2﹣4x1•x2＝1，22﹣4m＝1，解得：m＝．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．八．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．例8．例读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19通过对例题的理解解决下列问题：（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2＝10；（2）若，求的值；（3）若n满足（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，求式子（n﹣2019）（2018﹣n）的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3，∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝4+6＝10；故答案为：10；（2）把a+＝6两边平方得：（a+）2＝a2++2＝36，则a2+＝34；（3）∵（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，∴1＝[（n﹣2019）+（2018﹣n）]2＝（n﹣2019）2+（2018﹣n）2+2（n﹣2019）（2018﹣n），则（n﹣2019）（2018﹣n）＝0．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．同步测试一．选择题（共8小题）1．下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（）A．1B．2C．3D．42．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝73．以x＝为根对的一元二次方程可能是（）A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝04．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（）A．B．C．13D．55．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（）A．y﹣﹣2＝0B．y﹣﹣1＝0C．y2﹣2y﹣1＝0D．y2﹣y﹣2＝06．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根7．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（）A．y＝2x﹣3B．y＝2x+3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣38．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．，9二．填空题（共8小题）9．方程8（x+1）2＝27的解为．10．用配方法解一元二次方程x2﹣mx＝1时，可将原方程配方成（x﹣3）2＝n，则m+n的值是．11．观察算式×，则它的计算结果为．12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的第三边长是13．已知（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝4，则m2+n2＝．14．已知关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为．15．设α、β是方程x2﹣x﹣2018＝0的两根，则α3+2019β﹣2018的值为．16．把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是．三．解答题（共8小题）17．解方程：（y+2）2﹣6＝018．解方程：x（x﹣2）＝4．19．用指定方法解下列方程：（1）用配方法解方程：x2+6x+4＝0．（2）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．20．按要求解下列方程：（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．21．已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况．22．【阅读材料】解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2，x2＝2解得x＝±．所以，原方程的解为x1＝1．x1＝﹣1，x3＝，x4＝．【问题解决】利用上述方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．23．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．24．阅读材料并解答问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而解决某些问题．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2问题：（1）如果，则＝．（2）已知a2+b2＝10，a﹣b＝2，求ab的值．。

《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)

《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。

3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。

2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。

教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。

2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。

212 解一元二次方程学案02

一元二次方程章节第二章课题课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育） 1．能够利用一元二次方程解决有关实际问题并能根据问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．2．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．3．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．教学重点会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程。

教学难点根据方程的特点灵活选择解法。

并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．教学媒体学案教学过程一：【考点归纳】1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）2．一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是2(40)b ac -≥注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．二：【题型预测】1. 用直接开平方法解方程2(3)8x -=，得方程的根为（）A. 323x =+B. 12322,322x x =+=-C. 322x =-D. 12323,323x x =+=-2. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝。

九年级数学上册21一元二次方程学案新版新人教版九6

第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念 ,应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图 ,有一块矩形铁皮 ,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形 ,然后将四周突出局部折起 ,就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形 ?分析：设切去的正方形的边长为x cm ,那么盒底的长为__(100－2x)cm __ ,宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__ ,化简整理 ,得__x 2－75x ＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛 ,参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件 ,赛程方案安排7天 ,每天安排4场比赛 ,比赛组织者应邀请多少个队参赛 ?分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x 个队参赛 ,每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场 ,所以全部比赛共x (x －1 )2__场．列方程__x (x －1 )2＝28__ ,化简整理 ,得__x 2－x －56＝0__．② 探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少 ?__1个__． (2)它们最|高次数分别是几次 ?__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__ ,只含有__一个__未知数(一元) ,并且未知数的最|高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元) ,并且未知数的最|高次数是__2__(二次)的方程 ,叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地 ,任何一个关于x 的一元二次方程 ,经过整理 ,都能化成如下形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项 ,__a__是二次项系数 ,__bx__是一次项 ,__b__是一次项系数 ,__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件 ,不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(6分钟) 1．判断以下方程 ,哪些是一元二次方程 ?(1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程 ,尽管分母中含有字母 ,但只要分母中不含有未知数 ,这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式 ,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号 ,得3x 2 ,合并同类项 ,得3x 2,一次项系数是－8 ,常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时 ,通常要将首|项化负为正 ,化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0 ,无论m 取何值 ,该方程都是一元二次方程．证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1 ,∵(m －4)2≥0 ,∴(m －4)2＋1>0 ,即(m －4)2＋1≠0.∴无论m 取何值 ,该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m 取何值 ,该方程都是一元二次方程 ,只要证明m 2－8m ＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根 ? －4 ,－3 ,－2 ,－1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4.解：将上面的这些数代入后 ,只有－2和－3满足等式 ,所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根 ,只要把这个数代入等式 ,看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断以下方程是否为一元二次方程．(1)1－x 2＝0; (2)2(x 2－1)＝3y ；(3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2x＝0；(5)(x ＋3)2＝(x －3)2;(6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．2．假设x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根 ,求a 的值．解：∵x＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根 , ∴4a＋8－5＝0 , 解得a ＝－34.3．根据以下问题 ,列出关于x 的方程 ,并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25 ,求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2 ,面积是100 ,求长方形的长x.解：(1)4x 2＝25 ,4x 2－25＝0；(2)x(x －2)＝100 ,x 2－2x －100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) ,特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．2 解一元二次方程 21．配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想 ,掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次 - -转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n≥0)的方程 ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外外表 ,你能算出盒子的棱长吗 ?设正方体的棱长为x dm ,那么一个正方体的外表积为__6x 2__dm 2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x 2＝1500__ ,由此可得__x 2＝25__ ,根据平方根的意义 ,得x ＝__±5__ , 即x 1＝__5__ ,x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根 ,但棱长不能为负值 ,所以正方体的棱长为__5__dm .探究：对照问题1解方程的过程 ,你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方 ,右边是一个非负数 ,根据平方根的意义 ,可将方程变形为__2x －1＝±5__ ,即将方程变为__2x －1＝5和__2x －1＝－5__两个一元一次方程 ,从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝__1＋52 ,x 2＝__1－52__．在解上述方程的过程中 ,实质上是把一个一元二次方程 "降次〞 ,转化为两个一元一次方程 ,这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式 ,这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4 ,进行降次 ,得到 __x ＋3＝±2__ ,方程的根为x 1＝ __－1__ ,x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过 "降次〞把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式 ,那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(6分钟) 解以下方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50；(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8 , (2)2(x －8)2＝50 , y 2＝4 , (x －8)2＝25 , y ＝±2 , x －8＝±5 ,∴y 1＝2 ,y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5 , ∴x 1＝13 ,x 2＝3；(3)(2x －1)2＋4＝0 , (4)4x 2－4x ＋1＝0 ,(2x －1)2＝－4<0 , (2x －1)2＝0 , ∴原方程无解； 2x －1＝0 , ∴x 1＝x 2＝12.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式 ,假设能 ,那么可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解以下方程：(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时 ,最|容易出错的是漏掉负根．2．关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1 ,求a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解以下方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋ 2 ,x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋ 5 ,x 2＝2－5；(3)x 1＝－1 ,x 2＝13；(4)x 1＝16 ,x 2＝－16；(5)x 1＝92 ,x 2＝－92；(6)x 1＝0 ,x 2＝－10；(7)x 1＝1 ,x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解 "降次〞思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p (p≥0)中 ,为什么p ≥0?学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程 ,能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2； (3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2.2．假设4x 2－mx ＋9是一个完全平方式 ,那么m 的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米 ?设场地的宽为x m ,那么长为__(x ＋6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x ＋6)＝16__ ,整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0?比照这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4 ,可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式 ,右边是非负数 ,可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式 ,直接降次有困难 ,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗 ?解：移项 ,得x 2＋6x ＝16 ,两边都加上__9__即__(62)2__ ,使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式 ,得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__ ,左边写成平方形式 ,得__(x ＋3)2＝25__ ,开平方 ,得__x ＋3＝±5__ , (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__ ,解一次方程 ,得x 1＝__2__ ,x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法 ,叫做配方法；配方的目的是为了降次 ,把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解以下方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12 ,x 2＝52；(3)x 1＝－72 ,x 2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式 ,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(8分钟) 1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解以下方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项 ,得x 2＋6x ＝－5 ,配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32 ,(x ＋3)2＝4 , 由此可得x ＋3＝±2 ,即x 1＝－1 ,x 2＝－5.(2)移项 ,得2x 2＋6x ＝－2 ,二次项系数化为1 ,得x 2＋3x ＝－1 , 配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54 ,由此可得x ＋32＝±52 ,即x 1＝52－32 ,x 2＝－52－32. (3)去括号 ,整理得x 2＋4x －1＝0 ,移项得x 2＋4x ＝1 ,配方得(x ＋2)2＝5 ,x ＋2＝± 5 ,即x 1＝5－2 ,x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成 ,即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(5分钟)如图 ,在Rt △ABC 中 ,∠C ＝90° ,AC ＝8 m ,CB ＝6 m ,点P ,Q 同时由A ,B 两点出发分别沿AC ,BC 方向向点C 匀速移动 ,它们的速度都是1 m /s ,几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半 ?解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6 , 即x 2－14x ＋24＝0 ,(x －7)2＝25 , x －7＝±5 ,∴x 1＝12 ,x 2＝2 ,x 1＝12 ,x 2＝2都是原方程的根 ,但x 1＝12不合题意 ,舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半 ,△PCQ 也是直角三角形．根据条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解以下关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋ 5 ,x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋ 2 ,x 2＝2－2； (3)x 1＝14＋174 ,x 2＝14－174；(4)x 1＝62 ,x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0 ,求(xy)z的值．解：由方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0 ,即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0 ,∴x ＝2 ,y ＝－3 ,z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的考前须知．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程 ,了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0. 解：(1)x 1＝－2 ,x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根 ?问题：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) ,试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac2a,x 2＝－b －b 2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多 ,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字 ,根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定 ,因此：(1)解一元二次方程时 ,可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0 ,当b 2－4ac≥0时 ,将a ,b ,c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac 2a 就得到方程的根 ,当b 2－4ac ＜0时 ,方程没有实数根．(2)x ＝－b ±b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知 ,一元二次方程最|多有__2个实数根 ,也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地 ,式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式 ,通常用希腊字母Δ表示 ,即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟) 用公式法解以下方程 ,根据方程根的情况你有什么结论 ?(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0 ,x 2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时 ,有两个不相等的实数根；Δ＝0时 ,有两个相等的实数根；Δ＜0时 ,没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．当m 为何值时 ,方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0 , (1)有两个不相等的实数根 ? (2)有两个相等的实数根 ? (3)没有实数根 ?解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14.3. x 2＋2x ＝m －1没有实数根 ,求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根. 证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根 , ∴4－4(1－m)＜0 ,∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ,即x 2＋mx ＋2m －1＝0 ,Δ＝m 2－8m ＋4 ,∵m ＜0 ,∴Δ＞0 , ∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定以下方程的根的情况： (1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0；(3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解以下方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0；(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ； (5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0. 解：(1)x 1＝3 ,x 2＝－4； (2)x 1＝2＋32 ,x 2＝2－32； (3)x 1＝1 ,x 2＝－3；(4)x 1＝－2＋ 6 ,x 2＝－2－6；(5)x 1＝0 ,x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的；(2)在解一元二次方程时 ,可先把方程化为一般形式 ,然后在b 2－4ac≥0的前提下 ,把a ,b ,c 的值代入x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中 ,可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最|多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ,b ,c 的值 ,再算．出b 2－4ac 的值、最|后代．入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征 ,灵活选择方程的解法 ,体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的根本思想．(2分钟)将以下各题因式分解：(1)am ＋bm ＋cm ＝(__a ＋b ＋c__)m ；(2)a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__；(3)a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律 ,如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛 ,那么经过x s 物体离地的高度(单位：m 2.s )设物体经过x s 落回地面 ,这时它离地面的高度为0 ,即10x 2＝0 , ① 思考：除配方法或公式法以外 ,能否找到更简单的方法解方程① ? 分析：方程①的右边为0 ,左边可以因式分解得： x(10－4.9x)＝0 ,于是得x ＝0或10－4.9x ＝0 , ② ∴x 1＝__0__ ,x 2≈．上述解中 ,x 2≈表示物体约在2.04 s 时落回地面 ,而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻 ,即0 s 时物体被抛出 ,此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程 ,先将方程右边化为0 ,然后对方程左边进行因式分解 ,使方程化为两个一次式的乘积的形式 ,再使这两个一次因式分别等于零 ,从而实现降次 ,这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0 ,那么a ＝0或b ＝0 ,这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0 ,那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__ ,即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟) 1．说出以下方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0. 解：(1)x 1＝0 ,x 2＝8； (2)x 1＝－13 ,x 2＝52.2．用因式分解法解以下方程：(1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0 ,x 2＝4; (2)x 1＝72 ,x 2＝－72；(3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解以下方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15. 解：(1)x 1＝0 ,x 2＝45；(2)x 1＝23 ,x 2＝－12；(3)x 1＝－5 ,x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0 ,另一边可以分解因式．2．用因式分解法解以下方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6 ,x 2＝－6； (2)x 1＝43 ,x 2＝－2；(3)x 1＝12 ,x 2＝－12；(4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解以下方程： (1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0 ,x 2＝－1； (2)x 1＝0 ,x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112 ,x 2＝－112；(5)x 1＝3 ,x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__ ,得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程 ,它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地 ,场地面积增加了一倍 ,求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m .那么可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋5 2 ,x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0 ,即 "二次降为一次〞． 2．正确的因式分解是解题的关键．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟) 方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝0 2 3 5 6 x 2＋3x －10＝02－5－3－10问题：你发现什么规律 ? ①用语言表达你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1 ,x 2用式子表示你发现的规律. 答：x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q. 自学2：完成下表：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 2x 2－3x －2＝02－1232－13x 2－4x ＋1＝013143 13问题：上面发现的结论在这里成立吗 ?(不成立) 请完善规律：①用语言表达发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数 ,两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1 ,x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝__－b ＋b 2－4ac 2a __ ,x 2＝__－b －b 2－4ac2a__．x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系 ,求以下方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3 ,x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32 ,x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6 ,x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程 ,求以下方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6 ,x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝－73 ,x 1x 2＝－3；(3)x 1＋x 2＝54 ,x 1x 2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式 ,找对a ,b ,c. 2．方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3 ,求另一根及k 的值．解：另一根为32,k ＝3.点拨精讲：此题有两种解法 ,一种是根据根的定义 ,将x ＝－3代入方程先求k ,再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．α ,β是方程x 2－3x －5＝0的两根 ,不解方程 ,求以下代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程 ,求以下方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3 ,x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝0 ,x 1x 2＝－1； (3)x 1＋x 2＝3 ,x 1x 2＝－8； (4)x 1＋x 2＝0 ,x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C ) A ．7x 2－12x ＋5＝0 B ．6x 2－13x －5＝0 C ．4x 2＋21x ＋5＝0 D ．x 2＋15x －8＝0 点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数 ,两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程 ,根据一元二次方程根与系数的关系和条件结合 ,可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式 ,再确定a ,b ,c.2．当且仅当b 2－4ac≥0时 ,才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a (比前面有负号) ,x 1x 2＝ca(比前面没有负号)．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义 ,检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟) 问题1：有一人患了流感 ,经过两轮传染后共有121人患了流感 ,每轮传染中平均一个人传染了几个人 ?分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 ,那么患流感的这一个人在第|一轮中传染了__x__人 ,第|一轮后共有__(x ＋1)__人患了流感；②第二轮传染中 ,这些人中的每个人又传染了__x__人 ,第二轮后共有__(x ＋1)(x ＋1)__人患了流感．那么列方程：__(x＋1)2＝121__ ,解得__x＝10或x＝－12(舍)__ ,即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度 ,三轮后有多少人患流感 ?问题2：一个两位数 ,它的两个数字之和为6 ,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008 ,求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__ ,那么十位数字为__(6－x)__ ,那么原两位数为__10(6－x)＋x ,新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1008__ ,解得 x1＝__2__ ,x2＝__4__ ,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念 ,全班共送了2550张相片 ,如果全班有x名学生 ,根据题意 ,列出方程为( ) A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意 ,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片 ,那么每人送出(x－1)张相片 ,全班共送出x(x－1)张相片 ,可列方程为x(x－1)＝2550. 应选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出假设干数目的支干 ,每个支干又长出同样数目的小分支 ,主干、支干和小分支的总数是91 ,求每个支干长出多少小分支 ?解：设每个支干长出x个小分支 ,那么有1＋x＋x2＝91 ,即x2＋x－90＝0 ,解得x1＝9 ,x2＝－10(舍去) ,故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数 ,个位上的数字比十位上的数字小4 ,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4 ,设个位数字为x ,那么列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2 ,它们的平方和是52 ,那么这两个数是( C )A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1) "审〞：即审题 ,读懂题意弄清题中的量和未知量；(2) "设〞：即设__未知数__ ,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3) "列〞：即根据题中__等量__关系列方程；(4) "解〞：即求出所列方程的__根__；(5) "检验〞：即验证根是否符合题意；(6) "答〞：即答复题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义 ,检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b ,其中a是原有量 ,x为增长(或降低)率 ,n为增长(或降低)的次数 ,b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的本钱是5000元 ,生产1吨乙种药品的本钱是6000元 ,随着生产技术的进步 ,现在生产1吨甲种药品的本钱是3000元 ,生产1吨乙种药品的本钱是3600元 ,哪种药品本钱的年平均下降率较大 ?(精确到0.01)绝|对量：甲种药品本钱的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元) ,乙种药品本钱的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元) ,显然 ,乙种药品本钱的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝|对量的大小能否说明相对量的大小呢 ?也就是能否说明乙种药品本钱的年平均下降率大呢 ?下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品本钱的年平均下降率为x ,那么一年后甲种药品本钱为__5000(1－x)__元 ,两年后甲种药品本钱为__5000(1－x)2__元．依题意 ,得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23 ,x2≈__．根据实际意义 ,甲种药品本钱的年平均下降率约为____．②设乙种药品本钱的年平均下降率为 ,列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23 ,y2≈(舍)__．答：两种药品本钱的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算 ,本钱下降额较大的药品 ,它的本钱下降率不一定较大 ,应比拟降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成 ,小组内展示 ,点评 ,教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元 ,12月份上升到7200元 ,平均每月增长百分率是多少 ?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x ,那么11月份的营业额为__5000(1＋x)__元 ,12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元 ,即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题 ,如题目无特别说明 ,一般都指平均增长率 ,增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a ,增长率为x ,那么一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果n月(n年)后产量为M ,那么有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路 ,小组活动后 ,小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行 ,到期后支取1000元用于购物 ,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行 ,假设存款的利率不变 ,到期后本金和利息共1320元 ,求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x ,第|一次存2000元取1000元 ,剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存 ,本金就变为1000＋2000x·80% ,其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x ,那么1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320 ,整理 ,得1280x2＋800x＋1600x＝320 ,即8x2＋15x－2＝0 ,解得x1＝－2(不符 ,舍去) ,x2%.答：所求的年利率是%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路 ,小组内交流 ,上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2021年平均每公顷产7200 kg ,2021年平均每公顷产8460 kg ,求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x ,那么有7200(1＋x)2＝8460 ,解得x1 ,x2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最|后要检验根是否符合实际意义．2. 假设平均增长(降低)率为x ,增长(或降低)前的基数是a ,增长(或降低)n次后的量是b ,那么有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．学习至|此 ,请使用本课时对应训练局部．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系 ,列出一元二次方程 ,体会方程是刻画现实世|界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义 ,检验结果是否合理．2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．。

人教版数学九年级上册第21章 21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案

人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案21.2.1用配方法解一元二次方程教案第 2 页第 3 页教学过程教学具体目标教学内容实施途径教师学生课前任务1、了解配方的过程，并能够通过模仿进行配方；2、完成课前学案识别已经能够解决1.看配方的微课(洋葱数学微课)；2.完成课前学案；3.提出自己的疑问.教师发布任务.学生看微课，并完成课前学案.第 4 页的一元二次方程.课前任务反馈培养学生的集体荣誉感.1.网上任务完成情况；2.学案的完成情况.注：给完成较好的同学，加分；给完成好的小组加红旗.教师ppt呈现.学生看，班长记录加分情况.回顾课前任务解决学生课前学习的共性问题，归纳总结用配方1.呈现课前任务的内容，用颜色区分课前任务的共性问题；2.归纳总结.（1）配方的规律；教师组织，引导学生解决问通过学生回答或小组讨论讲解，归纳解题程序.第 5 页法解一元二次方程的步骤.（2）用配方法解一元二次方程的步骤；（3）思想方法.题.配方检测巩固落实配方.（1）例22221(1)x x x++=+（2）28x x++=（3）25x x-+=（4）24+3x x+=（5）234x x-+=（6）2+x x+=教师出示问题，巡视批改，表扬完成较好的同学.学生做题，并板演，给其它小伙伴批改，做错的题同学分享错误原因.第 6 页（7）2+x px+=我的收获知识和方法.1.配方；2.数学思想.教师引导学生总结.学生总结.课堂检测具体内容反馈目标配方法检测，用配方法解一元二次方程.会用配方法解系数为1的一元二次方程.作业设计具体内容作业目标学探诊九上第3页.会用配方法解二次项系数为1的一元二次第 7 页方程.板书设计21.2.1用配方法解一元二次方程主板左侧：配方：222+()22p px px x⎛⎫+=+⎪⎝⎭当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方例：2210x x--=解：移项，得221x x-=配方，得222222+1+22x x⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(1)2x-=开方，得12x-=±12x-=，或12x-=-1+2x=，或12x=-第 8 页中间：学生板演主板右侧：解一元二次方程的方法：（1）直接开平方法——特法（2）因式分解法（3）配方法第 9 页。

新人教版九年级数学上册第21章第1课时一元二次方程导学案

新人教版九年级数学上册第1课时一元二次方程学案一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4．理解一元二次方程根的概念．二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是三次二项式，其中最高次项是3x2y ，二次项系数为0 ，一次项系数为-2 ，常数项是-1 ．2．含有未知数的等式叫方程，我们学过的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．三、新知讲解1．一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项．概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．四、典例探究1．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程【例1】（2015•浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x总结：一元二次方程必须满足四个条件：是整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.练1（2015•科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a= 时，方程是一元二次方程；当a= 时，方程是一元一次方程．2．把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）【例2】（2014秋•忠县校级期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．练3（2014•东西湖区校级模拟）将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（）A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣813．根据一元二次方程的根求参数【例3】（2015•临淄区校级模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m的值为（）A．1 B．0 C．1或2 D．2总结：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.练4（2014•绵阳模拟）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a= ．练5（2015•绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．五、课后小测一、选择题1．（2015春•莒县期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0 B．x+y=2 C．x2+3y﹣5=0 D．x2﹣1=02．（2014•泗县校级模拟）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2014秋•沈丘县校级期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠04．（2015•石河子校级模拟）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，25．（2015•石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0 B．﹣ C． D．0或，6．（2014•祁阳县校级模拟）已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是（）A． B．﹣C．± D．以上答案都不对7．（2014秋•南昌期末）关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2二、填空题8．（2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．9．（2014秋•西昌市校级期中）方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．10．（2015•厦门校级质检）若m是方程x2﹣2x=2的一个根，则2m2﹣4m+2010的值是．三、解答题11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）5x2=3x；（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；（3）（7x﹣1）2﹣3=0；（4）（﹣1）（+1）=0；（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．12．（2015春•亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m的值；（2）求方程的解．13．（2015春•嵊州市校级月考）已知，下列关于x的一元二次方程（1）x2﹣1=0 （2）x2+x﹣2=0 （3）x2+2x﹣3=0 …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．14．关于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少．典例探究答案：【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；B、不是整式方程，故选项错误；C、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，解得 a=﹣1．即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．故答案是：﹣1；1．点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．去括号，得x2-x=5x－10.移项、合并同类项，得x2-6x＋10=0．其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．解：∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，解方程得：m1=1（舍去），m2=2，∴m=2，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0∴a2﹣1=0，即a=±1；∵a+1≠0，∴a≠﹣1；∴a=1．练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，所以n+=2，所以原式=（n+）2﹣2=（2）2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．课后小测答案：一、选择题1．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．3．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．4．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．5．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，故选：D．点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．6．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，∴3×32+2a×3﹣3a=0，解得：a=﹣9，则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，解得y=．故选：C．点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．7．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．解：A、当x=1时，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；B、当x=﹣1时，k+2+k﹣2=0，所以当k=0时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；C、当x=2时，4k+8﹣2k﹣2=0，所以当k=﹣3时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为2，所以C选项错误；D、当x=﹣2时，4k+8+2k﹣2=0，所以当k=﹣1时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、填空题8．【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．解：根据题意得m﹣2≠0，所以m≠2．故答案为：m≠2．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号10．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2，再变形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m2﹣2m=2，所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．故答案为2014．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题11．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；（4）方程整理得：x2﹣1=0，二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．【解析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；（2）分别将m的值代入原式求出即可．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．13．【解析】（1）利用因式分解法分别求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程（n）的根；（2）观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．解：（1）（1）x2﹣1=0，（x+1）（x﹣1）=0，x+1=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1；（2）x2+x﹣2=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣2，x2=1；（3）x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x+3=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；…猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；（2）上述几个方程都有一个公共根是1．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．14．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，则方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．。