高三数学上学期期中考试试卷(文科)
高三数学(文科)第一学期期中考试试卷
高三数学〔文科〕第一学期期中测试试卷班级 姓名 学号 成绩一、选择题:〔每题5分,共40分.请将答案填在第二页的表格中〕1．满足条件{}{}3,2,12,1= M 的集合M 的个数是〔 〕 )(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 42．函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ,其中*∈N n ,那么)8(f 的值为〔 〕)(A 2 )(B 4 )(C 6 )(D 73．函数bx x f a +=log )(是偶函数,且在区间()∞+,0上单调递减,那么)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系为〔 〕)(A )1()2(+=-a f b f )(B )1()2(+>-a f b f )(C )1()2(+<-a f b f )(D 不能确定4．数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,其公比1≠q ,且0>i b 〔 ,3,2,1=i 〕,假设11b a =,1111b a =,那么〔 〕)(A 66b a = )(B 66b a > )(C 66b a < )(D 66b a >或66b a <5．数列{}n a 、{}n b 满足1=⋅n n b a ,232++=n n a n ,那么{}n b 的前10项之和等于〔 〕)(A 31 )(B 125 )(C 21 )(D 12716．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(,以下结论正确的选项是〔 〕)(A 函数)(x f 的值域是［－1,1］ )(B 当且仅当22ππ+=k x 时,)(x f 取最大值1)(C 函数)(x f 是以π2为最小正周期的周期函数)(D 当且仅当ππππ4522+<<+k x k 〔Z k ∈〕时,0)(<x f7．假设向量()ααsin ,cos =a ,()ββsin ,cos =b 那么a 与b 满足〔 〕)(A a 与b 的夹角等于βα- )(B ()()b a b a -⊥+ )(C b a // )(D b a ⊥8．函数)(x f 和)(x g ,对任意实数x 有)()(x f x f -=-,)()(x g x g =-,且当0>x 时,0)('>x f ,0)('>x g ,那么当0<x 时〔 〕)(A 0)('>x f ,0)('>x g )(B 0)('>x f ,0)('<x g )(C 0)('<x f ,0)('>x g )(D 0)('<x f ,0)('<x g二．填空题〔每题5分,共30分,请将答案填在第二页表中〕9．命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素〞是假命题,那么以下命题：①M 的元素都不是P 的元素 ②M 的元素不都是P 的元素 ③M 中有P 的元素 ④存在M x ∈,使得P x ∉其中真命题的序号是 〔将你认为正确的命题的序号都填上〕10．函数)(x f 是R 上的减函数,其图象经过点)1,4(-A 和)1,0(-B ,函数)(x f 的反函数是)(1x f -,那么)1(1-f 的值为 ,不等式1)2(<-x f 的解集为11．在如图的表格中,每格填上一个数字,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么=++c b a12．ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设1=a ,︒=45B ,ABC ∆的面积为2,那么ABC ∆的外接圆直径等于13．0>a ,函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数,那么a 的最大值是14．函数)(x f 是定义在]1,0[上的函数,满足)2(2)(x f x f =,且1)1(=f ,在每一个区间⎥⎦⎤⎝⎛-121,21i i 〔 ,3,2,1=i 〕上,)(x f y =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一局部,记直线n x 21=,121-=n x ,x 轴及函数)(x f y =的图象围成的梯形面积为n a 〔 ,3,2,1=n 〕,那么数列{}n a 的通项公式为答案 1. 选择题2. 填空题9. ; 10. ;11. ; 12. ;13. ; 14. .2班级 姓名 学号 成绩三．解做题〔共80分〕15．〔12分〕函数θθθsin 2)sin()sin()(--++=x x x f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ23,0,且 432tan -=θ,假设对任意R x ∈,都有0)(≥x f 成立,求θcos 的值16．〔12分〕解关于x 的不等式a xax -≥-2217．〔14分〕如图,四棱锥ABCD S -的底面是正方形,⊥SA 底面ABCD ,E 是SC 上一点〔1〕求证：平面⊥EBD 平面SAC ；〔2〕设4=SA ,2=AB ,求点A 到平面SBD 的距离；ED CBAS〔3〕当ABSA的值为多少时,二面角D SC B --的大小为︒1203班级 姓名 学号 成绩18．〔14分〕数列{}n a 中,11=a ,且点),(1+n n a a 在直线012=+-y x 上 (1) 设1+=n n a b ,求证：数列{}n b 是等比数列； (2) 设)23(+=n n a n c ,求数列{}n c 的通项公式； (3) 求数列{}n c 的前n 项和n S19．〔14分〕R a ∈,))(4()(2a x x x f --=〔1〕求导数)('x f ； 〔2〕假设0)1('=-f ,〔3〕求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值和最小值； 〔4〕假设)(x f 在(]2,-∞-和[)∞+,2上都是单调递增的, 〔5〕求a 的取值范围4班级 姓名 学号 成绩20．〔14分〕如果一个数列的各项的倒数成等差数列,我们把这个数列叫做调和数列 (1)假设2a ,2b ,2c 成等差数列,证实c b +,a c +,b a +成调和数列；(2)设n S 是调和数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和,证实对于任意给定的实数N ,总可以找到一个正整数m ,使得当m n >时,N S n >高三数学答案〔文科〕一. 选择题二. 填空题9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.25; 13.3; 14.1224+-=n n ka 三．解做题15．解：依题意)1(cos sin 2sin 2cos sin 2)(-=-=x x x f θθθ01cos ≤-x 0sin ≤∴θ πθπ23<≤∴由432tan -=θ得3tan =θ 1010cos -=∴θ16．解：原不等式等价于()02)(1≥-+xax x当0=a 时,解集为)0,1[- 当0>a 时,解集为[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,20,1a 当02<<-a 时,解集为[)⎥⎦⎤ ⎝⎛∞--a 2,0,1 当2-=a 时,解集为()0,∞- 当2-<a 时,解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-0,21,a 17．(1)证实： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SAC(2)解：由于ABD -S SBD -A V V =,且232221S SBD ⨯⨯=∆,可求得点A 到平面SBD 的距离为34 (3)解：作F SC BF 于⊥,连DF ,那么B FD ∠为二面角D SC B --的平面角 设1AB =,x SA =,在SB C Rt ∆中,求得2122++=x x BF ,同理,2122++=x x DF ,由余弦定理DF BF BD DF BF ⋅-+=︒2120cos 222 解得1=x , 即ABSA＝1时,二面角D SC B --的大小为︒120 18．〔1〕证实：由得121+=+n n a a ,)1(211+=+∴+n n a a即n n b b 21=+,所以数列{}n b 是等比数列〔2〕解：n n b 2=,12-=∴n n a ,)123(-⋅=∴nn n c〔3〕解：)321()2232221(3321n n S nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=设nn n T 2222121⋅++⋅+⋅=132222212+⋅++⋅+⋅=n n n T所以22)1(1+⋅-=+n n n T所以2)1(]22)1[(31+-+⋅-=+n n n S n n 19．解：〔1〕423)(2'--=ax x x f〔2〕由0)1('=-f 得21=a ,所以43)(2'--=x x x f 令0)('=x f ,得34=x 或－1,2750)34(-=f ,29)1(=-f ,0)2()2(==-f f 所以)(x f 在]2,2[-上的最大值为29,最小值为2750-〔3〕依题意只须0)2('≥-f ,0)2('≥f ,即⎩⎨⎧≥-≥+048084a a ,解得a 的取值范围为［－２,２］20.证实：〔１〕欲证c b +,a c +,b a +成调和数列,只须证ba cb ac +++=+112 只须证))(())(())((2c b a c b a a c b a c b +++++=++ 化简后,只须证2222c a b +=由于2a ,2b ,2c 成等差数列,所以2222c a b +=成立 所以c b +,a c +,b a +成调和数列〔２〕nS n 131211++++= 212121211)212121()81818181()4141(21121312112k S k k k k k +=++++=++++++++++++>++++=∴对于任一给定的N ,欲使N S n >,只须N k>+21,即)1(2->N k , 取1]2[)1(2+=-N m (其中]2[)1(2-N 表示)1(22-N 的整数局部),那么当m n >时,N S n >(此题解法和答案不唯一)。
2022-2023学年江西省高三上学期文科数学期中考试试卷及答案
丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试文科数学试卷本试卷总分值为150分考试时长为120分钟考试范围：集合、简易逻辑、函数与导数、三角函数、平面向量一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2N 23A x x x =∈+≤，{}2B x x =>-，则A B =A ．{}21x x -<≤B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为A ．存在01x >，使000ln 1x x x >-成立B ．存在01x >，使000ln 1x x x ≤-成立C ．对任意01x ≤，有000ln 1x x x ≤-成立D ．对任意01x >，有000ln 1x x x ≤-成立3．若60︒的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形的面积为A ．23πB ．πC ．43πD ．2π4．下列命题中正确的是A ．若a →、b →都是单位向量，则a →＝b→B ．若AB =DC，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C ．若a →∥b →，且b →∥c →，则a →∥c→D ．AB 与BA是两平行向量5．已知 1.20.2ln 2,log 0.1,2a b c -===，则A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b <<D ．c a b<<6．把函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移3π个单位长度，得到图象对应的解析式为A ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．11sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．5sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．“[3,4)a ∈”是函数“1(2)2,2()2,2x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩是定义在R 上的增函数”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在ABC 中，4BC =，5AC =，10AC BC ⋅=，则AB =A．BC ．5D9．已知O 是ABC 内部的一点，A ∠，B Ð，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0sin sin sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ，则AOB ∆与ABC ∆的面积之比为A ．94B ．31C ．92D ．9510．已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是A ．当0a =时，()f x 的定义域为(,2)(1,)-∞-+∞ ；B ．()f x 一定有最小值；C ．当2a =时，()f x 的单调增区间为(1,)-+∞；D ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}|3a a >-．11．已知()()21ln 02f x a x x a =+>若对于任意两个不等的正实数1x 、2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．(]0,1C ．(]0,3D ．[)1,2e 12．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知函数2(1)g x x=-，且221[()]1x f g x x-=+，则(1)f =________．14．已知tan 2α=，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径,A B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点,C D ，测得30CD =米，135ADB ∠= ，15,120BDC DCA ACB ∠∠∠===（设定,,,A B C D 四点在同一平面上），则AB 两点的距离为___________米.16．已知正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足1OP =，若AP mAB nAD =+ ，其中m 、n ∈R ．则2122m n ++的最大值为．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本大题共10分）已知m ∈R ，命题2000:,30p x x x m ∃∈-+R ；命题2:,290q x x mx ∀∈-+R ．(1)若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本大题共12分）已知1sin cos 5αα+=-．（1）求sin cos αα⋅的值；（2）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin cos()απα+-的值．19．（本大题共12分）已知向量()2,a m =，()()1,6R b m m =--∈ ．（1）若a b a b +=-，求实数m 的值；（2）若》《b a ,为钝角，求实数m 的取值范围．20．（本大题共12分）已知函数()22cos sin cos f x x x x a ωωω=++（0>ω，a ∈R ）．且()f x 的最大值为1；其图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2．求：(1)函数()f x 的解析式；(2)若将函数()f x 图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移π12个单位，得到函数()g x 的图像，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．21．（本大题共12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积214S c =．(1)cos B b =-，求sinsin AB 的值；(2)求a b的取值范围．22．（本大题共12分）已知函数()()ln 0bf x a x x a =+≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，求实数b 的取值范围．丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试文科数学答案一、选择题(每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CBADDBCBADAC11、不妨设120x x >>，可得()()121222f x f x x x ->-，可得()()112222f x x f x x ->-，令()()212ln 22g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，()20ag x x x'∴=+-≥对任意的0x >恒成立，所以，22a x x ≥-，当0x >时，()222111x x x -=--+≤，当且仅当1x =时，等号成立，所以，1a ≥.故选：B.12、由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<，由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈，所以61(2,]10a b c d+++∈-.故选：C 二、填空题(每小题5分，共20分)13.114.721015.16.15、由题意可知在ADC 中，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=+= ,则1801501515DAC ∠=--= ,故30AD DC ==,在BDC 中，15120135DCB ACD ACB ∠=∠+∠=+= ,故1801351530DBC ∠=--= ,故由sin sin BD CDDCB DBC=∠∠,得230sin 21sin 2CD DCBBD DBC∠===∠在ADB △中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅o 222302303045002=++⨯⨯=，故AB =.故答案为：16、以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0A 、()2,0B 、()0,2D 、()2,2C 、()1,1O ，()2,2AP mAB nAD m n =+=，即点()2,2P m n ，因为1OP = ，则点P 在以O 为圆心，半径为1的圆上，设点()1cos ,1sin P θθ++，则21cos 21sin m n θθ=+⎧⎨=+⎩，则212cos 223sin m t n θθ++==++，整理可得sin cos 23t t θθ-=-，()23t θϕ-=-，其中cos ϕ=，sin ϕ=所以，23t -≤281230t t -+≤t ≤≤因此，2122m n ++三、解答题：17.解：(1)由已知，命题2,30x R x x m ∀∈-+>为真命题，故∆<0，即9－4m ＜0，解得：m ＞94，所以实数m 的取值范围是9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)由（1）知命题p 为真命题，则94m ≤；命题2:,290q x x mx ∀∈-+R 为真命题，则2Δ4360m =-≤，解得：33m -≤≤，由命题p q ∧为真命题，故p 真q 真，因为{}9334m m m m ⎧⎫≤⋂-≤≤=⎨⎬⎩⎭934m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭，故实数m 的取值范围是93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.解：（1）∵1sin cos 5αα+=-，∴()21sin cos 25αα+=，即112sin cos 25αα+=，∴12sin cos 25αα=-；（2）∵()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-=，又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0α>，cos 0α<，则()7sin cos sin cos 5απααα+-=-=．19.解：（1）由a b a b +=- ，则0a b ⋅=即()2160a b m m ⋅=--=即410m -=，得14m =．（2）若,a b 为钝角，即00,180a b a b a b ⎧⋅<⎪⇔⋅<⎨≠︒⎪⎩且a b ∥即()2160a b m m ⋅=--<，得14m >，且a b∥则()1210m m ---≠得4m ≠且3m ≠-综上解得14m >且4m ≠．20.解：（1）()22cos sin cos f x x x x a ωωω=++cos 2212sin 216x x a x a πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎝⎭，因为()f x 的最大值为1，()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2所以211++=a ，22T ππω==，解得1ω=，2a =-，所以，()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）根据题意得()2sin 416g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[]0,x m ∈，所以4,4666x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，所以，74660m m ππ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得03m π<≤.所以，m 的最大值为3π.21.解：（1cos B b -cos sin C B A B =-，cos )sin C B B C B =+-,cos sin B C B =，因为sin 0B ≠1C =，即cos C =(0,π)C ∈得：π4C =;由214S c =得：211sin 24ab C c =，即2144ab c =2c =，由余弦定理可得：222222cos a ab C c b a b =+-=+-=，故22+=a b，则221a a b b+=，令at b=，则21t +=，解得1t =，由正弦定理得：sin sin A a B b=，故sin sin AB11；（2）由214S c =得：211sin 24ab C c =，即22sin ab C c =，由余弦定理可得：2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=，即22π2(sin cos )sin(4a b ab C C C +=+=+，故22π1sin()4a a C b b +=+，令a t b =，则2π1sin(4t C +=+2πsin()4C =+,由(0,π)C ∈得ππ54π,44C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π2sin()(,1]42C +∈-，故2212-<11t ≤≤，故ab的取值范围是1]+.22.解：（1）定义域为()0,∞+，当2b =时，22()2a x af x x x x+'=+=；当0a >时，()0f x '>，()f x 为增函数，取10a x e -=，120()1(e )0a f x -=-+<，(1)10f =>所以0()(1)0f x f ⋅<，故此时恰有一个零点；当0a <时，令()0f x '=，x =0x <<()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝单调递减，x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增；要使函数恰有一个零点，需要ln 02af a ==，解得2a e =-，综上，实数a 的取值范围是2a e =-或0a >.（2）因为对任意121,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，且12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-，所以max min ()2(e )f x f x -≤-.因为0a b +=，所以a b =-，所以()ln bf x b x x =-+，1(1)().b b b b x f x bx x x--'=-+=当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>；所以函数在1[,1)e 上单调递减，在(1,]e 上单调递增，min ()(1)1,f x f ==因为1()b f b e e -=+与()b f e b e =-+，所以max 1()max (),(e),e f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭令1()(e)()e e 2,eb bg b f f b -=-=--则当0b >时，()220b b g b e e -'=+->=，所以()g b 在()0,∞+上单调递增，故()(0)0g b g >=，所以1()()f e f e>，从而max ()e .bf x b =-+所以12b b e e -+-≤-，即10b e b e --+≤.令()e e 1(0)t t t t ϕ=--+>，则()e 1t t ϕ'=-.当0t >时，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()0,∞+上单调递增.又(1)0ϕ=，所以10b e b e --+≤，即()(1)b ϕϕ≤，解得1b ≤，所以b 的取值范围是(0,1].高三丰城中学2022—2023学年上学期高三年级期中考试文科数学·答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！姓名：__________________________准考证号：贴条形码区考生禁填：缺考标记违纪标记以上标志由监考人员用2B 铅笔填涂选择题填涂样例：正确填涂错误填涂[×][√][／]1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
高三数学第一学期期中考试(文科).doc
高三数学第一学期期中考试（文科）考生须知：1. 全卷分试卷和答卷。
试卷2页，有三大题，答卷4页，共6页。
考试时间120分钟，满分150分。
2. 本卷的答案必须用钢笔或圆珠笔做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效。
3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、姓名、准考证号、座位号分别填写在答卷的相应位置上。
本卷命题教师：倪新华试 卷一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1、设集合{}20M x x x x R =-<∈，,{}2N x x x R =<∈，,则 A ．M N ⊂ B. M N M = C. M N M = D. M N R =2、不等式112x <的解集是 A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞ 3、若不等式||1x m -<成立的充分非必要条件为1132x <<，则实数m 的取值范围是 A.41[,]32-B.14[,]23-C.1(,]2-∞-D.4[,)3+∞4、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则A ．18 B. 36 C. 54 D. 725、下列命题正确．．的是 A ．模为0的向量与任一向量平行 B ．共线向量都相等C ．单位向量都相等D ．平行向量不一定是共线向量 6、要得到函数y=sin(2x －4π)的图象，只需将函数y=sin2x 的图象 A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位7、已知a =(4,2), b = (6,y)且 a ∥b ,则y 的值为A ．2B ．3C ．4D ．58、在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的第9项为A ．1020B ．1021C ．1022D ．10239、已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=， 则ABC ∆的形状是 A ．等边三角形 B ．斜三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形10、关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π，有下列命题①由π必是可得21210)()(x x x f x f -==的整数倍；②)(x f y =的表达式可改写为)62cos(4π-=x y ；③)(x f y =的图象关于点)0,6(π-对称；④)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称；其中正确．．命题的序号是A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）11、函数()()()ln 1,1f x x x =->的反函数是 ▲12、若()221,2,0a b a b a ==-⋅=，则b a与的夹角为 ▲ .13、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(5)f = ▲14、给出下列命题：① 存在实数x ，使得3sin cos 2x x +=； ② 在ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>；③ 在ABC ∆中，若30,2A a b ===，则角B 有唯一解45B =； ④ ABC ∆为直角三角形的充分不必要条件是0=⋅⑤ 存在夹角为60两个非零向量b a与，满足2a b a b=+-.其中正确．．命题的序号为 ▲三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，满分84分）…15、已知21()log 1xf x x+=- （1） 求()f x 的定义域； （2）求使()0f x >的x 的取值范围；16、已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中m 为实常数（1） 求)(x f 的最小正周期； （2） 写出)(x f 的单调递减．．区间； （3） 设集合},36|{ππ≤≤-=x x A 已知当A x ∈时，)(x f 的最小值．．．为2，当A x ∈时，求)(x f 的最大值．．．.17、 已知|a |=1，|b |=2，（1）若a //b ，求a ·b ；（2） 若a ，b 的夹角为135°，求|a +b |．18、已知等差数列{}n a ，11232,12a a a a =++=（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 令2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和.19、学校食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
高三上学期期中考试(文科数学)
高三数学（文科）阶段性质量检测试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xy 1=的定义域为N ，则N M ⋂=（ ） A.{}0,1|≠<x x x 且 B.{}01|≠≤x x x 且 C.{}1|>x x D.{}1|≤x x2.设,)21(,5.225.205.2===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A.b c a >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >> 3.如果命题 “⌝(p ∨ q)”为假命题，则（ ）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题 4.若向量(3,6),(4,2),(12,6)u v w =-==--，则下列结论中错误的是（ ） A.u v ⊥ B.v wC.3w u v =-D.对任一向量AB ，存在实数,a b 使AB au bv =+5.设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值6.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于( ) A.51- B.51 C. 57- D.577.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)1(log )(,)2,0[2+=∈x x f x 时，则)2012()2011(f f +-的值为（ ）A.-2B.-1C.1D.2 8.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到图象解析式为( ) A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9.已知2)(-=x a x f ，)1,0(log )(≠>=a a x x g a ，若0)4()4(<-g f ，则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的大致图象是（ ）10. 首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 11. 若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（ ）A.（-1，0）∪（1,+∞）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）C.（-1，0）∪（0，1）D.（-∞，-1）∪（0,1）12.已知向量),4(),2,1(y b x a =-=，若b a ⊥，则yx 39+的最小值为( )A.2B.32C.6D.9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在ABC ∆中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan ________.14.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象和函数)1ln()(-=x x g 的图象的交点个数是______________.15.函数)2,0(),3sin(2ππ∈-=x x y 的单调递增区间为____________.16. 下列命题：（1）若函数）a x x x f ++=2lg()(为奇函数，则1=a ； （2）函数x x f sin )(=的周期π=T ； （3）方程x x sin lg =有且只有三个实数根；（4）对于函数x x f =)(，若2)()()2(0212121x x f x x f x x +<+<<，则. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号）三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17. （本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，a ＝2，sin,552=B 且△ABC 的面积为4. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求边b 、c 的长。
河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷
2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束，只交答题卡。
第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。
若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。
高三数学文科上学期期中考试试题及答案
浙江省菱湖中学高三上学期期中考试（数学文）一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn ）图是 ( )2、已知，其中为虚数单位，则 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 33、已知函数，若 = （ ） (A)0(B)1(C)2(D)34、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如上图所示,则其侧面积．．．等于( )A. B.2 C. D.65、如图所示的程序框图中输出的S= （ ） A ．B. C. D. 16、函数是 （ ）A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数7、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 （ ）A. 18B. 24C. 60D. 90 . 8、若向量，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9、函数f （x ）= （ ） (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）U R ={1,0,1}M =-{}2|0N x x x =+=()2,a ib i a b R i+=+∈i a b +=1-)1(log )(2+=x x f ()1,f α=α3239998100991011001)4(cos 22--=πx y ππ2π2π{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S (x,3)(x )a R =∈x 4=5||=→a 2xe x +-的零点所在的一个区间是10、设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 （ ） A ．B ．C ．D ．3 二、填空题（每小题4分，共28分） 11、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 .12、三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 。
2020-2021学年济宁市曲阜一中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年济宁市曲阜一中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|ln(x −2)>0}，B ={x|2x 2−9x −5<0}，则A ∩B =( )A. (2,5)B. [2,5)C. [3,5)D. (3,5)2.下列说法正确的有①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；②0∈N ； ③集合{(x,y)|y =x 2}与集合{y|y =x 2}表示同一集合； ④空集是任何集合的真子集．( )A. 1个B. 2个C. 个D. 个3.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元.则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较，结果是( )A. 2枝牡丹花贵B. 3枝月季花贵C. 相同D. 不确定4.曲线y =x2x−1在x =1处的切线方程为( )A. x −y −2=0B. x +y −2=0C. x +4y −5=0D. x −4y −5=05.若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≤2x +y ≥0x ≤4，则z =2x +y 的最大值为( )A. 2B. 8C. 5D. 76.已知定义在R 上的函数f(x)是周期为3的奇函数，当x ∈(0,32)时，f(x)=sinπx ，则函数f(x)在区间[0,5]上零点个数为( )A. 0B. 8C. 7D. 67.(2007广州市水平测试)在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , E 为BC 边的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 14a⃗ +12b ⃗ B. 34a⃗ +12b ⃗ C. 14a⃗ −12b ⃗ D. 34a⃗ −12b ⃗ 8.已知cosθ=−35(π2<θ<π)，则cos(θ−π3)=( )A. 4√3+310B. 4√3−310C. −4√3+310D. 4−3√3109. 下列结论：①(cosx)′=sinx ；②′=cos ；③若y =，则y′|x=3=−；④(e 3)′=e 3.其中正确的个数为( )．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 如图，E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、DD 2的中点，沿SE 、SF 、EF 将它折成一个几何体，使D 1、D 、D 2重合，记作D ，给出下列位置关系：①SD ⊥面EFD ； ②SE ⊥面EFD ；③DF ⊥SE ；④EF ⊥面SED.其中成立的有( )A. ①与②B. ①与③C. ②与③D. ③与④11. 在棱锥P −ABC 中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ 为直径的球的体积为( )A.125π6B. 125√2π3C.50π3D.25π312. 已知函数f(x)={√x +a(x ≥0)2−x +a +2(x <0)，若方程f(x)=4有且仅有一个解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,3)B. [0,3]C. (1,4)D. [1,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，BC =3，CA =5，AB =7，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ． 14. 已知多面体ABCA 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，则平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值是______．15. 下列命题：①函数y =sin(2x +π3)的单调减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k ∈Z ； ②函数y =√3cos2x −sin2x 图象的一个对称中心为(π6,0)； ③函数y =sin(12x −π6)在区间[−π3,11π6]上的值域为[−√32,√22]；④函数y =cosx 的图象可由函数y =sin(x +π4)的图象向右平移π4个单位得到；⑤若方程sin(2x +π3)−a =0在区间[0,π2]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1+x 2=π6． 其中正确命题的序号为______ ．16. (1)函数y =sinx +√3cosx 在区间[0,π2]上的最小值为________．(2)四边形ABCD 中，AB =AD =2，∠BAD =900，∠ADC =600，∠ABC =1200，E 为BD 的中点，则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_________. (3)集合A ={x|2x2−4<22x−2a ,x ∈Z}={1}，则a 的取值范围是________．(4)已知f (x )=sin (2x +φ)，其中φ∈(0,π)，若方程f (x )=a 在(0,π]上的所有解之和为4π3，则实数a 的取值范围为____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)设U =R ，集合A ={x|x 2+3x +2=0}，B ={x|x 2+(m +1)x +m =0}；若(∁U A)∩B =⌀，求m 的值．(2)设集合A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|n +1≤x ≤2n −1}，B ⊆A ，求n 的取值范围．18. 18.(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为正方形，平面，//，且(1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值。
高三数学试卷(文科)上学期期中考试含答案 精校打印版名校试卷
高三数学试卷（文科）上学期期中考试（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）第I 卷（选择题）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．设集合{|215},{|2}A x x B x N x =≤+<=∈≤，则A B =（ ）A.{|12}x x ≤≤B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}2．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（ ） A.B.C.D.4．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是（）A ．2000,210x R x x ∃∈-+≤ B ．2000,210x R x x ∃∈-+≥C ．2000,210x R x x ∃∈-+<D ．2,210x R x x ∀∈-+<5．设{}n a 为等差数列, 其前n 项和为n S .若81126a a =+，则9S =( ) A.27B.36C.54D.806．已知非零向量a ，b2=，1=且()⊥-，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．已知()f x 定义在R 上的偶函数,，且当(0,)x ∈+∞时，()1log 2++=x e x f x ，则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．8B ．6C ．4D. 28.设0,0a b >>3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6D. 59．函数()()2ln 1x f x x－＝的图象大致是（ ）10.已知ABC ∆中，4,3AB AC ==，3A π∠=，BC 的中点为M ，则A M A B ⋅等于（ ）A ．152B ．11C ．12D ．1511．已知函数()sin 2f x x x =，将函数()f x 向右平移()0φφ>个单位后得到一个奇函数的图象，则φ的最小值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 12．定义在R 上的函数()f x 满足'()()2(x f x f x e e -<为自然对数的底数），其中'()f x 为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()2x f x xe >的解集为（ ） A.(),1-∞B.()1,+∞C.(),2-∞D.()2,+∞第II 卷（非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量()1,0a =，()1,b m =-.若()a mab ⊥-，则m =________。
山东省东营一中2022届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象( )A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位3．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣154．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为( )A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．96．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A ．B．2 C．0 D．1 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=( )A．90°B．60°C．45°D．30°9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与微小值分别是( )A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，[a，b]称为“亲密区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“亲密函数”，则它的“亲密区间”可以是( )A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=__________．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=__________．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是__________．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=__________．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是__________（填序号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A 、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a 7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．19．已知数列{a n }各项均为正数，其前n项和S n满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f （x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．2021-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象( )A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y=sin2x+cos2x变形为y=Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y=sin2x 的解析式进行对比即可得平移方向和平移量【解答】解：y=sin2x+cos2x=（sin2xcos +cos2xsin）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴只需将y=sin2x 的图象向左平移个单位，即可得函数y=sin[2（x+）]，即y=sin2x+cos2x的图象故选B【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，三角变换公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象性质，精确将目标函数变形是解决本题的关键3．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15 【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观看数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．4．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为( )A ．B ．C ．D ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面对量及应用．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；娴熟运用公式是关键．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已供应了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算力量．6．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=( )A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα=，②∴①×②可解得：cos2α=．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题．7．如图，在矩形ABCD 中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A ．B．2 C．0 D．1【考点】平面对量数量积的运算．【专题】平面对量及应用．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F 的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B （，0），E （，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A 【点评】本题考查平面对量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=( )A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC ∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应娴熟记忆和把握正弦定理公式及其变形公式．9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与微小值分别是( )A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相同，由y=x•f′（x）的图象得f′（x）的符号；推断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有微小值f（2）故选项为C【点评】本题考查识图的力量；利用导数求函数的单调性和极值；．是高考常考内容，需重视．10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，[a，b]称为“亲密区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“亲密函数”，则它的“亲密区间”可以是( )A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】依据“亲密函数”的定义列出确定值不等式|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到它的“亲密区间”．【解答】解：由于f（x）与g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，由于x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“亲密区间”是[2，3]故选B【点评】考查同学会依据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求同学会解确定值不等式．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】依据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵，=1，=1∴==1﹣2+4=3，∴=，故答案为：．【点评】本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模，属于基础题．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=﹣4．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．【解答】解：由f（x ）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f ′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出访得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查同学的计算力量，属于基础题．14．已知各项不为0的等差数列{a n}满足，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=16．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】各项不为0的等差数列{a n}满足，可得2×2a7﹣=0，解得a7．利用等比数列的性质可得b6b8=．【解答】解：∵各项不为0的等差数列{a n}满足，∴2×2a7﹣=0，解得a7=4．数列{b n}是等比数列，且b7=a7=4．则b6b8==16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是①④（填序号）．【考点】余弦函数的奇偶性；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性；正切函数的单调性．【专题】综合题．【分析】①利用诱导公式化简函数y=cos，即可推断是奇函数；②通过函数的最值，推断是否存在实数α，使得sinα+cosα=即可得到正误；③利用正切函数的性质频道若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tanβ的正误；④把x=代入函数y=sin是否取得最值，即可推断它是否是一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．利用x=，函数是否为0即可推断正误；【解答】解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数，正确；②存在实数α，使得sinα+cosα≤＜；所以不正确；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；明显不正确，如α=60°，β=390°时不等式不正确；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；把x=代入函数y=sin取得最小值，所以正确；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．x=，函数y≠0，所以不正确；故答案为：①④【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本学问的综合应用，函数的奇偶性、最值、单调性、对称性的应用，考查基本学问的机敏运应力量．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）依据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=﹣，即可得出角B的大小．（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac 的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴依据正弦定理，得=﹣，去分母，得cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，∵△ABC中，sinA=sin（B+C），∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．又∵△ABC中，sinA＞0，∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．∵B∈（0，π），∴B=π．（2）∵b=3，cosB=cosπ=﹣，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2+ac≥3ac，即ac ≤3，∴S△ABC=acsinB ≤×3×=（当且仅当ac时取等号），则△ABC面积最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x ﹣cos2x﹣1=sin（2x ﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为T=π（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C ﹣）﹣1=0，∴sin（2C ﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C ﹣＜，∴2C ﹣=，∴C=，∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得==，即b=2a，①∵c=3，∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos，②联立①②解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n ，求证：≤T n ＜．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意得，由此能求出a n=4n+2．（2）由a1=6，d=4，得S n=2n2+4n ，==，从而T n ==﹣＜，由此能证明≤T n ＜．【解答】解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴a n=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴S n =6n+=2n2+4n，==，∴T n ===﹣＜，（T n）min=T1=﹣=．故≤T n ＜．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，留意裂项求和法的合理运用．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n 满足（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得a n；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（n∈N+）．∴当n=1时，4a1=，解得a1=1．当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=2n﹣1．（2）=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，∴2T n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣T n=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n =﹣1﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）•2n﹣3，∴T n=（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B 的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．【考点】椭圆的简洁性质．【专题】转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得：，解得即可得出；（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，利用根与系数的关系可得：|PQ|=．原点O到直线l的距离d=．利用S△OPQ =即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=，c=1，b2=2．∴椭圆C 的标准方程为．（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，∴x1+x2=，x1x2=．|PQ|===．原点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ ==×=．令3k2﹣2=t2（t＞0），∴S△OPQ ===，当且仅当t=2，即时取等号．∴，．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次根与系数的关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a ﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．【考点】利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类争辩；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；（2）令，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a争辩，①若，②若，推断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；（3）由题意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的导数为f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，﹣），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．（3）当时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1∈（0，2），都有，又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．由于，所以，解得，所以实数b的取值范围是．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，留意转化为求最值问题，考查运算力量，属于中档题．。
2021年高三(上)期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021年高三（上）期中数学试卷（文科） Word版含解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．考点：命题的否定．分析：根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．解答：解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．（5分）若函数y=loga（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，由此求得a 的取值范围．解答：解：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，∴3＞a＞1，故答案为：（1，3）．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3﹣a＞0，是将诶提的关键．3．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：画出函数f（x）=e x﹣2x﹣a的简图，欲使函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0．由此求得实数a的取值范围．解答：解：令f，（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，∴x＞ln2，f，（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f，（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．4．（5分）函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为2．考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．解答：解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为2点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：本题可先由恒等式得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．6．（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：﹣2＜f（x）﹣m＜2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，及正弦型函数的定义域和值域，由若p是q 的充分条件，则满足条件p的x的取值范围P，与满足条件q的x的取值范围Q之间满足P⊊Q，然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案．解答：解：∵p是q的充分条件∴P⊊Q，又∵P={x|}∴此时f（x）∈[3，5]又∵Q={x|﹣2＜f（x）﹣m＜2} ∴∴m∈（3，5）故答案为：（3，5）点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）已知函数的解集为（0，2）．考点：运用诱导公式化简求值；指、对数不等式的解法．专题：计算题；三角函数的求值；不等式的解法及应用．分析：根据三角函数的奇偶性得f（x）是奇函数，从而得到f（﹣1）==1．再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log2x＜1，解之即可得到所求解集．解答：解：∵∴=﹣f（x），可得f（x）是奇函数∵f（1）==﹣1，∴f（﹣1）==1而f（24）===∴f（24）=1，不等式f（24）＞log2x即log2x＜1=log22解之得0＜x＜2，得原不等式的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题．8．（5分）如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）=1．考点：平面向量数量积的运算．专综合题．题：分析：先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论．解答：解：（+）•（+）=（+）•（+）=（﹣）•（+）= ∵AC=，BD=2，∴=1∴（+）•（+）=1故答案为：1点评：本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．9．（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍，得到其侧高与底面中心到对称棱的距离之间为：1，构造直角三角形PQO（其中P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心），解三角形即可得到侧面与底面所成的角，最后利用直角三角形求出棱锥的高．解答：解：由于正六棱锥的全面积是底面积的3倍，不妨令P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心∵侧面积是底面积的3倍，则PQ=3OQ则∠PQO即为侧面与底面所成的角∵cos∠PQO=，∴sin∠PQO=，∴tan∠PQO=，在直角三角PQO中，PO=QO•tan∠PQO=×=故答案为：．点评：本题考查棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题10．（5分）设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和cos2α的值，再由=coscos2α+sinsin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=coscos2α+sinsin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且A∩Z共有两个元素，则实数a 的取值范围为．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：数形结合．分析：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．A∩Z共有两个元素，说明不等式x2+2ax+3＜0的解的集合的区间长度有着限制．解答：解：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．由分析知，不等式x2+2ax+3﹣a＜0的解的集合的区间长度有着限制，也即方程x2+2ax+3﹣a=0的解的集合的区间长度有着限制，设f（x）=x2+2ax+3﹣a 则有f（0.5）=3.25＞0，结合﹣3＜x＜1和抛物线的图象，得或解之得，实数a的取值范围为故填．点评：本题属于难题了，难在对于条件的转化，难在数形结合思想的应用．12．（5分）（xx•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键．14．（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0．考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．专题：计算题；转化思想．分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．解答：解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）∴lgkx﹣2lg（x+1）=0∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0∴△=（k﹣2）2﹣4=0∴k﹣2=±2∴k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去∴k=4当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意故答案为：k=4或k＜0．点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．二、解答题：（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣2a﹣5）＜0}，函数的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）已知，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件；一元二次不等式的解法；指、对数不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合A∩B （2）根据已知，确定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，可知B⊆A，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=4时，集合A={x|（x﹣2）（x﹣13）＜0}={x|2＜x＜13}，函数=的定义域为{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；（2）∵，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）∵a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2）∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A∴∴1≤a≤3∴实数a的取值范围是[1，3]．点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义．16．（14分）（xx•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF⊂平面BCE，BP⊂平面BCE，满足定理条件；（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，满足定理条件．解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．17．（15分）（xx•普陀区一模）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有：∴= （2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．18．（15分）（xx•成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？考点：函数最值的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+．下面分类讨论：当0＜a＜，当＞a≥，分别求出函数g （x ）的最大值M （a ），然后解不等式M （a ）≤2即可求出所求．解答： 解：（1）当x=0时，t=0；（2分）当0＜x ≤24时，=x+．对于函数y=x+，∵y ′=1﹣，∴当0＜x ＜1时，y ′＜0，函数y=x+单调递减，当1＜x ≤24时，y ′＞0，函数y=x+单调递增，∴y ∈[2，+∞）．综上，t 的取值范围是[0，]．（2）当a ∈（0，]时，f （x ）=g （t ）=|t ﹣a|+2a+=∵g （0）=3a+，g （）=a+，g （0）﹣g （）=2a ﹣．故M （a ）==当且仅当a ≤时，M （a ）≤2，故a ∈（0，]时不超标，a ∈（，]时超标．点评： 本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．19．（16分）已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．（1）求f （0）的值；（2）函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x 0∈[0，1]，使得f （x 0）∈[0，1]，且f （f （x 0））=x 0，求证：f （x 0）=x 0．考点：函数的值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析： （1）由①知：f （0）≥0；由③知f （0）≤0，从而得到f （0）=0．（2）由题设知g （1）=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+够证明函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）若f （x 0）＞x 0，则由题设知f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0，由此入手能证明f （x 解答： 解：（1）由①知：f （0）≥0；由③知：f （0+0）≥f （0）+f （0），即f （0）≤0； ∴f （0）=0（2 ） 证明：由题设知：g （1）=2﹣1=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则，；∴即g （x 1+x 2）≥g （x 1）+g （x 2）∴函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）证明：若f （x 0）＞x 0，则由题设知：f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0， ∴由题设及③知：x 0=f （f （x 0））=f[（f （x 0）﹣x 0）+x 0]=f[f （x 0）﹣x 0]+f （x 0）≥f （x 0） 矛盾；若f（x0）＜x0，则则由题设知：x0﹣f（x0）∈[0，1]，且由①知f[x0﹣f（x0）]≥0，∴同理得：f（x0）=f[（x0﹣f（x0））+f（x0）]=f[x0﹣f（x0）]+f（f（x0））≥f（f（x0））=x0，矛盾；故由上述知：f（x0）=x0．点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值．（2）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f （x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．解答：解：（1）①f'（x）=（3x2﹣12x+3）e x+（x3﹣6x2+3x+t）e x=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）e x∵f （x）有3个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有3个根a，b，c．令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减．∵g（x）有3个零点∴∴﹣8＜t＜24．②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x﹣abc ∴∴b=1或﹣（舍∵b∈（﹣1，3））∴∴t=8（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．z27976 6D48 浈f32803 8023 耣20386 4FA2 侢39586 9AA2 骢!37630 92FE 鋾>36737 8F81 辁9。
山东省滨州阳信一中高三上学期期中考试数学试题(文科含答案)
阳信一中高三上学期期中考试数学试题（文科）09.11时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每题5分，共60分）D1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（ ）C2．下列命题正确的是 （ ） A ．若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→cB ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C ．向量的长度与向量的长度相等D ．若非零向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线C3．若函数()sin()f x x ωϕ=+的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==C4．如果0,a b >>0c d >>，则下列不等式中不正确．．．的是 ( ) A ．a d b c ->- B ．a bd c> C ． a d b c +>+ D ． ac bd > B5．已知数列{a n }的通项公式是249n a n =-，则S n 达到最小值时，n 的值是（ ）A ．23B ．24C ．25D ．26A6. 等比数列{}n a 中，首项1a ＝8，公比q ＝21，那么它的前5项和5S 的值等于（ ）．A ． 15.5B ．20C ．15D ． 20.75A7. 已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B ． 060C ． 030D ． 90oB8．已知tan(α＋β)=25，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ）A ．15B ．14C ．1318D ．1322C9．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n 等于 （ ）A .5B .6C .7D .8D10． 已知25≥x ，则4254)(2-+-=x x x x f 有 （ ）A .最大值45 B .最小值45C .最大值 1D .最小值1D11．设x ，y 满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥120y x y x x ，则z=3x+2y 的最大值是 ( )A. 9B. 6C. 4D. 5C12．从2005年到2008年期间，甲每年6月1日都到银行存入a 元的一年定期储蓄。
高三数学上学期期中试卷文含解析试题
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
2
2
9．某几何体的三视图如下图，主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为
的扇形，那么该几何体的体积是
A．
B．
C．
D．
10．ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，假设 a 、b 、c 成等比数列，且 c 2a ， 那么 cosC
20．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，
且. 〔1〕求角 ；
〔2〕假设边长 ，求 周长的最大值.
21．如下图，在五面体
中，四边形
为菱形，且
，
为 的中点.
，
，
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕假设平面
平面
，求三棱锥
的体积．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二 O 二二年二月七日
22．函数 〔1〕讨论 的单调性； 〔2〕假设对任意 ，都有
14．角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线
=__________
上，那么
15．偶函数 内，函数
满足
，且当
时，
，假设在区间
有 3 个零点，那么实数 的取值范围是
．
16．给出以下四个结论：
①函数
f
x
x 1 2x 1
的对称中心是
1 2
，
1 2
；
②假设不等式 mx2 mx 1 0 对任意的 x R 都成立，那么 0 m 4 ；
7．B
【解析】
【分析】
a3，a7 是方程 x2+4x+2=0 的两根，可得 a3•a7=2，a3+a7=﹣4，可得 a3＜0，a7＜0，根据等比数
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鄂州市第二中学-上学期高三期中考试高三数学试卷(文科）满分150 命题人：王志勇 审题人:潘内阁 考试时间：11月15日 上午 8:00-10:00一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 若复数为纯虚数，则实数的值为( ) A ． B ． C ． D ．或2.以下有关命题的说法错误的是（ ）A.命题“若02x 3x 2=+-，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则02x 3x 2≠+-”B.“1x =”是“02x 3x 2=+-”的充分不必要条件C. 对于命题R x :p ∈∃，使得01x x 2<++，则R x :p ∈∀⌝，均有01x x 2≥++D. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题3．已知向量(2,1),10,52,a a b a b b =⋅=+=则等于（ ） A ．5 B ．10 C ．5 D ．254．函数f(x)y =在定义域（3,23-）内的图象如图所示，记f(x)y =的导函数为(x)'f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为( )A ． )2,1[]21,23[⋃- B ． []3,2]1,31[⋃-C ．]38,34[]21,1[⋃- D .)3,34[]34,21[]31,23(⋃⋃--5. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q >1，若11a b =，20112011a b =，则1006a 与1006b 的大小关系是（ ）A ．10061006a b = B ．10061006a b > C ．10061006a b < D ． 10061006a b ≥6.函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1①图象C 关于直线π1211=x 对称;②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为( ) A.0B.1C.2D.37.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ． －110B ．－90C ． 90D ．110 8．设,6sin 236cos 21︒-︒=a 22tan131tan 13b ︒=-︒，250cos 1︒-=c 则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．a ＞b ＞c D ．a ＞c ＞b9．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N . 下列命题中真命题是 （ ）A. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列B. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列10．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则∑i ＝14(ih i )＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则∑i ＝14(ih i )＝()A.4V KB.3V KC.2V KD.V K二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知n ∈{－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－15)n ，则n ＝_________12. 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为13．若正数满足,则的最大值为 。
14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有四个零点，则实数k 的取值范围是_______ 15．具有性质：)()1(x f xf -=的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①x 1x -=y ；②x 1x y +=； ③y= )1(1)1(,0)10(,>-=<<x xx x x ④ln (0)y x x =>中满足“倒负”变换的函数序号是三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos2B ＝-725. (1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．18.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n . ①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式．c b ，，a 14=++c b a c b a 2++19.（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10000x －1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？20.（本小题满分13分）设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，前n 项和为S n ，且S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)当12<t <2时，比较2n ＋2－n 与t n ＋t －n 的大小；(3)若12<t <2，b n ＝2a n 1＋a 2n，求证：1b 1＋1b 2＋…＋1b n <2n21．（本小题满分14分）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0,2)． 证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)；(3)若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求a 的取值范围．鄂州市第二中学-上学期高三期中考试高三数学(文科）答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. A2. D3. C4. B5.B6. C7. D8.A9.D 10.B二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11.-1或2 12．4 13.21014. (0，14] 15. ③④三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.……….6分(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；……….8分 ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；……….10分 ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.………. ……….11分 综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.……….12分 17. 解：(1)∵cos2B ＝725-，且0<B <π，∴sin B ＝45，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.……….6分(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又cosB=35±∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B .12分18. 解： ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2)而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋) ……….3分 又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为12的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝32，∴b n ＝32⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)．……….6分②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3⎝⎛⎭⎫12n ＝(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ，∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋3·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫123＋2·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －2)⎝⎛⎭⎫12n ＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1∴R n ＝1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n . ……….12分 19. 解: (1)当0<x <80(x ∈N )时，L (x )＝500×1000x 10000－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80(x ∈N )时，L (x )＝50×1000x 10000－⎝⎛⎭⎫51x ＋10000x －1450－250＝1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x ，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250 (0<x <80，x ∈N *)1200－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x (x ≥80，x ∈N *)……………………….6分(2)当0<x <80，x ∈N *时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950，当x ≥80，x ∈N *时，∵L (x )＝120－⎝⎛⎭⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x ＝1200－200＝1000，∴当且仅当x ＝10000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1000>950.综上所述，当x ＝100时L (x )取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．……………………….12分20.解：(1)证明：由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得tS n ＋1－tS n ＝S n ＋2－S n ＋1，即a n ＋2＝ta n ＋1，而a 1＝t ，a 2＝t 2，∴数列{a n }是以t 为首项，t 为公比的等比数列， ∴a n ＝t n . ……………………….4分(2)∵(t n ＋t －n )－(2n ＋2－n )＝(t n －2n )[1－(12t )n ]，又12<t <2，∴14<12t<1，则t n －2n <0且1－(12t )n >0，∴(t n －2n )[1－(12t )n ]<0，∴t n ＋t －n <2n ＋2－n.……….8分(3)证明：∵1b n ＝12(t n ＋t －n )，∴2(1b 1＋1b 2＋…＋1b n )<(2＋22＋…2n )＋(2－1＋2－2＋…＋2－n )＝2(2n －1)＋1－2－n＝2n ＋1－(1＋2－n )<2n ＋1－22－n ，∴1b 1＋1b 2＋…＋1b n<2n .13分21.[解析] (1)由f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b ，又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0，故b ＝0，c ＝1.………………………. ………………………3分(2)f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0,2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a2t 2＋1＝0，下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0 ①23x 32－a2x 22＋1＝0 ②x 21－ax 1＝x 22－ax 2③由③得x 1＋x 2＝a ，由①－②得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2④ 又x 21＋x 1·x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 2)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2故由④得，x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)． ………………………. ………………………8分(3)由(2)知，过点(0,2)可作y ＝f (x )的三条切线，等价于方程2－f (t )＝f ′(t )(0－t )有三个相异的实根，即等价于方程23t 3－a2t 2＋1＝0有三个相异的实根．设g (t )＝23t 3－a 2t 2＋1，则g ′(t )＝2t 2－at ＝2t (t －a2)由于a >0，故有由g (t )的单调性可知：要使g (t )＝0有三个相异的实根，当且仅当1－a 324<0，即a >233， ∴a 的取值范围是(233，＋∞)．………………………. ………………………14分 (4)。