单自由度系统的振动阻尼

3.小阻尼情形
当 n<ω0 时 ， ；其中
n
c 2m
阻尼较小，称为小阻尼情形。
特征根 r1,2n n202 为共轭复数，即：
r1ni 02n2 r2 ni 02n2
微分方程的解 xC 1er1t C 2er2t 可以表示为：
xAe ntsin(0 2n2t)或 xAn est i ndt()
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
解： 求出对数减缩率:
ln Ai
Ai1
ln1000.0202 98
阻尼比为:
kc O
Fk
Fc
0.003215 2
系统的临界阻尼系数为:
m x
m
x
达朗贝尔原理
c c 2m 2 k0 .0 2 50 2 0 N 0 s 0 /m
阻尼系数: ccc0.06N 4 s/3 m
*例：阻尼缓冲器
c a
无阻尼固有频率： 0
kbwenku.baidu.com2 ml 2
b l
k m
ca2 ml 2
20
ca 2
2ml 20
ca 2 2mlb
m k
阻尼固有频率： d 0 122m 12l 4km2l2bc2a4
m k
m
k b ml
1
cc
2bl a2
mk
d 02 n2 称有阻尼自由振动的圆频率
xAn est i ndt()
当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x;可0 求得有阻尼自由
振动中的振幅和相位：
A x02 (x002nnx02)2
x
arctaxn0x0n2nx0n2
这种振动的振
Aent 衰减曲线的包络线
幅是随时间不 Ax0 断衰减的，称
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时 间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量， 使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
线如下图所示，也不再具有振动性质。
x
x
x
x0
O x0 0 x 0 0
x0
x0
tO
t
x0 0
x0 0| x0 | 较小
O
t
x0 0
x0 0| x0 | 较大
例. 图示弹簧质量阻尼系统，其物块质量为0.05 kg，弹簧刚度k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai /Ai110/9 08,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
c
k 由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻
尼元件（c）组成的系统。
m
2.振动微分方程
当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时 可以不再计入重力作用。
c k
m
xs k
c
kx cx
o
o
x
m
xx
m
x
mx
f (t)
振动过程中作用在物块上的力有：
（1） 恢复力 Fk kx；方向指向平衡位置O；
（2）粘性阻尼力
解：振动衰减曲线的包络线方程为
xAent
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP enNTd r
xR 当 2<<1时
2π N ln r 1 2
2πNlnr 2 lπnr N
此式对估算小阻尼系统的ζ值是很方便的。例如，
经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、
r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：
比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai
Ai1Ane(tiTd)
Ai+1
这两个相邻
振幅之比为:
Ai Ai1
Aneit Aen(tiTd)
enTd
η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动
的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
由
Ai
Ai1
Aneit Aen(tiTd)
enTd
两端取自然对数得 lnlnenTndTδ称为对数减缩系数
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频率 减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
由衰减振动运动规律： xAe ntsin(0 2n2t) Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: Ai Aenti
经过一个周期Td，系统到达另一个
静载荷 P 去除后质量块越过平衡位 置的最大位移为初始位移的 10％
求：
缓冲器的相对阻尼系数
P m
k
平衡位置 0 x0 x
c
解：
由题知 x(0)0 设 x(0)x0
x (t) e 0 t (x 0co d t sx 00 x 0sid n t) d
求导 ：
x(t)02x0 d
e0t
sindt
P m
k
平衡位置 0 x0 x
c
设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：
x(t) 02dx0e 0t1si ndt10
t1
d
即经过半个周期后出现第一个振幅 x1
x1x(t1)x0e0 t1x0e 12
x1x(t1)x0e0 t1x0e 12
由题知 解得：
x1
e
1 2
10%
x2nx 0 2x0 （1）
其解可设为：
x ert
代入（1）式，得到特征方程：r22nr020
两个特征根为： r1,2 n n202
该方程通解为： xC 1er1t C 2er2t
特征根 r1,2n n202 为实数或复数时，运动规律有很大
不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和n=ω0三种不同情形分别进行讨论。
t
当n＞ω0(ζ ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞ cc ;在这种 情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：
r1n n202
r2 n n202
微分方程的解为
x e n(C t1 en 2 0 2 t C 2 e n 2 0 2 t)
其中C1、 C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图
阻尼对周期的影响
2 2
2
2
Tdd
0 2-n2
0 1( n0)2
0 12
其中：
n
0
2
c mk
ζ称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。在
小阻尼情形下，ζ<1,有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频率ωd与
相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
Td
T
1 2
d 0 12 fd f 12
x0
0.59
例：
小球质量 m 刚杆质量不计
c a
b
求：
l
（1）写出运动微分方程
（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率
m k
解：广义坐标 ； 受力分析；
c
力矩平衡：m l l c a a k b b 0
m 2 c l2 a k 2b 0
a b
l
m x c x k x 0x20 x 02x0
Fc
cdxcx ；方向与速度方向相反。
dt
根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： m x c x k 0 x
- m x k c x x 0
两端除以m，并令：
2 0
k m
2n c m
n称为衰 减系数
kx cx
o
x
m
x
mx
整理得： x2nx 0 2x0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二 阶齐次常系数线性微分方程
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：
Fcv
负号表示方向
比例常数c称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。
一般的机械振动系统都可以简化为：
其中
Td
0
2 1 2
n c 0 2 mk
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n 2 22 0 12 12
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼 特性的一个参数。
例 在欠阻尼（ <1）的系统中，在振幅衰
减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的
两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示， 试确定此振动系统的阻尼比。
A1
A2
A3
为衰减振动。
t
衰减振动的运
动图线如图所 示。
Td
d
x
由衰减振动的表达式：
Aent
xAn est i ndt() A x 0 A1
A2
这种振动不符合周期振
动 f(t)f(t的定n义T ) ，所
以不是周期振动。
Td
d
A3 t
但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。 我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时 间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。
ln2 0.011 20
4.临界阻尼和大阻尼情形
当n=ω0（ζ=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数 用cc称为临界阻尼系数。
从式
n c 0 2 mk
cc 2 mk
在临界阻尼情况下，特征根 r1,2n 为n2两个02相等的实根，即：
r1n； r2n
得到振动微分方程的解为 xen(tC 1C2t)
其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。
上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 因此运动已不具有振动的特点。
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统
的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。
设cc为临界阻尼系数，由于ζ =n/ω0 =1，即
x
cc2nm 20m2km
＝1
cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由
>1
c 2nm n
cc 20m 0
t
ζ 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是ζ 称为阻尼比的原因。
具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。 因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动， 临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现 反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而 且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然， 只有临界阻尼器才能满足这种要求。