第五章弯曲应力

★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
（+）
（-）
x
4kN·m
一、矩形截面 b
z hy
§5-3 对称弯曲切应力 FS
y
t 方向：与横截面上剪力方向相同； t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h 分布为抛物线。
最大切应力在中性轴上，为平均切应力的1.5倍。
二、工字形截面
d
比值
可查型钢表中
。
三、圆形截面
A
FS +
q=3.6kN/m L=3m
A
B
C
2.5m
1m
[习题5-3]
1m
M 7.5kN·
m
（+）
1m 5kN·m
80
40
z 解： 画弯矩图。
30
k
y ② 计算最大弯曲正应力
x
③ 计算k点的弯曲正应力
（拉应力）
[习题5-4] 解：梁发生纯弯曲，
。
NO.22槽钢：
最大弯曲拉应力： 最大弯曲压应力：
[补充题]
A
B
C
2.5m
1m
解： 画弯矩图。 ② 计算最大正应力
【例】矩形(bh=0.12m0.18m） B 截面梁，试求最大正应力和最大切
应力之比。 解：画剪力、弯矩图
–x
M
（+）
x
求最大正应力、最大切应力 应力之比
若将上述梁改为10号工字钢，试计算其最大切应力。
表中： 表中：d = 4.5mm
§5-4 梁的强度条件与合理强度设计 一、梁的强度条件
1. 弯曲正应力强度条件
FN=F, M=Fe e = x/2 应力分析,及强度条件
。求切口的允许深度x。
2.方截面 3.矩形截面
4.工字钢 根据 系数
，查表选18号工字钢，其抗弯截面 ，比所需值略小，此时梁的
查表 四种截面面积之比为
可用。
作业：
5-10（梁长l=3m) 5-12
5-16
5-20
二、梁的合理强度设计 1.梁的合理截面形状
合理截面： ★ 矩形截面
z
z
b
★ 工字形截面是由矩形演变而成
对于等截面梁：
2. 弯曲切应力强度条件
三类强度计算的问题
、校核强度：
校核强度
设计截面尺寸
设计载荷
q 【例】试求图示简支梁的载荷集度q。
A
B
已知[s]=100MPa。
解：画M图，求最大弯矩。 3m
180
z
120 y
M
Mmax
+
x
q ≤57.6kN/m
取 q = 57.6kN/m
【例】 已知梁的[s]=120MPa，[t ]=60MPa，d=60mm。
解：画弯矩图，确定
M
(＋)
查型钢表，求截面有 关几何量 x
（压应力）
A 1m
M
B
D 【例】 倒Ｔ形截面梁，已知
，
，
1m 1m
试求该梁内最大拉应力和最大压应力。
解：画弯矩图
（－）
B截面弯矩的绝对值最大： x
4kN.m
作业：
5-3，5-4
[补充题]图示圆截面梁，已知：直径
，
。
试求梁内的最大弯曲正应力，并指出其作用位置。
q
q
（＋）
（-）
（+）
（-）
§5-6 弯拉（压）组合
一、弯拉（压）组合
A l
P F
FN 图
（＋）
M图 （ ）
危险面的正应力：
[例] 25a工字钢受力如图，已知：q=10kN/m，F=20kN，l=3m。
试求最大正应力。
解: (1) 画各基本变形的内力图
q
F (2) 危险面的正应力
l
FN
x
(-)
F
试校核该梁的强度。
解：
d
z
(－)
2.5kN.m
Fs 5kN (+)
该梁满足强度要求。 x
【例】 简易吊车横梁由工字钢制成，最大起吊量F=20kN 并可沿
梁轴移动。已知[s]=100MPa，[t ]=60MPa，试选择工字钢型号
。
解：画剪力、弯矩图，确定
FSmax= F =20kN，Mmax=Fl/4=30kN.m
作业： 5-25，5-28
[习题5-25] 已知:F=40kN, 解： 外力分析 画内力图，确定危险截面
应力分析,及强度条件
。试选择槽钢型号。
先根据弯曲正应力强度条件 选择槽钢型号，再按弯曲与 压缩组合校核强度。
FN 图 M图
（—） （—）
[习题5-28] 已知:F=12kN, 解： 内力分析
M
（+） x
二、偏心压缩（或拉伸）
x zP
y
x Pz
y M
b a
x Pz
y M
z
+
n
n
叠加两种应力：
z
b a
[例] 图示环由直径d =50mm的棒料制成。a =60mm，材料的许用
应力
。求许可拉力F。
解：
[例] 图示开口环由直径d =50mm的棒料制成。a =60mm，材料的
许用应力
。求许可拉力F。 解：
①先按弯曲正应力强度条件选择截面
Fs
x 查表选22a号工字钢，其抗弯截面系数
M
。
(＋)
x ②校核弯曲切应力强度条件
故选择22a工字钢,可满足强度要求。
【题】已知图示简支梁，
,
,
,
试为梁选择四种截面，并比较它们的用料。
q
30kN.m
解：画弯矩图，求最大弯矩 Mmax=30kN.m
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根据强度条件，梁所需的抗弯截面系数应满足 1.圆截面
第五章弯曲应力
第五章 弯曲应力
§5–1 引言 §5–2 对称弯曲正应力 §5–3 对称弯曲切应力 §5–4 梁的强度条件与合理强度设计 §5–6 弯拉（压）组合
§5-1 引言 对称弯曲
内力
剪力FS 弯矩M
应力
切应力t 正应力s
aF A
Fa B
FS F
（+）
M
Fa
（+）
（－）
F
纯弯曲: 梁某段的内力只有弯矩没有 剪力时，该段梁的变形称为纯 弯曲。如AB段。 x
梁横截面就像刚性平面一样绕中性轴发生轻微转动。距 中性轴等高处，伸长量或缩短量相等。
二、弯曲正应力公式
（中性轴）
IZ －截面对中性轴 z 的惯性矩。
在
处，
当截面对称于中性轴时： Wz — 梁的抗弯截面系数。
z
D
圆截面： 圆环形截面：
z
d D
a= d
D
z b 矩形截面：
z
b B
箱形截面：
z
B