5 用导数证明函数不等式的四种常用方法

用导数证明函数不等式的四种常用方法

本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.

例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （.

证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数.

而这用导数易证：

1()10(0)1

f x x x '=-

>>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥).

设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥).

若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥).

接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决.

例2 证明不等式：)1ln(+≥x x .

证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-.

显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证：

1()1(1)11

x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得

min ()(1)0(1)f x f x =-=>-

所以欲证结论成立.

注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I

->≥∈.

设()()()()h x f x g x x I =-∈，即证()()0()h x x I >≥∈，也即证min ()()0()h x x I >≥∈(若min ()h x 不存在，则须求函数()h x 的下确界)，而这用导数往往容易解决.

例3 (2014年高考课标全国卷I 理科第21题)设函数1

e ()e ln x x

b f x a x x -=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为e(1)2y x =-+．

(1)求,a b ；

(2)证明：()1f x >．

解 (1)112()e ln e e e x x x x a b b f x a x x x x

--'=+-+． 题设即(1)2,(1)e f f '==，可求得1,2a b ==．

(2)即证2ln e (0)e

x x x x x ->->，而这用导数可证(请注意11e ≠)： 设()ln (0)g x x x x =>，得min 11()e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设2()e (0)e

x h x x x -=->，得max 1()(1)e h x h ==-． 注 i)欲证函数不等式()()(,f x g x x I I ≥∈是区间)，只需证明min max ()()()f x g x x I ≥∈，而这用导数往往可以解决.

欲证函数不等式()()(,f x g x x I I >∈是区间)，只需证明min max ()()()f x g x x I >∈，或证明min max ()()()f x g x x I ≥∈且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.

ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学（一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是：

已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．

(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；

(2)对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x

>-成立．

例4 (2013年高考北京卷理科第18题)设L 为曲线C ：y ＝ln x x

在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；

(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．

解 (1)(过程略)L 的方程为y ＝x －1.

(2)即证

1ln -≤x x

x (当且仅当1=x 时取等号). 设x x x x g ln 1)(--=，得g ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2)0(>x . 当01时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，得g (x )单调递增．

所以0)1()(min ==g x g ，得欲证结论成立.

(2)的另解 即证

1ln -≤x x x (当且仅当1=x 时取等号)，也即证0ln 2≥--x x x (当且仅当1=x 时取等号).

设x x x x g ln )(2--=，可得)0)(1(12)(>-+='x x x

x x g . 进而可得0)1()(min ==g x g ，所以欲证结论成立.

(2)的再解 即证1ln -≤x x

x (当且仅当1=x 时取等号)，也即证x x x -≤2ln (当且仅当1=x 时取等号). 如图1所示，可求得曲线x y ln =与)0(2>-=x x x y 在公共点(1,0)处的切线是

1-=x y ，所以接下来只需证明

)0(1,1ln 2>-≤--≤x x x x x x (均当且仅当1=x 时取等号)

前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.