贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2
宽带调频中的贝塞尔函数
宽带调频中的贝塞尔函数（原创版）目录1.贝塞尔函数的概念和应用背景2.贝塞尔函数的公式和性质3.贝塞尔函数在宽带调频中的应用4.贝塞尔函数的扩展应用5.总结正文贝塞尔函数是一种特殊的数学函数，它在许多领域都有广泛的应用。
在宽带调频技术中，贝塞尔函数被用来描述信号的传播特性。
本文将从贝塞尔函数的概念和应用背景、公式和性质、在宽带调频中的应用以及其扩展应用等方面进行详细介绍。
一、贝塞尔函数的概念和应用背景贝塞尔函数，又称为贝塞尔级数，是数学物理方法中的一种特殊函数。
它来源于圆柱坐标下拉普拉斯算符分离变量后径向需要满足的微分方程。
贝塞尔函数在电信号处理、声学、光学等领域都有重要应用，尤其是在宽带调频技术中，贝塞尔函数被用来描述信号的传播特性。
二、贝塞尔函数的公式和性质贝塞尔函数有多种类型，其中第一类贝塞尔函数的公式为：J_n(x) = (1/π) * ∫(0~π) [1 - (1/2)^(n+1)] * cos(n*x) * dx 贝塞尔函数具有以下性质：1.贝塞尔函数是正交函数，即满足贝塞尔恒等式：∫(0~π) J_n(x) * J_m(x) dx = δ(n-m)2.贝塞尔函数的图像具有对称性，即满足：J_n(x) = J_n(π-x)3.当 n 为整数时，贝塞尔函数的图像呈现出一系列峰值和谷值，且峰值和谷值的位置与 n 有关。
三、贝塞尔函数在宽带调频中的应用在宽带调频技术中，贝塞尔函数被用来描述信号的传播特性。
宽带调频信号的模糊度函数与贝塞尔函数密切相关。
根据贝塞尔函数的性质，我们可以通过调整贝塞尔函数的参数 n 来实现对信号的调制。
宽带调频技术适用于声音质量要求高的应用，如音频、视频传输等。
四、贝塞尔函数的扩展应用除了在宽带调频技术中的应用外，贝塞尔函数还有其他许多应用，如在光学中的贝塞尔光束、贝塞尔反射器等，以及在计算机图形学中的贝塞尔曲线等。
综上所述，贝塞尔函数是一种重要的数学函数，在宽带调频技术等领域具有广泛的应用。
2.2贝塞尔函数的性质
Bessel Function §1.2 贝塞尔函数的性质 Properties of Bessel Function
Wuhan University
一、母函数关系式
e
x 1 (t − ) 2 t
1.2 Bessel函数的性质
=
n = −∞
x t 2
∑J
∞
n
( x)t
n
(1)
1 x l Q 证明： e = ∑ ( t ) , t < ∞ l = 0 l! 2 x ∞ − 1 x m 2t e = ∑ (− ) , t > 0 2t m = 0 m! e
一、母函数关系式
e
x 1 (t − ) 2 t
1.2 Bessel函数的性质
(−1) x l + m l − m = ∑∑ ( ) t l =0 m =0 l !m ! 2
∞ ∞ m
令 l − m = n, 则 l = m + n
→ ∑→
l =0
∞
m + n =0
∑
∞
∞
→
∞
n=− m
∑→∑
∞
∞
n = −∞
0 m
cm =
Wuhan University
∫0 a 2 0 0 J1 (k m a ) sinh( k m h) 2
2
1
a
0 u0 ρJ 0 (k m ρ )dρ
四、广义傅氏展开
解：4. 叠加，定系数：
0 令 x = km ρ
1.2 Bessel函数的性
∫ ρJ
0
a
0
( k ρ ) dρ =
0 m
∞ 0 m 0 m
贝塞尔函数详细介绍(全面)
n阶贝塞尔方程
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
二 贝塞尔方程的求解
n阶贝塞尔方程 n任意实数或复数
x2 y xy x2 n2 y 0
假设 n 0
令：y xc (a0 a1x a2 x 2 ak x k ) ak xck k 0 (c k)(c k 1) (c k) (x2 n2 ) ak xck 0 k 0
Jn (x)
2 cos x 1 n x 4 2
Yn (x)
2
x
sin
x
1
4
n
2
x , Jn (x) 0,Yn (x) 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
性质8 正交性
R
0 rJn
(n) m R
r
J
n
(n) k R
r dr
R2
2
J
2 n1
(m(n)
3
(1)m 2m1
52m 1
(
1
)
x 2
1 2
2m
2
(1)m 22m1
x
1 2
2m
m0 2m 1 ! 2
(1)m 2 x2m1
m0 2m 1! x
2
x
(1)m x2m1
m0 2m 1 !
2 sin x
x
J 1 (x) 2
2 cosx
x
J n1 (x) (1)n 2
2
x
n
(c 2 n2 )a0 xc (c 1)2 n2 a1xc1 (c k )2 n 2 ) ak ak2 xck 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
(c 1)2 n2 a1 0 (c k)2 n2 ) ak ak2 0
贝塞尔函数的积分表
贝塞尔函数的积分表1. 贝塞尔函数的定义贝塞尔函数是一类经典特殊函数，最早由法国数学家贝塞尔（Jean B. J. Fourier）在1801年引入，用于解决波动方程、热传导方程和椭圆边界问题等各种物理问题。
贝塞尔函数的定义如下：贝塞尔函数的定义如下：J n(x)=1π∫cosπ(nθ−xsinθ)dθ其中，J n(x)表示第一类贝塞尔函数，n为整数阶数，x为实数参数。
2. 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数具有一些基本的性质，包括对称性、递推关系和积分关系等，这些性质使得贝塞尔函数在数学和物理中有着广泛的应用。
2.1 对称性第一类贝塞尔函数具有奇偶性，即：J n(−x)=(−1)n J n(x)这个性质可以通过积分表来验证。
2.2 递推关系第一类贝塞尔函数满足递推关系：J n−1(x)+J n+1(x)=2nxJ n(x)这个递推关系可以通过对贝塞尔函数求导得到。
2.3 积分关系第一类贝塞尔函数满足下列积分关系：∫J n ∞0(x)dx=1n+1这个积分关系对于计算贝塞尔函数的积分很有用。
3. 贝塞尔函数的积分表贝塞尔函数的积分表是一份用于计算贝塞尔函数积分的参考表格。
下面是一部分贝塞尔函数的积分表：3.1 J0(x)的积分表∫J0x(t)dt=xJ1(x)3.2 J1(x)的积分表∫J1x(t)dt=xJ2(x)3.3 J2(x)的积分表∫J2x(t)dt=xJ3(x)−J2(x)3.4 J3(x)的积分表∫J3 x 0(t)dt=xJ4(x)−23J2(x)3.5 更高阶贝塞尔函数的积分更高阶的贝塞尔函数的积分表可以通过递推关系得到。
利用递推关系和基础积分表，可以计算任意阶数的贝塞尔函数的积分。
4. 贝塞尔函数的应用贝塞尔函数在科学与工程中有着广泛的应用，常见的应用包括：4.1 波动方程的解贝塞尔函数可以用来求解波动方程，例如声波、电磁波和水波等。
由于贝塞尔函数具有特殊的性质，可以满足边界条件，因此可以用来描述不同形状的波的传播。
贝塞尔函数实验的常见问题解答
贝塞尔函数实验的常见问题解答贝塞尔函数是数学中的一类特定函数，常用于解决波动现象和振动问题。
在实验中，我们经常会用到贝塞尔函数来描述一些复杂的波动现象，但是由于其特殊性，常常会遇到一些问题。
在本文中，我们将解答贝塞尔函数实验中常见的问题，帮助读者更好地理解与应用贝塞尔函数。
问题一：什么是贝塞尔函数？贝塞尔函数是由德国数学家弗里德里希·贝塞尔提出的一类特殊函数，用于解决振动和波动的数学问题。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学等领域都有广泛的应用，比如声学、电磁学和弹性力学等。
问题二：贝塞尔函数有哪些性质？贝塞尔函数具有一些特殊性质，包括对称性、归一性、正交性和递推关系等。
1. 对称性：贝塞尔函数有偶函数和奇函数两种形式，它们关于原点对称。
2. 归一性：贝塞尔函数在一定条件下可以进行归一化，即使得其积分等于1。
3. 正交性：贝塞尔函数具有正交性质，即不同零阶的贝塞尔函数之间在一定区间上的积分为零。
4. 递推关系：贝塞尔函数之间存在一些递推关系，可以通过递推公式计算高阶的贝塞尔函数。
问题三：贝塞尔函数如何求解？贝塞尔函数是非初等函数，无法用基本初等函数表示。
但是，可以使用数值方法进行计算和求解。
常见的数值方法包括级数展开法、递推关系法和数值积分法等。
1. 级数展开法：将贝塞尔函数用级数的形式展开，通过截断级数来近似计算。
2. 递推关系法：利用贝塞尔函数的递推关系，可以通过已知的低阶贝塞尔函数计算高阶贝塞尔函数。
3. 数值积分法：使用数值积分方法对贝塞尔函数进行近似计算，常用的数值积分方法包括辛普森法则和龙格-库塔法等。
问题四：贝塞尔函数的应用有哪些？贝塞尔函数在物理学和工程学中有广泛的应用。
其主要应用包括：1. 电磁学：贝塞尔函数可以用来描述球面波在无限大圆柱坐标系中的传播特性，广泛应用于天线设计、电磁波传播和光学等领域。
2. 声学：贝塞尔函数可以用来描述声场的径向分布特性，应用于声学传感器、扬声器设计和声学信号处理等领域。
贝塞尔函数一类二类的区别
贝塞尔函数一类二类的区别摘要：一、贝塞尔函数的概念与分类二、第一类贝塞尔函数的性质与公式三、第二类贝塞尔函数的性质与公式四、贝塞尔函数的应用领域五、总结与展望正文：一、贝塞尔函数的概念与分类贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
根据它们的定义和性质，贝塞尔函数可以分为两类：第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数。
二、第一类贝塞尔函数的性质与公式第一类贝塞尔函数，也称为贝塞尔函数的一族，它们最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。
它们的特点是在x趋于0时，函数值是无穷大的。
第一类贝塞尔函数的通项公式为：Jn(x) = (x^2 /2)^(n/2) * ∫(sin(x) * n!)^(-1) dx，其中n为整数。
三、第二类贝塞尔函数的性质与公式第二类贝塞尔函数，也称为诺依曼函数，它们在x=0时的渐近行为由J-a(x)决定。
第二类贝塞尔函数的通项公式为：Yn(x) = (x^2 / 2)^(n/2) *∫(cos(x) * n!)^(-1) dx，其中n为整数。
四、贝塞尔函数的应用领域贝塞尔函数在物理和工程中是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名。
例如，在柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。
五、总结与展望贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
第一类贝塞尔函数在x趋于0时，函数值是无穷大的，而第二类贝塞尔函数在x=0时是发散的。
了解贝塞尔函数的性质和公式，有助于我们更好地理解和解决实际问题。
在未来的研究中，贝塞尔函数的更多性质和应用值得进一步探索。
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动现象
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动现象贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它在物理方程中有广泛的应用。
本文将从解析振动与波动现象的角度出发，探讨贝塞尔函数在物理方程中的应用。
一、贝塞尔函数的定义与性质贝塞尔函数是一类满足贝塞尔微分方程的特殊函数，其定义如下：（公式）贝塞尔函数具有多种性质，其中包括对称性、递推关系、积分表示等。
这些性质使得贝塞尔函数成为解析振动与波动现象的有力工具。
二、贝塞尔函数在振动问题中的应用振动是物体在某一平衡位置附近以一定频率前后运动的现象。
贝塞尔函数可以描述振动的幅度和相位随时间和空间变化的规律。
以振动的受迫振动为例，其运动方程可以表示为：（公式）其中，x(t)表示振动的位移，f(t)为外力函数。
当外力的作用下，振动系统的频率与外力的频率相同或有一定关系时，贝塞尔函数可以被用于求解振动系统的解析解。
三、贝塞尔函数在波动问题中的应用波动是物质或场在空间中以一定频率传播的过程。
贝塞尔函数可以用于描述波动的幅度、波节、波峰等特征。
在声学领域，贝塞尔函数常用于描述球面波和柱面波的振幅分布。
球面波的振幅与距离和频率有关，可以使用适当的贝塞尔函数展开。
柱面波也可以用贝塞尔函数的积分表示来描述振幅随径向距离的变化规律。
四、贝塞尔函数在电磁学中的应用贝塞尔函数在电磁学中也有重要应用。
例如，在球坐标系下求解麦克斯韦方程时，贝塞尔函数常常用于展开电磁场的径向分量。
此外，贝塞尔函数还在光学、流体力学等领域中广泛应用。
在光学中，贝塞尔函数可以用于描述光波的干涉和衍射现象。
在流体力学中，贝塞尔函数常用于求解圆柱内外流体的流动问题。
五、贝塞尔函数应用的局限性与扩展尽管贝塞尔函数在物理方程中有广泛应用，但其也存在一些局限性。
例如，贝塞尔函数的解析解通常只在特定边界条件下成立，无法适用于所有情况。
为了克服这些局限性，数值方法和近似方法也被广泛应用于解析振动与波动现象。
例如，有限元法、辛普森法等数值方法可以提供更为精确的解，同时也能够处理复杂的边界条件。
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动问题
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动问题物理学中的方程描述了自然界中发生的各种现象和规律。
其中，贝塞尔函数在解析振动和波动问题中具有重要的应用。
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它的形式可以通过贝塞尔微分方程得到。
本文将介绍贝塞尔函数的定义、性质以及在物理学中的应用。
一、贝塞尔函数的定义与性质1. 贝塞尔函数的定义贝塞尔函数可由贝塞尔微分方程推导而得，它的一般形式为：\[J_n(x) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\]其中，\(J_n(x)\)表示贝塞尔函数，\(n\)为整数阶，\(x\)为自变量。
贝塞尔函数常被用来描述振动和波动问题。
2. 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数具有以下几个重要的性质：（1）零点：贝塞尔函数\(J_n(x)\)有无穷多个零点，其中第一个正零点记作\(x_{n1}\)，第二个正零点记作\(x_{n2}\)，以此类推。
（2）正交性：不同阶的贝塞尔函数在一定区间内满足正交条件，即：\[\int_0^1 J_n(x)J_m(x)x\,dx = 0 \quad (n \neq m)\]这个性质在求解物理问题中起到重要的作用。
（3）递推关系：贝塞尔函数满足递推关系，即\[J_{n-1}(x) - \frac{2n}{x}J_n(x) + J_{n+1}(x) = 0 \]二、贝塞尔函数在振动问题中的应用贝塞尔函数在振动问题中广泛应用，尤其是在圆形薄膜和圆柱薄壳的振动中。
通过求解贝塞尔函数的特征值问题，可以得到薄膜或薄壳的固有频率和振动模态。
以圆形薄膜的振动为例，假设薄膜的边界固定，可推导出薄膜的振动方程。
通过将边界条件代入振动方程，并求解贝塞尔函数的特征方程，可以得到薄膜的固有频率和振动模态，这对于研究薄膜的声学性质和结构特性非常重要。
三、贝塞尔函数在波动问题中的应用贝塞尔函数在波动问题中也有广泛的应用。
贝塞尔函数
贝塞尔函数1.贝塞尔方程及解:令()()()(),,=R ,u ϕτϕτΦZ 为分离变量的解，则()R ,满足本征值问题的方程，2222210R dy dR m R dx d ω⎛⎫∂++-= ⎪∂⎝⎭（17.1.1）其中2ω是分量的本征值问题的本征值。
若作变换()R()R()y(x);m xx x ωλνω=====或； 则上面方程可以变换：2//2/2(x )y 0x y x y ν++-= （17.1.1a ）当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为：(x)AJ (x)BJ (x)y νν-=+当ν=整数时，由于J m -=(1)(x)m m J -，因此通解为 (x)AJ (x)BY (x)m m y =+式中A 与B 为任意常数，J (x)m 与Y (x)m 分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。
2.贝塞尔方程的的级数解二阶线性齐次常微分方程2'''22(x )y 0,0x y xy x b υ++-=≤≤ 为贝塞尔方程现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式由p(x)=1x,q(x)=1-22x ν可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)的二阶极点。
因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式;nkk p k k k k y x C x C x ∞∞+===∑=∑ 2.1.12.2指标方程将2.1.1代入贝塞尔方程可得：22300(k )0k p k k k k k C x C x ρρν∞∞+++==⎡⎤∑+-+∑=⎣⎦ 2.1.2 由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得：220()C 0x ρρν-=因0C 0≠，即得指标方程220ρν-=。
由此得指标1,ρν= 2ρν=-2.3．系数递推公式为确定起见，令ν>0，并将ρ=1ρ=ν代入2.1.2中得到22200(k )0k k k k k k C x C x νννν∞∞+++==⎡⎤∑+-+∑=⎣⎦ 改变第二项的求和指标，可得202k(k 2)0k k k k k k C xC xννν∞∞++-==∑++∑=由x的同次幂数之和为0，1(12)0C ν+=2k(k 2)0k k k C C ν-++=由此得10C =2(1)k(k 2)k k C C ν--=+2.4.推公式求系数得特解 ………将系数代入1.1中的贝塞尔方程的一个特解为20120(1)(1)C (x)2!(n 1)n n n n y x n ννν∞+=-Γ-+=∑Γ++2.5.另一个特解同理，令2ρρν==-可得另一个特解为20220(1)(1)C (x)2!(n 1)n n n n y xn ννν∞-=-Γ-+=∑Γ-++3.第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数(x)J ν的级数形式为21(x)(1)()!(1)2kkk dy x J k νννκ+∞==-Γ++∑经过证明可得：,(x)(1)(x)mm m J J -=-同理可得：,(x)(x)m m J J -=因此：,(x)(1)(x)mmm J J -=-4.第二类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数是Weber 和Schlafli ,通常把它定义为 cos (x)(x)Y (x)sin J J νννπνπ--Y (x)m 的级数形式为Y (x)m ={}1220021(m k 1)!1(1)ln (x)()(k)(m )()2!2!(m k)2k m m k m m k k k x x x J k k κγϕϕκπππ-∞-++==---⎡⎤+--++⎢⎥+⎣⎦∑∑式中γ=0.577216,而 (k)ϕ=11n nκ=∑当x 很小时，可得 0Y ≈2lnx π（0ν=）当x 很大时，(x)(x )42xY νπν≈-- （17.1.12）5.第三类贝塞尔函数 通常定义为(1)H (x)iY (x)J ννν=+ (2)H (x)iY (x)J ννν=-则方程（17.1.1 a）的通解可以写成为(1)(2)y(x)AH H (x)B νν=+ 当x →∞时其渐进展开式为3(x )(1)22H (x )x i o νν--=+ （17.1.14a ）3(x )(2)242H (x )x i o νπν----=+ （17.1.14b ） 当x 0→时其渐进展开式为 (1)!2(x)()H ix ννπ-≈- （ν>0） (2)2H (x)iln x νπ≈-总结上述，ν阶贝塞尔方程2/22(x )y 0x y xy ν++-= 的通解有三种形式： (1)y(x)AJ(x)(x)BJ =+ (ν0≠)(2)y(x)AJ(x)(x)BY ν=+ (ν可取任意整数) (3)(1)(2)y(x)AH (x)(x)BH νν=+ (ν可取任意整数) 其中A,B 为常数。
2.2 贝塞尔函数的性质_11
(7)
其中，m 1,2, , J n (k m a) 0
n
R' ' R'(k n ) R 0
2 2 2 2
2 d dR 2 2 n R 0 k 即 d d
n 2 dJ n (k m ) n 2 d n (k m ) d d
可算出
可算出
如由
由(4) : 知J v ( x)和J v ' ( x) J v 1 ( x)
如由 J1 ( x) J 2 ( x) J1 ' ( x)
仿此继续下去 J v (x)
注：
当v n时亦可用母函数法推得 上述递推公式
③ 用来计算含Jv(x)的积分：
例1： 解：
(3) (4) :
(5)
(6)
2v x
J v ( x) J v 1 ( x) J v 1 ( x)
② 只要查J0(x)和J1(x)表可计算出任一Jn(x)
由(3) :
知J v 1 ( x)和J v ( x) J v ' ( x)
J 0 ( x) J1 ' ( x) J1 ( x)
J n ( x)
2π
1
π
π
e
i( x sin n )
d
(n 0,1,2,....)
或着，J n ( x)
1
π
π
cos( x sin θ-nθ )d
0
二、贝塞尔函数的递推公式
d v v [ x J v ( x)] x J v 1 ( x) (1) dx d [ x v J ( x)] x v J ( x) ( 2) v v 1 dx
贝塞尔函数求导
贝塞尔函数求导一、什么是贝塞尔函数贝塞尔函数（Bessel function）是应用广泛的一类特殊函数，它们最早由德国数学家费迪南德·弗朗茨·恩斯特·贝塞尔（Friedrich Ernst Bessel）在19世纪初引入并研究。
贝塞尔函数可以描述电磁波的传播、量子力学的行为、热传导等各种自然现象。
在数学上，贝塞尔函数涉及到一类方程，称为贝塞尔方程。
该方程形式简单，但是解析解并不容易求得，因此科学家们对贝塞尔函数的性质进行了详细研究，并发展出了一系列的逼近方法和数值计算方法。
二、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数分为第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）和第二类贝塞尔函数（Bessel function of the second kind）两类。
两类贝塞尔函数的定义如下：1. 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数通常用符号J_n(x)表示，其中n为贝塞尔函数的阶数，x为自变量。
第一类贝塞尔函数可以通过以下定义得到：J_n(x) = (1/π) ∫[0, π] cos(nθ - x sinθ) dθ其中θ为积分变量。
2. 第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数通常用符号Y_n(x)表示，其定义如下：Y_n(x) = (1/π) ∫[0, π] sin(nθ - x sinθ) dθ三、贝塞尔函数的性质贝塞尔函数具有许多有趣的性质，下面我们来逐一介绍一些重要的性质。
1. 递归关系贝塞尔函数有一种重要的递归关系，可以用来计算不同阶数的贝塞尔函数：J_{n+1}(x) = (2n/x) J_n(x) - J_{n-1}(x)Y_{n+1}(x) = (2n/x) Y_n(x) - Y_{n-1}(x)2. 趋于无穷大和零点当自变量x趋于无穷大时，贝塞尔函数的行为有一定的规律，可以用渐近展开式来描述。
同样地，贝塞尔函数的零点也是研究的重要问题之一。
贝塞尔函数性质
Methods in Mathematical Physics第十五章贝塞尔函数Bessel Function第十五章贝塞尔函数Bessel Function§15.2 贝塞尔函数的性质Properties of Bessel Function( ) t m ! m ! ∑x t 证明：Q e 2-x= ∑ l =0 ∞ 1 ( x l ! 2 1 t )l, x t < ∞e 2t = ∑ (- m =0 )m, 2t t > 0x (t -1) x t -x ∞ 1 x ∞ 1 x e 2 t = e 2 ⋅ e 2t = ∑ l =0 ( l ! 2t )l ⋅ (- )m ⋅ m =0 2t= ∑ l =0∑ m =0(-1)m l !m ! x l +m l -m2 ∞∞ ∞ 一、母函数关系式(1)n∞J (x )t∑ n n =-∞= t x (t -1) e2∞1∞∞ ∞ ∞令 l - m = n , 则l = m + n→ ∑→l =0∑ → m +n =0∑ → n =- m∑n =-∞x 1 ∞∞(-1)mx 2m +n n(t - ) = e 2 t ∑ ∑n =-∞ m =0 ∞(m + ( ) t n )!m ! 2= ∑ J n n =-∞(x )t n一、母函数关系式e2x (t -1) t = ∑ ∑ ∞ ∞(-1) mx l +m l =0 m =0 ( ) l!m ! 2 t l -m15.2 Bessel 函数的性质15.2 Bessel i ⎰l 0⎰ π n 或 J (x ) = 1 πcos(x sin θ - n θ )d θf (z ) b )k +1 d 问2. J n (x )的微分式？3. J ν (x （) ν ≠ n ）有母函数关系吗？15.2 Bessel函数的性质用途：（1）可派生出其他递推公式 xJ ν' (x ) +νJ ν (x ) = xJ ν -1 (x ) (4)xJ ν' (x ) -νJ ν (x ) = -xJ ν +1 (x ) (5) ←↓?↓2J ν' (x ) = J ν -1 (x ) - J ν +1 (x ) (6) 2νxJ ν (x ) = J ν -1 (x) + J ν +1 (x ) (7) （2）只要查J 0 (x ) 和 J 1 (x ) 表，可计算出任一 J ν (x ) 二、递推公式：= n ν = ∑k =0 k 2k +ν !Γ(ν + k +1) 2 ) (4)⎰0(用途：（3）可用来计算含Jν(x)的积分例1：ax3 J (x)dx = ? 0例2：⎰ J1 (x)dx =?例3：⎰J3 (x)dx = ?xJ1(x) =-J'(x)m m n证明：Q ρ 2R ' (ρ ) + ρR '(ρ ) + (k 2ρ 2- n 2)R (ρ ) = 0→ d(ρ d ρ dR ) + (k 2ρ d ρ n 2 ρ )R = 0d dJ (k n ρ ) n 2 n 2 n [ρ n m ] +[(k ) d ρ d ρ ρ - ρ ]J n (k m ρ ) = 0 (9)d dJ (k n ρ ) n 2 n 2 n[ρ n l ] +[(k d ρ d ρ) ρ - ρ ]J n (k l ρ) = 0 (10) J (k na ) = 0,m = 1,2,L , l ,L三、正交性(8) ml δ n(k a ) n +1 l J 2 2n lmn 2a n n ρJ (k ρ )J (k ρ )d ρ = 0a⎰ 15.2 Bessel 函数的性质l -三、正交性d dJ (k n ρ ) n 2 n 2n 15.2 Bessel 函数的性质m 0 d d ρ d d ρ证明： [ρ d ρ n m] +[(k ) d ρ ρ - ρ ]J n (k m ρ ) = 0 (9) d dJ (k n ρ ) n 2 n 2 n[ρ n l ] +[(k d ρ d ρ a n n) ρ - ρ ]J n (k l ρ ) = 0 (10) ⎰[(9) ⋅ J n (k lρ ) - (10) ⋅ J n (k m ρ )]d ρ : ann[(k n )2- (k n )2] ρJ (k ρ )J (k ρ )d ρ m l ⎰0 n m n l = a n ρ ddJ (k n ρ) a nddJ (k nρ ) ⎰ J n (k m ) ρ [ρ n l ]d ρ - ⎰ J n (k l ρ ) ρ [ρ n m ]d ρ = ρ n ρ dJ (k n ρ ) a -a ρ dJ (k n ρ ) dJ (k n ρ ) ρJ n (k m ) n l 0 ⎰ n l n m ]d- ρ nρ d ρ dJ (k n ρ ) a +0 a ρ dJ d ρ (k n ρ ) dJ d ρ (k n ρ ) ρJ (k ) n m ⎰ n m n l ]d l 0n 2- (k n )2 ] ρJ (k ρ )J (k ρ )d ρ 三、正交性a⎰n n mln mn ln lm n n n J (k ρ )J (k ρ )d ρ = 0 ρ 0a⎰ lmmlim n m n l l m l m= ρ[J (k nρ )dJ n (k n ρ ) - J (k nρ )dJ n (k nρ ) 0= 0 (Q J n d ρ (k n a ) = 0, m d ρ= 1,2,L , l ,L )1. 若m ≠ l :2. 若m = l , 令 m → laJ (k na )J ' (k na )k nk n→k n(k n )2- (k n)2 m l m a 2k n J ' (k n a )J ' (k n a ) a 2' n 2= lim k n→k nl n m n l = 2k n 2 [J n (k l a )] n ln m ρ n lmn n n J (k ρ )J (k ρ )d ρ 0 a⎰ = ] a(k na ) n +1 m mnm n f (ρ )J (k ρ)d ρρ 0a⎰ J 2 a 221c =四、广义傅氏展开若f (ρ ) 在[0,a]上有连续的一阶导数，分段连续 的二阶导数，且 f (ρ ) ρ =0 → 有界，f (ρ) ρ =a = 0 则mn m nc J (k ρ) ∞∑ m =1f (ρ ) = 15.2 Bessel 函数的性质♠ ♠u ♥四、广义傅氏展开例4：一半径为a 高为h 的均匀圆柱体，其下底和侧面保持温度为零度，上端温度为u 0 ,求柱内的稳定温度分布。
贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质ν+∞∑n nx 21ν+∞∑n nx 21()(()1)n n n ννν+Γ=++Γ+d J x J x()()()()J x J x d'诺伊曼函数也有与第一类贝塞尔函数相同的递推关系式，只不过将上述(1)—(6)中的换成() vJ x()vN x二. 半整数阶贝塞尔函数一般地有三、贝塞尔方程的固有值问题考虑贝塞尔方程的固有值问题固有值为2λω=(1)求固有函数、固有值(2)证明固有函数正交性(3)求固有函数的模作变换,r x ω=2220 ()()()()0(13)()0|(0)|r R r rR r r R r R R R λν'''⎧++-=⎨=<∞⎩ ，222()()()()0x y x xy x x v y x '''++-=(1)求固有函数、固有值2 d dν所以22n()()()0.Rmm n J r J r rdr ννωωωω-=⎰但，因此,,m n m n ωω≠≠0()()0()Rm n J r J r rdr m n ννωω=≠⎰22 R Rν21四、贝塞尔函数的零点由于正弦函数和余弦函数在0到∞之间振动无限多次，因此从上列渐近公式可以看出，与应该有无穷多个实零点。
)(x J ν)(x N ν性质一: 与有无穷多个实零点，)(x J ν)(x N ν且当时，其相邻两个零点之间距离接近于+∞→x π按照罗尔定理，可得如下推论:推论：与有无穷多个实零点。
)(x J ν''()N x ν由的级数表示形式可得，)(x J ν()(1)()J x J x ννν-=-因此可知当v 为实数时，若x 是的零点–x 也是的零点.)(x J ν)(x J ν性质二: 的无穷多个实零点是在x 轴上关于原)(x Jd第四章-贝塞尔函数的性质3131则该方程必有两个线性无关的解, 假设通解为1122()()().J x C y x C y x ν=+由边界条件可得11221122()()()0,()()()0,J a C y a C y a J a C y a C y a νν=+='''=+=因为1221()()()()0,y a y a y a y a ''-≠120,0.C C ∴==所以()0.J x ν≡这个矛盾说明了的零点都是单零点。
贝塞尔函数课件
3
正交性
贝塞尔函数之间具有正交性质，适合用于展开函数。
贝塞尔函数的计算方法
级数展开求解
可以使用贝塞尔函数的级数展开 式近似求解。
径向波动方程求解
使用贝塞尔函数表（示例）
贝塞尔函数是径向波动方程的解， 可用于求解相关问题。
通过查表，可以直接获取贝塞尔 函数的数值。
贝塞尔函数的在物理学中的应用
电磁场问题中的应用
贝塞尔函数用于描述电磁场分 布、辐射和散射等问题。
圆形共振问题中的应 用
贝塞尔函数用于解决圆形共振 腔中的电磁波问题。
量子力学中的应用
贝塞尔函数用于描述量子力学 中的球对称问题和径向波函数。
总结
在本课件中，我们介绍了贝塞尔函数的定义和基本类型，讨论了贝塞尔函数的性质和计算方法，以及它在物理 学中的应用。希望通过这些内容，您对贝塞尔函数有更全面的了解。
贝塞尔函数PPT课件
贝塞尔函数是一种数学函数，常用于解决各种科学领域中的物理和数学问题。 本课件将介绍贝塞尔函数的定义、类型、性质、计算方法以及在物理学中的 应用。
什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它是贝塞尔微分方程的解。它广泛应用 于物理学、工程学和数学等领域，例如波动理论、振动问题和量子力学。
下一步研究方向
贝塞尔函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中仍有许多未解决的问题 和有待深入研究的方向。我们鼓励您继续探索和应用贝塞尔函数。
参考文献
1. Jiang, X., & Li, X. (2019). Applications of Bessel functions in physics. Physics Education, 54(6), 065010.
电磁场理论中的特殊函数应用
电磁场理论中的特殊函数应用在电磁场理论中，特殊函数是一类具有特殊性质和广泛应用的数学函数。
它们在电磁场的描述和分析中起着重要的作用。
本文将介绍几个常见的特殊函数及其在电磁场理论中的应用。
一、贝塞尔函数贝塞尔函数是解决电磁波在球坐标系下的传播和辐射问题时必不可少的数学工具。
贝塞尔函数的定义如下：\[J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta) d\theta\]其中，\(n\)为函数的阶数，\(x\)为自变量。
贝塞尔函数具有以下性质：正交性、递推关系和复合关系等。
贝塞尔函数在电磁场理论中的应用非常广泛。
例如，当我们研究球面波在辐射场中的传播时，可以利用贝塞尔函数来表示电场和磁场的径向分量。
此外，贝塞尔函数还可以用于求解辐射和散射问题，例如天线辐射、声波传播等。
二、勒让德函数勒让德函数是解决电磁场在球坐标系和柱坐标系下的描述问题时常用的特殊函数。
勒让德函数的定义如下：\[P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 - 1)^l\]其中，\(l\)为函数的阶数，\(x\)为自变量。
勒让德函数具有正交性和归一化性等重要性质。
勒让德函数在电磁场理论中有广泛的应用。
例如，在球坐标系中，我们可以用勒让德函数展开电磁场的角度分量，从而得到辐射场和散射场的解析表达式。
此外，勒让德函数还可以用于计算球谐函数，它是电磁场理论中的重要数学工具。
三、傅里叶变换傅里叶变换是研究信号在时域和频域之间转换的数学工具。
在电磁场理论中，傅里叶变换可以用于分析电磁波的频谱特性。
傅里叶变换的定义如下：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt\]其中，\(f(t)\)为被变换的函数，\(\omega\)为频率。
傅里叶变换具有线性性和平移性等重要性质。
贝塞尔函数详细介绍
贝塞尔函数详细介绍首先，让我们来了解第一类贝塞尔函数Jn(x)。
第一类贝塞尔函数定义为解决贝塞尔微分方程的满足初始条件的解。
它们有以下性质：1.Jn(x)是偶函数，即Jn(-x)=Jn(x)，这意味着它们在x轴上是对称的。
2.Jn(x)的零点是独一无二的，且随着阶数的增加而增加。
这些零点分布在x轴上，并且对于每个阶数n，它们都有n个零点。
3.贝塞尔函数的最大值和最小值在阶数的增加过程中也在增加。
接下来，我们来讨论第二类贝塞尔函数Yn(x)。
第二类贝塞尔函数也是贝塞尔微分方程的解，但不满足初始条件。
它们的性质如下：1.Yn(x)在x=0时无界，因此它们在x=0处发散。
2.Yn(x)的图像沿y轴下方逐渐衰减，是一种衰减函数。
3.Yn(x)具有与第一类贝塞尔函数类似的性质，如偶对称性和零点分布规律。
此外，贝塞尔函数还具有诸多重要的数学性质。
例如：1.贝塞尔函数可以表示为幂级数的形式，这使得它们在数值计算和逼近问题上具有重要的应用价值。
2.贝塞尔函数满足一些重要的微分方程，如贝塞尔微分方程和贝塞尔-亥姆霍兹方程。
这些方程在物理学和工程学中的波动问题中具有重要的应用。
3.贝塞尔函数的积分也是一类特殊函数，称为贝塞尔积分。
它们在概率论和统计学中具有重要的应用。
最后，值得一提的是，贝塞尔函数的计算方法也是研究的热点之一、由于贝塞尔函数的广泛应用和复杂性质，寻找高效的计算方法成为一个值得探索的课题。
目前，已经提出了许多高效、精确的计算贝塞尔函数的算法，这对于数值计算和科学计算具有重要的意义。
总而言之，贝塞尔函数是一类重要的数学函数，它们在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
通过它们的定义、性质和计算方法的研究，我们可以更好地理解和应用贝塞尔函数，从而解决实际问题。
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用
贝塞尔函数的基本概念及其实际应用贝塞尔函数是数学分析中的一类特殊函数，是解决物理、工程、数学等领域中一些具有圆对称性问题的有力工具。
在本文中，我们将介绍贝塞尔函数的基本概念及其实际应用。
一、贝塞尔函数的定义及性质贝塞尔函数最初是由德国数学家贝塞尔在求解一个普遍的圆形问题时发现的。
贝塞尔函数有两类，即第一类和第二类，一般用Jn(x)和Yn(x)表示。
其中Jn(x)表示第一类贝塞尔函数，Yn(x)表示第二类贝塞尔函数。
贝塞尔函数和它们的导数满足贝塞尔微分方程：x^2*d^2y/dx^2 + x*dy/dx + (x^2-n^2)y = 0其中n为贝塞尔函数的度数，它的值可以是任意实数或零。
当n为整数时，贝塞尔函数是一种完整的函数，当n为小数或分数时，贝塞尔函数是一种不完整的函数。
贝塞尔函数具有一些特殊的性质，例如：对于第一类贝塞尔函数Jn(x)，当x→0时Jn(x)≠0；当x→∞时，Jn(x)是振荡型函数，即Jn(x)近似于sin(x-nπ/2)。
而对于第二类贝塞尔函数Yn(x)，当x→0时Yn(x)是无穷大；当x→∞时，Yn(x)也是振荡型函数。
二、贝塞尔函数的实际应用1.电学中的应用：贝塞尔函数可以用来描述无限长圆筒形导线和矩形波导内部电磁场的分布。
此外，在计算电磁波在介质中传播时，也可以用到第一类贝塞尔函数。
2.声学中的应用：贝塞尔函数可以用来表示大气中声波的传播过程。
同时，它还可以描述圆形共振腔内空气的压力分布和管道内的声波传输。
3.视觉中的应用：贝塞尔函数可以用来刻画景深和焦距。
此外，它还可以指导图像的锐化和去噪。
4.计算机图形学中的应用：贝塞尔函数可以被用来构建连续的Bézier曲线，从而描述出计算机图形学中重要的对于帧的插值和物体的平滑变形。
结语贝塞尔函数是一种特殊的函数，在各个领域中都有着重要的应用，特别是在电学中、声学中、视觉中以及计算机图形学中。
了解贝塞尔函数的基本概念和性质，对于掌握这些领域的相关知识非常重要。
贝塞尔函数展开
贝塞尔函数展开一、什么是贝塞尔函数展开贝塞尔函数展开指的是将一个函数用贝塞尔函数的形式表示出来的过程。
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，常被用于描述曲线和曲面。
贝塞尔函数展开是一种重要的数学工具，广泛应用于计算机图形学、物理学、工程学等领域。
二、贝塞尔函数的定义和性质2.1 贝塞尔函数的定义贝塞尔函数可以通过如下的微分方程定义：z″+νz⋅z′+(z2−ν2)z=0其中，z是自变量，ν是常数。
2.2 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数具有许多独特的性质，下面列举一些常见的性质：1.对于整数ν，贝塞尔函数Jν(z)是偶函数，即Jν(−z)=Jν(z)。
2.贝塞尔函数满足递推关系：Jν−1(z)+Jν+1(z)=2νzJν(z)。
3.贝塞尔函数满足渐近行为：当z趋向于无穷大时，Jν(z)的行为类似于√z (z−νπ2)。
4.贝塞尔函数的零点是实数，并且形成一系列的正实数序列。
三、贝塞尔函数展开的原理和方法贝塞尔函数展开的基本思想是将要表示的函数表示为贝塞尔函数的线性组合，即将函数展开成如下形式：f(z)=∑c n∞n=0Jν(z)其中，c n是系数，Jν(z)是贝塞尔函数。
贝塞尔函数展开的方法有多种，下面介绍两种常用的方法：3.1 傅里叶-贝塞尔展开傅里叶-贝塞尔展开是一种将函数展开为贝塞尔函数的线性组合的方法。
它基于傅里叶级数展开和贝塞尔函数的性质，可以用于求解具有周期性边界条件的问题。
具体步骤如下：1.将要展开的函数表示为周期函数的傅里叶级数。
2.将傅里叶级数的系数与贝塞尔函数的系数进行连接，得到贝塞尔-傅里叶级数展开。
3.2 点源展开点源展开是一种将函数展开为贝塞尔函数的线性组合的方法。
它基于反射、透射等现象的物理原理，可以用于求解具有点源边界条件的问题。
具体步骤如下：1.将要展开的函数表示为一系列点源函数的线性组合。
2.利用贝塞尔函数的渐近行为和递推关系，将点源函数表示为贝塞尔函数的形式。
3.将点源函数的展开系数与贝塞尔函数的系数进行连接，得到贝塞尔展开。
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2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x
J 1 ( x) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
第四章-贝塞尔函数的性质
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4
注：从这些递推关系可以得到 ( x ) J1 ( x ) J0 (把 0 代入(3)即得) 注：对所有正整数m, J m ( x) 都可以用 J 0 ( x) 和
xJ ( x) J ( x) x J 1 ( x) (3)
( x) J n 1 ( x) J n 1 ( x) 2J n
2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x) x
J ( x) xJ ( x) x J 1 ( x) (4) 2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x J 1 ( x) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
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1 2n 1 x J 1 ( x ) ( 1) n ( ) 2 (2n 1)!! 2 n 0 2 n! 2n
2 n x (1) x n 0 (2n)!
2n
2 cos x x
2 cos x J 1 ( x) x 2
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(2)证明固有函数正交性
r 2 R(r ) rR( r ) ( r 2 2 ) R ( r ) 0 固有值问题 | R (0) | R ( R0 ) 0， (13)
d dR (r ) 2 (r ) ( r ) R (r ) 0. dr dr r 根据Sturm-Liouville理论，其固有函数系 J (n r ) 在区间[0,R0]上带权r正交，即
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一般地有
J
1 m 2
( x) (1)
m
2 x
m 1 2
m
1 2
1 d m sin x ( ) ( ), (9) x dx x
2 J x 1 ( x) ( m ) 2
它是算子
1 d x dx
1 d m cos x ( ) ( ). (10) x dx x
xJ1 ( x) 2 J 0 ( x) c.
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诺伊曼函数也有与第一类贝塞尔函数相同的递推 关系式，只不过将上述(1)—(6)中的 J v ( x) 换成 N v ( x )
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二. 半整数阶贝塞尔函数 第一类和第二类贝塞尔函数都不是初等函数，但是 半整数阶贝塞尔函数是初等函数，即若m是整数则 时，J 1 ( x) 和 N 1 ( x ) 都是初等函数。
贝塞尔函数递推公式的应用之一就是计算贝塞尔 函数的积分。主要用于被积函数为幂函数与贝塞 尔函数的乘积的情形。
第四章-贝塞尔函数的性质
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例
求
xJ
2
( x)dx.J 1 ( Nhomakorabea) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
d ( x J ( x)) x J 1 ( x) (2) dx
利用递推关系可以证明， N
1 也是初等函数。 m 2
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三、贝塞尔方程的固有值问题 考虑贝塞尔方程的固有值问题
r 2 R(r ) rR( r ) ( r 2 2 ) R( r ) 0 | R(0) | R( R0 ) 0， (13)
1 d , 这里为了方便起见，我们采用微分算子 x dx
m
连续作用 m 次的缩写。例如
2
1 d sin x 1 d 1 d sin x . x dx x x dx x dx x
第四章-贝塞尔函数的性质
第四章-贝塞尔函数的性质
2
2
(n 1) (n ) (n )
J ( x)
n 0
(1) n
1 x ( ) 2 n n!(n 1) 2
d ( x J ( x)) x J 1 ( x) (2) dx
2 n 2 d d 1 x n ( J ( x ) x ) [ ( 1) ] 证明: 2 n dx dx n 0 n !(n 1) 2 2 n 2 1 2( n ) x (1) n 2 n n ! ( n 1) 2 n 0
R(r ) CJ ( r ) 利用边界条件 R ( R0 ) 0
J ( R0 ) 0
即 是这个方程的正根(我们将在后面说明该方程 有无穷多个正根)设为 0 1 2 n 则固有函数为 J (n r ) ( n 1, 2,3).
第四章-贝塞尔函数的性质
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贝塞尔函数常用递推公式： ( x ) J 1 ( x) J0 ( xJ1 ( x)) xJ 0 ( x)
( xn J n ( x)) xn J n1 ( x)
( x n J n ( x)) x n J n 1 ( x)
J ( x) d J ( x) ( ) 1 (1) dx x x d ( x J ( x)) x J 1 ( x) (2) dx
1 J 3 ( x) J 1 ( x) J 1 ( x) 2 ( sin x 1 cos x) 2 2 x 2 x x 2 3 1 d cos x 2 x . x dx x
2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x
贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质
J ( x)
n 0 一、递推公式 J 1 ( x) d J ( x) ( ) (1) dx x x
(1) n
1 x ( ) 2 n n!(n 1) 2
2n d J ( x) d 1 x 证明: ( ) [ (1) n ] 2 n dx x dx n 0 n !( n 1) 2 2 n 1 2 n x (1) n 2 n n ! ( n 1) 2 n 1
解： J 2 ( x) J 0 ( x) 2J1 ( x),
d ( xJ1 ( x)) xJ 0 ( x) dx
xJ
2
( x)dx xJ 0 ( x)dx 2 xJ1( x)dx
xJ1 ( x) 2( xJ1 ( x) J1 ( x) dx)
( x)dx) xJ1 ( x) 2( xJ1 ( x) J 0
(7)
同样可得
2 sin x J 1 ( x) x 2
(8)
10
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1 2 1 J 3 ( x) J 1 ( x) J 1 ( x) ( cos x sin x) 2 2 x x x 2
2 3 x2 1 d sin x . x dx x
2 k 1 2( k 1) x (1)k 1 2 k 2 ( k 1)! ( k 2) 2 k 0 2 k 1 1 x J 1 ( x) k (1) . 2 k 1 k ! ( k 2) 2 x k 0
m 2
m 2
证明：由于
1 2n x J 1 ( x ) (1) n ( ) 2 1 2 n 0 2 n ! ( n ) 2
1
1 2n 1 x ( 1) n ( ) 2 (2n 1)!! 2 n 0 n! 2n 1 1 1 2n 1 2n 3 1 1 (2n 1)!! ( n ) ( n ) ( n ) ( ) n 2 2 2 2 2 2 2 2
作变换
r x,
2 2 x y ( x) xy ( x) ( x v ) y ( x) 0 2
固有值为
2
(1)求固有函数、固有值 (2)证明固有函数正交性 (3)求固有函数的模
第四章-贝塞尔函数的性质
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(1)求固有函数、固有值 方程(13)的通解为 R (r ) CJ ( r ) DN ( r ), 因为 N ( r ) , ( r 0) 所以 在自然边界条件 R(0) 下,D 0,
dr
dr
r
以 J (n r ) 和 J (m r ) 分别乘以这两个方程，
第四章-贝塞尔函数的性质
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2 d d 2 J (n r ) (r J (m r )) (m r ) J (n r ) J (m r ) 0, dr dr r 2 d d 2 J (m r ) (r J (n r )) (n r ) J (n r ) J (m r ) 0. dr dr r
2 J ( r ) J ( r ) 证明 设 m 和 n 分别是对应与固有值 m 2 和 n 的固有函数，则 2 d d 2 (r J (m r )) (m r ) J (m r ) 0, dr dr r 2 d d 2 (r J (n r )) (n r ) J (n r ) 0.
12
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此外，由于
J 1 ( x ) cos( ) J 1 ( x) 2 2 2 2 N 1 ( x) J 1 ( x) sin x (11) x 2 2 sin( ) 2
J 1 ( x) cos J 1 ( x) 2 2 2 2 N 1 ( x) J 1 ( x) cos x (12) x 2 2 sin 2