_极限的性质与四则运算法则

推论5 如果 lim f ( x)存在且不为零, 而k是正整数, 则
lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k .
注
⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等； ⑵定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。
1 如 lim 1
n n
备忘 a0b0 0时，
an x n an 1 x n 1 a0 lim x b x m b x m 1 b0 m m 1
0 an bm
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例
注
(2) n 3 n 求极限 lim 。 n 1 n 1 n ( 2) 3
x 2 x 2 x 2 x 2
( lim x)2 3 lim x lim 5
x 2 x 2 x 2
22 3 2 5 3 0,
lim x 1
3
x 2 x 2
3x 5
23 1 7 . 3 lim( x 2 3x 5) 3
由无穷小与无穷大的关系,得 4x 1 lim 2 . x1 x 2x 3
0 当出现 或 时，可考虑尽可能化去0因子或因子。 0
2、消零法 若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式， 再消去公因式，直至可直接代入。
x 3 x 2 16 x 20 例 求极限 lim 3 。 x 2 x 7 x 2 16 x 12
1 x
1 x
x 0
。
提 示
答案 不存在。
取t满足xt=1，则 x→0-时t→-∞； x→0+时t→+∞。
7、其他
必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。
例
答案 练习 答案
1 1 1 求极限 lim 1 2 2 3 n(n 1) 。 n
答案
1 2
3 1 练习 求极限 lim 。 3 x 1 1 x 1 x
答案
-1
6、变量代换法
方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之 改变)。 例 求极限 lim
1 n x 1 x
m x 1
(m、n N)。
计算过程
练习 求极限 lim
2 1 2 1
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
推论1 如果 lim f ( x)存在, 而c为常数, 则
lim[ cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
计算过程
例3 求 lim
解
x2 1 2x 3
x1 x 2
.
x 1时, 分子, 分母的极限都是零.
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
( x 1)( x 1) lim 2 lim x1 x 2x 3 x1 ( x 3)( x 1)
lim
§2.4 极限的性质与四则运算法则
一、性质 性质1(唯一性) 若极限lim f(x)存在，则极限唯一。 注 此定理对数列也成立。 性质2(局部有界性)
0 使f ( x)在U ( x0 )内有界。
若极限 lim f ( x) 存在，则 0，
x x0
注 1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范
Leabharlann Baidu
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
x 2 2x 例7 求 lim . x 2 x2
解
x 2 2x x 2 2x 原式 lim x 2 x 2 2x
x 2
lim
x 2 2x
x 2
x 2
计 算 极 限
3 xlim (
x x x x) 。
1 12 4 xlim2( 3 )。 x 2 x 8 1 5lim arctan 。 x 0 x
思考题
若 lim (ax x 2 x 1 b) 0 ，求a、b 。
x
x 2 x 2 x 2
lim x 3 lim 1
例2 求 lim 解
4x 1 2x 3
x1 x 2
.
lim( x 2 2x 3) 0,
x1
商的法则不能用
又 lim(4x 1) 3 0,
x1
x 2 2x 3 0 lim 0. x1 4x 1 3
f ( x) （或f ( x) 0），则A （或A 0）。 0 0
注 若已知中是f ( x) 0，结果仍是A 0。
lim 性质5 已知 lim f ( x) A， g ( x) B，若 0，使
x x0 x x0
0 x U ( x0 )，f ( x) g ( x)，则A B。
x 2 2x
1
1
1 4
lim

x 2
x 2 2x
x 2
lim x 2 lim 2x
x 2
5、通分法
0 两个分式相减，若是 ，可考虑通分化为 式。 0
例
1 2 求极限 lim 。 2 x 1 1 x 1 x
x 2 lg(3x 4) 。 例 求极限 lim x 2 x ( x 2) arctan 2 2 答案
1、代入法

注意 代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。
例1 解
求 lim
x3 1 3x 5
x 2 x 2
.
lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
围确定。 2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由
具体函数确定。
0 性质3(局部保号性) 若 lim f ( x) A （或A 0），
x x0
0 则 0，使x U ( x0 )，f ( x) （或f ( x) 0）。 0
0 性质4 已知 lim f ( x) A，若 0，使x U ( x 0 )， x x0
(3)参加求极限的函数应为有限个。

n
n
1 lim 1 1 n n
利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一 些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。
0 当代入结果为一个数(即不会出现 、 、00、 、0 等情 1 0 况)时可直接代入。
2 . 7
例5
求 lim
2x 4 x 2 1
3
x 4x
x 6
2
.
4 1 6 2 4 解 4 x3 x 2 6 x 0 lim 4 lim x x x 2 x x 2 1 x 1 1 2 2 4 x x 4 2 2x x 1 lim 3 2 x 4x x 6
答案 0
计算过程
很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数
以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
例4 求 lim
解
2x 3 3x 2 5 7 x 4x 1
3 2
x
.
3 5 2 3 2x 3 3x 2 5 x x lim lim 4 1 x 7 x 3 4x 2 1 x 7 3 x x
计算过程
0 求分式极限，一定看清楚是 还是 。 0
4、有理化法
若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之 有理化。 例
求极限 lim 5 4 x 1 x
3
x 1
。
计算过程
练习 求极限 lim 答案 a b
x

( x a )( x b) ( x a )( x b) 。
例6 求 lim ( 1 2 n ). n n 2 n 2 n2
解 n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限.
n
lim (
1 n
2
2 n
2
n n
) lim 2
1 2 n n2
n
1 n(n 1) 1 1 1 2 lim (1 ) . lim n 2 n 2 n n2
推论2 如果 lim f i ( x)存在, 而ai 为常数(i 1,2,, n), 则 lim[ a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) an f n ( x)] lim a1 f1 ( x) lim a2 f 2 ( x) lim an f n ( x)
二、四则运算法则
根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数 ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。 定理 设 lim f ( x ) A , lim g( x ) B, 则
1 x1 . 2 x1 x 3
x2 1
3、消最大公因子法
同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、 分母除以最高次数的项。
2 x 5 3x 2 1 例 求极限 lim 。 5 3 x 4 x x 7 3n 4 7n 3 2 练习 求极限 lim 。 5 n n 1
推论3 如果 lim f i ( x)存在(i 1,2,, n), 则 lim[ f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)]
lim f1 ( x) lim f 2 ( x) lim f n ( x)
推论4 如果 lim f ( x)存在, 而k是正整数, 则
lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k .
1
1 3 (2n 1) 求极限 lim 。 n 2 4 2n
1
( x 2 x 2) 20 1lim2 3 。 10 x ( x 12 x 16 ) ( x 2 1 2 x) 2 2 xlim 。 2 3x 1