函数的最大值最小值问题

§ 4函数的最大值最小值问题

最值与极值的重要区别： 极值是一点X 。局部的形态;

最值是某区间整体的形态。 先讨论必要

性： X 。是f (x)在(a b 内的最大(小)值,

=X 。必是f (x)在(a,b)的极大(小)值点,

=X 。是f (x)的稳定点或不可导点.

稳定点

f(x)在［a,b ］的可能的最值点：S 不可导点

,区间端点

F 面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明.

1 •闭区间情形

设f (x)在a,b 1连续，这时f (x)在l.a, b 1必有最大值.

则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较 (如果可能的 话)，最大者即是最大值.

2.开区间情形

设f(x)在(a,b)可导，且在(a,b)有最大值.若在(a,b)内有唯一的 稳定点X 。，则X 。是最大值点.

注意强调最值的存在性

例1 一块边长为a 的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形, 做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？

图5-13

解设x为截去的小方块的边长，则盒的容积为

V(x)二x(a 2,) ,x 100,)

显然，V(x)在(0,a)可导，且

2

' 2

V (x) =(a _2x) _4x(a _2x) =(a_2x)(a _6x)

令V (x) = 0得x =—或x =—。因此在(0,—)中有唯一一的稳定点—o

2 6 2 6

由实际问题本身知V(x)在(0,-)中必有最大值，故知最大值为

2

V(—) -a3。即截去的小的方块边长为-时，盒的容积最大。

6 2

7 6

例2求函数f (x) = 2x3 -9x2 +12x在1-1,3】的最大值和最小值

解2x3-9x212x =x 2(x-9)2 15，

IL 4 8

因此f(x) =(2x3-9x2 12x)sgnx,x 〔-1,3 1，

f (x) =(6x2-18x 12)sgn x = 6(x-1)(x -2)sgn x, x (T,0) _• (0,3) 故f (x)的稳定

点为x=1,x=2，不可导为x=0。

比较所有可能的最值点的函数值：

f(-1)= 2 3f, (0) f 0, =(1f) 5〒(f2) =4,

即得最大值为f(-1) = 23，最小值为f(0)=0。

例3 在正午时，甲船恰在乙船正南82处，以速度V1=20km h向正东开出；乙船也正以速度v =16km h向正南开去(图5—15).已知两船航向不变，试证：下午二时，两船相距最近.

图5-15 证明设t小时后，两船相距y(t)公里，则显然有

y(t) »(20t)2(82-16t)2，t 0

求y(t)的最小值等价于求y2(t) ? f (t)的最小值。

f (t) =800t -32(82 -16t)二

令f (t) 0的唯一稳定点t = 2 o

比较t =0和t = 2点的值：

2

f (0)=82 =6724，f (2) =4100，lim f(t)二二

故t =2时函数达到最小值，即下午二时，两船相距最近y(2)=10 .. 41 .

例4做一个圆柱形无盖铁桶，容积一定，设为 V 0 .问铁桶的底半径与 高的比例应为多少，才能最省铁皮？

图 5~14

解 设铁桶底半径为r ，高为h (见图5—14)，则所需铁皮面积为 s = 2 二 rh 二 r 2

利用巳知条件V 。二二r 2h ，得h 二竺.贝U 面积s 可化为r 的函数

兀r

s(r)二 2V ^ 二 r 2,0 ::: r ::

r

于是问题化为求函数s 在(0j ：：)内的最小值问题.

2 二 r ‘ -2V 0

2 r

令s(r) =0,得到唯一的稳定点 O 乂，又由实际问题本身知s(r)在 I

s(r)= 2V o (0,匸：)必有最小值，从而唯一的稳定点 r 。必是最小值点，此时有

即当底半径r与高h相等，均为3 时，最省铁皮

例4根据物理学的费马原理，光线沿着所需时间为最少的路线传播.今有I 两种介质，以L为分界线.光在介质I与介质U中的传播速度分别为v1和v2。问：光线由介质I中的点A到介质U中的点B，应走哪一条路线?

解取分界线L所在直线为Ox轴.过A，B作L的垂线，设垂足为A , B i，设AA, =a,BB i =b,A B i =c,并选定A为坐标原点0(图5-16)。

光线在同一介质中的传播途径应当是直线。设想光线从点A到点B 所走的路线通过L上的点M , M的坐标为X。于是问题化为，当x取何值时，折线AMB才是光线所有的路线。

光线从点A到达点B所需的时间为

图5-16

丄AM BM ' a2|J x2，b2©(c-x)2, 一

t (-：-：：： x ”Q) v, v2v(v2

根据费马原理，我们要求的是上述函数t = f (x)的最小值.

「'(x)—X=

dx g. a2 x2 V2 b2 (c - x)2

可写为 1 A,M 1 B,M

V| AM v2 BM

即sin t sin -v1v2

或

s i n v1

sin： v2

c- X

2

2

2\2

b2薯f"(x)二

¥(a2+x2)2V2 b2+

因为f(X)恒为正，所以f(X)在(-：：,-:: 3

2 (c-x厂

)上严格单调上升，从而方程f (x) =0至多有一个根，即函数t=f(x)至多有一个稳定点.又因为

f (x)是X的连续函数，且

f g V2_b^c2：：0，

c

f (c)

0 ，

所以方程f (x) =0的根位于区间(0,c)内，记作x0.这就是函数t = f (x)

的唯一稳定点.已知f"(x)恒为正，因此f"(x。).0，于是由极值第二充

分条件，f (人)为函数t = f(x)的极小值.又lim f (x) ±•：-，x_^oc

驭f(x)=P

因而连续函数t二f(X)的最小值必在(-匕，•：：)内部达到.于是可以断定,

唯一的极小值f(x°)就是最小值.这表明，当点M的横坐标x=x°时,

折线就是AMB光线所走的路线.

上面的时沦只告诉我们：X^ (0,c)，并不知道X0的具体数值.求出

X。

X。的值比较困难，不过实际上并不需要，我们可以从几何上作如下说明:

X)所满足的方程f'(x)二

X

v^ a2x2

c -x

v2 . b2(c _ x)2