函数的最大值最小值问题
函数的最大值和最小值题解
函数的最大值和最小值例1.设x是正实数，求函数的最小值。
解：先估计y的下界。
又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。
说明本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。
“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。
例如，本题我们也可以这样估计：但y是取不到-7的。
即-7不能作为y的最小值。
例2. 求函数的最大值和最小值。
解去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)³0, y2+3y--4£0,所以-4£y£1又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以y min=-4，y max=1.说明本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数，xÎ[0,1]的最大值解：设，则x=t2-1y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1原函数当t=时取最大值例4求函数的最小值和最大值解：令x-1=t()则y min=例5.已知实数x,y满足1£x2+y2£4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：∵∴又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因为∴又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=例6.求函数的最大值和最小值解：原函数即令(0<t£1) 则y=5t2-t+1∴当x=±3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5例7.求函数的最大值解：设，则f(x)=由于0£a<1,故f(x)£，又当x=(k为整数)时f(x)= ,故f(x)max=例8.求函数的最大值解：原函数即在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=又当时，f(x)=故f max(x) =例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，当0£a2-4a-2£10中变动时，求m的最大值解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0£a2-4a-2£10解得：或£a£6故当a=6时，m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。
高一数学函数的最大(小)值
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的 函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减， 在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
是函数f (x)的一个 .
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
x
2 1
O
1
2
3
4
5
6 y
例3.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
课1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1.
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
3.5 函数的极值与最大值最小值
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
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例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解 因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模 数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表 刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个 数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问 题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型 给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得 对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大 值．
f (x)
f(x)
↗
不可导
极大值0
↘
0
极小值
1 2
↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
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x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
函数的最大值和最小值(高一学生适用)
函数的最大值和最小值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
函数的最大值最小值问题
在( a,b )内可导，且有唯一驻点 x0 ．如果能根据实际 问题的性质可以断定 f (x) 确有最大（小）值，而且一
定在区间内部取得，那么 f (x0 ) 必为最大（小）值．
例 一房地产公司有 50 套公寓要出租.当月租金为 1 000 元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加 50 元 时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月 需花费100 元的维修费.试问房租定为多少可获得最 大收入？
令
f
(x)
0 ，解得
x
1 2
；而
f
1 2
0，
f
(1)
1,
f
(0)
1,
f
1 2
1 2 p1
为最小值，故
x [0,1]
，原不等式
1 2 p1
xp
(1
x) p
1
成立。
第四节 函数的最大值 最小值问题
01
02
03
04
在很多学科领域与 实际问题中，
常遇到在一定条件 下
如何用料最省、成本最 低、时间最短、效益最
高等问题，
这类问题我们称为 最优化问题.
05
06
07
在数学上，它们归 结为
求某一个函数（称为目 标函数）在某个范围内
的最大值、
最小值问题（简称 为最值问题）．
y
y
y
oa
我们来看一下下面的几 幅图：
b x COoNaTENTS b x
oa
bx
通过观察可以发现，函数在[ a,b ]上的最大值和最小值， 只可能在区间内的极值点和区间端点处取得．因此，
第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题
面积、体积(容积)的最值问题
[例 3] 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的 一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科 技工业园．已知 AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|＝|BC| ＝4 km，|AO|＝2 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点 且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的两边分别落在 AB，BC 上，且一个顶点落在曲线段 OC 上，应如何规划才能使矩形工业园 的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)．
(2)当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，只需使 f(x)在[－1,2]上的 最大值小于 m 即可．
由(1)知 f(x)极大值＝f(－23)＝5＋2227， f(x)极小值＝f(1)＝72. 又 f(－1)＝121，f(2)7. 所以 m>7，即 m 的取值范围为(7，＋∞)．
求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π] [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值，然后再与端点 值比较，即可确定函数的最值．
[精解详析] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
元，则总造价的最小值为
()
A．400 元
B．1 200 元
C．1 600 元
D．2 800 元
解析：设总造价为 y 元，池底的一边长 x 米，池底的面积为 8÷2 ＝4(平方米)，池底的另一边长为4x米，池壁的面积为 4x＋4x平 方米，故有 y＝4×300＋4x＋4x×100＝400x＋4x＋1 200(x＞ 0)．y′＝4001－x42， 令 y′＝0 得 x＝2，由 y′ ＞0 得 x ＞2，由 y′＜0 得 0＜x＜2， 即 y 在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当 x＝2 时，y 取得最小值，且 ymin＝2 800. 答案：D
函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4・y・(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习：1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。
函数的最大值和最小值
f ( x)在[3,4]上单调递增,
当x 3时, f ( x)最小值为 15 7 , 当x 4时, f ( x)最大值为20 2 7 .
值域为[15 7 ,20 2 7 ].
例5. ( 05全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形 铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正 方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该 容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960…………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………11分 所以当x=10,V有最大值 V(10)=1960…………………………12分
f ( x) 0, 得x 0.
例2.已知函数f ( x) x 3 ax2 bx在区间(2,1)内,
2 略解 : f ( x) 0 x 1, 为其两根. 3 1 a ,b 2 2 3
/
2 当x 1时取得极小值 ,当x 时取得极大值 . 3 f ( x) f ( x)[2,1]
2 2 0 x , 则 f ( x ) 0 , 从而 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递增； 若 a 2 a 2 若 x ,则f ( x) 0, 从而f ( x)在( ,) 上单调递减. a a f ( x) 在区间[0，1]上的最大值是 f (1) 1. （2）（i）当a=0时，
函数的最大值 和最小值
一.函数在什么条件下—定具有最大值和最小值?最值 与极值的关系如何?求函数的最值的方法与步骤怎样?
函数的最大值和最小值的求解方法
函数的最大值和最小值的求解方法1.图像法：通过绘制函数的图像来估计最大值和最小值。
首先，通过计算函数的导数来确定函数的增减性。
然后，在函数的定义域内绘制函数的图像，并观察图像的走势。
函数在其图像上的最高点（最大值）和最低点（最小值）对应着函数的最大值和最小值。
2.导数法：通过计算函数的导数来确定函数的最大值和最小值。
对于函数f(x)，当f'(x)=0或f'(x)不存在时，f(x)可能取得极值。
因此，函数的最大值和最小值发生在导数为零或导数不存在的点上。
用一阶导数测试和二阶导数测试可以判断一个点是极大值还是极小值。
3.函数的端点：当函数在一个区间的一个或多个端点处定义时，此区间的端点可能是函数的最大值和最小值。
在确定端点的值后，通过计算函数在这些点上的函数值，可以判断哪个点是函数的最大值和最小值。
4.根的方法：对于函数f(x)，要找出其最大值和最小值，首先需要找到所有满足f'(x)=0的x值，即函数f(x)的零点。
然后，在这些零点中找出所有满足f''(x)=0的x值，即函数f'(x)的零点。
在这些零点中找到的x值对应的f(x)值即为函数的最大值和最小值。
5. 化简方法：对于一些特殊形式的函数，可以通过化简来确定最大值和最小值。
比如，对于一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，可以通过求导或者用二次函数的顶点公式来确定函数的最大值和最小值。
需要注意的是，以上方法并非适用于所有的函数和问题。
对于复杂的函数和问题，可能需要使用其他更高级的方法，如微积分的高级理论和算法来求解函数的最大值和最小值。
同时，计算最大值和最小值时，也要注意函数的定义域和约束条件，避免出现错误的求解结果。
第五节函数的极值与最大最小值
(2) 最大值
M m f(x1),a f(x2), x ,f(xm), f (a), f (b)
最小值
m m f (x1), fi (x2n ),,f(xm), f (a), f (b)
特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
得
x0
ma mn
是区间唯一的驻点，
故 f ( x0 ) 为区间(0, a)之间的最大值
fma x f(m m n)a m m nn(m a n)m n
例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若 目 标 函 数 只 有 点,则 唯该 一点 驻的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 小（ ）或 值最 ．
例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
例6. 设 x1是, x任2 意两正数，满足： x 1 x 2 a (a 0 )
求 x1m x2n 最大值。
解: 设 f (x) xm(ax)n
0xa
即求 f (x) 在 ( 0, a ) 内的最大值
f'(x ) x m 1 ( a x )n 1 [ m ( m a n )x ]令 f'(x)0
o
x0
x
求极值的步骤:
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值.
函数最大值、最小值问题
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;f (2) 34;f (1) 7;
f (4) 142;
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
又例：求 f ( x) ( x 5)3 x2 在[-1,4]上的最值，
解：
f
(x)在[-1,4]上连续，
f
'(x)
5( x 2) 33 x
x=0处f (x)不存在，x=2为f (x)的驻点，
f (0) 0, f (2) 33 4, f (1) 6, f (4) 3 16.
经比较知：f (x)的最大值为f(0)=0，最小值为f (-1)= -6。
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较出 最大值及最小值。
注: 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值 (最大值或最小值).
应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
例2 罪犯乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我警摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
点击图片任意处播放\暂停
解 (1)建立敌我相距函数关系
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
0.5公里
s(t )
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
2.2最大值、最小值问题
(2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a )、 f(b)(端点 值)
比较 ; (3) 其中最大的为最大值 ,最小的为最小值.
探 究三
y
图1
结合图像和极值特点，
你能说出极值与最值 的区别和联系吗？
y
a x1O y x2 x3 b
x
图2
图3
a
O
x1 x1 x2
2 a 2
小结：
求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数
f '( x) 3x 2ax 4
2
（Ⅱ）若 f ( 1) 0 ，求 f ( x ) 在[-2，2]上的 最大值和最小值； （Ⅲ）若 f ( x ) 在（ - ∞， -2] 和 [2 ，+∞）上 都是递增的，求a的取值范围。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 9 4 50 a f max f (1) , f min f ( ) 2 2 3 27 f '( x) 3x2 2ax 4 0两个根在[ 2, 2]
1 m, 1 m,内是 答:（1）斜率为1; (2) f x 在 ，
1 m,1 m内是增函数. 减函数，在
f x 极大 2 3 1 m m2 3 3
f x 极小
2 3 1 2 m m ; 3 3
（04浙江文21）（本题满分12分） 2 f ( x ) ( x 4)( x a) 已知a为实数， （Ⅰ）求导数 f ( x ) ；
bx
a
O
x2
x3 b
x
探 究四 思考1 如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上 只有一个极值点，那么这个极值点一定是 最值点？试用图像表示！ 思考2 如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上 有两个极值点，那么极值点一定是最值点？ 试用图像表示！
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§ 4函数的最大值最小值问题
最值与极值的重要区别： 极值是一点X 。
局部的形态;
最值是某区间整体的形态。
先讨论必要
性： X 。
是f (x)在(a b 内的最大(小)值,
=X 。
必是f (x)在(a,b)的极大(小)值点,
=X 。
是f (x)的稳定点或不可导点.
稳定点
f(x)在［a,b ］的可能的最值点：S 不可导点
,区间端点
F 面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明.
1 •闭区间情形
设f (x)在a,b 1连续，这时f (x)在l.a, b 1必有最大值.
则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较 (如果可能的 话)，最大者即是最大值.
2.开区间情形
设f(x)在(a,b)可导，且在(a,b)有最大值.若在(a,b)内有唯一的 稳定点X 。
，则X 。
是最大值点.
注意强调最值的存在性
例1 一块边长为a 的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形, 做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？
图5-13
解设x为截去的小方块的边长，则盒的容积为
V(x)二x(a 2,) ,x 100,)
显然，V(x)在(0,a)可导，且
2
' 2
V (x) =(a _2x) _4x(a _2x) =(a_2x)(a _6x)
令V (x) = 0得x =—或x =—。
因此在(0,—)中有唯一一的稳定点—o
2 6 2 6
由实际问题本身知V(x)在(0,-)中必有最大值，故知最大值为
2
V(—) -a3。
即截去的小的方块边长为-时，盒的容积最大。
6 2
7 6
例2求函数f (x) = 2x3 -9x2 +12x在1-1,3】的最大值和最小值
解2x3-9x212x =x 2(x-9)2 15，
IL 4 8
因此f(x) =(2x3-9x2 12x)sgnx,x 〔-1,3 1，
f (x) =(6x2-18x 12)sgn x = 6(x-1)(x -2)sgn x, x (T,0) _• (0,3) 故f (x)的稳定
点为x=1,x=2，不可导为x=0。
比较所有可能的最值点的函数值：
f(-1)= 2 3f, (0) f 0, =(1f) 5〒(f2) =4,
即得最大值为f(-1) = 23，最小值为f(0)=0。
例3 在正午时，甲船恰在乙船正南82处，以速度V1=20km h向正东开出；乙船也正以速度v =16km h向正南开去(图5—15).已知两船航向不变，试证：下午二时，两船相距最近.
图5-15 证明设t小时后，两船相距y(t)公里，则显然有
y(t) »(20t)2(82-16t)2，t 0
求y(t)的最小值等价于求y2(t) ? f (t)的最小值。
f (t) =800t -32(82 -16t)二
令f (t) 0的唯一稳定点t = 2 o
比较t =0和t = 2点的值：
2
f (0)=82 =6724，f (2) =4100，lim f(t)二二
故t =2时函数达到最小值，即下午二时，两船相距最近y(2)=10 .. 41 .
例4做一个圆柱形无盖铁桶，容积一定，设为 V 0 .问铁桶的底半径与 高的比例应为多少，才能最省铁皮？
图 5~14
解 设铁桶底半径为r ，高为h (见图5—14)，则所需铁皮面积为 s = 2 二 rh 二 r 2
利用巳知条件V 。
二二r 2h ，得h 二竺.贝U 面积s 可化为r 的函数
兀r
s(r)二 2V ^ 二 r 2,0 ::: r ::
r
于是问题化为求函数s 在(0j ：：)内的最小值问题.
2 二 r ‘ -2V 0
2 r
令s(r) =0,得到唯一的稳定点 O 乂，又由实际问题本身知s(r)在 I
s(r)= 2V o (0,匸：)必有最小值，从而唯一的稳定点 r 。
必是最小值点，此时有
即当底半径r与高h相等，均为3 时，最省铁皮
例4根据物理学的费马原理，光线沿着所需时间为最少的路线传播.今有I 两种介质，以L为分界线.光在介质I与介质U中的传播速度分别为v1和v2。
问：光线由介质I中的点A到介质U中的点B，应走哪一条路线?
解取分界线L所在直线为Ox轴.过A，B作L的垂线，设垂足为A , B i，设AA, =a,BB i =b,A B i =c,并选定A为坐标原点0(图5-16)。
光线在同一介质中的传播途径应当是直线。
设想光线从点A到点B 所走的路线通过L上的点M , M的坐标为X。
于是问题化为，当x取何值时，折线AMB才是光线所有的路线。
光线从点A到达点B所需的时间为
图5-16
丄AM BM ' a2|J x2，b2©(c-x)2, 一
t (-：-：：： x ”Q) v, v2v(v2
根据费马原理，我们要求的是上述函数t = f (x)的最小值.
「'(x)—X=
dx g. a2 x2 V2 b2 (c - x)2
可写为 1 A,M 1 B,M
V| AM v2 BM
即sin t sin -v1v2
或
s i n v1
sin： v2
c- X
2
2
2\2
b2薯f"(x)二
¥(a2+x2)2V2 b2+
因为f(X)恒为正，所以f(X)在(-：：,-:: 3
2 (c-x厂
)上严格单调上升，从而方程f (x) =0至多有一个根，即函数t=f(x)至多有一个稳定点.又因为
f (x)是X的连续函数，且
f g V2_b^c2：：0，
c
f (c)
0 ，
所以方程f (x) =0的根位于区间(0,c)内，记作x0.这就是函数t = f (x)
的唯一稳定点.已知f"(x)恒为正，因此f"(x。
).0，于是由极值第二充
分条件，f (人)为函数t = f(x)的极小值.又lim f (x) ±•：-，x_^oc
驭f(x)=P
因而连续函数t二f(X)的最小值必在(-匕，•：：)内部达到.于是可以断定,
唯一的极小值f(x°)就是最小值.这表明，当点M的横坐标x=x°时,
折线就是AMB光线所走的路线.
上面的时沦只告诉我们：X^ (0,c)，并不知道X0的具体数值.求出
X。
X。
的值比较困难，不过实际上并不需要，我们可以从几何上作如下说明:
X)所满足的方程f'(x)二
X
v^ a2x2
c -x
v2 . b2(c _ x)2。