2019-2020学年江苏省泰州中学高一下学期期中数学试题(解析版)
江苏省泰州中学2019-2020学年高一下学期4月空中课堂效果检测数学试题 Word版含解析
江苏省泰州中学空中课堂效果检测高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线350x +-=的倾斜角为（ ） A. 30- B. 150C. 120D. 60【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，解方程即可. 【详解】由已知，设直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，又[0,180)α∈， 所以150α=. 故选：B【点睛】本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2.已知经过两点(5,)m 和(,8)m 的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是（ ）A. (5,8)B. (8,)+∞C. 13(,8)2D. 13(5,)2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式解分式不等式． 【详解】由题意得815m m ->-，即21305m m ->-，解得1352m <<.故选D. 【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切．3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若////m n αα，，则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥ D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D .【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.4.不论m 为何实数，直线(m -1)x -y +2m +1=0恒过定点( ) A. 1(1,)2- B. (-2，0) C. (-2，3) D. (2，3)【答案】C 【解析】 【分析】将直线(m −1)x −y +2m +1=0可为变为m (x +2)+(−x −y +1)=0，令2010x x y +=⎧⎨--+=⎩，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．【详解】直线(m −1)x −y +2m +1=0可为变为m (x +2)+(−x −y +1)=0令2010x x y +=⎧⎨--+=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩.故无论m 为何实数，直线(m −1)x −y +2m +1=0恒通过一个定点(−2,3) 故选C.【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A. 12π B. 2πC. 122πD. 10π【答案】A 【解析】 【分析】由截面是面积为8的正方形可得圆柱的高和底面圆的直径，进一步得到底面积和侧面积，相加即可得到答案.【详解】由已知，正方形的边长为2，即圆柱的高为222， 所以圆柱的表面积为222)222212S πππ=⨯⨯+=. 故选：A【点睛】本题考查求圆柱的表面积，考查学生的空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.6.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.长方体1111ABCD A B C D -中的8个顶点都在同一球面上，3AB =，4=AD ，15AA =，则该球的表面积为（ ） A. 200π B. 50πC. 100πD. 25π【答案】B 【解析】 分析】利用长方体体对角线为其外接球的直径计算即可得到答案. 【详解】由已知，22119162552AC AB AD AA =++=++=，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径15222AC R ==， 故外接球的表面积为2450R ππ=.【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道容易题.8.如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，AE PC ⊥垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒A. BC ⊥平面PACB. AE EF ⊥C. AC PB ⊥D. 平面AEF ⊥平面PBC【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC 选项，由面面垂直的判定可判断D.【详解】对于A ，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，而BC ⊂底面圆面，则PA BC ⊥， 又由圆的性质可知AC BC ⊥，且=PA AC A ∩， 则BC ⊥平面PAC .所以A 正确；对于B ，由A 可知BC AE ⊥，由题意可知AE PC ⊥，且BC PC C ⋂=，所以AE ⊥平面PCB ，而EF ⊂平面PCB ，所以AE EF ⊥，所以B 正确；对于C ，由B 可知AE ⊥平面PCB ，因而AC 与平面PCB 不垂直，所以AC PB ⊥不成立，所以C 错误.对于D ，由A 、B 可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PCB ，由面面垂直的性质可得平面AEF ⊥平面PBC .所以D 正确； 综上可知，C 为错误选项. 故选：C.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.9.已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（）A. 2B. 5C. 25D. 4【答案】A【解析】圆22:20C x y y++=即22(y1)1x++=,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆．由于四边形PACB面积等于122PA AC PA⨯⨯⨯=，而21PA PC=-.故当PC最小时，四边形PACB面积最小.又PC的最小值等于圆心C到直线240x y-+=的距离d,而()22014521d++==+-，故四边形PACB面积的最小的最小值为512-=，故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．10.已知四棱锥S ABCD-的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为α，SE与平面ABC D所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为γ，则（）A. αβγ≤≤ B. βαγ≤≤ C. aβγ≤≤ D.γβα≤≤【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别求出SE 与BC 所成的角α、SE 与平面ABC D 所成的角β、二面角S-AB-C 的平面角γ的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小. 【详解】四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等， 所以四棱锥为正四棱锥，（1）过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ，连接SN ，取AB 中点M ，连接OM ，如下图（1）所示：则tan SN SNNE OMα；（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tan SO OEβ;（3）连接OM ，则tan SOOMγ=，如下图（3）所示：因为,,SN SO OE OM ≥≥ 所以tan tan tan αγβ≥≥， 而,,αβγ均为锐角， 所以,αγβ≥≥ 故选：C.【点睛】本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每题所给的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分）11.若直线1l ：(2)10m x y ---=，与直线2l ：30x my -=互相平行，则m 的值可能为（ ）A. 1-B. 1C. 3D. 0【答案】AC 【解析】 【分析】因1l ∥2l ，由直线1l 的斜率存在可知直线2l 的斜率必存在，直接利用两直线斜率相等，截距不等，解方程组即可.【详解】由已知，12l k m =-，因为1l ∥2l ，所以直线2l 的斜率存在，故0m ≠，且23l k m=， 由1210l l k k =⎧⎪⎨-≠⎪⎩，得32m m -=，即2230m m --=，解得1m =-或3m =.故选：AC【点睛】本题考查已知两直线的位置关系求参数值的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.12.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正四棱锥的底面边长为4cm ，侧面积为224cm ，则该四棱锥的体积是________3cm . 【答案】1653【解析】 【分析】先算侧面三角形的高，再算正四棱锥的高，最后算四棱锥的体积. 【详解】如图：由已知得，14242AD PE ⨯⋅=,所以3PE =；所以四棱锥的高225PO PE OE - 因此四棱锥的体积11653ABCD V S PO =⋅⋅=. 【点睛】本题考查了锥体体积的计算，几何体体积问题要结合图形. 14.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.若2,2,a b ==sin cos 2B B +=，则角A 的大小为____________________.【答案】6π【解析】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由sin cos 2)24B B B π+=+=sin()14B π+=，所以4B π=由正弦定理sin sina bA B=得 2.sinsin14sin22a BAbπ===，所以A=6π或56π（舍去）、15.过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．【答案】2x+y=0或x+y-1=0【解析】当直线过原点时，斜率等于20210-=---，故直线的方程为2y x=-，即20x y+=，当直线不过原点时，设直线的方程为0x y m++=，把()1,2P-代入直线的方程得1m=-，故求得的直线方程为10x y+-=综上，满足条件的直线方程为430x y+=或10x y++=，故答案为20x y+=或10x y+-=.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 21.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决．【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB BE x==，延长BC与FE交于点G，延长BC交正方体棱于H，由半正多面体对称性可知，BGE∆为等腰直角三角形，22,2(21)1BG GE CH x GH x x x∴===∴=⨯+=+=，2121x∴==-+，即该半正多面体棱长为21-．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.分别根据下列条件，求圆的方程.（1）过点(4,0)A-，(0,2)B和原点；（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线2350x y-+=上.【答案】（1）22420x y x y++-=；（2）22(5)(5)25x y-+-=或22(1)(1)1x y++-=. 【解析】【分析】（1）已知三点常设圆的一般方程来求解；（2）设圆心的坐标为25(,)3aa+，由题意可得25||||3aa+=，解方程即可.【详解】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F++++=，由题意，4201640FE FD F=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得24FED=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22420x y x y ++-=.（2）由圆心在直线2350x y -+=上，设圆心的坐标为25(,)3a a +， 因为圆与两坐标轴均相切，所以25||||3a a +=， 解得5a =或1a =-.当5a =时，圆心为(5,5)，半径为5，则圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=； 当1a =-时，圆心为(1,1)-，半径为1，则圆的方程为22(1)(1)1x y ++-=； 故所求圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y ++-=.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）3；（2）(]6,9. 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式化简sin 26cos sin b A A B =，再根据正弦定理即可解出a ；（2）用正弦定理分别表示,b c ，再用三角形内角和及和差公式化简，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =； （2）由正弦定理得sin 23sin a B b B A ==，sin 23sin a Cc C A==ABC ∆周长：23232332323sin()3a b c B C B B π++=++=++- 33323sin 36sin 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈. 因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9.【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，三角形求边长取值范围常用的方法：1、转化为三角函数求最值；2、基本不等式.19.如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD上的中点.（1）求证：EF 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明； （2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF . 【详解】（1）E ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴BD ；又EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，EF∴平面ABD .（2）BD CD ⊥，EF BD ，EF CD ∴⊥；AE 平面BCD ，AE CD ∴⊥；又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，CD 平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ，∴平面AEF ⊥平面ACD .【点睛】本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面.20.如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）8 【解析】试题分析：（1）欲证A 1D 1∥平面AB 1D ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A 1D 1与平面AB 1D 内一直线平行，连接DD 1，根据中位线定理可知B 1D 1∥BD，且B 1D 1=BD ，则四边形B 1BDD 1为平行四边形，同理可证四边形AA 1D 1D 为平行四边形，则A 1D 1∥AD 又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A ﹣B 1BC 的高，求出三棱锥A ﹣B 1BC 的体积，从而求出三棱锥B 1﹣ABC 的体积． 试题解析：（1）证明：如图，连结1DD .在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,D D 分别是BC 与11B C 的中点，所以11//B D BD ，且11B D BD =. 所以四边形11B BDD 为平行四边形，所以11//BB DD ，且11BB DD =. 又1111//,AA BB AA BB =所以1111//,AA DD AA DD =， 所以四边形11AA D D 为平行四边形，所以11//A D AD .又11A D ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，故11//A D 平面1AB D .（2）解：（方法1)在ABC ∆中，因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面11B C CB ，即AD 是三棱锥1A B BC -的高. 在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得23AD =在1B BC ∆中，114,60B B BC B BC ==∠=︒， 所以1B BC ∆的面积2134434S B BC ∆=⨯=. 所以三棱锥1B ABC -的体积，即三棱锥1A B BC -的体积1114323833V S B BC AD =⨯∆⋅=⨯=.(方法 2)在1B BC ∆ 中，因为11,60B B BC B BC =∠=︒， 所以1B BC ∆为正三角形，因此1B D BC ⊥.因为平面ABC ⊥平面11B C CB ，交线为BC ，1B D ⊂平面11B C CB ， 所以1B D ⊥平面ABC ，即1B D 是三棱锥1B ABC -的高. 在ABC ∆中，由4AB AC BC ===，得ABC ∆的面积234434ABC S ∆=⨯=. 在1B BC ∆中，因为114,60B B BC B BC ==∠=︒，所以123B D =所以三棱锥1B ABC -的体积1114323833ABC V S B D ∆=⨯⋅=⨯=. 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4)1C x y -+-=.（1）若过点1(1,0)C -的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程； （2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长. ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】（1）4(1)3y x =+或3(1)4y x =+；（2）①证明见解析；②333312,22,12,222222⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程，根据弦的垂径定理结合点到直线的距离公式求解,注意斜率不存在的情况.（2）①由垂径定理得到圆心C 到1C 、2C 两点的距离相等，再有两点距离公式建立等式，化简即可；②根据①设圆心C 的坐标，得到圆C 关于参数m 的一般形式，由此可得动圆C 经过22620x y y +--=与10x y -+=的交点，联立解方程组即可.【详解】（1）如图：当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与圆2C 相离，与题意不符；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，圆心2:(3,4)C 到直线l 的距离22344411k k k d k k -+-==++又2222223151k k -⎛⎫+= ⎪⎝⎭+，解得43k =或34.直线l 的方程为4(1)3y x =+或3(1)4y x =+.（2）①设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径为r ， 若动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长，则22211r r CC =+,22222r r CC =+，所以12CC CC =，即2222(1)(3)(4)x y x y -+-=++ ，化简得30x y +-=. 过动圆圆心C 在直线30x y +-=上运动. ②动圆C 过定点，设(,3)C m m -，动圆C 的半径2222111(1)(3)r r CC m m =+=+++-，整理得22622(1)0x y y m x y +----+=，由2210620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩得3212322x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩或3212322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以动圆C 过定点，坐标为3232(1,2)22++或3232(1,2)22--. 【点睛】圆及其弦问题借助图形分析十分重要，动圆过定点问题需要把圆方程化为一个定方程与另一个定方程乘以一个参数的和，联立两个定方程解方程组即可，非解答题也可采用取特殊值解方程组.22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,55n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
2020年江苏省泰州中学高一下学期 数学 期中考试(附带详细解析)
5．B
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【详解】
解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，
b＝1.40.7＞1.40＝1，
0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，
∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．
故选B．
【点睛】
本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知 ， ， 分别表示三条直线， 表示平面，给出下列四个命题
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 .
其中正确命题的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．设函数f(x)＝ －ln（|x|+1），则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A． B．
16．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 为锐角三角形，且满足 ，则 的取值范围是_______________.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知 中， ， ， 分别为三个内角 ， ， 的对边， ，
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的值.
18．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点.
13．在正方体 中， 是棱 的中点，则直线 和平面 所成的角的正弦值为_____________.
14．如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD= ,E为BC中点,若 ,则 ___.
15．如图，在 中， ， 平面 ， 垂直平分 ，且分别交 ， 于点 ， ，又 ， ，则二面角 的大小为_______________.
江苏省泰州中学2019_2020学年高一数学下学期6月调研测试试题含解析
江苏省泰州中学2019-2020学年高一数学下学期6月调研测试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.40y -+=的倾斜角为（ ） A. 30︒ B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值计算即可.【详解】40y -+=的斜率为k =又倾斜角范围为[0,)π，故倾斜角为603π=.故选:B.【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系与直线的方程，属于基础题型. 2.将一枚骰子抛掷一次，则向上点数为2的概率是（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】一枚骰子抛掷一次，有6种结果，每种结果等可能出现，向上点数为2的情况只有一种，即可求．【详解】一枚骰子抛掷一次，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“向上点数为2”的情况只有一种，故所求概率为16. 故选:A.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，属基础题 3.已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是12，那么另一组数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -的方差是（ ）．A. 1B. 2C.12D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据数据关系得方差关系，即可求解.【详解】因为数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -的方差是数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差的4倍，所以数据121x -，221x -，321x -，421x -，521x -的方差是1422⨯=故选：B【点睛】本题考查方差、新旧数据方差关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在ABC 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么ABC 最大内角的余弦值为（ ）． A.524B.1116C.78D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 3:5:7A B C =结合正弦定理得::3:5:7a b c =，若设3,5,7a m b m c m ===，然后利用余弦定理可求出最大内角的余弦值.【详解】解：因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，所以::3:5:7a b c =，且解C 是最大内角， 设3,5,7a m b m c m ===(0)m >，则2222222292549151cos 2235302a b c m m m m C ab m m m +-+--====-⨯⨯， 故选：D【点睛】此题考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题.5.某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为 1.49.7y x =-+，则表格中c 的值为（ ）． A. 1.5 B. 5 C. 2.5 D. 3.5【答案】C 【解析】 【分析】先求出x ，代入回归方程 1.49.7y x =-+得y ，在利用平均数的求解方法即可求得c . 【详解】()11234535x =++++=，代入回归方程 1.49.7y x =-+得 1.439.7 5.5y =-⨯+=， 所以()15.5=87645y c =++++，解得 2.5c =. 故选：C【点睛】本题主要考查样本中心点必过回归方程，利用回归方程求解原始数据，是基础题. 6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm ，孔径4.9cm 、外径17.6cm .琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位：3cm ）（ ）A. 6250B. 3050C. 2850D. 2350【答案】D 【解析】 【分析】该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为17.6cm ，高为8.8cm 的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9cm ，高为8.8cm 的圆柱，利用圆柱的体积公式计算即可.【详解】由题可知，该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为17.6cm ，高为8.8cm 的正四棱柱中挖去一个底面直径为4.9cm ，高为8.8cm 的圆柱，此时求得体积记为1V ，()221 4.917.68.88.825602V π⎛⎫=⨯-⨯⨯≈ ⎪⎝⎭cm 3，记该神人纹玉琮王的实际体积为V ， 则1V V <，且由题意可知，2217.6 4.98.88.8197522V ππ⎛⎫⎛⎫>⨯⨯-⨯⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cm 3，故19752560V <<， 故选：D.【点睛】本题考查了组合体体积的计算以及柱体体积的计算公式，考查了转化能力，属于中档题.7.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是（ ）A. 2B. 3)2C. (D. 3(2【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得sin B 进而求得B 的大小.根据三角恒等变换化简cos sin A C +，由此求得取值范围.【详解】依题意2sin a b A =，由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6B π=.由23202A B A A ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩.所以5cos sin cos sin 6A C A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 2222A A A A A =++=+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336A πππ<+<，所以1sin ,322A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,322A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，属于基础题. 8.已知不全为0的实数a ，b ，c 满足2b a c =+，则直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为（ ）．B. 1C. D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线过定点(1,2)A ,再根据圆的性质确定圆心与A 连线垂直直线时，直线被圆截得弦长最短，最后根据直角三角形求结果. 【详解】2b a c =+∴直线0ax by c -+=过定点(1,2)A ,因为22220x y x y +--=，所以22(1)(1)2x y -+-=因此当圆心(1,1)C 与(1,2)A 连线垂直直线0ax by c -+=时，直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长最小，此时最小值为212==⨯=故选：D【点睛】本题考查直线过定点、直线与圆位置关系，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14C. 该市12月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折线图和AQI 指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确； 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的， 故B 正确；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.10.三角形有一个角是60︒，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）． A. 三角形另一边长为7 B. 三角形的周长为20 C. 三角形内切圆周长为3π D. 三角形外接圆面积为493π【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理求得第三边长，由此判断AB 选项的正确性；利用三角形面积列方程，解方程求得内切圆的半径，进而求得内切圆的周长，由此判断C 选项的正确性；利用正弦定理求得外接圆的半径，由此求得外接圆的面积，从而判断D 选项的正确性.7=， 三角形的周长为20，则A 正确，B 正确； 设内切圆半径为r ， 则11(875)85sin 6022r ++=⨯⨯︒，则r =则内切圆周长为2r π=，则C 不正确；设外接圆半径为R ，则72sin 60R =︒，R =,其面积为2493R ππ=， 则D 正确． 故选：ABD.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形内切圆，外接圆有关计算.属于较易题.11.点P 是直线40x y +-=上的动点，由点P 向圆22:4O x y +=引切线PA （A 为切点），则下列关于切线长PA 的说法中，正确的为（ ）． A. 切线长没有最大值 B. 切线长的可能值为4 C. 切线长有最小值 D. 切线长不可能为3【答案】ABC【解析】 【分析】根据切线长公式求切线长，再求其范围，最后根据范围判断选择. 【详解】设(,4)P x x -，则2222||(4)428122(2)42PA =x x x x x +--=-+=-+≥所以切线长没有最大值，切线长有最小值2，切线长的可能值为4或3， 故选：ABC【点睛】本题考查切线长、考查函数值域，考查基本分析求解与判断能力，属基础题. 12.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，点P 为线段AD 上的一动点，下列结论正确的是（ ）． A. 异面直线AC 与BD 所成的角为60︒ B. ACD △是等边三角形C. BCP 面积的最小值为112D. 四面体ABCD 的外接球的表面积为4π【答案】B 【解析】 【分析】取BD 的中点E ，连接,AE CE ，利用等腰三角形三线合一，可得,AE BD CE BD ⊥⊥，从而可得AC BD ⊥，可判断A ；通过计算222AC AE CE =+=，可得ACD △为正三角形；由BC 长为2，所以只需求出BC 边上高PG 的最小值就是BCP 面积的最小值；由于2AE CE BE DE ====，所以四面体ABCD 的外接球的半径为2，从而可求出其表面积.【详解】对于A ，取BD 的中点E ，连接,AE CE ，则,AE BD CE BD ⊥⊥，所以BD ⊥平面ACE ， 所以AC BD ⊥，所以异面直线AC 与BD 所成的角为90︒，所以A 不正确；对于B ，由于正方形的边长为2，所以2,2AD CD AE CE ====，因为90AEC ∠=︒，所以222AC AE CE =+=，所以ACD △为正三角形，所以B 正确；对于C ，如图，过P 作PF BD ⊥于F ，过F 作FG BC ⊥于G ，连接PG ， 因为平面ADB ⊥平面BCD ，所以PF ⊥平面BCD ，则PF FG ⊥，PF BC ⊥, 所以BC ⊥平面PFG ，所以BC PG ⊥，设PF x =，则=22DF x BF x =-，， 所以22FG =-， 所以222233228(2)224()22332x PG x x x x =+-=-+=-+，所以当22x =时，PG 有最小值263， 所以BCP 面积的最小值为26，故C 不正确；对于D ，由于2AE CE BE DE ====，所以E 为四面体ABCD 的外接球的球心，且球的2，所以四面体ABCD 的外接球的表面积为242)8ππ⨯=，故D 不正确， 故选：B【点睛】此题考查空间图形的折叠问题，考查了异面直线所成的角、几何体的外接球等，综合性强，属于较难题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.直线1l 的方程为2320x y +-=，直线2l 的方程为40mx y m --=，若12l l ⊥，则实数m 的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程解得结果.【详解】因为直线1l 的方程为2320x y +-=，直线2l 的方程为40mx y m --=，12l l ⊥， 所以23(4)06m m +-=∴= 故答案为：6【点睛】本题考查根据两直线垂直求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14.已知ABC 中，60A ︒∠=，BC =，则ABC 的外接圆半径________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正弦定理直接求结果. 【详解】设ABC外接圆半径为R ，则由正弦定理得221sin sin 60BC R R A ===∴= 故答案为：1【点睛】本题考查利用正弦定理求外接圆半径，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.在平面直角坐标系xOy 中，点()3,3A -，()1,1B -，若直线0x y m --=上存在点P 使得PA =，则实数m 的取值范围是_____．【答案】⎡-⎣.【解析】 【分析】 设(,)P x y 由PA =，求出P 点轨迹方程，可判断其轨迹为圆C ，P 点又在直线0x y m --=，转化为直线与圆C 有公共点，只需圆心到直线0x y m --=的距离小于半径，得到关于m 的不等式，求解，即可得出结论.【详解】设(,)P x y ，3PA PB =，223PA PB =，2222(3)(3)3(1)3(1)x y x y ++-=++-，整理得226x y +=，又点P 在直线0x y m --=，直线0x y m --=与圆226x y +=共公共点，圆心(0,0)O 到直线0x y m --=的距离6d ≤，即6,||23,23232m m ≤≤∴-≤≤. 故答案为:23,23⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在正方体的表面上运动，且与点A 的距离为23．动点P 的集合形成一条曲线，则整条曲线的周长是________．53π 【解析】 【分析】先确定P 在正方体棱上的位置，再确定在对应面上的弧长，即可求其周长.【详解】因为1||3||2332||AB AP AB =<==,所以P 点可在棱111111,,,,,BC BB A B A D DD DC 上（对应123456,,,,,P P P P P P ）, 动点P 的集合形成一条曲线如图所示.223123,23,,66AB AP P AB P AA P AB ππ==∴∠=∴∠=∠=，2331226P AP P AA P AB ππ∴∠=-∠-∠=，223,23,3AB AP P B ==∴=，因此根据对称性可得在表面11ABB A 、表面ABCD 、表面11ADD A 分别构成半径为23，圆心角为6π的圆弧；在表面11CBB C 、表面1111D C B A 、表面11CDD C 分别构成半径为3，圆心角为2π的圆弧；因此周长为533(23)3(3)622πππ⨯⨯+⨯⨯=.53π. 【点睛】本题考查立体几何轨迹问题，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知平面上三点(5,0)A ，(3,2)B --，(0,2)C ． （1）求直线BC 的方程；（2）求AB 的中点到直线BC 的距离． 【答案】（1）423y x =+（或4360x y -+=）；（2）135.【解析】 【分析】（1）先根据斜率公式求斜率，再根据点斜式方程得结果；（2）先根据中点坐标公式求AB 的中点，再根据点到直线距离公式得结果. 【详解】（1）因为2(2)40(3)3BC k --==--，所以直线BC 的方程为423y x =+（或4360x y -+=） （2）因为AB 的中点为(1,1)-， 所以AB 的中点到直线BC135=． 【点睛】本题考查直线点斜式方程、点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）3,1,2;（Ⅱ）（ⅰ）见试题解析;（ⅱ）35【解析】试题分析：（I ）由题意可得抽取比例，即可求出相应的人数；（II ）（i ）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果，共15种； （ii ）事件A 所包含的上述基本事件的个数为9个，由概率的公式即可求解概率．试题解析：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点：古典概型及其概率的计算．19.如图所示，在平面四边形ABCD 中，90ADC ︒∠=，45BAD ︒∠=，2AB =，22BD =．（1）求ADB ∠的大小；（2）若22DC =，求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）30ADB ︒∠=；（2）331. 【解析】 【分析】（1）在ABD △中,由正弦定理能求出sin ADB ∠即可求得ADB ∠的大小；（2）3sin cos BDC ADB ∠=∠=ABCD 的面积ADBBDCS S S=+，由此能求出结果．【详解】解：（1）在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AB DBADB BAD=∠∠所以22sin 12sin 222AB BAD ADB DB ⨯⨯∠∠=== ∵45A ︒=，∴0135ADB ︒︒∠<<， ∴30ADB ︒∠=；（2）在ABD △中，1803045105ABD ︒︒︒︒∠=--=， ∵()26sin105sin 6045︒︒︒+=+= ∴1sin 2ABDSBA BD ABD =⋅⋅∠126222312+=⨯⨯⨯=+； 在BCD 中，1sin 2CBDS DC BD BDC =⋅⋅∠ 132222232=⨯⨯⨯= ∴331ABCD ABDBCDS SS=+=+.【点睛】本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、三角形面积等基础知识的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.如图，在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上，武警边防支队在点A 、B 、C 处设置了治安卡口，B 、C 两点到A 的距离分别为11千米和32米，某一天，B 收到来自防控目标P 的一个特殊无线信号，7秒后A 、C 同时接收到该无线信号，已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒．（假设该无线信号沿直线传播）（1）求PA 的长度；（2）现要更改卡口B 的位置，使得卡口B 能在最短时间内截获到来自P 处的信号，求此时P 、B 两点间的距离．【答案】（1）20千米；（2）12千米． 【解析】 【分析】（1）用PA 表示,PC PB ,再利用PBA PBC π∠+∠=，结合余弦定理列方程组，解得结果； （2）作PD AC ⊥于D ，则D 为满足题意的点，再结合等腰三角形性质求解结果. 【详解】解：（1）依题意，设PA PC x ==（千米），177PB x x =-⨯=-（千米）． 因为PBA PBC π∠+∠=，所以cos cos PBA PBC ∠=-∠ 在PAB △中，由余弦定理得2222cos PA PB AB PB BA PBA =+-⋅⋅∠在PBC 中，由余弦定理得2222cos PC PB CB PB CB PBC =+-⋅⋅∠所以()()()()2222227112711cos 7212721cos x x x PBA x x x PBC⎧=-+-⨯-⨯⨯∠⎪⎨=-+-⨯-⨯⨯∠⎪⎩ 又cos cos PBA PBC ∠=-∠，解得20x ，所以20AP =千米 答：PA 的长度为20千米 （2）作PD AC ⊥于D ，PA PC =∴ D 为AC 中点,在ADP △中，由164cos 205PAD ∠==，得23sin 1cos 5PAD PAD ∠=-∠=， ∴3sin 20125PD PA PAD =∠=⨯=千米．答：目标P 到卡口B 的距离最小为12千米．【点睛】本题考查余弦定理、解三角形，考查基本分析求解能力，属基础题.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求二面角P EC D --正切值； （3）求三棱锥B EFC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）15；（3）3. 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连结GF 、AG ，则//GF CD 且12GF CD =，再结合已知可得EFGA 是平行四边形，则//EF AG ，从而利用线面平行的判定定理可得//EF 平面PAD ； （2）取AD 中点O ，连结PO ，可推出PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，可证得OM EC ⊥，PM EC ⊥，则PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，然后在Rt PMO △中求解即可；（3）由于B EFC F BEC V V --= ，则只需求出F BEC V -，过F 作FH OC ⊥于H ，则可得FH ⊥面EBC ，求出FH 和EBCS即可求出体积.【详解】（1）证明：取PD 中点G ，连结GF 、AG∵GF 为PDC △的中位线，∴//GF CD 且12GF CD =， 又//AE CD 且12AE CD =，∴//GF AE 且GF AE =， ∴EFGA 是平行四边形，则//EF AG ， 又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ， ∴//EF 面PAD ；（2）解：取AD 中点O ，连结PO ， ∵PAD △为正三角形，∴PO AD ⊥ 又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =，PO ⊂面PAD ，∴PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，由正方形ABCD ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，∴MEB AOB ∠=∠，则90MEB MBE ︒∠+∠=，即OM EC ⊥ 连PM ，由∴PO ⊥面ABCD ，EC ⊂面ABCD 得PO EC ⊥， 又OMPO O =，,OM PO ⊂面POM ，所以EC ⊥平面POM ，又PM ⊂面POM ，所以PM EC ⊥， 所以PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，由正三角形PAD ，2AD =得PO =在Rt EBC 中，BE BC BM CE ⋅==，OM OB BM =-=∴tan PO PMO OM ∠==即二面角P EC D --． （3）因为B EFC F BEC V V --=，连接OC ，由（2）知PO ⊥面ABCDPO ⊂面POC所以面POC ⊥面ABCD ，过F 作FH OC ⊥于H ． 因为面POC面ABCD OC =所以FH ⊥面ABCD ，即FH ⊥面EBC ，所以FH 为三棱锥F BEC -的底面BEC 上的高， 因PO ⊥面ABCD ，FH ⊥面ABCD ，所以PO//FH ，又F 为PC 的中点，所以H 为OC 的中点，所以FH =， 又112EBCSEB BC =⨯⨯=，所以13B EFC F BEC EBC V V S FH --==⨯=【点睛】此题考查证明线面平行，求二面角的大小，求三棱锥的体积，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.22.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为221x y +=，圆O 与x 轴交于A ，B两点，且B 在A 的右侧，设直线l 的方程为(2)(0)y k x k =+≠．（1）当直线l 与圆O 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆O 相交于M ，N 两点．①直线l 与x 轴交于点P ，若2PM MN =（M 在PN 之间），求直线l 的方程；②连接AM ，BN ，并分别延长相交于点C ，问是否存在一定直线m ，使得点C 恒在该直线上运动，若存在，请求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）320x -+=或320x y -+=；（2）①7570x y -+=或7570x y ++= ；②存在，12x =-.【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求出k ，即可得出结果；（2）①设MN 的中点为H ，连接OH ，OM ，则OH MN ⊥，设OH d =，(0)MH t t =>，则在Rt MHO 和Rt PHO 中利用勾股定理求出d ，再利用圆心到直线的距离公式求出k 即可；②设出,M N 的坐标，联立直线l 与圆O 的方程消y ，得到关于x 的方程，利用判别式得出k 的取值范围，再利用韦达定理得出12,x x 的关系，联立直线,AM BN 解出点C 坐标，由（1）计算得出结论.【详解】解：（1）直线:20l kx y k -+=，相切时圆心到直线的距离等于半径1，所以221(1)k =+-，解得213k =， 所以3k =±， 所以l 的方程为：320x y -+=或320x y -+=．（2）①设MN 的中点为H ，连接OH ，OM ， 则OH MN ⊥，设OH d =，(0)MH t t =>，则在Rt MHO 和Rt PHO 中，22221(5)4d t d t ⎧+=⎨+=⎩， 解得278d =， 2278(1)k =+-解得2725k =，k =即直线:2)l y x =+，50y -+=50y ++= ； ②设()11,M x y ，()22,N x y联立方程组22(2)1y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消y 得()222214410k x k x k +++-=， 所以2122212241411k xx k kx x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，>0∆，解得0||k <<又(1,0)A -，(1,0)B ， 所以直线11:(1)1y AM y x x =++， 直线22:(1)1y BN y x x =--， 联立解得()()()1212211121221123(1)342424(2)341C C x x x x x x x y x x x x y x x x ---⎧=⎪--⎪⎨----⎪=⎪--+⎩，由（1）进一步得()()221221212122111241423223211444441Ck k x x x x x x k k x k x x x x k ⎛⎫----+ ⎪--++++⎝⎭==-+----+21221221211221(4)1k x k k x k ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭， 所以存在直线m ：12x =-，使得动点C 在该直线上运动． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系.属于较难题.。
江苏省泰州市姜堰区2019-2020学年高一下学期期中考试(4月)数学试题Word版含答案
(第7题)江苏省泰州市姜堰区2019-2020学年下学期期中考试（4月）高一数学试题（考试时间：120分钟 总分160分）注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上） 1．已知点(2,3)M ，(4,9)N ，则直线MN 的斜率是 ▲ ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，与棱1AA 平行的棱有 ▲ 条. 3．直线34y x =-+在y 轴上的截距为 ▲ ． 4．圆22230x y x y +-+=的圆心坐标为 ▲ ．5．已知直线1:(1)260l a x y +++=和直线()22:510l x a y a +-+-=垂直，则实数a 的值为▲ .6．直线1l 的方程为3220x y +-=，直线2l 的方程为(21)10m x my -++=，若1l ∥2l 则实数m 的值为 ▲ .7．如图,正方体1111ABCD A B C D -中, 22AB =,点E 为11A D 的中点,点F 在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF = ▲ ．8．若直线20x y --=被圆22()4x y a ++=所截得的弦长为22，则实数a 的值为 ▲ ．9．已知,m n 是两条不重合的直线,,αβγ是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若,m m αβ⊥⊥,则//αβ (2)若,αγβγ⊥⊥,则//αβ (3)若,,//m n m n αβ⊂⊂,则//αβ (4)若//m β， //βγ，则//m γ其中正确的命题是 ▲ ．(填上所有正确命题的序号)10．过点()3,5P 引圆()()22114x y -+-=的切线，则切线长为 ▲ ．11．已知圆C 经过点()0,6A -， ()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为 ▲ ．12．已知两圆相交于两点(2,3)(,2)m 和，且两圆的圆心都在直线0x y n ++=上，则n m +的值是 ▲ ．13．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2AB =，3BC =，1AC =，31=AA ，F 为线段1AA 上的一动点，则当1BF FC +最小时，△1BFC 的面积为 ▲ .14．已知点()0,2P 为圆:C ()()2222x a y a a -+-=外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得60CPQ ∠=o，则正数a 的取值范围是 ▲ ．(第2题)二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分) [来源:Z#xx#k.已知1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点． （1）求异面直线1AA 和BC 所成的角的大小. （2）求证:111C E B CEB ∠=∠.16．(本小题满分14分) [来源:Z#xx#k.已知ABC ∆的顶点(0,5)A ,(1,2)B -,(3,4)C --． （1）若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．（2）求AB 边上的高所在的直线方程．17．(本小题满分14分) [来四边形ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO ⊥平面ABCD ， E 是PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BDE ； （2）求证：BD PC ⊥．A BC ED AD 1E 1C 1B 1(第13题)18．(本小题满分16分) [来源:Z#xx#]已知圆C ：222440x y x y +-+-=．（1）直线1l 过点(2,0)P ，被圆C截得的弦长为1l 的方程；（2）直线2l 的的斜率为1，且2l 被圆C 截得弦AB ，若以AB 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．19．（本题满分16分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：CE ∥平面PAB ；PA DBCE20．（本题满分16分）已知圆22:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)20l mx m y -++= （1）求证：直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．江苏省泰州市姜堰区2019-2020学年下学期期中考试（4月）高一数学试题参考答案(卷I)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上） 1．3 2．3 3.44．3(1,)2- 5. 36．2 7. 28．0或4 9.（1） 10．4 11．()()223225x y +++= 12．-3 13.15214．1531a ≤< 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.（本小题14分） 解答：（1）因为//BC AD ,所以1A AD ∠即为异面直线1AA 和BC 所成的角……… 3分 又因为190oA AD ∠=，所以两条异面直线所成的角为90o……… 6分（2）法1：因为1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点．所以11//CC DD ,11//EE DD ,得到11//CC EE ,且11CC EE =， 四边形11CC E E 为平行四边形，所以11E C EC =,………………… 9分 同理可证11BE B E =，………………………………………………………… 11分又因为11BC B C =,所以111BEC B E C ∆≅∆,111BEC B E C ∠=∠,即证.……………… 14分 法2：因为1,E E 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点．所以11//CC DD ,11//EE DD ,得到11//CC EE ，11CC EE =四边形11CC E E 为平行四边形，所以11//C E CE …………… 9分同理可证11//BE B E ……………………………………………………… 11分又因为11E C 与EC 方向相同，11E B 与EB 方向相同，所以111BEC B E C ∠=∠.……… 14分 16.（本小题14分）解答：(1)D 为BC 的中点，由中点坐标公式得到点D 的坐标为（-1，-3）……… 2分AD ==………………………………………… 6分（2）52701AB k --==--，………………………………………… 9分 AB 边上的高斜率k ， 1AB k k ⋅=-，则17k =．………………………………………… 12分AB 边上的高过点()3,4C --．∴AB 边上的高线所在的直线方程为()()()1437y x --=--，整理得7250x y --=． ………………………………………… 14分17.（本小题14分） 解答：（1）连接AC ， OE ，则AC 经过正方形中心点O ，由O 是AC 的中点， E 是PC 的中点，得//OE PA ，…………………………… 3分 又OE ⊂平面BDE ， PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE ；……………… 7分 （2）由PO ⊥平面ABCD ，得PO BD ⊥，………………………………………… 9分 又正方形对角线互相垂直，即BD AC ⊥，………………………………………… 11分 PO AC O ⋂=点， PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，得BD PC ⊥．………………………………………… 14分 18.（本小题16分）解： 圆C ：22(1)(2)9x y -++=，圆心(1,2)C - 半径为3， （1）因直线1l 过点(2,0)①当直线斜率不存在时 1l ：2x = 此时1l 被圆C截得的弦长为∴1l ：2x = …… 3分 ②当直线斜率存在时可设1l 方程为(2)y k x =- 即20kx y k --=由1l 被圆C截得的弦长为C 到1l1=1=解得34k =∴1l 方程为3(2)4y x =- 即3460x y --=由上可知1l 方程为：2x =或3460x y --= ……8分（2）设直线2l 的方程为y x b =+，代入圆C 的方程得22()24()40x x b x x b ++-++-=． 即222(22)440x b x b b ++++-=（*）以AB 为直径的圆过原点O ，则OA ⊥OB ． 设(,)A x y ，(,)B x y ，则0x x y y +=， ……10分 即1212()()0x x x b x b +++=∴212122()0x x b x x b +++=[来源:学科网]由（*）式得21212441,2b b x x b x x +-+=--=∴44(1)0b b b b b +-+--+=即340b b +-=，∴4b =-或1b =……14分 将4b =-或1b =代入（*）方程，对应的△＞0．故直线2l ：40x y --=或10x y -+=． ……16分19. （本小题16分） 解答：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC 3AC ＝2．取PC 中点F ，连AF , EF ，∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥AF ． ……………………………………………4分 ∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又∠ACD ＝90°，即CD AC ⊥， ∴CD PAC ⊥平面，∴CD PC ⊥，∴EF PC ⊥． ……………………………………………………… 6分 ∴PC AEF ⊥平面．∴PC ⊥AE ．…………………………………………………8分 （2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴EM ∥平面PAB ． ……………………………………………………10分 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴MC ∥平面PAB ． …………………………………………………12分∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面PAB ．…………………………………14分 ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ．………………………………………16分 证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点．…………………………10分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN …………………………………………………………12分 ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． ………………… 16分 20．解：（Ⅰ）依题意得， ()()2320m x y y -+-= 令230x y -=且20y -=，得3,2x y ==∴直线l 过定点()3,2A ……4分（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =∴ 21134AC k -==--，得1111l AC k k --===-， ∴由2131mm =+得1m =-……8分 （Ⅲ）法一：由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点()4,N t 满足题意，则设(),P x y ，PM PNλ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()22(4)41x y -=--∴ ()()()()222222241541y y y y t λλλ-+-=--+--整理得， 222[(22)8](3)280t y t λλ-+++-=……12分Q 上式对任意[]1,3y ∈-恒成立， ∴ 28(22)0t λ+-=且22(3)280t λ+-=解得27100t t -+= ,说以2,5t t ==（舍去，与M 重合），24,2λλ==综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN为常数2……16分法二：设直线MC 上的点()4,N t 取直线MC 与圆C 的交点()14,3P ，则1123PM PN t =- 取直线MC 与圆C 的交点()24,1P -，则2261P M P Nt =+ 令2631t t =-+，解得2t =或5t =（舍去，与M 重合），此时2PM PN= 若存在这样的定点N 满足题意，则必为()4,2N ，…12分 下证：点()4,2N 满足题意，设圆上任意一点(),P x y ，则()22432x y y -=+-∴ ()()()()222222222245||32(5)8284||32(2)2742x y PM y y y y PN y y y y x y -+-+-+--+====+-+--+-+-∴2PM PN=综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN为常数2…16分。
江苏省泰州中学2020学年度数学第二学期高一期中试卷苏教版
江苏省泰州中学2020学年度数学第⼆学期⾼⼀期中试卷苏教版江苏省泰州中学2020学年度第⼆学期⾼⼀数学期中试卷(总分160分,考试时间120分钟)⼀、填空题：本⼤题共14⼩题,每⼩题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．不等式022≤--x x 的整数解共有▲个．2．在ABC ?中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲． 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ▲．4．在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π，则ABC ?的形状是▲．5．海上有B A ,两个⼩岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视⾓为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视⾓为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ． 6．若n S 为等⽐数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = ▲． 7．设关于x 的不等式342+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的取值范围是▲． 8．若x x f 6sin)(π=，则=++++)2011()5()3()1(f f f f Λ▲．9．已知等⽐数列{}n a 满⾜0n a >，n =l ，2，…，且()252523nn a a n -?=≥，则当3n ≥时，212223221log log log log n a a a a -++++=L ▲．10．在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若222b c a +=，且ba=则C ∠= ▲．11．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满⾜：()()314+?-=n n n a a S ，则=1005a ▲．12．已知1,100=≤<<cb a b a 122+-+的最⼩值是▲． 13．洛萨?科拉茨（Lothar Collatz, 1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了⼀个著名的猜想：任给⼀个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，⼀定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到⼀个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对洛萨?科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，⽬前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （n 为⾸项）按照上述规则施⾏变换后的第六项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值为▲．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满⾜对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成⽴，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类⽐上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成⽴，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满⾜如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为▲ .⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，计90分.解答应写出必要的⽂字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本⼩题满分14分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最⼩值为1，求实数m 的值．16．(本⼩题满分14分)在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ．（Ⅰ）⽤余弦定理证明：当C ∠为钝⾓时，222c b a <+；（Ⅱ）当钝⾓△ABC 的三边,,a b c 是三个连续整数时，求ABC ?外接圆的半径．17．(本⼩题满分15分)在ABC ?中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，不等式06sin 4cos 2≥++C x C x 对⼀切实数x 恒成⽴．（Ⅰ）求C cos 的取值范围；（Ⅱ）当C ∠取最⼤值，且2=c 时，求ABC ?⾯积的最⼤值并指出取最⼤值时ABC ?的形状．18．(本⼩题满分15分)设n S 是等⽐数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的公⽐q ；（Ⅱ）求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；（Ⅲ）当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19．(本⼩题满分16分)某企业去年年底给全部的800名员⼯共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都⽐上⼀年增加60万元，企业员⼯每年净增a ⼈．（Ⅰ）若9=a ，在计划时间内，该企业的⼈均年终奖是否会超过3万元？（Ⅱ）为使⼈均年终奖年年有增长，该企业每年员⼯的净增量不能超过多少⼈？20．(本⼩题满分16分)将数列}{n a 中的所有项按第⼀排三项，以下每⼀⾏⽐上⼀⾏多⼀项的规则排成如下数表：记表中的第⼀列数Λ,,,841a a a 构成的数列为}{n b ，已知：①在数列}{n b 中，11=b ，对于任何*N n ∈，都有0)1(1=-++n n nb b n ；②表中每⼀⾏的数按从左到右的顺序均构成公⽐为)0(>q q 的等⽐数列；③5266=a ．请解答以下问题：（Ⅰ）求数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求上表中第)(*N k k ∈⾏所有项的和)(k S ；（Ⅲ）若关于x 的不等式x x k k S 211)(->+在]201,2001[∈x 上有解，求正整数k 的取值范围．江苏省泰州中学2020学年度第⼆学期ΛΛΛ121110987654321a a a a a a a a a a a a⾼⼀数学期中试卷参考答案⼀、填空题：本⼤题共14⼩题,每⼩题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 4 2． 41- 3． 10 4．直⾓三⾓形 5． 310 6． 7- 7． [)1,3-- 8． 23 9． ()21n n - 10． 0010515或11．2011 12．102201+ 13． 32,5,4 14． []13,25⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，计90分.解答应写出必要的⽂字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本⼩题满分14分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()?=+-+=+--==-032390320301b a b a f f ， 4分解得：4,1=-=b a ． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2++-=x x x f ， 8分()x f y =Θ的对称轴⽅程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 10分 m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 12分解得31±=m ．31,1-=∴解：（Ⅰ）当C ∠为钝⾓时，0cos由余弦定理得：22222cos 2b a C ab b a c +>?-+=， 5分即：222c b a <+． 6分（Ⅱ）设ABC ?的三边分别为()Z n n n n n ∈≥+-,21,,1，ΘABC ?是钝⾓三⾓形，不妨设C ∠为钝⾓，由（Ⅰ）得()()4004112222<3,2,,2==∴∈≥n n Z n n Θ，当2=n 时，不能构成三⾓形，舍去，当3=n 时，ABC ?三边长分别为4,3,2， 11分415sin 41322432cos 222=?-=??-+=C C ， 13分ABC ?外接圆的半径1515841524sin 2===CcR ． 14分 17．(本⼩题满分15分) 解：（Ⅰ）由已知得：()≥-+?≤->02cos 3cos 20cos 24sin 40cos 22C C C C C ， 4分 ()舍去或2cos 21cos -≤≥∴C C ． 5分 1cos 21<≤∴C 6分（Ⅱ）,21cos ,0≥<∴当C ∠取最⼤值时，3π=∠C ． 8分由余弦定理得：ab ab ab ab b a ab b a =-≥-+=??-+=243cos2222222π，3433sin 21≤=?=∴?ab ab S ABC π， 12分当且仅当b a =时取等号，此时()3max =?ABC S ， 13分由3 ,π=∠=C b a 可得ABC ?为等边三⾓形． 15分18．(本⼩题满分15分)解：（Ⅰ）当1=q 时，133a S =，199a S =，166a S =，6392S S S +≠Θ，∴3S ，9S ，6S 不成等差数列，与已知⽭盾，1≠∴q ． 2分由6392S S S +=得：()()()qq a q q a q q a --+--=--?1111112613191， 4分即()()()012111236639=--?-+-=-q qq q q，332121-=?-=∴q q ，113=?=q q （舍去），243-=∴q 6分（Ⅱ）()012223621512181639=--=--=--q q q a q a q a q a a a a Θ，6392a a a +=∴，∴3a ，9a ，6a 成等差数列． 9分（Ⅲ）3S ，9S ，6S 成等差数列1471316136362212012a a a a q a q a q q q q +=?+=?+=?=--?，GP a a a 成471,,∴或GP a a a 成174,,，则12=++t s m ， 11分同理：GP a a a 成582,,或GP a a a 成285,,，则15=++t s m ，GP a a a 成693,,或GP a a a 成396,,，则18=++t s m ， GP a a a 成7104,,或GP a a a 成4107,,，则21=++t s m ，t s m ++∴的值为21,181512，，． 15分 19．(本⼩题满分16分)解：（Ⅰ）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业⼈均发放年终奖为y 万元．则)101,(800602000*≤≤∈++=x N x axxy ； 4分解法1：由题意，有310800602000≥++xx， 5分解得，10340>≥x ． 7分所以，该企业在10年内不能实现⼈均⾄少3万元年终奖的⽬标． 8分解法2：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x 7分所以，该企业在10年内不能实现⼈均⾄少3万元年终奖的⽬标． 8分（Ⅱ）解法1：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--?=ax ax x x a ，13分所以，020*******>-?a ，得24所以，为使⼈均发放的年终奖年年有增长，该企业员⼯每年的净增量不能超过23⼈．16分解法2：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x axxy +-+=+-++=++=13分由题意，得0800602000-a，解得2420．(本⼩题满分16分)解：（Ⅰ）由0)1(1=-++n n nb b n ，得数列}{n nb 为常数列。
【精准解析】江苏省泰州市兴化市板桥高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
2.在正方体 ABCD A1B1C1D1 的各条棱中，与直线 AA1 异面的棱有（
A. 2
B. 3
C. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
）条． D. 5
根据题意画出图形,结合图形写出与直线 AA1 异面的棱,可得答案.
【详解】与棱 AA1 异面的有： BC,CD,C1D1, B1C1 共四条,
故选 C．
点间的距离为 50m ． ACB 45, CAB 105 ，则 A, B 两点间的距离为（ ）m．
A. 25 2 2
【答案】C
B. 25 2
C. 50 2
D. 50 3
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和求
ABC
，再根据正弦定理
siC
求解.
-3-
【详解】在 ABC 中, AC 50m, ACB 45, CAB 105 ，
8.如图，侧棱长为 3 的正三棱锥V ABC 中， AVB BVC CVA 40 ，过点 A 作 截面则截面 AEF ，则截面 AEF 的周长的最小值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 3
D. 4
-5-
【答案】C 【解析】 【分析】
沿着侧棱VA 把正三棱锥V ABC 展开在一个平面内，则 AA 即为截面 AEF 周长的最小值， 且 AVA 120 ，在 △VAA 中，由余弦定理可得 AA 的值. 【详解】如图所示：沿着侧棱VA 把正三棱锥V ABC 展开在一个平面内，如图（2）， 则 AA 即为截面 AEF 周长的最小值，且 AVA 3 40 120 ， 在△VAA 中，由余弦定理可得 AA VA2 VA2 2VAVA cosAVA 3 3 23 1 3，
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江苏省泰州中学高一数学下学期4月空中课堂效果检测试题(含解析)
学习资料江苏省泰州中学2019—2020学年高一数学下学期4月空中课堂效果检测试题(含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.直线50x +-=的倾斜角为（ ） A 。
30- B 。
150C. 120D 。
60【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为α，则tan α=，解方程即可.【详解】由已知，设直线的倾斜角为α，则tan α=,又[0,180)α∈， 所以150α=. 故选：B【点睛】本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2。
已知经过两点(5,)m 和(,8)m 的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是（ ）A. (5,8)B. (8,)+∞ C 。
13(,8)2D 。
13(5,)2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式解分式不等式． 【详解】由题意得815m m ->-，即21305m m ->-，解得1352m <<.故选D 。
【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切．3。
设m ，n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A 。
若////m n αα，,则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥，，,则n β⊥ D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行,可能异面；选项C 错误,一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂,βα∴⊥，即αβ⊥。
【精准解析】江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末考试(重考卷)数学试题
2019—2020学年度第二学期期末考试高一数学试题（试卷分值：150分测试时间： 120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式即可求解.【详解】在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，∠C＝30°，所以111sin343 222 ABCS AC BC C=⋅∠=⨯⨯⨯=.故选：C【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，需熟记公式，属于基础题.2.若从甲、乙、丙3位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为（）A. 13B.12C.23D.34【答案】C【解析】【分析】利用列举法求出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】根据题意可得从甲、乙、丙3位同学中选出2名代表参加学校会议（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），基本事件共3个，甲被选中有：（甲，乙），（甲，丙），基本事件共2个，所以甲被选中的概率为：2 3故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.3.点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为（）A. (－1，2，3)B. (1，－2，－3)C. (－1，－2，－3)D. (1，2，－3)【答案】D 【解析】 【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【详解】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-． 故选：D ．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．4.已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先由平均数的计算公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．【详解】由题可得1234535x ++++==；所以这组数据的方差2222221(13)(23)(33)(43)(53)25S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 故选：B.【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据：12,,...,n x x x 的平均数为x ，则方差2222121()()...()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小．5.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 3π B.32πC. 2πD. π【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥侧面积公式计算．【详解】该圆锥侧面积为133S rl πππ==⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积公式是解题基础．6.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图形中球的体积与圆柱体积的比为2：3，则球的表面积与圆柱表面积的比为（ ）A. 1：2B. 2：3C. 3：4D. 4：9【答案】B 【解析】 【分析】设球半径为R ，表示出圆柱高的底面半径，然后可求表面积之比． 【详解】设球半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，22422223S R S R R R πππ==+⨯球圆柱． 故选：B ．【点睛】本题考查球和圆柱的表面积，掌握几何体的表面积公式是解题基础．7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应散据，根据表中提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则m 的值为（ ）A. 2．75B. 3C. 3．15D. 3．5【答案】B 【解析】 【分析】求出x ，y ，代入线性回归方程即可求解. 【详解】3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144m my ++++==，由y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+， 则110.7 4.50.353.54m+=⨯+=， 解得3m =.故选：B【点睛】本题考查了求样本中心点、根据线性回归方程求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8.在平面直角坐标系xOy中，过x 轴上的点P 分别向圆221(1)(4)7:C x y -++=和圆222:(2)(5)9C x y -+-=引切线，记切线长分别为12,d d ．则12d d +的最小值为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.【详解】221(1)(4)7:C x y -++=，圆心()1,4-，半径1r =222:(2)(5)9C x y -+-=，圆心()2,5，半径33r =设点P ()0,0x ，则12d d +===即()0,0x 到()1,3-与()2,4两点距离之和的最小值， 当()0,0x 、()1,3-、()2,4三点共线时，12d d +的和最小，即12d d +==故选：D【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.关于直线01l y --=，下列说法正确的有（ ）A. 过点2)B.C. 倾斜角为60°D. 在y 轴上的截距为1【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方程将点2)代入可判断A ；将直线化为斜截式求出斜率与截距即可判断B 、C 、D.【详解】对于A ，将，－2)代入01l y --=，可知不满足方程，故A 不正确；对于B 10y --=，可得1y =-，所以k =B 正确；对于C ，由k =tan α=，可得直线倾斜角为60，故C 正确；对于D 10y --=，可得1y =-，直线在y 轴上的截距为1-，故D 不正确；故选：BC【点睛】本题考查了直线的一般方程、斜截式方程，直线的截距，属于基本概念的考查，属于基础题.10.下列叙述正确的是（ ）A. 某人射击1次，"射中7环”与"射中8环"是互斥事件B. 甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标“与"没有人射中目标"是对立事件C. 抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12D. 抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率为12【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB 选项，连续抛掷一枚硬币，属于独立重复实验，计算所给事件的概率，判断CD 选项.【详解】A.某人射击1次，“射中7环”和“射中8环”是两个不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故A 正确；B.甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包含“1人射中，1人没有射中”和“2人都射中目标”，所以根据对立事件的定义可知，"至少有1人射中目标“与"没有人射中目标"是对立事件，故B 正确；C.抛掷一枚硬币，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率都是12，每次出现反面向上的概率也是12，故C 不正确； D.抛掷一枚硬币，恰出现2次正面向上的概率4241328P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB【点睛】本题考查互斥事件，对立事件，以及独立重复实验，属于基础题型.11.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列条件中，能使△ABC 的形状唯一确定的有（ ） A. 1,30︒==∠=a b AB. 2,3,60︒==∠=a b C C .1,30,45︒︒=∠=∠=a B C D. 2,3,4a b c ===【答案】BCD【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A ；利用余弦定理可判断B 、D ；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.【详解】对于A ，根据正弦定理：sin sin a b A B=，可得sin B ，又因为b a >，所以B A ∠>∠，所以4B π∠=或34π，故A 不正确；对于B ，由余弦定理可得2222cos 7c a b ab C =+-=，解得c =B 正确；对于C ，由三角形的内角和可知105A ∠=，又 1a =，利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 可知,b c 均有唯一值，故C 正确；对于D ，2,3,4a b c ===，三角形的三边确定，三角形的形状唯一确定，故D 正确； 故选：BCD【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，考查了基本运算求解能力，属于基础题.12.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CC 1的中点，则下列说法正确的是（ ） A. DC //平面AD 1E B. 1B C ⊥平面AD 1EC. 直线AE 与平面1111D C B AD. 平面AD 1E 截正方体所得截面为等腰梯形 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线面平行的定义可判断A ；利用线面垂直的判定定理可判断B ；作出线面角，在三角形中求解即可判断C ；根据两条平行线确定一个平面即可判断D.【详解】对于A ，根据题意可得11//CD C D ，因为11C D 与平面AD 1E 相交，则CD 与平面AD 1E 也相交，故A 不正确；对于B ，由正方体的性质可知11C D ⊥平面11BB C C ， 所以111C D B C ⊥，又1B C ⊥11111,BC BC C D C =，所以1B C ⊥平面11ABC D ，若1B C ⊥平面AD 1E ， 则平面11//ABC D 平面1AD E ，与平面11ABC D ⋂平面11AD E AD =矛盾，故B 不正确； 对于C ，取1AA 的中点G ，连接1CC ，11A C , 则四边形1AGC E 为平行四边形，所以1//C G AE ， 又1AA ⊥平面1111D C B A ，所以11GC A ∠为直线1C G 与平面1111D C B A 所成的角， 等于AE 与平面1111D C B A 所成的角， 设正方体的边长为1，则112GA =，11AC =所以111tan 4GC A ∠==，故C 正确； 对于D ，取BC 的中点F ，连接EF ，则111//,//EF BC BC AD ， 所以111//,2EF AD EF AD =，且12AF D E ==， 所以四边形1AFED 为等腰梯形，即平面AD 1E 截正方体所得截面为等腰梯形，故D 正确； 故选：CD.【点睛】本题考查了线、面之间的位置关系、线面角以及正方体的截面形状，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点(3,1)P 且与圆224x y +=相切的直线方程 ___． 【答案】340x y +-= 【解析】解：因为点(3,1)P 在圆上，则过圆上点的切线方程为00434xx yy x y +=∴+=化为一般式即为340x y +-=14.如图，在正三棱柱ABC A B C '''-中，已知2AB =，点M 是棱'AA 上的动点，当三棱锥'C MBC -的体积为3时，'AA =________【答案】3【解析】 【分析】利用等体积法求解即可.【详解】解：因为正三棱柱ABC A B C '''-中，2AB =,所以点M 到平面''BCC B ，所以根据等体积法，'''1112'332C MBC M CBC BCC V V S AA --==⨯=⨯⨯⨯= 解得：'3AA =. 故答案为：3.【点睛】本题考查等体积法，是基础题.15.已知圆22()4x a y -+=与圆2225x y +=没有公共点，则正数a 的取值范围为________【答案】(03)(7)⋃+∞，， 【解析】 【分析】求出圆心距，利用两圆外离或内含得出不等关系，从而得a 的范围． 【详解】圆22()4x a y -+=的圆心为(,0)C a ，半径为2r ，圆2225x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为5R =，两圆没有公共点，则两圆外离或内含，∴52OC a =<-或52a >+，又0a >，所以0<<3a 或7a >． 故答案：(0,3)(7,)+∞．【点睛】本题考查两圆的位置关系，判断方法是几何法：由两圆圆心距离与两圆半径之间的关系判断．16.在锐角△ABC 中．a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是________【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化可得2sin cos sin sin A C B A =-，进而可得()sin sin C A A -=，即2C A =，再根据△ABC 为锐角三角形求出A ∠的范围即可求解. 【详解】由sin sin cos cos 22sin b a B AC C a A--=⇒= ⇒()2sin cos sin sin 2sin cos sin sin A C B A A C A C A =-⇒=+-sin cos cos sin sin A C A C A ⇒=-()sin sin A C A ⇒=-，所以A C A =-，解得20,2C A π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又3,2A C A ππ⎛⎫+=∈⎪⎝⎭， 解得,63A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 综上所述，,64A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和与查=差的正弦公式，需熟记公式，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． 17.（1）求过点(3,0)A ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程； （2）求直线33y x =+关于点(3,2)B 对称的直线方程． 【答案】（1）230x y --=；（2）3170x y --=. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直关系求解即可.（2）先在直线330x y -+=取两点1(0,3)P 和2(1,0)P -，求其关于点(3,2)B 对称点，再求对称点所在直线的方程即可.【详解】解：（1）由题意可设所求直线的方程为20x y c -+=∵直线过点(30)A ，∴30c += ∴3c =-∴所求的直线方程为230x y --=（2）在直线330x y -+=取两点1(0,3)P 和2(1,0)P -，其关于点(32)B ，对称的点分别为12(320,223),(321,220)P P ⨯-⨯-⨯+⨯-''，即12(6,1),(7,4)P P ''，直线330x y -+=关于点(32)B ，对称的直线方程为411(6)76y x --=--， ∴所求直线的方程为3170x y --=．【点睛】本题考查直线关于点对称性，直线的垂直关系，考查数学运算能力.18.如图，在正四棱锥P ABCD -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为PC 的中点，求证：（1）//EO 平面PAD ； （2）AC ⊥平面PBD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 分析】（1）在PAC 中，利用中位线定理证明//EO PA ，再用线面平行判定定理即可证明； （2）由正四棱锥性质得PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥AC ，由ABCD 为正方形得AC BD ⊥，再用线面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：（1）∵P ABCD -为正四棱锥， ∴ABCD 为正方形． ∵O 为底面ABCD 的中心， ∴O 为AC 的中点． ∵E 为PC 的中点， ∴//EO PA ．∵EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴//EO 平面PAD ．（2）∵正四棱锥P ABCD -中，O 为底面ABCD 的中心， ∴PO ⊥平面ABCD ． ∵AC ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AC ．∵P ABCD -为正四棱锥， ∴ABCD 为正方形， ∴AC BD ⊥．∵PO BD ⊂，平面PBD ，PO BD O =，∴AC ⊥平面PBD ．【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，是基础题.19.某校高一年级1000名学生期中考试生物学科成绩的额率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如下表：组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组分组 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100（1）求生物成绩在[50，60）内的人数；（2）若同组中的每个数据用该组区同中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1000名学生生物成绩的平均分：（3）现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率． 【答案】（1）50人；（2）平均分为74.5；（3）35. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出在[)50,60内的频率，进而可求出成绩在[50，60）内的人数. （2）由平均数等于小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和即可求解.（3）这2名同学来自不同组”为事件A ，设第三组的3名同学为a ，b ，c ，第四组的2位同学为x ，y ，列举法求出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】解：（1）由题意，生物成绩在[)50,60内频率为1－(0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10)=0.05， 所以生物成绩在[)50,60内的人数为0.05×1000=50．答：生物成绩在[)50,60内的人数为50人．（2）由频率分布直方图，分数在[50，60)内的频率为0.05，[60，70)内的频率为0.35， [70，80)内的频率为0.3，[80，90)的频率为0.2，[90，100]的频率为0.1， 所以这1000名学生期中考试生物成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74.5． 答：这1000名学生生物成绩的平均分为74.5．（3）设“这2名同学来自不同组”为事件A ，设第三组的3名同学为a ，b ，c ， 第四组的2位同学为x ，y ，则样本空间为Ω={（a ，b ），（a ，c ），（a ，x ）， （a ，y ），（b ，c ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（x ，y ）}， 事件A ={（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ）}． 所以63()105P A ==． 答：这2名同学来自不同组的概率为35． 【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、样本容量、古典概型的概率计算公式，属于基础题.20.如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos b B a C c A -=．（1）求角B 的大小；（2）若D 为BC 边上一点．AD ＝5．AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长． 【答案】（1）4B π=；（2）562AB =. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式的逆应用即可求解. （2）在ACD △中，利用余弦定理求出23ADC ∠=π，在ABD △中，利用正弦定理即可求解.【详解】解：（1）∵2cos cos cos b B a C c A -=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2sin cos sin cos sin cos B B A C C A -=， 即2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 即2sin cos sin()sin B B A C B =+=． ∵0B π<<， ∴sin 0B >． ∴2cos 1B =，即2cos 2B =， 又∵0B π<<， ∴4B π=．（2）ACD △中，∵5AD =，73AC DC ==，，∴2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⨯⨯⨯．∵0ADC π<∠< ， ∴23ADC ∠=π． 在ABD △中，5AD =，4B π=，3ADB ADC ππ∠=-∠=，∴由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠2322=， ∴562AB =【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、正弦定理、余弦定理解三角，需熟记定理内容，属于基础题.21.如图，在四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥．6AB AD ==CD BD ⊥ ，30CBD ∠=．（1）求AC 和平面BCD 所成角的正弦值： （2）求二面角A BC D --的正切值． 【答案】（130；（2）2. 【解析】 【分析】（1）取BD 中点O ，连接AO CO 、，证明AO ⊥平面BCD ，得ACO ∠即为AC 和平面BCD 所成的角，再利用边长关系求解即可；（2）过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ，证明BC ⊥平面AOE ，得AEO ∠为二面角A BC D --的平面角，再根据边长关系计算即可.【详解】解：（1）取BD 中点O ，连接AO CO 、， ∵AB AD =，∴AO BD ⊥又∵平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AO ⊥平面BCD ． ∴ACO ∠即为AC 和平面BCD 所成的角．在ABD △中，∵,6,23AB AD AB AD BD ⊥===， 又∵O 为BD 中点，∴3AO BO OD ===∵CD BD ⊥，30CBD ∠=︒， ∴2CD =，7CO =，∵AO ⊥平面BCD ，CO ⊂平面BCD ， ∴AO CO ⊥．在Rt AOC △中，090AOC ∠=，3AO =，7CO =，∴10AC =． ∴330sin 10AO ACO AC ∠===， 即AC 和平面BCD 所成角的正弦值为30． （2）过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ．∵AO ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AO BC ⊥， 又∵,AO OE ⊂平面AOE ，AO OE O =，∴BC ⊥平面AOE ，又∵AE ⊂平面AOE ，∴BC AE ⊥， ∴ AEO ∠为二面角A BC D--的平面角．在Rt BOE △中，30CBD ∠=︒，3BO =，∴32EO =． ∴在Rt AOE 中，3tan 23AOAEO EO∠===， ∴二面角A BC D --的正切值为2．【点睛】本题考查线面角，二面角的定义求解，是中档题.22.已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；（3）设AB 的中点为N ．求点N 到直线x ＋3y －10＝0的距离的最大值． 【答案】（1）43k >；（2）是定值，定值为23-；（3.【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径求解即可； （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，表示出12121211y yk k x x +=+--，再直线l 与圆O 联立方程组，由韦达定理得2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，再化简即可； （3）利用（2）的结果，表示出22233()11k k kN k k --++，，再利用点到线的距离公式变形化简求解即可.【详解】解：∵圆221O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心00O (，)，半径1r =，()10，P ． （1）∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B ， ∴圆心O 到直线l的距离1d =<，即3k -<，解得43k >． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=， ∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------ 221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k+---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值． ∴12k k +是定值，定值为23-．（3）∵AB 的中点为N ，∴2122321N x x k kx k+-==+，23(1)31N N k y k x k -=-+=+， ∴22233()11k k kN k k --++，．记点N 到直线3100x y +-=的距离为d ，则2d ==()223491k k ⎡⎤-=+⎥+⎦， 令34m k =-，则0m >∴21818999258258m d m m m m ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎫=+=+≤⎪⎪++⎭⎪++⎭⎣18918⎫=+=⎪⎭5m =，即3k =时取等号）． ∴点N 到直线3100x y +-=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，定值问题，考查数学运算能力.- 21 -。
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将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从 爬行一周后回到 （记作 ），作 ，如下图所示：
由最短路径为 ，即 ，
由圆的性质可得 ，即扇形所对的圆心角为 ，
则圆锥底面圆的周长为 ，
则底面圆的半径为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.
9．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .若 ， 的面积为 ，则 （）
所以球的体积为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.
7．在 中， （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则 的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．
【详解】
∵ ，∴ ， ， ，整理得 ，∴三角形为直角三角形．
A．5B． C．4D．16
【答案】C
【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得 ,再根据面积公式可求得 ,再代入余弦定理求解即可.
【详解】
中, ,由正弦定理得 ,
又 ,
∴ ,又 ,∴ ,∴ ,又 ,
∴ .∵ ,
∴ ,∵ ,∴由余弦定理可得 ,
∴ ,可得 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=– ，∴B∈（ ，π），∴sinB= ．由正弦定理得 = ，∴sinA= ．∵B∈（ ，π），∴A∈（0， ），∴∠A= ．
（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= = ．
如图所示，在△ABC中，∵sinC= ，∴h= = ，∴AC边上的高为 ．
【答案】 或
【解析】取 中点 ，可证 （或其补角）是 ， 所成的角，分类计算．
【详解】
取 中点 ．连接 ，∵E，F分别是 ， 的中点，∴ ， ， ，
∴ ， 所成的角是 （或其补角），
若 ，则 ，
若 ，则 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，解题时要注意通过平行线作出异面直线所成角时，对应的角或其补角是异面直线所成的角，因此可分类讨论．
15．在锐角 中， ， ，则 边上的中线 的长的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由正弦定理化角为边，由余弦定理求出中线长（用三边表示），然后根据已知条件求出 的范围，结合二次函数性质得 的范围，从而得中线取值范围．
【详解】
因为 ，由正弦定理得 ，又 ，所以 ，
由余弦定理得
， ，
又 ， ，
2．正方体被平面所截得的图形不可能是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【答案】C
【解析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形
【详解】
如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C项
易知圆心在直线 上，此直线与所有圆都相交，B正确；
若 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；
将 代入圆方程得 ，即 ，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D正确．
故选：BD．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，掌握反证法，特殊值法，综合性较高．
三、填空题
二、多选题
11．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】ABD
【解析】根据线面的位置关系对每个选项进行判断．
【详解】
由 ， ，得 ，又由 ，得 ，A正确；
由 ， ，得 ，又由 ，得 ，B正确；
因为 分别为 的中点,所以 ,且 ,
因为四边形 为菱形,所以 平面 平面 ,
所以 平面 .
因为平面 平面 平面 ,
所以 .
又 ,所以 .
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面 ，且 平面 ,所以 平面 .
(2)由(1)得 平面 ,所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离.
取 的中点 ,连接 ,
因为四边形 为菱形,且 ,
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．
8．一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为 ，则圆锥的底面圆半径为（）
A．1mB． C． D．
【答案】B
【解析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.
所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
设 到平面 的距离为 ,又因为 ,
所以由 ,得 ,解得 .
即 到平面 的距离为 ．
19．已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝ .
（1）求直线CD的方程；
2019-2020学年江苏省泰州中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．在 中，若 ， ， ，则满足条件的三角形有（）个
A．B．1C．2D．不确定
【答案】C
【解析】直接利用 来判断三角形解得情况.
【详解】
在 中， ， ， ，则 ，
所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 有两解.
故选：C.
【点睛】
本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．
【点睛】
本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.
6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意最大的球为与正方体各个面相切，直径为正方体的棱长，即可求解.
【详解】
将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，
该球为正方体的内切球，其半径为 ，
（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为__________；
（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则 __________.
【答案】3
【解析】圆 与圆 关于原点对称，直线 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆 与圆 的圆心坐标，
（1）求出切线方程后，求出 到切线 的距离后由勾股定理得弦长．
由 得 ，即 ，
由题意可知，MN为Rt△AMB斜边上的中线，所以 ,
则
又由 ，则 ，
可得 ，化简得 ，
∴点 的轨迹是以 为圆心、半径等于 的圆C3，
∵M在圆C3内，∴MN的最小值即是半径减去M到圆心 的距离，
即 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
若 ， ， ， 可能平行也可能是异面直线，C错误；
由面面垂直的性质定理知D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．
12．设有一组圆 ： （ ）.下列四个命题中真命题的是（）
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
故答案为：3； ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．
五、解答题
17．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= – ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】(1)∠A= (2)AC边上的高为
【解析】分析：（1）先根据平方关系求 ,再根据正弦定理求 ，即得 ；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程 ，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求 ，解得 边上的高．
5．过两直线 ： ， ： 的交点且与 平行的直线方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】求出两直线 、 的交点坐标，再设与 平行的直线方程为 ，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程.
【详解】
解：两直线 ： ， ： 的交点为
解得 ，即 ；
设与 平行的直线方程为
则
解得
所求的直线方程为 .
故选：D
所以 ，所以 ，
又 ，即 ，因为 是锐角三角形，
∴ ，所以 ，解得 ，
∴ ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，二次函数的性质的综合应用，解题时利用余弦定理建立中线与三角形边长之间的关系是基础，利用锐角三角形求出 的取值范围是解题关键．
四、双空题
16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.
10．在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ，点 ，动点 ， 分别在圆 和圆 上，且 ， 为线段 的中点，则 的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】A