广义相对论_第3章
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(1)光线在引力场中弯曲，以及引力红移现象都是在 引力场很强的情况下产生的效应. (2)光在同一种均匀介质中沿直线传播的现象在我们的日常生 活中仍然成立.
【典例2】在适当的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒 星，这说明星体发出的光( ) A.经太阳时发生了衍射 B.可以穿透太阳及其他障碍物 C.在太阳引力场作用下发生了弯曲 D.经过太阳外的大气层时发生了折射
1 (v)2 c
Ek
m0c2 1 (v)2
m0c2.
c
当v c时，1 ( v)2 1 1 ( v)2，代入上式得：
c
2c
Ek
m0c2
m0c2
1 2
m0c2
(
v c
)2
1 1 (v)2
1 2
m0
v
2
.
2c
2.如果质量发生了变化，其能量也相应发生变化ΔE=Δmc2， 这个方程常应用在核能的开发和利用上.如果系统的质量亏损 为Δm，就意味着有ΔE的能量释放.
5.下列说法中正确的是( ) A.物体的引力使光线弯曲 B.光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用 C.在强引力的星球附近，时间进程会变慢 D.广义相对论可以解释引力红移现象 【解析】选A、C、D.根据广义相对论的几个结论可知，选项 A、C、D正确，B错误.
6.下列说法中正确的是( ) A.在任何参考系中，物理规律都是相同的,这就是广义相对性 原理 B.在不同的参考系中，物理规律都是不同的，例如牛顿定律 仅适用于惯性参考系 C.一个均匀的引力场与一个做匀速运动的参考系等价，这就 是著名的等效原理 D.一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这 就是著名的等效原理
【解题指导】依据广义相对论中的引力场中的光线弯曲考 虑.
广义相对论课件第三章
Einstein boldly raises the massenergy equivalence to an axiom, invokes equality between gravitational and inertial masses, and then postulates the equivalence between a uniform gravitational field and an oppositely directed constant acceleration, the equivalence principle.
0 00
1 h , h , h , 2 , , 1 00 h00, 0 h00, 0 h00, 0 0 2 1 00 1 h00,i h0i , 0 h0i , 0 h00,i 2 2
18
1 证明: 2 g ( g , g , g , ) 1 (h , h , h , ) 2 d 2 x0 dx dx 0 ds ds ds 2
是一阶小量
dx dx dx0 是一阶小量与 构成二阶小量 若 0 0 ds dx ds d 2 x0 若 0 则 0 0 所以 0 2 00 ds
不是这样。只能说爱因斯坦包容了牛顿。 牛顿物理学在它使用的范围内仍然适用， 它没有错。新的物理学规律它是把原来东西 包容起来。
（关于量子隧道） ◆ 就象山洞的隧道一样。你要是从山上面爬，要
迈过很多的艰难险阻，才能爬到对面去，旅途 漫长。可是要通过一个隧道，很快就会到了山 的那面。
6
Problem: Generalize Special Relativity to Include Acceleration and Gravitation 1 Try to generalize Newton’s gravitation theory 2 Try along lines of relativity of electric and magnetic fields Albert Einstein’s 1907 Jahrbuch paper
相对论2-3
G 8GT 8G
2
• 而爱因斯坦引力场方程最后可写为
G 8GT
§3-8引力辐射（引力波）
• 已知在弱场近似下，场方程可写为
R , ,
1 g R kT 2
T • 若对真空（无物质分布）情形， 0
R k (T g T) 2
G R 0
§3-6场方程的牛顿近似
• 先看方程左边的几何量： R R , , ∵
00
T 00 u 0 u 0 g
T 0i 0 T ij
T T T00
• 现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分 布，于是利用场方程
1 R g R kT 2 1 g R kT R 2 1 R k (T g T) 12
加速度 惯性力 • 引力的几何化 0 ， ——空间弯曲 存在引力 即引力将导致空间的弯曲
§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程
• 思路： 等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示 广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量 表示 • 物质的能量—动量分布→动力学状态
F T
又 R g g R R ∴ R 00 R 00 ， 0i R 0i ， R
R ij R ij
1 R 00 h 00,ij 2 1 R 0i (h k 0,ik h 0i ,kk ) 2
1 R ij (h kk ,ij h ki, jk h kj, jk h ij,kk ) 2
广义相对论简介
广义相对论简介引子由牛顿力学到狭义相对论，基本观念的发展是，其一：由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权；其二：由绝对时空到时空与运动有关。
爱因斯坦进一步的思考：非惯性系与惯性系会不平权吗？物质与运动密不可分，那么时空与物质有什么关系？关于惯性和引力的思考，是开启这一迷宫大门的钥匙，最终导致广义相对论的建立。
§1 广义相对论的基本原理 一、等效原理1. 惯性质量与引力质量实验事实：引力场中同一处，任何自由物体有相同的加速度。
根据上述事实及力学定律，可得任一物体的惯性质量与引力质量满足 常量，与运动物体性质无关，选择合适的单位，可令＝＝，即惯性质量与引力质量相等。
从而，在引力场中自由飞行的物体，其加速度必等于当地的引力强度。
2. 惯性力与引力已知在非惯性系中引入惯性力后，可应用力学规律，而惯性力。
在此基础上，讨论下述假想实验。
1) 自由空间中的加速电梯(如图1)以为参考系,无法区分ma 是惯性力还是引力。
因此，也可以认为是在引力场中匀速运动的电梯。
2)引力场中自由下落的电梯S*(如图2) 以S*为参考系，无法区分是二力平衡 还是无引力。
因此，也可认为S*是 自由空间中匀速运动的电梯。
以上二例表明，由＝，可导出惯性力与引力的力学效应不可区分，或者说，一加速参考系与引力场等效。
当然，由于真实引力场大范围空间内不均匀，图图1图2因此，这种等效只在较小范围空间内才成立，我们称之为局域等效。
3. 等效原理弱等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。
强等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。
广义相对论的等效原理是指强等效原理。
4.对惯性系的再认识——局域惯性系按牛顿力学的定义，惯性定律成立的参考系叫惯性系。
恒星参考系是很好的惯性系，不存在严格符合此定义的真正的惯性系。
惯性系之间无相对加速度。
按爱因斯坦的定义，狭义相对论成立的参考系，或（总）引力为零的参考系叫惯性系。
现代物理概论-第三章-广义相对论和宇宙学
现代物理概论
第一章 狭广义相对论和宇宙学
近年最引人注目的天文及航天成就
宇宙起源新成果及暗能量的发现 新型太空望远镜的建成 火星探测器成功着陆 深度撞击 中国神州系列载人飞船成功上天
现代物理概论
第一章 狭广义相对论和宇宙学
§2 人类对宇宙的认识
一．宇宙的概念
早在2300多年前，战国时代的思想家庄子（大约公元 前369—前286年）就浪漫激情地幻想“旁（傍）日月，挟 宇宙”。其实中文的“宇”、“宙”二字原指“屋檐”和 “栋梁”，都是指人居住的地方，后来才延伸为“天地四 方（空间）、古往今来（时间）”的总称。它超越了东西 南北的方位，无边无际；超越了一朝一夕的时间，无穷无 尽。与“宇宙”混用的“世界”二字则出于佛教的说法， 也是时间（世代）和空间（边界）的合称。
1912年，勒维特发现造父变星（其亮度由于星体的 膨胀收缩运动而发生周期性变化的一类变星）的光变周 期同光度之间存在确定的关系，使测定包含这类变星的 遥远恒星集团的距离成为可能。
6年后，沙普利分析当时已知的100多个球状星团的 距离和视分市资料，得出银河系是一个直径达10万光年 的庞大的透镜形天体系统，太阳并不处于其中心的正确 结论。
古代天文学家为了表达太阳在黄道上所处的位置 而将黄道这个大圆划分为12段，称为黄道12宫， 每宫占30度，又将黄道12宫和黄道附近的12个 星座联系起来。如白羊座所在的那个宫称为白羊 宫。
由于岁差运动，黄道12宫和12个黄道星座渐渐 错开，如今白羊宫已和双鱼座重合在一起。公元 2世纪，经过古希腊天文学家的详细描述，北部 天空约40个星座的雏形便大体确定下来。
七.广义相对论与几何学
第一章 狭广义相对论和宇宙学
几何学反应的是人对空间关系的认识。有史以 来人们只在比较小的空间尺度中接触比较弱的引力 场．这种情况下空间的弯曲可以忽略，在此基础上 人类发展了欧几里得几何学，它反映了平直空间的 实际。广义相对论告诉我们实际空间是弯曲的，因 此描述实际空间的应该是更具有一般意义的非欧几 何。
2020-2021学年高中物理鲁科版选修3-4 第6章相对论与天体物理第3、4节广义相对论初步探索宇
第3、4节广义相对论初步__探索宇宙1．广义相对论的基本原理指出：在任何参考系中,物理规律都是相同的，一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。
2．一切物体都具有两个完全不同的属性,即惯性和引力,惯性质量是物体惯性的量度,引力质量是物体引力属性的量度。
3．宇宙起源于一个温度无穷大，物质密度无穷大的“奇点”，决定宇宙的几何性质有两个因素膨胀率和密度。
广义相对论初步1．广义相对论的两个基本原理（1）广义相对性原理：在任何参考系(包括非惯性系）中物理规律都是相同的.（2)等效原理：匀加速参考系中的惯性力场与均匀引力场不可区分。
2．广义相对论的时空结构(1）引力的存在对时间的影响：在引力场中，时钟变慢,引力场越强，时钟变慢越甚.（2）引力的存在对空间的影响：引力的存在会使空间变形,在引力方向上，空间间隔不变，在与引力垂直的方向上，空间间隔变短（直尺变短），发生了弯曲，引力越强的地方，这种效应越明显。
3．广义相对论的实验检验广义相对论建立之后,爱因斯坦提出了三项实验检验：(1）水星近日点的进动.（2)光线在引力场中的弯曲。
(3)光谱线的引力红移。
20世纪60年代后,人们又提出了雷达回波延迟.[跟随名师·解疑难］广义相对论的实验检验（1）水星近日点的进动：天文观测显示，行星的轨道并不是严格闭合的，它们的近日点(或远日点）有进动，这个效应以离太阳最近的水星最为显著。
牛顿对此作出的解释与实际观测结果不相符，而广义相对论成功地预言了水星近日点的进动。
(2）光线在引力场中偏转：根据电磁理论和经典光学，在无障碍的情况下，光线是直线传播的。
但按照爱因斯坦的广义相对论,在引力场存在的情况下，光线是沿弯曲的路径传播的.引力场越强，弯曲越厉害.（3)引力红移：在强引力的星球附近,时间进程会变慢，因此光振动会变慢，相应的光的波长变长、频率变小，光谱线会发生向红光一端移动的现象。
光谱线的这种移动是在引力作用下发生的，所以叫“光谱线的引力红移”，这一预言也已经在对白矮星(天狼星伴星）的观测中所证实。
第三章广义相对论
第三章 广义相对论简介我们已经看到, 无论牛顿力学还是狭义相对论都以惯性原理为基石. 而这块基石并不很牢靠, 因为人们不知道除了测量质点的加速度之外如何判断质点是否受到引力的作用. 从理论上讲, 惯性系不是一个自然的概念. 爱因斯坦通过把惯性（加速度）和引力统一起来, 取消了惯性系的特殊地位, 使惯性系问题和引力问题一举得以解决. 但在宇宙学层面, 关于是否存在优越参考系仍然有争论1.在爱因斯坦广义相对论中, 引力场体现为空间的几何性质. 参考系的变换伴随着引力场（即空间几何性质）的变换, 在这种广义的参考系变换下, 物理规律在所有参考系中都一样. 时间和空间的几何性质由物质的存在及其运动决定；而物质的运动方式则由时间和空间的几何性质（即引力）所决定. 尽管广义相对论并非无懈可击, 但一个世纪以来爱因斯坦这个美妙思想一直指引着人们探索相互作用和运动的和谐理论, 使人们对时空的理解达到前所没有的高度.爱因斯坦广义相对论提供了研究宇宙学的理论框架. 但随着理论和实验研究的深入, 很多有趣的疑难问题相继出现. 例如视界疑难、平直性疑难、暗能量和宇宙常数疑难等等. 由于近年实验的进步, 人们已经看到宇宙学成为精确实验科学的可能性. 例如1998年发现的宇宙加速膨胀和2003年WMAP 首次公布的微波背景辐射涨落. 本章将粗略地给出广义相对论主要思想和理论结构, 并简单地提及引力波、引力红移和宇宙演化方程.3.1 等效原理第一章1.7节曾经提到, 牛顿万有引力可以用引力场来描述. 位于x 的质点感受到的引力决定于x 处的引力场)(x ϕ,)(x xf ϕ∂∂−=g grav m （3.1） 参数g m 称为引力质量, 描写质点对引力场响应的强弱. 当质点只受到引力作用而加速运动时, 称质点作自由落体运动. 例如断了线的升降机, 围绕地球转动的月亮等. 根据牛顿第二定律, 自由落体的加速度为)(1x f x ϕ∇−==Ig grav I m m m && （3.2） 参数I m 描写质点被加速的难易程度, 称为惯性质量. 实验指出, 在同样的引力场中, 引力使物体产生的加速度与物体的质量无关. 这意味着对任意两个物体A 和B 有普适的比例常数B I B g A I A g m m m m = （3.3）不妨令它等于1, 即 m m m I g == （3.4） 1郭汉英, 广义相对论和引力理论的变革——相对论百年札记之二, 《科学》第5期, 2005在牛顿力学中, 引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数. 他们严格相等在牛顿力学中没有解释.设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点, 因而这些质点不受任何力的作用, 他们相对惯性系Σ没有加速度. 考虑一个相对Σ作匀加速运动的参考系Σ′. 相对于Σ′, 上述所有质点具有相等而且平行的加速度. 静止在Σ′的观测者看来, 好像参考系Σ′没有加速运动, 而质点受到一个均匀引力场作用一样（因为惯性质量等于引力质量, 所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样）. 且不管产生这种引力的原因, 从效果上没有任何理由阻止我们认为Σ′是一个惯性系但存在真实的引力场. 爱因斯坦认为参考系Σ和Σ′在物理上完全等价.这种等效性使惯性系和非惯性系完全平等起来, 是观念上的极大进步. 现在再不用把物理定律限制在一种称为惯性系的特殊参考系中. 质点在不同参考系的不同行为被归结为引力场在不同参考系中的不同表现. 我们仍然认为引力场是一种客观实在, 但它在不同的参考系中表现出不同的强度. 类似于客观实在的尺子在不同惯性系可以表现出不同的长度. 我们稍后再讨论引力场和空间几何的关系, 以及引力场如何产生.显然不是任意引力场都可以被加速参考系抵消. 例如没有一个加速参考系能看到完全为零的地球引力. 引力和加速度的等效性是局域的. 爱因斯坦假设, 在质点所在的无穷小空间邻域中, 引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉, 固定在该质点上的参考系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系, 其中引力强度等于零, 而且狭义相对论成立.等效原理：（1）均匀引力场等效于一个加速参考系中的惯性力场；（2）固定在自由落体上的参考系是一个局域惯性系, 其中狭义相对论成立.等效原理的实质是：在宇宙中任何时刻、任何地点都可以建立局域洛伦兹参考系, 在这类局域洛伦兹参考系中, 除了引力之外的一切物理规律形式上和狭义相对论中的规律一样. 这是广义相对论中最重要的原理.更强的假说是相对论局域化原理：在宇宙中, 时时处处存在局域闵可夫斯基时空, 其中除引力之外的物理规律, 都具有局域庞加莱不变性；亦即狭义相对论在时空局域地成立.3.2 弯曲空间◆爱因斯坦转盘在惯性系中制备的一些相同的尺子, 作为标准长度单位, 称每把尺的长度为0l 米. 分别沿半径和圆周摆放尺子.设圆盘相对地面静止时需要用n 把尺子摆满半径, m 把尺子摆满圆周. 按照欧几里德几何, 周长和半径之比为π200==nm nl ml （3.5）图3-1. 爱因斯坦转盘.当圆盘以角速度ω转动时, 圆周处的线速度为r ωυ=. 因为转盘是一非惯性参考系, 我们暂时还不知道非惯性参考系的时空几何学和其他所有自然定律, 只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律. 根据狭义相对论（参见第二章例2-2）, 圆周上随圆盘转动的尺子相对地面惯性系的长度为020)/(1)(l c r l r l <−=ω （3.6） 而沿半径摆放的转动尺子相对地面惯性系的长度不变2, 仍为0l , 即圆盘半径不变. 根据地面惯性系的欧几里德几何, 圆盘转动时的边缘和不转动时的边缘应该是重合的. 摆满半径所需的转动尺子数目仍为n , 但是因为沿圆周边缘摆放的转动尺子变短了, 在转动圆盘上需要多一些尺子才能摆满圆周, 即需要尺子的数目变成m ′(m m >′).对于转动圆盘上的人, 有两种观点可选择：1）仍然采用地面惯性系的长度标准, 以不转动的尺子为长度标准单位；认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度)(0r l l =′, 而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样, 即 00ml l m =′′；2）不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动, 坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度（把它作为转盘参考系中的长度标准单位）；因而圆盘转动时圆周的长度0l m ′和静止时的0ml 不一样. 对于转盘参考系, 按第一种观点, 本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度(因而不能作为长度单位), 转盘上的人做长度测量时需要用固定在另一个特定参考系的尺子作为长度单位. 而按第二种观点, 物理本质相同的尺子作为长度的标准单位, 与它所处的位置及运动状态无关, 长度的测量仅与单个参考系有关. 因为第二种观点避免了长度测量依赖于有优越性的特殊参考系, 所以显得自然一些.如果转盘上的人采用第二种观点, 即认为标准尺的长度是不变的, 就会得出周长和半径的比π200>′=′nm nl l m （3.7） 依这种观点, 转盘参考系的几何不是欧几里德几何. 在思考上述问题时, 要避免问这样的问题: “转动和不转动的圆盘, 他们的圆周长度到底相不相等?” 这是牛顿绝对空间概念导致的误区. 按照相对论, 长度没有绝对意义. 同样物理状态下物体的长度在两个参考系中可以是不同的. 而具有绝对意义的是摆放尺子的数目. 所以地面和转盘上的人记录的固定在转盘上沿圆周摆放的尺子数目都是m ′. 至于他们认为圆周的长度有多长, 则与他们选择的长度标准单位有关.再考虑两个相同的时钟, 一个放在圆心, 一个放在圆周. 按照狭义相对论（参见第二章例2-1）, 当圆盘转动时, 地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些. 离圆心越远, 时钟越慢. 和前面关于尺子和长度测量的讨论相似, 转盘上的观察者可以自然地坚持时钟的一个运动周期为标准时间单位, 不管时钟放在那里都代表同样的时间间隔. 这样转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的时间流逝得变慢了.■2假定尺子的长度只依赖于尺子方向的速度, 而与尺子的加速度和垂直尺子方向的速度无关.在转盘上引入非欧几何不是必须的, 因为转盘相对一个惯性系转动, 一切时间和尺度都可以用惯性系中的时钟和尺子来测量, 时空几何以惯性系的欧几里德几何为准, 即同上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位. 假如物理上存在欧几里德几何成立的称为惯性系特殊参考系, 原则上也不妨坚持以惯性系中静止的时钟和尺子为时间和长度的标准, 以此量度任何参考系的时间和长度. 但是等效原理告诉我们, 圆盘的加速运动等效于引力场. 由于实际上存在不能通过参考系变换使之处处为零的引力场, 因此物理上不存在真正的欧几里德几何成立的惯性系, 因此非欧几里德几何是必须的.为了容易想象弯曲空间, 我们假设空间是二维的. 图3-2是弯曲空间的一个例子. 把曲面镶嵌在高维欧几里德空间, 用高维空间（三维空间）的笛卡儿坐标描写曲面是可以的. 但高斯提出一种更漂亮的描写方法, 即在曲面上直接建立曲线坐标. 高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何, 不需要人为地增加内容, 类似于广义相对论只在一个参考系描写时空结构（和物理规律）, 优越性是明显的.我们所讨论的曲面假定是连续可微的, 每一点附近的小邻域可以用一平面（图3-2b 中的M ）近似. 在数学上这种曲面称为二维微分流形. 图3-2a 的苹果如果没有破皮, 而且把蒂去掉, 其表面就很接近一个2维微分流形.B普遍地, 可以把流形想象为一个局部光滑的空间, 空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间. 这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标()d X X X ,,,21L , d 为流形的维数. 对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念, 无穷小距离平方定义为()()∑==++=d d dX dXdX dX ds 12222212)()(ααL （3.8）对笛卡儿坐标作任意连续可微变换 ),,,(21d x x x X X L αα= （3.9）代入（3.8）得d 维流形的间隔平方可写成∑=ddx dx x g ds νµνµµν,2)( （3.10） 其中函数µνg 由流形的几何性质和所选坐标架所决定, 称为度规矩阵, 或简称度规,∑=∂∂∂∂=dx X x X x g 1)(αναµαµν （3.11） 图3-2.（a ）弯曲的二维曲面. AB 是曲面上的一条路径. （b ）曲面上的切平面M 和路径AB 的的切线.有了µνg 之后, 流形便有确定的形状和距离的概念, 即µνg 确定流形的度量性质. 具有度规的流形称为黎曼流形.◆例3-1 求球面流形的度规.【解】采用球坐标),(ϕθ, 设球的半径为a . 易见222222)(sin)(ϕθθd a d a ds += （例3.1）所以 211a g =, 02112==g g , θ2222sin a g = （例3.2）■物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质. 观察者在引力场中作自由落体运动, 他附近的小邻域里好象不存在引力场一样. 因此总能将时空流形的一个小邻域近似为欧几里德区域, 在那里建立惯性参考系（自由落体参考系）, 其中狭义相对论成立. 根据狭义相对论, 两个无限接近事件的间隔, 即（3.10）式定义的2ds , 是一个不变量, 与局域惯性系的选择无关. 实际上, 按照度规的定义, 2ds 在任意连续可微坐标变换下都是不变的（习题【31】）. 因为任意物理的参考系变换都可以用连续可微坐标变换给出, 所以2ds 在任意局域参考系变换中不变. 这些变换可以是非线性的、非均匀的. 局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的, 不同的几何结构由不同的度规张量场)(x g µν表现出来（所谓张量场就是时空点的一个张量函数）. 度规场反映了参考系的不同选择, 也反映了时空的几何结构. 最简单的度规矩阵为单位矩阵,µνµνδ=g （3.12）当度规矩阵为单位矩阵时, 参考系为局域惯性系, 在其适用的局域范围内引力强度为零. 经非线性坐标变换后, 单位度规矩阵变成非单位矩阵, 它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度. 但是某点引力强度等于零并不一定等价于该点没有引力场. 因为即使在该点µνµνδ=g , )(x g µν在该点的导数可能不等于零, 这就有别于无引力场的情形. 事实上空间的曲率（张图3-3. 球面流形. 对给定的半径, 球面上每点可以用坐标),(ϕθ表示.量）如果有非零元素, 就有引力场存在. 因此, 整个空间函数)(x g µν与引力场相联系, 而给定点某个点0x 的)(0x g µν与引力强度联系, 后者依赖于参考系.空间的整体拓扑性质是很有趣的. 例如, 存在非平庸拓扑的曲面, 它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的. 球面就是一个非平庸拓扑的曲面. 相反, 圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的. 根据引力和几何的关系, 如果空间是二维的球面, 则空间必须存在引力场, 不能让处处的引力强度都等于零；如果空间拓扑和圆柱面一样, 则整个空间原则上（数学上）可以没有引力场.3.3 弯曲空间的矢量分析（1）张量的定义考虑一般的连续可微坐标变换)(νµµx x x ′=′ （3.13）无限小位移µdx 在一般坐标变换下如下式变换： ννµµdx x x x d ∂′∂=′ （3.14） 重复指标均隐含求和, 以后不再特别声明.按定义, 反变矢量A 由四个分量组成, 它的分量在坐标变换下如（3.14）式一样变换ννµµA x x A ∂′∂=′ （3.15） （3.14）式本身说明µdx 是一个反变矢量. 曲线的切线（例如图3-2b 曲线AB 的切线）, 选择适当参数就是四维速度矢量 τµµd dx u = （3.16） 易见它是一个反变矢量（τd 在坐标变换下不变）.由四个分量组成的对象B , 其分量µB 在坐标变换下如下式变换：νµνµB x x B ′∂∂=′ （3.17） 则称它为协变矢量. 注意我们总是用上标表示反变矢量, 下标表示协变矢量. 本章不再用黑体强调矢量和张量. 变量的几何性质由指标安排或具体说明给出.反变矢量和协变矢量可以合起来构成一个标量µµφB A = （3.18） 易证, φ在坐标变换下不变.所有张量都通过它的分量的变换方式来定义. 例如µν⋅A 的变换方式为 αβνβαµµν⋅⋅′∂∂∂′∂=′A x x x x A （3.19） 可证, νµdx dx 是一个二阶反变张量.如果µνA 和αβγB 是两个张量, 而且µναβνγµαβγA RB = （3.20） 则αβνγµR 是一个张量. 这是一个普遍数学定理的特例.【定理】如果两个张量成正比, 每一个张量的反变（协变）指标对应比例因子的一个协变（反变）指标, 则比例因子是一个张量的分量.由于2ds 和νµdx dx 是张量, 根据这个定理从（3.10）式容易看出µνg 是张量.（2）基本张量——度规张量下面直接证明度规矩阵µνg 是对称的协变张量.◆【证明】ληλνηµµννµµνx d x d x x x x g dx dx g ds ′′′∂∂′∂∂==2 （3.21） 在新坐标中,ληηλx d x d g s d ′′′=′2 （3.22）因为2ds 是不变间隔, 所以22s d ds ′=. 比较（3.21）和（3.22）式得µνλνηµηλg x x x x g ′∂∂′∂∂=′ （3.23） 故µνg 是一个协变张量, 称为协变度规张量.（3.23）式可以写成νµνµµνµνdx dx g dx dx g ds ==2 （3.24）最右边的式子由中间的式子同时改变求和指标的名称而得到. 因此 νµνµµνdx dx g g )(0−=上式对任意小量µdx 成立, 故νµµνg g =, 即度规张量是对称的.■度规矩阵µνg 的逆矩阵αβg 由下式定义,⎩⎨⎧≠===µβµβδβµλβµλ,0,1gg (3.25) 因为αβg 的两个指标都按（3.15）式变换, 故称αβg 为反变度规张量. 易见它也是对称的.有了协变和反变度规张量, 我们可以把反变矢量（指标）和协变矢量（指标）一一对应起来,νµνµA g A =, νµνµB gB = （3.26） ναµανµT g T =, αβνβµαµνT g g T = （3.27）因此, 一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示, 分别称为矢量的两个表象：反变表象和协变表象. 例如, 我们把（3.26）式中的µA 和µA 看作同一个矢量的两种表示.（3）不变体积微元度规矩阵的行列式记为||µνg g =. 可证,g J g 2−=′ （3.28） 其中J 是从坐标x 变到坐标x ′的雅戈比行列式,νµx x J ∂′∂= （3.29） 右边指标µ是矩阵元的行指标, ν为列指标.雅戈比行列式也出现在体积微元d d dx dx dx x d L 21≡的变换中,x Jd x d d d =′ （3.30） 因此, x d g d 在坐标变换下不变, 称为不变体积微元.x d g x d g d d =′′ (3.31) （4）矢量平行移动与仿射联络如何比较空间不同点的两个矢量呢？这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的：把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置, 再按平行四边形法则求他们的差. 因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间, 故所谓矢量的平行移动, 可以理解为矢量各个分量保持不变的移动.但在弯曲空间, 不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念. 为了确定不同点的矢量平行与否, 必须规定一种平行移动的法则. 图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络. 图3-4（a ）中, 一个与球面切于北极（a ）点的矢量沿大弧abc 移动, 在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc 相切的特征. 可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动. 再看图3-4（b ）, 北极上同样的矢量, 沿另一条大弧adc 移动, 在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc 的切线正交的特征. 可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动. 但是我们看到两个过程在南极c 点产生的矢量是不同的. 可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行. 但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的. 粗略地说, 仿射联络是一种平行移动的法则, 矢量按此法则沿一条曲线移动时被认为不改变.c在无限小的区域, 弯曲空间近似平直, 因此和欧几里德空间的情形相似, 矢量的无限小平行移动由初始矢量)(x A 和位移矢量dx 所确定. 示意于图3-5.) 1ˆe考虑x 处一反变矢量)(x A µ, 利用x 处坐标架的单位方向矢量)(ˆx eµ可把矢量可写成 )()(ˆ)(x A x e x A µµ= （3.32）矢量)(x A 被平行移动到dx x +处, 成为该处的一个反变矢量B . ))()()((ˆx A x A dx x e B µµµδ++= （3.33）把平行移动引起的矢量分量的变化)(x A µδ写成νλµλνµδdx x A x x A )()()(Γ−= （3.34） 则))()()()((ˆνλµλνµµdx x A x x A dx x e B Γ−+= （3.35） 图3-4. 球面上矢量的平行移动. （a ）矢量沿abc移动. （b ）矢量沿adc 移动.图3-5. 矢量场的协变微分. 1ˆe和2ˆe 是局域坐标架. )(x A 和)(dx x A +分别是矢量场在x 和dx x +两点的矢量. B 由x 点的矢量)(x A 平移到dx x +点而成的矢量. 协变微分DA 定义为)(dx x A +和B 的差.其中带有三个指标的函数)(x αµνΓ称为仿射联络（克里斯托菲（Christoffel ）符号）. 矢量B 必须象矢量一样变换, 这要求)(x αµνΓ具有下面的变换性质, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′∂′∂∂+Γ′∂∂′∂∂∂′∂=Γ′νµββηλνλµηβααµνx x x x x x x x x 2 （3.36） 可见, αµνΓ不是一个张量. 至此, αµνΓ除了（3.36）式的限制外, 没有其他限制. 易见, 如果原来的αµνΓ对两个下标是对称的, 经过任意变换后这种对称性仍然保持. 对平直的欧几里德空间, αµνΓ等于零, 所以对其下标一定是对称的. 我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似, 是所谓黎曼流形, 故只需考虑ανµαµνΓ=Γ的情形（数学上称为无挠性）. 物理时空是有距离概念的, 可以如（3.11）式那样引入度规张量场. 能够保证矢量的标积在平移时保持不变的αµνΓ唯一地被度规张量所确定3,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂+∂∂=Γσµνµνσνµσασαµνx g x g x g g 21 （3.37） 上式的导出可以参见第四章(附4.23)式.（5）协变微分考虑反变矢量场)(x A µ. 普通导数νµx A ∂∂不是一个张量, 因为在坐标变换下, σλµνλσλσσµνλσσµλνλµλνλνµx x x x x A x A x x x x A x x x x x A x x x x A ∂∂′∂′∂∂+∂∂∂′∂′∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂′∂∂∂′∂∂=′∂∂′∂∂=′∂′∂2 （3.38） 第一项如张量一样变换, 但第二项不是.我们要在同一地点求矢量的差才能得到矢量. 为了反映矢量场局域空间变化, 用dx x +处的矢量)(dx x A +减B （由)(x A 从x 平移到dx x +所得的矢量, 见（3.35））,[]νλµλνµµνλµλννµµνλµλνµµµdx x A x x x A x e dx x A x x x A dx x e dx x A x x A dx x A dx x e Bdx x A DA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Γ+∂∂+=Γ+−++=−+≡)()()()(ˆ)()()()(ˆ)()()()()(ˆ)( （3.39） 3 参见《相对论引论》, P.G .柏格曼著, 周奇、郝苹译, 人民教育出版社1961这是一个反变矢量, 称为反变矢量场)(x A 的协变微分. 在最后的等式中我们忽略了二阶以上的无限小量.（3.39）式最后一行的中括号定义为反变矢量的协变导数,λµλνµµνA x A A Γ+∂∂=⋅; （3.40） 右边两项分别都不是张量, 但合起来却是一个张量. 以后“分号”一般都表示协变导数. 如果空间是平坦的, 可以选取不随时空点变化的度规张量, 使得仿射联络等于零（见（3.37））, 此时协变导数和普通导数一样. 因为广义相对论中允许在不同时空点采用不同的参考系, 不同的坐标架, 而且在引力场下全空间原则上不存在一致的笛卡儿坐标, 所以需要（3.40）式右边的第二项才能保证（3.40）式具有张量的变换性质.协变微分可以表示为νµνµdx A e DA ;ˆ⋅= （3.41）如果0=DA , 则)(dx x A +是)(x A 平移得到的矢量.类似可以得到协变矢量的协变导数λλµννµνµA xA A Γ−∂∂=; （3.42） 注意（3.40）和（3.42）式第二项符号的差别.协变导数和普通导数一样有莱布尼兹求导公式νλµνµλλνµ;;;)(B A B A B A += （3.43）类似推理可以得到张量的协变导数,γνµγλµγγνλλµνµλνT T xT T Γ+Γ−∂∂=; （3.44） 对张量求协变导数的规律是：第一项是普通导数；然后张量的每一个指标都对应有一项, 由Γ和张量相乘得到, 下标为负, 上标为正. 注意上下指标的配合就可以写出正确的协变导数. 标量也服从这个规则, 因为标量没有指标, 故只有普通导数项.µϕϕx ∂∂=; （3.45） 一个重要的结果是, 度规张量的协变导数等于零（习题【3.2】）,0;=λµνg （3.46）（6）曲率张量如何知道空间在某一点附近是弯曲的呢？在平直空间, 把矢量沿一闭合回路平行移动一周, 矢量方向和大小都不变. 例如图3-6a 中的矢量沿路径ABCA 平行移动一周. 在弯曲空间, 如图3-6b, 矢量沿回路（图中的ABCA ）平行移动一周后, 和原来出发时的矢量不一样. 这是空间弯与不弯的根本差别.4321P P P 平行移动一周. 如图3-7. （3.47） 推广到任意回路 （3.48） 根据（3.20),(22113dx x dx x P ++即沿无限小回路平移一周后, 矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积, 其比例系数µναβR 称为四阶黎曼曲率张量, 由仿射联络及其导数给出,γλαµγβγλβµγαβµλααµλβµλαβΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−∂Γ∂=xx R （3.49） 它关于下标α和β是反对称的, µλβαµλαβR R −=．空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式, 称为毕安基（Bianchi ）恒等式,0;;;=++µβλγαµαλβγµγλαβR R R （3.50） 图3-7. 矢量沿回路4321P P P P 平行移动一周.对αµβνR 的指标α和β缩并, 得到一个二阶里兹（Ricci ）张量βµβνµνR R ≡ （3.51） 总曲率（标量）等于里兹张量的缩并（先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来）µνµνR g R = （3.52） ◆例3-2 在半径为a 的球面上, 采用球坐标θ和ϕ. 度规张量已在例3.1中给出. 求仿射联络和曲率标量.【解】仿射联络的非零分量有：θθθϕϕcos sin −=Γ, θθϕϕθϕθϕsin cos =Γ=Γ （例3.3）四阶黎曼曲率张量的非零分量有：1=−=ϕθθϕϕθϕθR R , θθϕϕθθϕθϕ2sin=−=R R （例3.4） 二阶里兹张量的非零分量有：1=θθR , θϕϕ2sin=R （例3.5）曲率标量为22aR g R g R =+=ϕϕϕϕθθθθ （例3.6） ■3.4 短程线以上3.2和3.3节基本上是数学内容. 现在回到物理问题：在引力作用下质点的运动. 根据爱因斯坦的设想, 当空间的几何知道后, 自由质点（除了引力之外, 不受其它力作用的质点）的运动便由空间的几何完全确定了, 它的轨迹必然是由空间几何内禀性质确定的一条线. 下面先介绍通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线.图3-8. 根据初始位置和初始速度画出的短程线. 从A 点坐标和速度矢量推知无穷接近的B 点坐标和速度矢量, 由B 点坐标和速度矢量再推知无穷接近的C 点坐标和速度矢量, 等等, 就可以确定短程线上所有的点.给定一个初始位置µx 和一个初始速度τµµd dx u /=,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线. 如图3-8, （1）从A 点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B ；（2）沿速度方向将A 点的速度矢量平行移动到B 点, 得到B 点的速度矢量；（3）从B 点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置C ；如此类推便可得到图3-8的整条曲线. 这样通过空间几何（由仿射联络给定）自然定义的曲线称为短程线.A ：µµ0)(x A x =, µµ0)(u A u =B ：τµµµd u x B x 00)(+=, βαµαβµµdx u u B u 00)(Γ−=C ：τµµµd B u B x C x )()()(+=, βαµαβµµdx B u B u C u )()()(Γ−=若质点沿短程线运动, 则四维速度矢量作平行移动. 可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量U （同一个矢量U 放在时空不同的位置可以有不同的分量, 因为坐标架变了）. 这种运动相当于平坦空间的惯性运动. 作为伽利略惯性定律的自然推广, 爱因斯坦设想, 自由落体沿短程线运动. 严格地说, 只有对引力场影响足够弱的自由落体才沿短程线运动. 实际上这是爱因斯坦场方程的一个推论（见3.5节与（3.67-68）式相关的讨论）.按照上面给出的短程线的图象, 自由落体质点位移无限小距离νdx 之后, 速度分量的改变µdu 等于速度矢量平行移动同样距离νdx 的分量变化µδu . 在（3.34）式中取A 为四维速度U , 即取µµu A =, 便得到νλµλνµµδdx u u du Γ−== （3.53）换而言之, 四维速度的协变导数等于零, 即0;=µνu . 设质点平移νdx 所需原时（固有时）为τd , 上式可写为0=Γ+ττνµαµναd dx u d du （3.54） 或022=Γ+τττνµαµναd dx d dx d x d (3.55) 此即短程线方程, 是仅受引力作用的质点的运动方程. 对给定的引力场（αµνΓ）, 知道质点的初始位置和初速度即可从(3.55)式解出质点的轨迹. 如果知道质点的初始时刻的位置A 和末尾时刻的位置B, 也可以从 (3.55)式解出质点的轨迹（图3-9）. 短程线方程也可以通过要求自由落体从一点A 移动到另一点B 的路径所用原时（∫BA d τ）取极值（极小或极大）而得到4.4数学上, 使原时取极值的路径可以通过变分方法得到, 参见第二篇第四章附录4.3.。
sean carroll 广义相对论
sean carroll 广义相对论【原创版】目录一、广义相对论的概念与背景二、广义相对论的基本原理三、广义相对论的预言与实验验证四、广义相对论与量子物理的统一问题五、广义相对论的应用六、总结正文一、广义相对论的概念与背景广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于 1916 年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。
广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。
二、广义相对论的基本原理在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量 - 动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。
三、广义相对论的预言与实验验证广义相对论的预言与经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题。
例如，引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。
广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证。
四、广义相对论与量子物理的统一问题尽管广义相对论是能够与实验数据相符合的最简洁的理论，但它并非当今描述引力的唯一理论。
目前仍然有一些问题未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。
五、广义相对论的应用广义相对论在天体物理学中有着非常重要的应用，如预言了引力波的存在，已经被间接观测所证实。
此外，广义相对论还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础，如光线在引力场中的弯曲形成引力透镜现象，使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
六、总结广义相对论是现代物理学研究的重要理论之一，它对引力现象的描述与经典物理学中的万有引力定律有着本质的区别。
《广义相对论讲》PPT课件
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一系列的 局惯系
r g(r)
无限远 引力为0 惯性系
以该点的引力场强自由降落 可有多个 相对匀速运动 可用洛仑兹变换
引力场源
图示局惯系
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二、广义相对性原理 principle of general covariance (广义协变性原理)
物理规律在一切参考系中形式一样 小结
广义相对论根本原理 1)等效原理 2)相对性原理 3)马赫原理 Mach principle 时空性质由物质及其运动所决定
1m2vGMm 0 2 r
广义相对论_第3章
第三章仿射空间中的张量分析任何物理量通常都可以用一组数来表示，这组数的值一般与坐标的选择有关，研究这组数与坐标变换的关系导致了张量的概念。
我们对三维空间中矢量的概念已经十分熟悉，矢量可以表示力、速度、加速度、动量等等，它通常可以用一组数（3个代数值）表示，并且随着坐标的变化而变化。
然而即使这组数本身随坐标变化了，矢量本身却还是恒定的。
张量的概念可以看作是三维空间中矢量的概念在任意维空间中的推广，是比矢量还要复杂的一种客观存在的物理量的数学表示。
借助于张量，广义相对论可以把物理规律表达为看起来简单的张量方程，使它在任一种坐标下具有相同的形式。
本章我们将在仿射空间中建立张量的定义和运算，并利用它来讨论空间的几何性质。
狭义相对论的四维Minkowski时空中，最常用的一种坐标变换就是代表惯性系之间关系的洛仑兹变换。
从数学的角度来说，洛仑兹变换是一种最简单的线性正交变换，其变换矩阵不依赖于空间点而变化，矩阵元是常数。
然而，广义相对论中由于时空的弯曲，一般不再能够找到如此简单的覆盖全时空的坐标变换。
通常的坐标变换矩阵都是空间点的函数，当然一般也就不再满足线性、正交的条件。
本章从数学的角度讨论一般的坐标变换下，张量的定义和性质。
3.1 n 维仿射空间中的张量虽然相对论所借助的空间通常是四维的，但本章所讨论的数学对任意维数n 都适用，是更加宽泛的、一般性的张量理论。
n 维空间中的点，在某个已经给定的坐标系中可以用n 个数构成的数组来描述，这组数叫做该点的坐标).,,,(21n x x x x =μ (3-1-1)同一空间中坐标的选取方式是任意的和多种多样的，两组坐标μx 与μx ~（μ取1至n ）的联系叫坐标变换),(~~νμμx x x = (3-1-2)上式中的νx 和μx ~分别代表两套坐标下的两个数组。
从(3-1-2)式可导出任一点的坐标微分的变换公式,~~ααμμdx xx x d ∂∂= (3-1-3) 式中对重复指标α自动求和，这叫爱因斯坦求和约定，本书中将始终采用这约定。
[爱因斯坦广义相对论]广义相对论
![[爱因斯坦广义相对论]广义相对论](https://img.taocdn.com/s3/m/b5056c6b24c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec2a.png)
[爱因斯坦广义相对论]广义相对论广义相对论一:广义相对论课件概念介绍黑洞爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出；而多大质量的恒星会塌陷为黑洞则是印裔物理学家钱德拉塞卡的功劳——钱德拉塞卡极限（白矮星的质量上限）。
引力透像有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。
光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
引力波广义相对论还预言了引力波的存在（爱因斯坦于1918年写的论文《论引力波》），现已被直接观测所证实。
此外,广义相对论还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。
[2]时空关系19世纪末由于牛顿力学和（苏格兰数学家）麦克斯韦（1831~1879年）电磁理论趋于完善，一些物理学家认为“物理学的发展实际上已经结束”，但当人们运用伽利略变换解释光的传播等问题时，发现一系列尖锐矛盾，对经典时空观产生疑问。
爱因斯坦对这些问题，提出物理学中新的时空观，建立了可与光速相比拟的高速运动物体的规律，创立相对论。
狭义相对论提出两条基本原理。
（1）光速不变原理：即在任何惯性系中，真空中光速c都相同，为299,792,458m/s，与光源及观察者的运动状况无关。
（2）狭义相对性原理：是指物理学的基本定律乃至自然规律，对所有惯性参考系来说都相同。
爱因斯坦的第二种相对性理论（1916年）。
该理论认为引力是由空间——时间弯曲的几何效应（也就是，不仅考虑空间中的点之间，而是考虑在空间和时间中的点之间距离的几何）的畸变引起的，因而引力场影响时间和距离的测量。
[3]万有引力广义相对论：是一种关于万有引力本质的理论。
爱因斯坦曾经一度试图把万有引力定律纳入相对论的框架，几经失败后，他终于认识到，狭义相对论容纳不了万有引力定律。
第3章 广义相对论简介3-4分解
结论：在非惯性系中引入惯性力，牛顿运动 定律仍然成立
引入 惯性力时
没问题！
a Fi ma0 0
a0
N
mg
二、等效原理
惯性质量 引力质量
F m惯a
加速运动时表现 的惯性特征量
GMm引 F r2
引力场中表现 的引力特征量
实验表明：在大约10-8的实验精度内，这两个不同概 念的质量对各种材料而言都相等，不是巧合
3-4 广义相对论简介*（选讲）
（General Relativity）
问题：
1.为什么要提出广义相对论？
2.广义相对论的基本思想是什么？
3.为什么光线经过引力场要弯曲？
4.为什么光在引力场传播其频率要变化？ 5.黑洞是什么？如何寻找到黑洞？
3-4 广义相对论简介*（选讲）
（General Relativity）
非加 惯速 性系 等 效 于 引 力 场
m 惯 g 惯性力
m引 g
引力
ag
自 由 下 落
Байду номын сангаас
球 无 惯 引 性 不 力 系 动 场
自由空间 地球
无法区分有引力的加速系 和无引力的惯性系
结论:非惯性系与引力场等效或惯性力与引力等效
等效原理：一个均匀的引力场与一个匀加速运动的 非惯性系等效 因此把非惯性参考系与惯性系放在平等地位，取消 惯性系的特殊地位，把非惯性参考系当作是存在引 力场的参考系，所以爱因斯坦在狭义相对性原理基 础上提出了广义相对性原理 三、广义相对论原理与时空弯曲 广义相对性原理：一切参考系都是平权的，物理学 定律在所有的参考系中都具有相同的数学形式
狭义相对 论缺陷：
●只适用于惯性系，惯性系比非惯性
广义相对论
n 4
个 n 元函数： y i y i x1 , x 2 ,...x n y i x 。对其微分，我们自然得到关系：
dy
y dx T dx （这里已经采用了 Einstein 求和约定） x
这里 n 维方阵 T 就是坐标变换矩阵（关于上标与下标的含义稍后说明） 。 现在，假定存在一个标量函数 F，它只依赖于坐标： F xi 。显然，该函数值在坐标变 化下应该是不变的： y y xi F y i F xi 。 而坐标显然是矢量，坐标的微元自然也是矢量，因而矢量在坐标变换下满足关系：
或者，可以把上述关系写成：
R 'abcd ... ... T a a 'T bb 'T c c 'T d d ' ...T 'T 'T 'T ' ...R a 'b 'c ' d '... ' ' ' '...
如果一个张量共有 m 个上标，n 个下标，就称该张量为“m 阶逆变 n 阶协变张量” ，或 “(m,n)型张量” 。 有了矢量以后，我们自然要问：该矢量有多长？进而还要问：矢量 A 与矢量 B 之间的 夹角是多少？因而就需要引入微分流形上的度量， 也即要让微分流形同时也是一个度量空间。 这个度量就构成了一个度规张量——对矢量长度问题， 我们所用的度规是一个 (0,2)型张量， 但是度规本身可以是(2,0)或者(1,1)型张量。
将度规张量记为 g ，从而一个矢量的长度可以记为： lV V V g 。事实上，度
规的作用正是用来描述（邻近）两点之间的距离的： ds g dx dx 。含有度规的微分流
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第三章仿射空间中的张量分析任何物理量通常都可以用一组数来表示，这组数的值一般与坐标的选择有关，研究这组数与坐标变换的关系导致了张量的概念。
我们对三维空间中矢量的概念已经十分熟悉，矢量可以表示力、速度、加速度、动量等等，它通常可以用一组数（3个代数值）表示，并且随着坐标的变化而变化。
然而即使这组数本身随坐标变化了，矢量本身却还是恒定的。
张量的概念可以看作是三维空间中矢量的概念在任意维空间中的推广，是比矢量还要复杂的一种客观存在的物理量的数学表示。
借助于张量，广义相对论可以把物理规律表达为看起来简单的张量方程，使它在任一种坐标下具有相同的形式。
本章我们将在仿射空间中建立张量的定义和运算，并利用它来讨论空间的几何性质。
狭义相对论的四维Minkowski时空中，最常用的一种坐标变换就是代表惯性系之间关系的洛仑兹变换。
从数学的角度来说，洛仑兹变换是一种最简单的线性正交变换，其变换矩阵不依赖于空间点而变化，矩阵元是常数。
然而，广义相对论中由于时空的弯曲，一般不再能够找到如此简单的覆盖全时空的坐标变换。
通常的坐标变换矩阵都是空间点的函数，当然一般也就不再满足线性、正交的条件。
本章从数学的角度讨论一般的坐标变换下，张量的定义和性质。
3.1 n 维仿射空间中的张量虽然相对论所借助的空间通常是四维的，但本章所讨论的数学对任意维数n 都适用，是更加宽泛的、一般性的张量理论。
n 维空间中的点，在某个已经给定的坐标系中可以用n 个数构成的数组来描述，这组数叫做该点的坐标).,,,(21n x x x x =μ (3-1-1)同一空间中坐标的选取方式是任意的和多种多样的，两组坐标μx 与μx ~（μ取1至n ）的联系叫坐标变换),(~~νμμx x x = (3-1-2)上式中的νx 和μx ~分别代表两套坐标下的两个数组。
从(3-1-2)式可导出任一点的坐标微分的变换公式,~~ααμμdx xx x d ∂∂= (3-1-3) 式中对重复指标α自动求和，这叫爱因斯坦求和约定，本书中将始终采用这约定。
坐标微分的变换实际上反映了该点邻近点的坐标变换，从(3-1-3)可以看出这个变换是线性的，但变换矩阵随不同点而不同。
由于表达物理量的张量也是定义在某一空间点上的，所以坐标微分的变换式(3-1-3)是引入张量概念的基础。
当变换矩阵满足,0~det ∞≠∂∂或αμxx (3-1-4) 则坐标微分的逆变换存在，变换公式为.~d ~d μμααx x x x ∂∂= (3-1-5) 由公式（3-1-3）和（3-1-5），正变换矩阵与逆变换矩阵自然满足.~~,~~αββμμαμννααμδδ=∂∂∂∂=∂∂∂∂xx x x x x x x (3-1-6) 有了仿射空间中坐标微分的变换关系，我们根据这种变换来定义逆变张量和协变张量。
仿射空间中的各阶逆变张量，是按如下的规则依次定义的。
零阶逆变张量也叫标量，它满足（1）有0n 个分量，在坐标μx 下它的值记为T 。
（2）当坐标从μx 变为μx ~，T 相应地变为T ~，同时满足),()~(~x T x T = (3-1-7)其中x 和x ~是同一点的两组不同的坐标，(3-1-8)说明标量的值在坐标变换下保持不变。
这里需要强调，标量通常不是常数，它仍然是空间点的函数，在不同的空间点有不同的取值。
只是它不依赖于坐标变换，在一个确定空间点的取值在不同坐标系下是相同的。
一阶张量也叫逆变矢量，它满足（1）有1n 个分量，在坐标μx 下它的值记为μT (μ取1至n )。
（2）当坐标从μx 变为μx ~，μT 相应地变为μT ~，并且满足 ,~~ααμμT xx T ∂∂= (3-1-8) 也就是说，它的变换规则与坐标微分相一致。
二阶逆变张量满足（1）有2n 个分量，在坐标μx 下它的值记为μνT (μ与ν各取1至n )。
（2）当坐标从μx 变为μx ~，μνT 相应地变为μνT ~，并且满足,~~~αββναμμνT x x x x T ∂∂∂∂= (3-1-9) 即每一指标都按坐标微分的变换规律进行变化，这正是逆变张量的基本特征。
更高阶的逆变张量的定义可以依此类推。
在仿射空间中的另一类张量叫做协变张量，它的基本特征是每一指标的变换规则与坐标微分的逆变换相一致。
为了在符号上加以区分，逆变张量的指标由上标标记，而协变张量的指标由下标标记。
由于零阶张量的取值不随坐标变换而变，所以它没有逆变与协变的差别。
当坐标从μx 变为μx ~，一阶协变张量μT 相应变为μT ~，此时两组表示协变张量的数组之间的变换满足.~~αμαμT x x T ∂∂= (3-1-10) 类似地写出二阶协变张量的变换公式为.~~~αβνβμαμνT xx x x T ∂∂∂∂= (3-1-11) 这样任意阶协变张量的变换也就自然地定义出来了。
此外，还可以定义既有逆变指标又有协变指标的所谓混合张量。
最低阶的混合张量是二阶的，它的变换规则是.~~~αβνβαμμνT xx x x T ∂∂∂∂= (3-1-12) 一般来说，一个张量可以有p 个逆变指标，q 个协变指标，即表示成形式pq T αααβββ 2121，我们将它称为),(q p 阶张量。
它的变换规则很容易直接写出，同时前面的简单的逆变、协变以及零阶张量可以看作),(q p 阶张量的退化形式。
从上面的定义我们看到，一个数组是否构成张量在于它们在坐标变换下的行为。
作为例子，我们分析克龙涅克(Kroneker)符号⎩⎨⎧≠==,,0,,1νμνμδμν(3-1-13) 它是一个(1，1)阶混合张量。
,~~~~~~~μννμνααμαβνβαμμνδδδ=∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=xx x x x x x x x x (3-1-14) 可见在任一坐标下，克龙涅克符号的取值都由(3-1-13)决定。
3.2 张量代数和张量的对称性两个张量可以做加法、减法和乘法运算，由于决定张量变换行为的矩阵是随空间不同点而不同的，所以张量的运算必须在同一点上的两个张量间进行，这样才能使运算后的量保持张量的性质。
张量的加减法定义为相应分量的相加或相减，因此这两个张量必须同阶，运算后仍得同一点上的同阶张量。
如.μνμνμνB A C ±= (3-2-1)张量的乘法叫外乘。
如(1，1)阶张量μνA 和(1，0)阶张量μB 的外乘定义为.νμλμνλB A C = (3-2-2)由定义直接可验证μνλC 是(2，1)阶张量。
一般由),(11q p 阶张量与),(22q p 阶张量外乘后得到),(2121q q p p ++阶张量。
对混合张量还可以定义一种运算叫缩并，它让混合张量的某一对上下指标取相同值并求和。
如(2，1)阶张量μνλA 可对(μ或ν)和λ缩并，得到,λνλνA C = 或 ,μλλμA D = (3-2-3) 缩并后的张量νC 或μD 都符合(1，0)阶张量的变换规律。
一般讲，),(q p 阶张量在一次缩并后成为)1,1(--q p 阶张量。
需要说明，原来我们熟知的矢量间的内乘实际上是外乘后再缩并，因此不是一种新的运算。
值得注意的是必须在逆变矢量μA 和协变矢量μB 间进行这种运算。
运算后得到,μμB A C = （3-2-4）它是一个标量。
由两个都是逆变（或协变）的矢量是不能构成标量的。
张量不能定义除法运算，但是如果有满足一般张量在坐标变换下之变换条件的关系式，如,νμνμC B A = （3-2-5）又已知μA 及μνB 均为张量，则能证明νC 也是张量，此性质称为张量运算的商定理。
张量的对称性常常为张量计算带来方便，下面就对一般张量的对称性进行讨论。
首先看n 维仿射空间中的二阶逆变张量μνT ，它的分量可用一矩阵表示.212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T T T T T T T T T T μν（3-2-6） 如果它是对称矩阵，即,νμμνT T = (3-2-7)那我们就说张量μνT 对它的指标μ和ν是对称的。
若它是反对称矩阵，即,νμμνT T -= (3-2-8)则说张量μνT 对它的指标μ和ν是反对称的。
容易看出，如果当张量在某一坐标系下是对称（或反对称）的，那么在任一坐标下它都是对称（或反对称）的，也就是说张量的对称性与坐标无关。
上述对称性质的讨论对协变张量也适用，但对混合张量不适用。
即使混合张量在一个坐标系中有对称性，然而变换到另一个坐标系后，一般也不能保持对称性。
一个不对称的二阶逆变（或协变）张量总可分解成两部分之和，其中一部分是对称张量，两一部分是反称张量，即,μνμνμνA S T += (3-2-9)其中νμμνS S =, νμμνA A -=. (3-2-10)这种分解很容易唯一地确定下来,)(21)(μννμμνμνT T T S ≡+= (3-2-11) .)(21][μννμμνμνT T T A ≡-= (3-2-12) 人们常常用圆括号表示对称组合，用方括号表示反对称组合。
对高阶张量，完全可以在上述意义下说它对某两个上标（或下标）是对称的或反称的；但仍须注意，对一个上标和一个下标来说对称性没有意义，因为这种对称性在坐标变换下不能保持。
当不加限制地说某逆变（或协变）张量是对称的或反称的时，是指它对任一对上标（或下标）都是对称或反称的。
如三阶对称逆变张量应满足νμλλνμμλνμνλT T T T ===. (3-2-13)而三阶的反称逆变张量则满足νμλλνμμλνμνλT T T T -=-=-=. (3-2-14)反称张量还具有如下常用的性质：（1）当任意两个指标取同样值时，张量的该分量为零（2）n 维空间中最高阶的反称张量是n 阶的，这张量只有一个独立分量。
如三维空间中的三阶反称张量μνλT 只有123T 是独立分量，其他不为零的分量均与它相等或等值异号。
（3）n 维空间中的1-n 阶反称张量只有1n 个独立分量。
如三维空间中的二阶反称张量μνT 的独立分量是12T ，23T 和31T ，其他不为零的分量与它们之一相等或等值异号。
作为应用的例子，我们讨论n 维空间的体元。
在空间某点取n 个线性无关的矢量μμμdx dx dx n ,,,21 ，可以用它们构成的行列式来定义一个n 阶张量n n n n x x x x x x x x x T nn n μμμμμμμμμμμμd d d d d d d d d 21212121222111=， (3-2-15) 行列式的性质决定这张量是反称的。
它只有一个独立分量n T12，这分量的绝对值就是n 个矢量所构成的体元的体积。
3.3 矢量的平移和仿射联络根据张量代数的定义，两个不同点上的张量相减后将会失去张量的性质。