《用因式分解法解一元二次方程》PPT课件
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一元二次方程的解法(四)因式分解法(课件)数学九年级上册(人教版)
(x+2)(x-4)=0
9.已知关于x的方程(x+a)(x-3)=0和x2-kx-3=0的根相同,则k=____，
2
a=_____.
1
【分析】由(x+a)(x-3)=0易得方程的一个根为x=3,
把x=3代入x2-kx-3=0得32-3k-3=0,
∴k=2得到方程x2-2x-3=0,
解得x1=-1，x2=3
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化
为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x-3)(x+5)=0的解吗？
(x-3)(x+5)=0
解：x-3=0或x+5=0
所以x1=3，x2=-5.
上述解法中，由①到②
的过程，不是用开平方
①
降次，而是先因式分解，
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边
的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
用适当的方法解方程：
1 3x 1
2
4 0
解： 3x 1 =4
2
A.3，-5
B.3,5
C.-3，5
D.-3，-5
2.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的
一个根是( A )
A.x=0
B.x=2
C.x=3
D.x=4
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D )
A.2
B.3
C.-1，2
9.已知关于x的方程(x+a)(x-3)=0和x2-kx-3=0的根相同,则k=____，
2
a=_____.
1
【分析】由(x+a)(x-3)=0易得方程的一个根为x=3,
把x=3代入x2-kx-3=0得32-3k-3=0,
∴k=2得到方程x2-2x-3=0,
解得x1=-1，x2=3
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可转化
为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x-3)(x+5)=0的解吗？
(x-3)(x+5)=0
解：x-3=0或x+5=0
所以x1=3，x2=-5.
上述解法中，由①到②
的过程，不是用开平方
①
降次，而是先因式分解，
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边
的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
用适当的方法解方程：
1 3x 1
2
4 0
解： 3x 1 =4
2
A.3，-5
B.3,5
C.-3，5
D.-3，-5
2.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1,则被漏掉的
一个根是( A )
A.x=0
B.x=2
C.x=3
D.x=4
3.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( D )
A.2
B.3
C.-1，2
一元二次方程因式分解法.ppt
解： （[ a + b)x - (a - b)][(a - b)x - (a + b)] = 0
x1 =
a- b， a+ b
x2 =
a+ b a- b
解下列于x的方程：
1. x2 - (2a + 1)x + a2 + a = 0
2. (a2 - b2 )x2 - 2(a2 + b2 )x + a2 - b2 = 0(a2 - b2 ? 0)
而右边等于零;即一元二次方程可以转化为 A·B=0的形式
2.因式分解法解一元二次方程的本质就是降次
转化为解两个一元一次方程
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
思考：
注：运用因式分解法的前提是方程右边为零。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
练一练练一练解：源自x 0或x 8原方程的根为x1 0，x2 8
例2：(x 3) x(x 3) 0
解： (x 3)(1 x) 0
得：x 3 0或1 x 0
x 3或x 1
原方程的根为x1 3，x2 1
例3：x2 4 0
解：(x 2)(x 2) 0
x20 或 x20
平方差公式
x 2 或 x 2
原方程的根为x1 2，x2 2
例4：(x 2)2 2 0
解：(x 2 2)(x 2 2) 0
x 2 2 0或 x 2 2 0
x 2 2 或 x 2 2
x 3 或 x -2
原方程的根为x1 3, x2 2
例7： 0.1x2 1.2 0.4x
解一元二次方程_因式分解法_课件
解：解出这个两个一元一次方程
练习 1．解下列方程：
练习
2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积 增加了一倍，求小圆形场地的半径．
练习 用因式分解法解下列方程：
易错点 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
得先把方程变成两个一次式的乘积等于0的形式， 然后才能降次求解
知识回顾 除了提公因式法和公式法， 还有一种常见的因式分解的方法——十字相乘法
由平方差公式，可得（2x+1）（2x-1）=0
于是得 2x+1=0 或 2x-1=0
解得
归纳 下面来归纳一下用因式分解法解方程的一般步骤
简记歌诀 右边化0左分解 两个因式各求解
（2x+1）（2x-1）=0 2x+1=0 或 2x-1=0
化：将方程化为右___边__为__0__的形式 分：将方程左边因__式___分__解__ 变：根据“___若__a_b__=_0__，__则__a_=__0_或___b_=__0” 将方程转化为两个一元一次方程
因式分解法 适用类型 能分解的一元二次方程 基本步骤 化：将方程化为_右__边__为__0__的形式
分：将方程左边因___式__分__解___
变：根据_“__若__a_b__=_0__，__则__a__=_0__或__b_=__0” 将方程转化为两个一元一次方程 解：解出这个两个一元一次方程
简记歌诀 右边化0左分解
九 年 级 数 学 上册
第二十一章 一元二次方程
精品 课件
因式分解法
人教版
初三数学
上册
第二十一章 一元二次方程
《因式分解法》
人教版
教学目标
会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程．
人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程—因式分解法》课件
x3
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
（5）3x(2x 1) 4x 2 （6）（x - 4）2 （5- 2x)2
解：化为一般式为
6x2 － x －2 = 0.
因式分解，得 十字相乘法
2x +1
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
例1解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
解：（1）因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
可利用了什么公式因式分解？
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
解：4.9x2 10x 0
3x
-2
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
x 2,x1
3
2
x1 = 3 , x2 = 1.
分解因式法解一元二次方程基本步骤是:
【小学课件】《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程优质PPT课件2
x1 2, x2 3
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5y2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解2x 2x 3 0
x 2 0, x- 3 0
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用分解因式法简 便快捷地求解.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5y2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解2x 2x 3 0
x 2 0, x- 3 0
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
降次解一元二次方程因式分解法教学课件.ppt
的解。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
六、作业设计
作业
课本P43 习题22.2第6题
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例1、解下列方程 1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
x 23x 5 0
x 2 0或3x 5 0
x1
2,
x2
5 3
(2)(3x+1)2－5=0
解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5 )=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5=0
∴
x1=
１
3
5,
x2=
１
3
5
三、巩固练习
x1
1,
x2
a a
b b
.
2.解关于x的方程x2 2ax a2 b2 0
1 (a b) 1 (a b)
解：[x (a b)][x (a b)] 0 x (a b) 0或x (a b) 0
x1 a b, x2 a b.
3.解关于x的方程x2 2ax a2 b2 0
x 3y 0或2x 5y 0,
x 3y或2x 5y.
五、课堂小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤: 1.方程右边不为零的化为 零 。 2.将方程左边分解成两个__一__次__因__式_____
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
六、作业设计
作业
课本P43 习题22.2第6题
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例1、解下列方程 1、x2－3x－10=0
解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
x 23x 5 0
x 2 0或3x 5 0
x1
2,
x2
5 3
(2)(3x+1)2－5=0
解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5 )=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5=0
∴
x1=
１
3
5,
x2=
１
3
5
三、巩固练习
x1
1,
x2
a a
b b
.
2.解关于x的方程x2 2ax a2 b2 0
1 (a b) 1 (a b)
解：[x (a b)][x (a b)] 0 x (a b) 0或x (a b) 0
x1 a b, x2 a b.
3.解关于x的方程x2 2ax a2 b2 0
x 3y 0或2x 5y 0,
x 3y或2x 5y.
五、课堂小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤: 1.方程右边不为零的化为 零 。 2.将方程左边分解成两个__一__次__因__式_____
《用因式分解法解一元二次方程》优选公开课件3
小颖是这样解的 : 解: x2 3x 0.
x 3 9 . 2
这个数是0或3. 小颖做得对吗?
小明是这样解的 :
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小明做得对吗?
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
3; 2
3; x2
x2
9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
6.x1
5;
x2
1. 3
7.x1 1, x2 6.
8.x1 4 2; x2 2.
，她们的 他叫张朝南，乡村教师，朴实敦厚，典型的山里汉子。他有太多的事迹可以让那一方人永远记住他，为了二十几个学生能顺利上学读书，他变 何必为痛苦的悔恨而失去现在的心情,何必为莫名的忧虑而惶惶不可终日.过去的已经一去不复返了,再怎么悔恨也是无济于事.未来的还是可望而不可及,再怎么忧虑也是会空悲伤的.今天心,今日事和现在人,却是实实在在的,也是感觉美好的.当然,过去的经验要总结,未来的风险要预防,这才是智慧的. 昨天已经过去,而明天还没有来到,今天是真实的. 第二个安慰：自己的心痛只能自己疗
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
第21章一元二次方程第6课时《因式分解法解一元二次方程》课件人教版数学九年级上册
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
新课导入
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 49
，
x2 0
x b b2 4ac 10 10
2a
2 4.9
x1
100 ， 49
x2 0
探究新知
探究
10x 4.9x2 0
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0。
因式分解
x 10 4.9x 0
可以试
用多种方法 解本例中的
两个方程 .
1.将方程右边等于0;
2. 将方程左边因式分解为A×B;
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
探究新知
例3 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
02
探究新知
Explore new knowledge
探究新知 实际问题
根据物理学规律，如果把 一个物体从地面 10 m/s 的速度 竖直上抛，那么经过 x s 物体离 地面的高度（单位：m）为
10x 4.9x2
17.2.5因式分解法(一元二次方程的解法)
第五课时
因式分解法
回顾与复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
2 = ( ≥ 0)
配方法
( + ℎ)2 = ( ≥ 0)
公式法
− ± 2 − 4
=
2
≠ 0, 2 − 4 ≥ 0 .
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式
两边都除以, 得 = 3
∴ 这个数是3.
思考
这种做法对吗?
新知探究
解: 由方程 2 = 3, 得
2 − 3 = 0.
∴ − 3 = 0.
∴ = 0, 或 − 3 = 0.
∴ 1 = 0,
2 = 3.
∴ 这个数是0或3.
思考
这种做法对吗?
这种做法的依据是什么?
归纳总结
－ = 或 + =
∴ = , = −
新知应用
例4、解下列方程
1 2－3－10 = 0
2 ( + 3)(－1) = 5
解题步骤
解： 2 原方程可变形为
例题
+ － =
(－)( + ) =
－ = 或 + =
∴ = , = −
方程右边化为零
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零
得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
巩固练习
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程
( − 5)( + 2) = 18
解：
原方程化为
( − 5)( + 2) = 3 × 6
由 − 5 = 3，得 = 8;
因式分解法
回顾与复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法
2 = ( ≥ 0)
配方法
( + ℎ)2 = ( ≥ 0)
公式法
− ± 2 − 4
=
2
≠ 0, 2 − 4 ≥ 0 .
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式
两边都除以, 得 = 3
∴ 这个数是3.
思考
这种做法对吗?
新知探究
解: 由方程 2 = 3, 得
2 − 3 = 0.
∴ − 3 = 0.
∴ = 0, 或 − 3 = 0.
∴ 1 = 0,
2 = 3.
∴ 这个数是0或3.
思考
这种做法对吗?
这种做法的依据是什么?
归纳总结
－ = 或 + =
∴ = , = −
新知应用
例4、解下列方程
1 2－3－10 = 0
2 ( + 3)(－1) = 5
解题步骤
解： 2 原方程可变形为
例题
+ － =
(－)( + ) =
－ = 或 + =
∴ = , = −
方程右边化为零
左边分解成两个一次因式 的乘积
至少有一个一次因式为零
得到两个一元一次方程
两个一元一次方程的解就是原方程的解
巩固练习
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程
( − 5)( + 2) = 18
解：
原方程化为
( − 5)( + 2) = 3 × 6
由 − 5 = 3，得 = 8;
北师大九年上学期数学课件：用因式分解法求解一元二次方程
例1 解方程： (2)(2x－5)2－(x－2)2＝0； 解：∵[(2x－5)＋(x－2)][(2x－5)－(x－2)]＝0， ∴(3x－7)(x－3)＝0， ∴3x－7＝0 或 x－3＝0， 解得 x1＝73，x2＝3.
例1 解方程： (3)x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得 x(x＋2)－(3x＋6)＝0， 即 x(x＋2)－3(x＋2)＝0，(x＋2)(x－3)＝0, ∴x＋2＝0 或 x－3＝0，解得 x1＝－2，x2＝3.
有一个因式是 x－5，则 p 的值是( A )
A. 3
B. －3
C. －2
D. 2
2. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2－
3x＝4(x－3)的两个实数根，则该直角三角形的斜边长是( C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3. 已知代数式 x(x－5)＋1 与代数式 9x－6 的值互为相反 数，则 x＝ －－55或或11 ．
3，x2＝3－25
3 .
(直接开平方法)
5. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，例如因式 分解法、配方法和公式法等．请从以下一元二次方程中任选 一个进行求解，并说明你求解这个方程的方法以及思路．
(2)x2＋2x－35＝0；
解：移项，得 x2＋2x＝35，x2＋2x＋1＝36， (x＋1)2＝36，x＋1＝±6，x＝－1±6， ∴x1＝5，x2＝－7.(配方法)
【归纳总结】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)把方程一边化为 0；(2)将不为 0 的一边分解因式；(3)根据 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0，将方程转化为两个一元一次方程； (4)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点 2 选择适当的方法解一元二次方程 例2 (教材 P48T2(3)) 解方程：(x－2)(x－3)＝12. 【思路点拨】先将方程化为一般形式，再根据方程的特 征，选择合适的方法求解．
因式分解法解一元二次方程初中数学原创课件
x1=0 ， x2=2 .
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(3) 3x²-6x=-3
解：化为一般式为
x2-2x+1 = 0.
因式分解，得
( x-1 )(x-1 ) = 0.
x1=0， x2=-1.
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(2)x²-2 x=0
解：因式分解，得
x(x-2 )=0.
则有x=0或x-2 =0，
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x -2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1= ，x2=- .
练习
1.解下列方程：
(6)(x-4)²=(5-2x)²
(1)x²+x=0；
解：变形得
(2)x²-2 x=0；
( x-4 ) 2-( 5-2x )2=0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(3) 3x²-6x=-3
解：化为一般式为
x2-2x+1 = 0.
因式分解，得
( x-1 )(x-1 ) = 0.
x1=0， x2=-1.
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(2)x²-2 x=0
解：因式分解，得
x(x-2 )=0.
则有x=0或x-2 =0，
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x -2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1= ，x2=- .
练习
1.解下列方程：
(6)(x-4)²=(5-2x)²
(1)x²+x=0；
解：变形得
(2)x²-2 x=0；
( x-4 ) 2-( 5-2x )2=0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
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直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
例1、解下列方程
1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
∴x1=2 ,x2=-4
1、什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二次方程， 其关键是什么？
3、用因式分解法解一元二次方程 的理论依据是什么?
(3x+1+ 5)(3x+1－ 5)=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5=0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1方程右边化为 零 。 2将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3至少 有一个因式为零，得到两个一 元一次方程。 4两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
因式分解法解 一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 －4=0
x2－4=0
例2、解下列方程 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(8) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
小 结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1）方程右边化为 零 。 2）将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积。 3）至少有一个 因式为零，得到两个一元一
次方程。 4）两个 一元一次方程的解 就是原方程的解
2.解一元二次方程的方法：
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5)(x+2)=18
②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
③ 2 y2=3y
④x2+7x+12=0
⑤t(t+3)=28
⑥(4x－3)2=(x+3)2
(7)x2 ( 3 2)x 6 0
4、用因式分解法解一元二方程， 必须要先化成一般形式吗？
成功永远属于一直在跑的人。 最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。 欲知世上刀兵劫，但听屠门夜半声，不要光埋怨自己多病，灾祸横生，多看看横死在你手上的众生又有多少？ 在人生征途中有许多弯路小路险路暗路，只有意志坚定且永不停步的人，才有希望到达胜利的远方。 今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。 说一句谎话，要编造十句谎话来弥补，何苦呢？ 希望是人生的乳母。——科策布
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)(3x 1)2 5 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
不能消去（x+2）
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或 一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
例1、解下列方程
1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
∴x1=2 ,x2=-4
1、什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二次方程， 其关键是什么？
3、用因式分解法解一元二次方程 的理论依据是什么?
(3x+1+ 5)(3x+1－ 5)=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5=0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1方程右边化为 零 。 2将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3至少 有一个因式为零，得到两个一 元一次方程。 4两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
因式分解法解 一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 －4=0
x2－4=0
例2、解下列方程 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为
方程x2右+2边x－化8为=零0 左边分解(x成－两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次－因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一次x1方=2程,的x解2=就-4是原方程的解
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(8) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
小 结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1）方程右边化为 零 。 2）将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积。 3）至少有一个 因式为零，得到两个一元一
次方程。 4）两个 一元一次方程的解 就是原方程的解
2.解一元二次方程的方法：
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5)(x+2)=18
②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
③ 2 y2=3y
④x2+7x+12=0
⑤t(t+3)=28
⑥(4x－3)2=(x+3)2
(7)x2 ( 3 2)x 6 0
4、用因式分解法解一元二方程， 必须要先化成一般形式吗？
成功永远属于一直在跑的人。 最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。 欲知世上刀兵劫，但听屠门夜半声，不要光埋怨自己多病，灾祸横生，多看看横死在你手上的众生又有多少？ 在人生征途中有许多弯路小路险路暗路，只有意志坚定且永不停步的人，才有希望到达胜利的远方。 今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 通往光明的道路是平坦的，为了成功，为了奋斗的渴望，我们不得不努力。 说一句谎话，要编造十句谎话来弥补，何苦呢？ 希望是人生的乳母。——科策布
(1)3x(x 2) 5(x 2)
(2)(3x 1)2 5 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
不能消去（x+2）
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为