第三章 湍流

xy xy u x ' u y '
t
yy yy u y ' u y '
zy zy u z ' u y '
6
击球瞬间
在空中飞行时，高尔夫球前部受到的压力要远远高于后 面，致使阻力加大并减少落地距离，这就是为什么要在 高尔夫球表面制造凹痕。凹痕能够让气体湍流与球进行 更亲密接触，进而产生可减少阻力和延长落地距离的气 体漩涡。
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混合的气体
这些彩色漩涡展现的是两种截然不同的气体混合在一起时 的模样，上方气体的密度是下方的3倍。在两种气体之间 不稳定的分界面，最初的小规模扰动很快变得猛烈起来。 这项测试有助于我们了解恒星内部的对流。

在2×105 ~ 3×106之间。
14
§3.3 瞬时量，时均量和脉动量
湍流时，流体质点的速度大小和方向无规律，局部看应 属于不稳定流动。 采用平均值法原理：假设一流体质点在0→θ的时间间隔 内速度分布(X方向)如下图所示，
ux



15
时均值 u x ：按时间取平均
ux
0 ux d
当y0时，1，2点重合，ux1 = ux2 ，R(y)= 1，称为完全 关联； 当y有限值，1，2距离增大， R(y)迅速下降，因为ux1 和ux2 有正有负； 当y某一值时， R(y)= 0，1，2两点相互独立，说明此 时1，2点不在同一旋涡上。
20
测一系列 y ~ R( y) 值，其形式如下图，
1

ux ux 0
可见， 脉动速度的时均值必为零。 同理，对于湍流过程中的任一变量，有：
瞬时值 = 时均值 + 脉动值
17
§3.4湍流强度和湍流标度
湍流的激烈程度可以用脉动速度与时均速度之比来衡量， 称为湍流强度。以I表示： I = 脉动速度 / 时均速度
u 由于 u x ' ， y ' ，u z ' ，有正有负
8
磁场
在新恒星诞生过程中，湍流也扮演了至关重要的角色。在 这种图片中我们可以看到，气体和其它物质在一颗新诞生 的恒星周围的一个圆盘中形成漩涡，但恒星的磁场导致湍 流产生，将物质撞出圆盘并使其坠入中央位置。
9
三维地形
即使是湍流现象中最为简单的交互作用，计算机也需要数 千小时进行分析和模拟。这张图片来自一项耗时近120万 处理器小时的研究计划，所有时间都用来研究湍流如何在 3个维度消耗能量上。
27
(2)
1 (u x u x ) ( u x u x d ) x x 0 1 ' ' [ (u x u x )(u x u x )d ] x 0 1 ' ' ' [ (u x u x 2u x u x u x u x )d ] x 0 ' ' (u x u x ) (u x u x ) 多出１项 x x
R(y) 1.0
0Biblioteka Baidu
y
令
L R( y )dy
0
则L称为湍流标度。 若L较大，说明y较大时R(y)仍不零，旋涡较大； 若L较小，说明y较小时R(y)就为零，旋涡较小。
21
§3.5 雷诺湍流方程及湍流应力
湍流与层流一样也是宏观的物理现象，也要受到 连续性方程和奈维－斯托克斯方程及边界条件的约束， 然而，若从给定时间条件来求解湍流瞬时速度分布是 不可能的，而实际上也没有这个必要，人们更关心的 往往是某个物理量的平均值。 雷诺以时均值和脉动值之和来代替不可压缩流体 的连续性方程和奈维－斯托克斯方程中的瞬时量，然 后对各方程取时均值，导出了可应用于不可压缩流体 作稳定湍流运动时的运动方程。此方法称为雷诺转换。
12
如下图所示。
－ +
+ －
另外，流体边界障碍物及流道方向的改变也会引起旋 涡形成。
13
§3.2 临界雷诺数
由层流转变为湍流可用临界雷诺准数来判断：
Re, c uL
对园管，
Re, c ud

2100
但有时Re,c远大于2100时仍能保持层流。 对流体流过平板，
Re, c uLe
同理
u y y
0
1
u y
y
d
u y y
u z 1 u z u z d 0 z z z
而
' ' u x 1 u x 1 ' d [ u x d ] 0 0 x x x 0
24
同理
u 'y y 0，

30
与原 N-S(即层流)方程比较,
xx u x ' u x '
与 与 与
xx 相当；
yx
相当；
yx u y ' u x '
zx u z ' u x '
zx 相当；
xx ， yx ， zx 称为粘性应力，起因于分子运动；
－ u x ' u x ' ，－ u y ' u x ' ，－ u z ' u x ' 称为雷诺应力，
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首先对不可压缩流体的连续性方程进行雷诺转换：
u x u y u z 0 x y z
由
' ' u x u x u x ， u y u y u 'y ， u z u z u z
代入上式，得
' ' ' u x u y u z u x u y u z 0 x y z x y z
因为常数，则上式可改写为
(u x u x ) ＋ (u y u x ) ＋ (u z u x ) ＝ y x z ' ' ' ' ' X ( xx u x u x ) ( yx u 'y u x ) ( zx u z u x ) x y z

同理
' ' (u y u x ) (u y u x ) (u y u x ) y y y

' ' (u z u x ) (u z u x ) (u z u x ) z z z
28
(3) (4)
X
0 Xd 0 ( X X ' )d X
如我们在图片中看到的紫色版本。
4
切变速度
当不同密度的气体以相对较高的速度移动时，就会形成 羽翼丰满的湍流。在这张图片中，一种气体的密度是另 一种的2.5倍，在相对移动速度达到每小时380英里(约合 每小时611公里)时，它们就会变成湍流。
5
飘动的头发
很多开发类似洗发香波的产品的公司都利用模拟方式， 观察长发及洗发产品如何在气流中飘动，以及如何与水、 灰尘和其它因素发生反应。为了制造完美的风吹发效果， 电脑模拟所需要的时间绝对超出我们想象。
第三章
湍
流（Turbulence）
1
2
湍流是一种自然存在的现象，只要有流体(气
体、液体)就会有湍流发生。可是，虽然有些湍流
很剧烈，但有时(如气体)我们仅凭肉眼很难看到。 下面可以看到湍流这个不可见之物“现形”后 的样子。
3
3D湍流
这是一张湍流的3D图片。对于有关湍流的原始数据，我们很 难将其理解为抽象数字以外的任何东西。为了便于人们对湍 流有个直观的印象，科学家使用轮廓线展示它们的形状，例
1

1

xx 1 xx 1 ' d [ ( xx xx ) d ] x 0 x x 0 1 ( xx d ) 0 x 0 xx x
同理
yx y yx y
，
zx zx z z
29
将(1)(2)(3)(4)代入时均化方程得
' ' ' ' (u x u x ) (u x u x ) ＋ (u y u x ) (u y u x ) ＋ y y x x
xx yx zx ' ' (u z u x ) (u z u x ) ＝ X x y z z z
10
风的路径
核电厂和化学工厂的冷 却塔会释放有毒水滴， 并被风带走。在冷却塔 周围的其它高层建筑所 在区域，这种空气流动 变得更加复杂，预示着 哪些地方的有毒水滴不 会被风轻易带走。科罗 拉多州立大学和ANSYS公 司的研究人员创建了这 副模拟图，用以展示空 气流动的所有不同路径。 冷却塔位于中央位置， 就在颜色最为集中的区 域附近。
u x (u x u x ) (u y u x ) (u z u x ) x y z xx yx zx X x y z
经过雷诺转换，即各项用时均值代替，如
(u xu x ) x

(u x u x ) x
u x， u y '， u z ，均为零。 ' '
2 2 但 u x ' ，u y ' ，u z '2 不为零。所以，对于X方向的平行流 动，湍动强度可以表示为
1 (u x '2 u y '2 u z '2 ) I 3 ux
18
2 2 u 2 对于各向同性的湍流， x ' ＝ u y ' ＝ uz ' ，所以
' u z 0 z
则连续性方程可转换为
u x u y u z 0 x y z
同时
' ' ' u x u y u z 0 x y z
说明如以时均值或脉动值代替瞬时值，连续方程形式 不变。
25
下面考察奈维－斯托克斯方程。 x 方向运动微分方程可表示为：
起因于涡流流动。湍流中的总应力可以表示为粘性应力 与雷诺应力之和，即
t R yx yx yx
31
例如：
xx xx u x ' u x '
t
yx yx u y ' u x '
zx zx u z ' u x '
对于 y 方向
t
t
u x '2 I ux
只有湍动强度还不足以描述湍流状态，还应大至估计旋 涡的平均尺寸，即湍流标度。 湍流标度： 设湍流中相距为的两点1和2，分别测定一系列任一相同 瞬间在X方向的速度，求出下列时均值,
u '21 x
u '2 2 x
u ' x1 u ' x2
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定义一关联系数R(y)
R( y ) u ' x1 u ' x 2 u '21 u '22 x x
对上式进行时均化
' u x u z u z 0 x y z x y z
u y
' u x
u 'y
23
由定义
u x 1 u x u 1 1 d u x d [ u x d ] x x 0 x x 0 x 0 x
26
得： (1)
u x 1 u x 1 ' d (u x u x )d 0 0
对于稳定流动， u x 0
' u x 1 u x 1 1 u x ' d (u x u x )d d 0 0 0 1 ' ( u x d ) 0 0
11
§3.1湍流的产生
在流体流动中，当流速达到一定值后，流 体便呈湍流流动状态。湍流时，流体内充满旋 涡，流体在各个方向上速度杂乱无章。 产生湍流必须有两个条件: 一是流体具有粘性，它使相邻两层流体之间 产生剪切力，从而产生力偶。 另一个条件是流体的波动，流体流速的波动 使流体内局部压力大小失去平衡，最后产生 了旋涡。
1

其中 u x 为瞬时速度， u x 称为时均速度。 脉动值 u x '：任一时刻超出平均值的部分，
ux ' ux ux
则任一时刻的瞬时值可表示为
ux ux ux '
其中 u x ' 称为脉动速度。
16
脉动速度的平均值：
ux ' 1 1
0 u x '

1

0 (u x u x )d 0 u x d 0 u x d