第三章 湍流
7037-各种湍流模型详细推导
+
∂uj ∂xi
−
2 3
µtdi,jdiv V
（3.9）
上式各物理量均为时均值。������������是脉动速度所造成的压力，定义为：
4
= pt
1 ρ(u′2 + v ′2 + w ′= 2 ) 3
1 ρk 3
（3.10）
K 为单位质量流体湍流脉动动能：
k= 1 (u ′2 + v ′2 + w ′2 ) 2
− ρuj′φ′ + S
（3.7）
3.4 关于脉动值乘积的时均值的讨论 3.4.1 湍流模型
由上述时均方程推导可看出，一次项在时均过程中保持形式不变，二次项产生了包含脉
动值乘积的附加项，该项代表了由湍流脉动而引起的能量转移（应力、热流密度等），其中
（ −ρui′uj′ ）称为 Reynolds 应力或湍流应力。
方程的组份）
将式（3.9）代入（3.6）后，可以把������������与 p 组合成成一个有效压力：
������eff
=
p
+
������������
=
p
+
2 3
������������
（3.14）
于是湍流对流换热的研究归结为确定������������，确定湍流黏性系数所需微分方程的个数成为湍 流工程计算模型的名称。
在（3.5），（3.6），（3.7）这五个方程中有 14 个变量：5 个时均量（u 、v 、w 、p 、φ ），
9
个脉动值乘积的时均项（
u ′u ′ ij
、uj′φ′
i，j=1,2,3）。要使上述方程组封闭必须补充用以
中科大FLUENT讲稿_第三章_湍流模型
第三章，湍流模型第一节， 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提供RANS-based models第二节，平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
第三章 流体的运动
x x
P1
s1
t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1
t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1
t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx
turbulent flows 第8版 pope 译注
turbulent flows 第8版 pope 译注Turbulent Flows 是一本由 Stephen B. Pope 所著的著名流体力学领域的经典教材，本文对该书的第8版进行了详细的译注。
以下是对该书部分章节内容的梳理和解析。
第一章简介本书是关于湍流流体力学的权威教材，主要介绍了湍流的基本概念和理论，以及相关的实验和数值模拟方法。
通过深入分析湍流现象和其背后的数学模型，读者将能够更好地理解和预测湍流的行为。
第二章湍流的描述湍流是一种复杂且难以捉摸的流动现象。
书中介绍了湍流的统计描述，包括涡旋相关、相关时间和长度尺度等基本概念。
此外，还详细阐述了湍流的能谱和相关的能量传递机制，为后续的章节打下基础。
第三章计算流体力学中的湍流模型计算流体力学（CFD）作为一种重要的湍流研究方法，被广泛应用于工程和科学领域。
本章介绍了常用的湍流模型，包括雷诺平均湍流模型（RANS），大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）。
通过比较不同模型的优劣，读者将能够选择适合自己研究对象的湍流模型。
第四章湍流的数值模拟本章主要介绍了湍流的数值模拟方法，包括有限体积法、有限元法和谱方法等。
通过数值模拟，可以更加深入地研究湍流的特性和行为。
同时，书中还涵盖了一些常见的湍流模拟技巧，如网格生成和边界条件设定等，帮助读者掌握湍流模拟的实质。
第五章湍流的统计理论湍流的统计理论是湍流研究的重要组成部分。
本章详细介绍了湍流的统计特性，包括湍流的概率密度函数、相关函数和湍流湍度等。
此外，还阐述了重要的湍流统计理论模型，如湍流统计平衡理论和尺度相似理论等，为读者进行湍流统计的研究提供了重要参考。
第六章湍流的实验技术湍流的实验研究是湍流研究的基础性工作之一。
本章介绍了一些常见的湍流实验技术，包括激励湍流、热线湍流和粒子图像测速法等。
通过实验手段，可以直接观测湍流的各种特性和行为，为湍流理论的验证提供了有力支撑。
第七章壁湍流壁湍流是湍流研究的重要分支，也是工程流体力学中的核心问题之一。
第三章(1)湍流
首先对不可压缩流体的连续性方程进行雷诺转换：
ux u y uz 0 x y z
由
ux
ux
， u
' x
uy
uy
u
' y
，uz
uz
u
' z
代入上式，得
u x
u y
uz
u
' x
u
' y
u
' z
0
x y z x y z
对上式进行时均化
u z z
1
0
u z z
d
uz z
而
u
' x
x
1
0
u
' x
x
d
x
[1
u
0
' x
d
]
0
24
同理
u
' y
0，
u
' z
0
y
z
则连续性方程可转换为
ux u y uz 0 x y z
同时
u
' x
u
' y
u'2x1 u'2x2
u'x1 u'x2
19
定义一关联系数R(y)
R( y) u'x1 u'x2 u'2x1 u'2x2
在逐渐拉开两点距离过程中： 当 y0 时，1，2点重合，u’x1= u’x2 ， R(y)=1，称为
环境工程原理 第三章 第三节 流体流动的内摩擦力 第四节 边界层理论
3、牛顿粘性定律
实验证明，流体的内摩ห้องสมุดไป่ตู้力F与两层流体的速度差 du 成正比，与两层间的垂直距离 dy 成反比，与两层间 的接触面积A成正比，即
du F A dy
式中：F——内摩擦力，N；
(3.2.2)
du ——法向速度梯度，即在与流体流动方向相垂直的y方向流体 dy 速度的变化率，1/s；
μ——比例系数，称为流体粘度或动力粘度，Pa· s。
动性越小。流体的粘性是流体产生流动阻力的根源。
2、流体流动的内摩擦力 两块面积很大且相距很近 平行板，板间充满静止液 体。下板固定，对上板施 加恒定外力 F，上板以速 度 u 沿 x方向运动。 若u较小，则两板间液体会分成无数平行的薄层运动， 粘附在上板底面的一薄层流体以速度u随上板运动，其 下各层液体的速度依次降低，紧贴在下板表面的一层 液体速度为零，两平板之间的流速呈线性变化。 对相邻两层流体来说，上层速度大，下层速度小，前 者对后者起带动作用，而后者对前者起拖曳作用，流 体层之间的这种相互作用即是内摩擦力，流体的粘性 正是这种内摩擦力的表现。
一、流体的流动类型
1、两种流型－－层流和湍流
(1) 雷诺实验 将水箱A注满水，利用 溢水管H保持水箱中的
水位恒定，然后微微打
开玻璃管末端的调节阀
C，水流以很小速度沿
玻璃管流出。再打开颜 色水瓶D上的小阀K，使
颜色水沿细管E流入玻璃
管B中。
第三节 流体流动的内摩擦力
水流速从小到大，有色液体 变化如图所示。实验表明，流体 在管道中流动存在两种截然不同 的流型。 层流 ( 或滞流 ) ：图 (a) 水流很小 时管中颜色水质点仅沿着与管轴 平行的方向作直线运动，质点无 径向脉动，质点之间互不混合。
第三章_湍流模型
第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图Direct Numerical Simulation包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
湍流与层流_湍流研究概述
第一篇 大气的组成与物理特性 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 大气的气体成份 大气中的粒子群 大气的运动、能量与构造 大气的光学特性 大气的电学特性1第二篇 大气湍流粘性流体的两种形态： 层流和湍流。
层流是流体运动中较简单的状态， 普遍的却是湍流。
2湍流研究的意义湍流的研究与国防建设和国民经济中 的航空、船运、环境保护、气象、化工、 冶金、水利、医学等学科密切相关，如果 能掌握它的运动规律，对它进行合理的应 用和有效的控制，那么对基础研究与实际 应用将有重大的意义。
3湍流研究的成果人们对湍流结构、湍流边界层、湍流 剪切流、湍流的传热传质、湍流扩散、湍 流统计模型、大气湍流、晴空湍流、等离 子湍流、湍流测量等问题进行了广泛的研 究，并取得了丰硕的成果。
4本节的内容湍流的一般定义和描述； 湍流与层流的区别； 湍流理论发展的历史； 湍流理论简介； 湍流的特点； 大气湍流的复杂性； 湍流研究技术的发展。
5湍流的一般定义和描述1. 湍流是随机的（Reynolds，Taylor，Von Karman ，Hinze等），又具有拟序结 构。
2. 流体的湍流运动是由各种大小和涡量 不同的涡旋叠加而成的，其中最大涡 尺度与流动环境密切相关，最小涡尺 度则由粘性确定；流体在运动过程中， 涡旋不断破碎、合并，流体质点轨迹 不断变化。
6湍流的一般定义和描述（续）3. 在某些情况下，流场中流体呈非线性 完全随机的运动；在另一些情况下， 流场中的流体随机运动和拟序结构并 存。
4. 湍流中的特征呈现连续的变化，人们 将N—S方程作为湍流运动的基本方程 。
返回7湍流与层流的区别共同点 区别一：控制方程不同 区别二：性质上不同 两者的联系与转换 返回8粘性流体运动的一般性质(1)运动的有旋性； (2)能量的耗损性； (3)涡旋的扩散性。
返回9流体的控制方程层流是一种有序的确定性的流体运动，流体物 理量除了在分子热运动的微观尺度上有随机 的起伏外，在宏观尺度上都是确定性的。
第三章流场的数值计算方法及湍流模型介绍.
3.1 流场数值计算的主要方法
分离式解法
分离式解法不直接解联立方程组，而是顺序地、 逐个地求解各变量代数方程组。依据是否直接求 解原始变量，分离式解法分为原始变量法和非原 始变量法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
压力修正法 分类
SIMPLE算法 SIMPLC方法 PISO算法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
3.2 SIMPLE算法的求解思想
修正的原则
与修正后的压力场相对应的速度场能满足这—迭代层 次上的连续方程。
两个关键问题
如何获得压力修正值(即如何构造压力修正方程)，以 及如何根据压力修正值确定“正确”的速度(即如何 构造速度修正方程) 。
3.2 SIMPLE算法的求解思想
SIMPLC算法
在通量修正方法上有所改进，加快了计算的收敛速度。
3.1 流场数值计算的主要方法
3.1 流场数值计算的主要方法
耦合式解法 (1)假定初始压力和速度等变量，确定离散方程的 系数及常数项等。 (2)联立求解连续方程、动量方程、能量方程。 (3)求解湍流方程及其他标量方程。 (4)判断当前时间步上的计算是否收敛。若不收敛， 返回到第(2)步，迭代计算。若收敛，重复上述 步骤，计算下一时间步的按理量。
第三章 流场的数值计算方法及湍流模型介绍
本章授课内容
流场数值计算的主要方法 SIMPLE算法的求解思想 湍流模型的介绍Biblioteka 3.1 流场数值计算的主要方法
流场计算的基本过程是在空间上用有限体积法或
其他类似方法将计算域离散成许多小的体积单元， 在每个体积单元上对离散后的控制方程组进行求 解。流场计算方法的本质就是对离散后的控制方 程组的求解。 对离散后的控制方程组的求解可分为耦合式解法 (coupled method)和分离式解法(segregated method)
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
第3章-均匀各项同性湍流
上面三式构成了不可压湍流的基本方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不 可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能 利雷诺应力方程可以简化为：
由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程
脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化， 一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任 何作用。
上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早 由Karman和 Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman-Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单 得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。
由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。
于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。
，或者说湍流脉
动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.2 不可压缩均匀湍流的谱理论 对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，
可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：
层流与紊流
v － 平均速度（m/s）； Hf － 沿程损失水头（米流体柱）； p － 沿程压力损失。
Re
2.3 管中层流沿程损失的达西公式
管中流量为Q的层流流体沿程损失的功率：
128 Q 2 Nf Qhf d 4
在一定的 l、Q 情况下，流体的 越小，损失功率越 Nf 小。
第四章 层流流动及湍流流动
第三节
流体在平行平板间的层流流动 得平板间的流体 速度分布：
p 2 v (h z 2 ) 2l
例题2： p0，两板均静止 Z=+h时，v=0； Z=－h时，v=0。
即：两个平行平 板间的流体层流 运动，速度按抛 物线规律分布。
第三节 平均速度：
流体在平行平板间的层流流动
Q 1 h v h vdz A 2h 1 h p 2 1 2p 3 2 (h z )dz h h 2h 2l 2h 3l ph 2 3l
Re
v D
惯性力 粘性力 vD
式中：v － 流体在圆管中的平均速度（m/s）； D－ 圆管内径（m） 。
惯性力愈大，层流趋向于紊流转变； 惯性力愈小，紊流趋由层流开始向湍流转变： Recr 2320 层流（ Recr临界雷诺数 ）； Recr’ 13000 湍流（ Recr’上临界雷诺数 ）； 2320 ＜Re ＜ 13000 ，流动处于过渡区（不稳定）， 可能是层流、也可能是湍流。
第二节 流体在圆管中的层流流动
2.1 有效断面上的速度分布
假设条件：流体沿管 轴对称等速运动
受力分析：压力； 切应力；重力
2.1 有效断面上的速度分布
r p1 p2 2rl r l sin 0
2 2
《流体力学》第三章一元流体动力学基础
02
能源领域
风力发电机的设计和优化需要考虑风力湍流对风能转换效率的影响；核
能和火力发电厂的冷却塔设计也需要考虑湍流流动的传热和传质特性。
03
环境工程领域
大气污染物的扩散和传输、城市空气质量等环境问题与湍流流动密切相
关，需要利用湍流模型和方法进行模拟和分析。
06
一元流体动力学的实验研 究方法
实验设备与测量技术
一元流体动力学
研究一元流体运动规律和特性的学科。
研究内容
包括流体运动的基本方程、流体的物理性质、流动状态和流动特 性等。
02
一元流体动力学基本概念
流体静力学基础
静止流体
流体处于静止状态，没有相对运动，只有由于重力引起的势能变 化。
平衡状态
流体内部各部分之间没有相对运动，且作用于流体的外力平衡。
流体静压力
总结词
求解无旋流动的方法主要包括拉普拉斯方程和泊松方程。
详细描述
拉普拉斯方程是描述无旋流动的偏微分方程，它可以通过求 解偏微分方程得到流场的速度分布。泊松方程是另一种求解 无旋流动的方法，它通过求解泊松方程得到流场的速度分布 。
无旋流动的应用实例
总结词
无旋流动在许多工程领域中都有应用，如航 空航天、气象学、环境工程等。
能量方程
• 总结词：能量方程是一元流体动力学的基本方程之一，用于描述流体能量的传递和转化规律。
• 详细描述：能量方程基于热力学第一定律，表示流体能量的变化率等于流入流体的净热流量和外力对流体所做的功。在直角坐标系下，能量方程可以表示为：$\frac{\partial}{\partial t}(\rho E) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j E + p u_j) = \frac{\partial}{\partial x_j}(k \frac{\partial T}{\partial x_j}) + \frac{\partial}{\partial xj}(\tau{ij} u_i)$，其中$E$为流体 的总能，$T$为温度，$k$为热导率。
fluent教程 第三章,湍流模拟
ui u j 2 ul ij uiu j x j xi 3 xl x j
上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes（RANS）方程。
uiu j
如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模拟
D1
热科学与能源工程系
计算流体与传热传质
湍流模型
什么是湍流?
湍流：非定常，非周期性的三维速度脉动、 强化物质、动量和 能量的输运. 瞬时速度分解为平均速度和脉动速度: Ui(t) Ui + ui(t)
ui(t) U i (t) Ui
Time
压力、温度、组分浓度值具有类似的脉动
D18 热科学与能源工程系
计算流体与传热传质
湍流模型
目前采用的标准k－e模型方程为
t e e ( e ) ( e u j ) [( ) ] (Ce1 P Ce2 e ) t x j x j e x j k
u P uiuj i x j
其中
gTL3 Ra
D9
热科学与能源工程系
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流特点
额外应变率
流向曲率 测向分离 加速或减速 有旋 回流 (或分离) 二次流
3D振荡流动 Transpiration (吹风/吸气) 自由湍流 剪切层相互作用
D10
热科学与能源工程系
i 1
D7 热科学与能源工程系
3
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流应力
若以主对角线上的三个分量作为对称轴，则对称的两个切应力分 量是相等的，很显然，这是一个对称的二阶张量。很容易可以证 明，在各向同性湍流中，湍流正应力的三个分量相等，即
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
环境工程原理第三章3-4节
1、流体的粘性 流体的粘性是流体抵抗剪切形变的一种属性。根 据流体力学的特点，静止的流体不能承受剪切力，即 在任何微小剪切力的持续作用下，流体要发生连续不 断地形变。不同流体在相同的剪切力作用下其形变速 度不同，它反映了抵抗剪切形变能力的差别，这种能 力就是流体的粘性。 粘性是流动性的反面，流体的粘性越大，其流
湍流流动：存在流体质点的随机脉动，流体之间 相互影响较大，剪应力除了由分子运动引起外，还 由质点脉度表示的垂直 于流动方向的速度梯度
质点脉动引 起的剪应力
质点脉动引起的动力粘性系 数——涡流粘度
有效动力粘度
总的剪应力为
du du t eff dy dy
故水在管道中是湍流状态。
国际单位制中粘度单位是Pa·s（帕•秒）。在【厘米• 克•秒】单位制，其单位是P（泊）或cP（厘泊）。 换算关系为1 Pa·s = 10P =1000cP
（3）层流与湍流的比较 A. 流体内部质点运动方式 层流:流体沿管轴分层流动、层间互不掺混(稳态流动) 湍流:流体做平动时，还做随机的脉动(非稳态流动)
单位面积上的内摩擦力称为剪应力，以τ 表示，
单位为Pa，则上式变为：
F du A dy
(3.2.3)
负号表示剪应力的方向与速度梯度的方向相反 牛顿粘性定律指出：相邻流体层之间的剪应力，即流 体流动时的内摩擦力 与该处垂直于流动方向的速度梯 度du/dy成正比。 (二)流体的粘度
大量实验结果表明，流体在直管内流动，
（1）Re≤2000，流动为层流，此区称为层流区； （2）Re≥4000，一般出现湍流，此区称为湍流区； （3）2000< Re <4000 ，流动是层流还是湍流，取决于 外界干扰条件，该区称为不稳定过渡区。 雷诺数的物理意义: Re反映了流体流动中惯性力与粘性力的对比关系，标 志流体流动的湍动程度。其值愈大，流体的湍动愈剧 烈，内摩擦力也愈大。
第3章,fluent湍流模型-1
第三章，湍流模型第一节， 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节，平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
第三章 湍流模型
第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。
即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量（笛卡尔坐标系）表示，即有：ij i j j i t j i k x u x u u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 ij δ为DELT 函数，一般i=j 时为1，否则为0.模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。
根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
（模拟大空间建筑空气流动）μt=0.038 74ρvl （模拟通风空调室内的空气流动）比例系数由直接数值模拟的结果拟合而得，其中：v 为当地时均速度，l 为当地距壁面最近的距离。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。
前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。
大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。
选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。
参见：湍流模型的选择资料。
FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
湍流模型种类示意图大涡模拟启动需要用命令：(rpsetvar 'les-2d? #t)Direct Numerical Simulation包含更多物理机理 每次迭代计算量增加 提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程输运过程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，故称为输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。
层流与湍流分析
无渗透、无滑移边值条件 vx yh v0 vy yh 0
3.1.2.2层流流动下几种特殊情况的解析解
两平行平板间的等温层流流动－问题简化
v0
平板无限大，不同x处的任意截面
上速度分布相同：
vx x
2vx x 2
0
vx vy 0
vx f y
vy 0 y
x
vy f x
h
x y
vy x,y f x x,y f x x,y0.or.yh
vx
v vx
2vx x2
2vx y 2
2vx z 2
p x
X
vy
v vy
2vy x2
2vy y 2
2vy z 2
p y
Y
定解条件
vx
vx x
vy
vx y
2vx x2
2vx y 2
1
p x
vx
vy x
vy
vy y
2vy x2
2vy y 2
1
p y
g
vx y0 0 vy y0 0
vx
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
p x
X
1 vy
v vy
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
p y
Y
1
vz
v
vz
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
p z
Z
偏微分方程组
+ 适当的定解条件
－－ 等温条件下的实际
流体流动
o 只适用于层流 o 密度、粘性为常量
o 等温 o 偏微分方程组的求解问题
3.1.2 层流流动的定解问题
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29
将(1)(2)(3)(4)代入时均化方程得
' ' ' ' (u x u x ) (u x u x ) ＋ (u y u x ) (u y u x ) ＋ y y x x
xx yx zx ' ' (u z u x ) (u z u x ) ＝ X x y z z z
u x， u y '， u z ，均为零。 ' '
2 2 但 u x ' ，u y ' ，u z '2 不为零。所以，对于X方向的平行流 动，湍动强度可以表示为
1 (u x '2 u y '2 u z '2 ) I 3 ux
18
2 2 u 2 对于各向同性的湍流， x ' ＝ u y ' ＝ uz ' ，所以
26
得： (1)
u x 1 u x 1 ' d (u x u x )d 0 0
对于稳定流动， u x 0
' u x 1 u x 1 1 u x ' d (u x u x )d d 0 0 0 1 ' ( u x d ) 0 0
30
与原 N-S(即层流)方程比较,
xx u x ' u x '
与 与 与
xx 相当；
yx
相当；
yx u y ' u x '
zx u z ' u x '
zx 相当；
xx ， yx ， zx 称为粘性应力，起因于分子运动；
－ u x ' u x ' ，－ u y ' u x ' ，－ u z ' u x ' 称为雷诺应力，
第三章
湍
流（Turbulence）
1
2
湍流是一种自然存在的现象，只要有流体(气
体、液体)就会有湍流发生。可是，虽然有些湍流
很剧烈，但有时(如气体)我们仅凭肉眼很难看到。 下面可以看到湍流这个不可见之物“现形”后 的样子。
3
3D湍流
这是一张湍流的3D图片。对于有关湍流的原始数据，我们很 难将其理解为抽象数字以外的任何东西。为了便于人们对湍 流有个直观的印象，科学家使用轮廓线展示它们的形状，例
10
风的路径
核电厂和化学工厂的冷 却塔会释放有毒水滴， 并被风带走。在冷却塔 周围的其它高层建筑所 在区域，这种空气流动 变得更加复杂，预示着 哪些地方的有毒水滴不 会被风轻易带走。科罗 拉多州立大学和ANSYS公 司的研究人员创建了这 副模拟图，用以展示空 气流动的所有不同路径。 冷却塔位于中央位置， 就在颜色最为集中的区 域附近。
1
其中 u x 为瞬时速度， u x 称为时均速度。 脉动值 u x '：任一时刻超出平均值的部分，
ux ' ux ux
则任一时刻的瞬时值可表示为
ux ux ux '
其中 u x ' 称为脉动速度。
16
脉动速度的平均值：
ux ' 1 1
0 u x '
1
0 (u x u x )d 0 u x d 0 u x d
在2×105 ~ 3×106之间。
14
§3.3 瞬时量，时均量和脉动量
湍流时，流体质点的速度大小和方向无规律，局部看应 属于不稳定流动。 采用平均值法原理：假设一流体质点在0→θ的时间间隔 内速度分布(X方向)如下图所示，
ux
15
时均值 u x ：按时间取平均
ux
0 ux d
R(y) 1.0
0
y
令
L R( y )dy
0
则L称为湍流标度。 若L较大，说明y较大时R(y)仍不零，旋涡较大； 若L较小，说明y较小时R(y)就为零，旋涡较小。
21
§3.5 雷诺湍流方程及湍流应力
湍流与层流一样也是宏观的物理现象，也要受到 连续时间条件来求解湍流瞬时速度分布是 不可能的，而实际上也没有这个必要，人们更关心的 往往是某个物理量的平均值。 雷诺以时均值和脉动值之和来代替不可压缩流体 的连续性方程和奈维－斯托克斯方程中的瞬时量，然 后对各方程取时均值，导出了可应用于不可压缩流体 作稳定湍流运动时的运动方程。此方法称为雷诺转换。
u x '2 I ux
只有湍动强度还不足以描述湍流状态，还应大至估计旋 涡的平均尺寸，即湍流标度。 湍流标度： 设湍流中相距为的两点1和2，分别测定一系列任一相同 瞬间在X方向的速度，求出下列时均值,
u '21 x
u '2 2 x
u ' x1 u ' x2
19
定义一关联系数R(y)
R( y ) u ' x1 u ' x 2 u '21 u '22 x x
同理
u y y
0
1
u y
y
d
u y y
u z 1 u z u z d 0 z z z
而
' ' u x 1 u x 1 ' d [ u x d ] 0 0 x x x 0
24
同理
u 'y y 0，
u x (u x u x ) (u y u x ) (u z u x ) x y z xx yx zx X x y z
经过雷诺转换，即各项用时均值代替，如
(u xu x ) x
(u x u x ) x
' u z 0 z
则连续性方程可转换为
u x u y u z 0 x y z
同时
' ' ' u x u y u z 0 x y z
说明如以时均值或脉动值代替瞬时值，连续方程形式 不变。
25
下面考察奈维－斯托克斯方程。 x 方向运动微分方程可表示为：
27
(2)
1 (u x u x ) ( u x u x d ) x x 0 1 ' ' [ (u x u x )(u x u x )d ] x 0 1 ' ' ' [ (u x u x 2u x u x u x u x )d ] x 0 ' ' (u x u x ) (u x u x ) 多出１项 x x
同理
' ' (u y u x ) (u y u x ) (u y u x ) y y y
' ' (u z u x ) (u z u x ) (u z u x ) z z z
28
(3) (4)
X
0 Xd 0 ( X X ' )d X
如我们在图片中看到的紫色版本。
4
切变速度
当不同密度的气体以相对较高的速度移动时，就会形成 羽翼丰满的湍流。在这张图片中，一种气体的密度是另 一种的2.5倍，在相对移动速度达到每小时380英里(约合 每小时611公里)时，它们就会变成湍流。
5
飘动的头发
很多开发类似洗发香波的产品的公司都利用模拟方式， 观察长发及洗发产品如何在气流中飘动，以及如何与水、 灰尘和其它因素发生反应。为了制造完美的风吹发效果， 电脑模拟所需要的时间绝对超出我们想象。
6
击球瞬间
在空中飞行时，高尔夫球前部受到的压力要远远高于后 面，致使阻力加大并减少落地距离，这就是为什么要在 高尔夫球表面制造凹痕。凹痕能够让气体湍流与球进行 更亲密接触，进而产生可减少阻力和延长落地距离的气 体漩涡。
7
混合的气体
这些彩色漩涡展现的是两种截然不同的气体混合在一起时 的模样，上方气体的密度是下方的3倍。在两种气体之间 不稳定的分界面，最初的小规模扰动很快变得猛烈起来。 这项测试有助于我们了解恒星内部的对流。
对上式进行时均化
' u x u z u z 0 x y z x y z
u y
' u x
u 'y
23
由定义
u x 1 u x u 1 1 d u x d [ u x d ] x x 0 x x 0 x 0 x
12
如下图所示。
－ +
+ －
另外，流体边界障碍物及流道方向的改变也会引起旋 涡形成。
13
§3.2 临界雷诺数
由层流转变为湍流可用临界雷诺准数来判断：
Re, c uL
对园管，
Re, c ud
2100
但有时Re,c远大于2100时仍能保持层流。 对流体流过平板，
Re, c uLe
1
1
xx 1 xx 1 ' d [ ( xx xx ) d ] x 0 x x 0 1 ( xx d ) 0 x 0 xx x
同理
yx y yx y
，
zx zx z z
1
ux ux 0
可见， 脉动速度的时均值必为零。 同理，对于湍流过程中的任一变量，有：
瞬时值 = 时均值 + 脉动值
17
§3.4湍流强度和湍流标度
湍流的激烈程度可以用脉动速度与时均速度之比来衡量， 称为湍流强度。以I表示： I = 脉动速度 / 时均速度