对数函数性质的应用
对数函数的性质及其应用
对数函数的性质及其应用对数函数的性质二与指数函数的性质二的区别:在指数函数中x 是与0比较大小，y是与1比较大小在对数函数中x是与1比较大小，y是与。
比较大小对数函数的性质三分成a>1和a<1两种情况进行讨论，且也涉及函数值大小的比较，因此有些学生容易把性质二与性质三混淆起来.所以在教学时应强调二者在内容上的区别:性质三是通过比较两个函数值的大小来确定函数的增减性，性质二是函数的三个因素a、x、y与1、0的大小比较。
前者涉及两个函数值，后者只涉及一个函数值，它的作用是直接确定函数值的正负。
在练习中应让学生写明是用的性质二还是性质三，使学生们在练习过程中能熟练掌握性质二和性质三。
对数函数的性质是什么呢？一、单调性是对数函数的一个性质，当a大于1时，对数函数在定义域上是单调增函数，并且图像为上凸；当a大于0小于1时，对数函数则为减函数，图像向下凹。
二、关于对数函数的奇偶性，对数函数既不是偶函数也不是奇函数。
三、关于周期性，对数函数不是周期函数。
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。
函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。
函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。
能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。
以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。
我相信这点你定是深有体会。
剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住起性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。
对数函数的性质与应用
Part Four
对数函数在实际问 题中的应用案例
利用对数函数解决增长率问题
定义：对数函数是描述增长率问题的数学模型 计算方法：利用对数函数计算增长率 应用场景：人口增长、金融投资、生物种群增长等 案例分析：以人口增长为例，利用对数函数计算人口增长率
利用对数函数解决复利问题
复利问题：在金融领域中，复利问题是一个常见的问题，涉及到本金、利 率和时间等因素。
对数函数的单调性
单调递增：当底数大于1时，对数函数在其定义域内单调递增 单调递减：当底数在(0,1)之间时，对数函数在其定义域内单调递减 无界性：对数函数在其定义域内是无界的，即可以取到无穷大的值 对数函数在其定义域内是连续的，没有间断点
对数函数的奇偶性
对数函数是奇函数 对数函数的图像关于原点对称 对数函数的定义域为正实数集 对数函数的值域为全体实数
对数函数的周期性
定义：对数函 数在其定义域 内具有周期性， 即对于任意正
整数k， log_a(x+k)=l
og_a(x)。
性质：对数函 数的周期性是 其重要的数学 性质之一，它 在解决实际问 题中有着广泛
的应用。
应用：利用对 数函数的周期 性，可以简化 对数运算，提 高计算效率。
举例：例如， 在计算复利、 解决声学问题 等方面，都可 以利用对数函 数的周期性来
电磁学：对数函 数用于描述电磁 波的传播特性
对数函数在金融领域的应用
计算复利 评估风险 资产定价 股票和债券的收益率计算
对数函数在其他领域的应用
金融领域：对数函 数用于计算复利、 评估风险和制定投 资策略
物理学：对数函数 在声学、光学、电 磁学等领域有广泛 应用
化学：对数函数用 于描述化学反应速 率与反应物浓度的 关系
专题37 高中数学对数函数的性质及其应用(解析版)
专题37 对数函数的性质及其应用知识点一 对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的性质(1)定义域： (0，＋∞)． (2)值域： (－∞，＋∞)． (3)定点： (1,0)．(4)单调性：a >1时，在(0，＋∞)上是增函数；0<a <1时，在(0，＋∞)上是减函数． (5)函数值变化当a >1，x >1时，y ∈ (0，＋∞)；0<x <1时，y ∈ (－∞，0)； 当0<a <1，x >1时，y ∈ (－∞，0)；0<x <1时，y ∈ (0，＋∞)．可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．知识点二 反函数的概念对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x 的值域，而y ＝log a x 的值域是y ＝a x 的定义域．(1)并非任意一个函数y ＝f (x )都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数． (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． (3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． (4)求反函数的步骤： ①求出函数y ＝f (x )的值域； ②由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )；③把x ＝f －1(y )改写成y ＝f －1(x )，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．题型一 比较对数值的大小1．比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.[解析](1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 2．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4；(3)log 0.57，log 0.67；(4)log 3π，log 20.8.[解析](1)因为函数y ＝log 23x 是减函数，且0.5<0.6，所以log 230.5>log 230.6.(2)因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4，所以log 1.51.6>log 1.51.4. (3)因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. (4)因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 3．比较下列各组中两个值的大小：(1)log 31.9，log 32；(2)log 23，log 0.32；(3)log a π，log a 3.14(a >0，a ≠1)． [解析](1)因为y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 31.9<log 32. (2)因为log 23>log 21＝0，log 0.32<log 0.31＝0，所以log 23>log 0.32.(3)当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，则有log a π>log a 3.14； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，则有log a π<log a 3.14. 综上所得，当a >1时，log a π>log a 3.14；当0<a <1时，log a π<log a 3.14. 4．比较下列各组数的大小(1)log 0.13与log 0.1π；(2)log 45与log 65；(3)3log 45与2log 23；(4)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a ＞0且a ≠1)． [解析] (1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3，∴log 0.13>log 0.1π.(2)法一：∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数，∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1.∴log 45>log 65. 法二：画出y ＝log 4x 和y ＝log 6x 在同一坐标系中的图象如图所示，由图可知log 45＞log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log 2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9，∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23. (4)∵a ＋2＜a ＋3，故①当a ＞1时，log a (a ＋2)＜log a (a ＋3)；②当0＜a ＜1时，log a (a ＋2)＞log a (a ＋3)． 5．比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log a 3.1，log a 5.2(a>0，且a ≠1)． [解析] (1)因为函数y ＝lnx 是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)解法一：因为0>log 0.23>log 0.24，所以1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2.解法二：如图所示，由图可知log 40.2>log 30.2.(3)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π>3，所以log 3π>log 33＝1.因为函数y ＝log πx 是增函数，且π>3，所以log π3<log ππ＝1.所以log 3π>log π3.(4)当a>1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以log a 3.1<log a 5.2； 当0<a<1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以log a 3.1>log a 5.2. 6．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b<c<aB ．b<a<cC ．c<a<bD ．c<b<a[解析]由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c<b<a.[答案] D 7．下列式子中成立的是( )A ．log 0.44＜log 0.46B ．1.013.4＞1.013.5C ．3.50.3＜3.40.3D ．log 76＜log 67[解析]选D ，因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44＞log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x 为增函数， 所以1.013.4＜1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C 错． 8．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析]∵0＜a ＝213＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .故选D.9．如果log 12 x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x[解析]对数函数y ＝log 12 x 在(0，＋∞)上单调递减，则由log 12 x <log 12 y <0＝log 12 1，可得1<y <x .10．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b[解析]a ＝log 32<log 33＝1；c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D. 11．设a ＝log 43，b ＝log 53，c ＝log 45，则( )A ．a>c>bB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b[解析]a ＝log 43<log 44＝1；c ＝log 45>log 44＝1，由对数函数的性质可知log 53<log 43，∴b<a<c ，故选D. 12．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[解析]∵a ＝20.2＞1＞b ＝l o g 4(3.2)＞0＞c ＝l o g 2(0.5)，∴a ＞b ＞c .故选A. 13．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b[解析]由log a 13>0，log b 13>0，可知a ，b ∈(0,1)，又log a 13>log b 13，作出图象如图所示，结合图象易知a >b ，∴0<b <a <1.14．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析]∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.15．已知f (x )＝|lg x |，且1c＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小．[解析]先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象位于x 轴下方的部分折到x 轴上方， 于是得f (x )＝|lg x |图象(如图)，由图象可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f 1c ＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )． ∴f (c )＞f (a )＞f (b )．题型二 求单调区间或根据单调性求参1．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．[解析]由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数， ∴函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为(－∞，2)． 2．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是______．[解析]易知函数f (x )的定义域为－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 3．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调递增区间．[解析]要使函数有意义，则有1－x 2>0⇔x 2<1⇔－1<x <1.∴函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．在(－1,0)上，x 增大，t 增大，y ＝log 12 t 减小，即在(－1,0)上，y 随x 的增大而减小，为减函数；在[0,1)上，x 增大，t 减小，y ＝log 12 t 增大，即在[0,1)上，y 随x 的增大而增大，为增函数．∴y ＝log 12 (1－x 2)的单调递增区间为[0,1)．4．求函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调区间．[解析]因为x 2－3x ＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t ＝x 2－3x ＋2， 则y ＝log 0.7t ，显然y ＝log 0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而t ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分 别是单调递减和单调递增的，所以函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为(－∞，1)， 单调递减区间为(2，＋∞)．5．求函数y ＝lg (x 2－2x )的单调递增区间．[解析]由已知，得x 2－2x >0，解得x >2或x <0.因为y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＝lg (x 2－2x )的单调递增区间为(2，＋∞). 6．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，4－x ＞0得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8)＝ln [－(x －1)2＋9]， 设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)． 7．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析]f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]8．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围． [解析]∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a . ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. 9．已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)[解析]∵f (x )＝l o g a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. 10．若y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． [解析]因为y ＝log a (ax ＋3)(a >0且a ≠1)在区间(－1，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，a >1，a >0且a ≠1，解得1<a ≤3.故a 的取值范围是(1,3]．11．是否存在实数a ，使函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．[解析]存在．设u ＝g (x )＝ax 2－x ，则y ＝log a u .假设符合条件的a 值存在．(1)当a ＞1时，只需g (x )在[2,4]上为增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g (2)＝4a －2＞0.解得a ＞12.∴a ＞1.(2)当0＜a ＜1时，只需g (x )在[2,4]上为减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g (4)＝16a －4＞0.无解．综上所述，当a ＞1时，函数y ＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数． 12．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )＞1，求x 的取值范围．[解析] (1)证明：任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，不妨令0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2， ∵0＜a ＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴g (x 1)－g (x 2)＜0，∴g (x 1)＜g (x 2)，∴g (x )为增函数，又∵0＜a ＜1，∴f (x )是(a ，＋∞)上的减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－a x ＜a ，∴1－a ＜ax ＜1.又∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0， ∴a ＜x ＜a1－a，∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a 1－a .题型三 求解对数不等式1．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为( )A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫－32，3 C.⎝⎛⎭⎫－32，65 D.⎝⎛⎭⎫65，3[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，得65<x<3.[答案] D 2．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(2,7]C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析]由lg(2x －4)≤1，得0<2x －4≤10，即2<x ≤7，故选B. 3．若log a 23<1，则a 的取值范围是________．[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，23>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，23<a ，解得0<a <23或a >1，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 4．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． [解析]由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1.当a>1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>1，3a －1>0，解得a>23，∴a>1；当0<a<1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a<23.∴13<a<23.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]若a >0，由f (a )>f (－a )，得log 2a >log 12 a ＝－log 2a ，即log 2a >0，则a >1；若a <0，则由f (a )>f (－a )，得log 12 (－a )>log 2(－a )，即－log 2(－a )>log 2(－a )，则log 2(－a )<0，得0<－a <1，即－1<a <0.综上所述，a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是___． [解析]由题意可知，f (log 4x )<0⇔－12<log 4x <12⇔log 44－12<log 4x <log 4412⇔12<x <2.7．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解析] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)因为函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由log 0.7(2x )<log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知2log a (x －4)>log a (x －2)，求x 的取值范围．[解析]由题意，得x >4，原不等式可变为log a (x －4)2>log a (x －2)． 当a >1时，y ＝log ax 为定义域内的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －4)2>x －2，x －4>0，x －2>0，解得x >6.当0<a <1时，y ＝log ax 为定义域内的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2<x －2，x －4>0，x －2>0，解得4<x <6.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为(6，＋∞)；当0<a <1时，x 的取值范围为(4,6)． 9．已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，6－2x >0，解得1＜x ＜3，∴函数φ(x )的定义域为{x |1＜x ＜3}．(2)不等式f (x )≤g (x )，即为log a (x －1)≤log a (6－2x )，①当a ＞1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <3，x －1≤6－2x ，解得1<x ≤73；②当0＜a ＜1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x －1≥6－2x ，解得73≤x <3.综上可得，当a ＞1时，不等式的解集为⎝⎛⎦⎤1，73；当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎡⎭⎫73，3. 10．函数f (x )＝2x －log 31＋x 1－x，x ∈(0,1)，求不等式f (x 2)>f ⎝⎛⎭⎫13的解集．[解析]∵y ＝2x 在(0,1)上为减函数，y ＝－log 31＋x 1－x ＝log 31－x 1＋x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1在(0,1)上也为减函数， ∴f (x )＝2x －log 31＋x 1－x在(0,1)上单调递减．∴x 2<13.∴0<x <33，∴解集为⎝⎛⎭⎫0，33.题型四 与对数函数有关的值域问题1．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( ) A ．f(x)＝log 2(x －1) B ．f(x)＝log 2(x －1) C ．f(x)＝log 2(x 2＋2)D ．f(x)＝log 2x －1[解析]A 、D 中因为真数大于0，故值域为R ，C 中因为x 2＋2≥2，故f(x)≥1. 只有B 中log 2(x －1)≥0，f(x)的值域为[0，＋∞)．[答案] B2．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 [解析]当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去)．当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12.3．函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．[解析]f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2，所以log 12[(x ＋1)2＋2]≤log 122＝－1，所以函数f (x )的值域是(－∞，－1]．4．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是________．[解析]－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254≤254，∴有0<－x 2＋3x ＋4≤254， ∴根据对数函数y ＝log 0.4x 的图象(图略)即可得到：log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，∴原函数的值域为[－2，＋∞)． 5．求函数y ＝log 13(－x 2＋4x －3)的值域．[解析]由－x 2＋4x －3>0，解得1<x<3，∴函数的定义域是(1,3)． 设u ＝－x 2＋4x －3(1<x<3)，则u ＝－(x －2)2＋1.∵1<x<3，∴0<u ≤1，则y ≥0，即函数的值域是[0，＋∞)．6．求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解析] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2. 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u >0，所以0<u ≤4. 又y ＝log 12 u 在(0,4]上为减函数，所以log 12 u ≥log 12 4＝－2，所以y ＝log 12 (3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)． 7．求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(|x|＋4)；(2)f(x)＝log 2(－x 2－4x ＋12)．[解析] (1)因为|x|＋4≥4，所以log 2(|x|＋4)≥log 24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．(2)因为－x 2－4x ＋12＝－(x ＋2)2＋16≤16，所以0<－x 2－4x ＋12≤16，故log 2(－x 2－4x ＋12)≤log 216＝4，函数的值域为(－∞，4]．8．求函数y ＝(log 2x)2－4log 2x ＋5(1≤x ≤2)的最值．[解析]令t ＝log 2x ，则0≤t ≤1且y ＝t 2－4t ＋5，由二次函数的图象可知，函数y ＝t 2－4t ＋5在[0,1]上为减函数，∴2≤y ≤5.故y max ＝5，y min ＝2.9．求函数y ＝log 2(2x)·log 2x ⎝⎛⎭⎫12≤x ≤2的最大值和最小值． [解析]y ＝log 2(2x)·log 2x ＝(1＋log 2x)·log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14. ∵12≤x ≤2，即－1≤log 2x ≤1，∴当log 2x ＝－12时，y min ＝－14；当log 2x ＝1时，y max ＝2. 10．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．[解析]f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R)，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14(t ∈R)，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14. 11．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x 2×log 2 x2的最大值和最小值．[解析]由2x ≤256，得x ≤8，所以log 2x ≤3，即12≤log 2x ≤3.f (x )＝(log 2x －1)×(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14，当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.12．求函数f(x)＝log 2(4x)·log 42x，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． [解析]f(x)＝log 2(4x)·log 42x ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤12(1－log 2x )＝－12[(log 2x)2＋log 2x －2]． 设log 2x ＝t.∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12，∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98.当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98. 13．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________．[解析]根据图象可知，|log 3x |＝0，则x ＝1，|log 3x |＝1，则x ＝13或3.由图可知(b －a )min ＝1－13＝23.14．若函数y ＝log 2(x 2－2)(a ≤x ≤b )的值域是[1，log 214]，则a ，b 的值分别为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝－2B ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2D ．⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4[解析]由1≤log 2(x 2－2)≤log 214得2≤x 2－2≤14，得4≤x 2≤16，得－4≤x ≤－2或2≤x ≤4.由x 2－2>0得x <－2或x >2，故b <－2或a > 2.当a >2时，由函数y ＝log 2(x 2－2)(a ≤x ≤b )单调递增得2≤x ≤4，故a ＝2，b ＝4；当b <－2时，由函数y ＝log 2(x 2－2)(a ≤x ≤b )单调递减得－4≤x ≤－2， 故a ＝－4，b ＝－2.15．已知函数y ＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎫log 4x －12，2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．[解析] (1)y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1，又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.(2)由(1)得y ＝12⎝⎛⎭⎫t －322－18，1≤t ≤3， 当t ＝32时，y min ＝－18；当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1，即函数的值域为⎣⎡⎦⎤－18，1.16．已知函数f (3x －2)＝x －1，x ∈[0,2]，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的解析式；(2)设h (x )＝[g (x )]2＋g (x 2)，试求函数y ＝h (x )的最值．[解析] (1)设t ＝3x －2，t ∈[－1,7]，则x ＝log 3(t ＋2)，于是有f (t )＝log 3(t ＋2)－1，t ∈[－1,7]． ∴f (x )＝log 3(x ＋2)－1，x ∈[－1,7]，根据题意得g (x )＝f (x －2)＋3＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]． ∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝log 3(x ＋2)－1，x ∈[－1,7]， 函数y ＝g (x )的解析式为g (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]． (2)∵g (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，∴h (x )＝[g (x )]2＋g (x 2)＝(log 3x ＋2)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3， ∵函数g (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数h (x )＝[g (x )]2＋g (x 2)有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，即1≤x ≤3.∴0≤log 3x ≤1，∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.∴函数y ＝h (x )的最大值为13，最小值为6. 17．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)． 当a <0时，显然不可能； 当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a >0时，若u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)， 则Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1. 综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1. (2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.18．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14. (1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围．[解析]1)要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0. 解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. (2)要使f (x )的值域为R ，则有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14的值域必须包含(0，＋∞)．当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x 轴相交且开口向上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a ≥0，即0<a ≤3－52或a ≥3＋52.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋52，＋∞. 题型五 对数函数性质的综合应用1．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数[解析]f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0， ∴f (x )为奇函数，故选A.2．设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数[解析]由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数．故选A ．3．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(1，2)C.⎝⎛⎭⎫22，1D.⎝⎛⎭⎫0，22 [解析]当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象如图所示，若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于⎝⎛⎭⎫12，2点时，a ＝22， 故虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足22＜a ＜1，故选C.4．已知函数f (x )＝ln(3＋x )＋ln(3－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性．[解析](1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3＜x ＜3，故函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称． 对任意x ∈(－3,3)，则－x ∈(－3,3)．∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )，∴由函数奇偶性可知，函数y ＝f (x )为偶函数．5．设常数a ＞1，实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，若y 的最大值为2，则x 的值为________． [解析]实数x ，y 满足log a x ＋2log x a ＋log x y ＝－3，化为log a x ＋2log a x ＋log a ylog a x ＝－3.令log a x ＝t ，则原式化为log a y ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋322＋14. ∵a ＞1，∴当t ＝－32时，y 取得最大值2，∴log a 2＝14，解得a ＝4，∴log 4x ＝－32，∴x ＝4－32＝18.6．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．[解析] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.7．已知函数f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，且a ≠1)．(1)求f(x)的定义域； (2)判断函数的奇偶性；(3)求使f(x)>0的x 的取值范围．[解析](1)由1＋x1－x >0，得－1<x<1，故f(x)的定义域为(－1,1)．(2)∵f(－x)＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x1－x＝－f(x)，又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数． (3)当a>1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得1＋x1－x >1.所以0<x<1.当0<a<1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得0<1＋x1－x<1，所以－1<x<0.故当a>1时，x 的取值范围是{x|0<x<1}；当0<a<1时，x 的取值范围是{x|－1<x<0}． 8．已知函数f (x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )．(1)求函数y ＝f (x )的定义域； (2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (m －2)＜f (m )，求m 的取值范围．[解析](1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞0，2－x ＞0，解得－2<x <2.∴函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}．(2)由(1)，可知函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，关于原点对称，对任意x ∈(－2,2)，有－x ∈(－2,2)． ∵f (－x )＝lg (2－x )＋lg (2＋x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数． (3)∵函数f (x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )＝lg (4－x 2)，当0≤x <2时，函数y ＝f (x )为减函数，当－2<x <0时，函数y ＝f (x )为增函数， ∴不等式f (m －2)<f (m )等价于|m |<|m －2|，解得m <1.又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －2＜2，－2＜m ＜2，解得0＜m ＜2. 综上所述，m 的取值范围是{m |0<m <1}．9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝log 12(x ＋7)．(1)求f (1)，f (－1)； (2)求函数f (x )的表达式；(3)若f (a －1)－f (3－a )＜0，求a 的取值范围． [解析](1)f (1)＝log 128＝－3，f (－1)＝－f (1)＝3.(2)因为f (x )在R 上为奇函数，所以f (0)＝0，令x ＜0，则－x ＞0， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x ＋7)，(3)当x ∈(0，＋∞)时，y ＝log 12 (x ＋7)，令u ＝x ＋7，则y ＝log 12 u .由于u ＝x ＋7是增函数，y ＝log 12 u 是减函数，则y ＝log 12 (x ＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于f (x )是奇函数且f (0)＝0，所以y ＝f (x )是R 上的减函数．由f (a －1)<f (3－a )，得a －1>3－a ，解得a >2. 10．已知a ＞0且满足不等式22a ＋1＞25a －2.(1)求实数a 的取值范围；(2)求不等式log a (3x ＋1)<log a (7－5x )的解集；(3)若函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a 的值．[解析](1)∵22a ＋1＞25a －2，∴2a ＋1＞5a －2，即3a ＜3，∴a ＜1，即0＜a ＜1.∴实数a 的取值范围是(0,1)． (2)由(1)得，0＜a ＜1，∵log a (3x ＋1)<log a (7－5x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，7－5x >0，3x ＋1>7－5x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x <75，x >34，解得34<x <75.即不等式的解集为⎝⎛⎭⎫34，75. (3)∵0＜a ＜1，∴函数y ＝log a (2x －1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x ＝3时，y 有最小值为－2，即log a 5＝－2，∴a －2＝1a 2＝5，解得a ＝55.11．已知函数f (x )＝lga －x1＋x. (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )在(m ，n )上的值域为(－1，＋∞)，求m ，n 的值． [解析] (1)∵f (x )为奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，即lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，∴(a －x )(a ＋x )1－x 2＝1，解得a ＝1(a ＝－1舍去)．(2)由(1)知f (x )＝lg1－x 1＋x ，则1－x1＋x>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x <0，1＋x <0，解得－1<x <1，即其定义域为(－1,1)． ∵x ∈(－1,1)时，t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x为减函数，而y ＝lg t 在其定义域内为增函数，∴f (x )＝lg 1－x 1＋x 在其定义域内是减函数，则m ＝－1，由题意知f (n )＝lg 1－n 1＋n ＝－1，解得n ＝911，即m ＝－1，n ＝911.题型六 反函数的应用1．写出下列函数的反函数(用x 表示自变量，用y 表示函数)： (1)y ＝2.5x ；(2)y ＝log 16x .[解析](1)函数y ＝2.5x 的反函数是y ＝log 2.5x (x >0)．(2)由y ＝log 16 x 得x ＝⎝⎛⎭⎫16y ，所以函数y ＝log 16x 的反函数为y ＝⎝⎛⎭⎫16x .2．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3[解析]法一：函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝log a x 的图象过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.法二：∵函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，∴函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点(a ，a )，∴a a＝a ＝a 12，即a ＝12.3．已知函数f (x )＝a x －k (a >0，且a ≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点(2,0)，求函数f (x )的解析式． [解析] 由于函数f (x )的反函数的图象过点(2,0)，∴f (x )的图象过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，即k ＝－1， ∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝a ＋1，即a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.4．若函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg (x ＋1)的图象关于直线x －y ＝0对称，则f (x )＝( )A ．10x －1B ．1－10xC ．1－10－xD ．10－x －1[解析]若两函数图象关于直线y ＝x 对称，则两函数互为反函数，故y ＝lg (x ＋1)，则x ＋1＝10y ， x ＝10y －1，即y ＝10x －1.故选A ．5．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R)B ．f (2x )＝ln 2·ln x (x ＞0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R)D ．f (2x )＝ln x ＋ln 2(x ＞0)[解析]因为函数y ＝e x 的图象与函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )是y ＝e x 的反函数， 即f (x )＝ln x ，故f (2x )＝ln 2x ＝ln x ＋ln 2(x >0)，故选D ．6．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a ＝________.[解析]∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，即g (x )＝2x .又∵g (a )＝14，∴2a ＝14，∴a ＝－2.。
对数函数及其应用对数函数的性质与应用
对数函数及其应用对数函数的性质与应用对数函数是数学中常见的一类函数，具有广泛的应用价值。
本文将介绍对数函数的性质和应用，并探讨其在实际问题中的具体运用。
一、对数函数的性质对数函数是以常数e（欧拉数）为底的指数函数的逆运算。
对数函数的一些基本性质如下：1. 定义域和值域：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 对数函数与指数函数的互为反函数关系：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即$log_a(a^x)=x$，$a^{log_a(x)}=x$。
3. 对数函数的增减性：对数函数是递增函数，即$log_a(x)<log_a(y)$成立当且仅当$x<y$。
4. 对数函数的图像：对数函数的图像通常为一条上升曲线，随着自变量的增大，函数值也相应增大，但增长速度逐渐减缓。
二、对数函数的应用对数函数在各个领域都有重要的应用，在以下几个方面具有特别的价值：1. 指数增长和衰减模型：对数函数可以描述许多具有指数增长和衰减的现象，例如人口增长、物种繁殖、放射性衰变等。
通过对数函数的分析，可以预测和控制这些现象的发展趋势。
2. 财务和利息计算：对数函数在金融领域中有广泛的应用，例如计算复利、评估投资回报率等。
对数函数可以帮助我们理解时间价值的概念，为财务决策提供重要的依据。
3. 数据压缩和编码：对数函数可以用于数据的压缩和编码，减少存储空间的占用和传输成本。
常见的压缩算法中就包括对数函数的运算，例如对数编码、哈夫曼编码等。
4. 检测与测量：对数函数在物理测量和数据处理中有广泛应用，例如声音强度的测量（分贝）、地震强度的测量（里氏震级）等。
对数函数使得我们能够更好地处理海量的测量数据，提高数据处理的效率和准确性。
结论对数函数是数学中的重要内容，具有广泛的应用领域。
通过对对数函数的性质和应用的了解，我们可以更好地理解和运用数学知识，解决实际问题。
对数函数的应用远不止以上几个方面，不同领域中还有许多其他实际问题可以通过对数函数的运算和分析来解决。
对数函数的性质与应用
对数函数的性质与应用对数函数是数学中非常重要的一类函数，具有许多独特的性质和广泛的应用。
本文将介绍对数函数的性质以及它在各个领域中的应用。
1. 对数函数的定义和基本性质对数函数是指以某个常数为底数的对数函数，常用的底数有自然对数（e）和常用对数（以10为底）。
我们以自然对数为例进行讨论。
自然对数函数可表示为y = ln(x)，其中ln表示自然对数。
自然对数的底数e是一个常数，约等于2.71828。
对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数的基本性质如下：- 对于任意正实数x和y，ln(xy) = ln(x) + ln(y)- 对于任意正实数x和任意实数a，ln(x^a) = a·ln(x)- 对于任意正实数x和y，如果ln(x) = ln(y)，那么x = y这些性质使得对数函数在数学计算和推导中非常实用。
2. 对数函数的图像和特点对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状。
当x > 1时，ln(x)的值随x的增大而增大，但增速逐渐减慢；当0 < x < 1时，ln(x)的值随x 的减小而增大，但增速同样逐渐减慢。
这意味着对数函数具有递增但是收敛的特点。
对数函数的图像还有一条重要的特点是它在x轴上有一个渐近线。
即当x趋近于0时，ln(x)趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，ln(x)趋近于正无穷大。
3. 对数函数在解决实际问题中的应用对数函数在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 财务和投资分析对数函数可以用于计算复利和增长率。
当对数函数应用于财务和投资分析时，可以帮助我们计算资金的增长趋势、比较投资回报率，并进行有效的资金管理。
3.2 科学研究和数据分析在科学研究和数据分析中，对数函数可用于处理非线性情况下的数据。
对于呈现指数增长或指数衰减的数据，可以通过对数变换来线性化处理，方便进行统计分析和模型建立。
3.3 生物学和医学领域在生物学和医学研究中，对数函数广泛应用于描述生长曲线、酶动力学、药物代谢和毒性等。
对数函数的性质与应用 课件
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域x∈R.
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
x＝logay
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
题型一：对数型函数的过定点问题
性质：对数函y数 loga x(a 0，且a 1)
恒过定点（1,0）.
例1：函数y loga (3x 2) 5(a 0且a 1)的图象恒过定点
解：令3x+2=1,则x=- 1 , y 5. 3
所以函数的图象恒过定点(- 1 , 5). 3
.
(3, 3),
ts . v
2. y＝ax
2. y＝ax
对数函数及其性质的应用课件
对数函数的单调性
已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性． [思路点拨] 先求出函数的定义域，再结合复合 函数的单调性规律在其定义域内研究其单调性， 进而确定单调区间．
(1)由对数的真数大于0，得ax－1>0， 也即ax>a0. 当0<a<1时，y＝ax为减函数， 所以ax>a0⇔x<0；3分 当a>1时，y＝ax为增函数，所以ax>a0⇔x>0. 综上即得：当0<a<1时函数的定义域为(－∞，0)， 当a>1时函数定义域为(0，＋∞).6分
5
∴log11.6>log12.9.
5
5
(2)∵y＝log2x 在(0，＋∞)上单调递增，而 1.7<3.5，
∴log21.7<log23.5.
(3)借助 y＝log1x 及 y＝log1x 的图象，
2
5
如图所示．
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，
∴log13<log13.
2
5
(4)由对数函数性质知，
log10.3>0，log20.8<0，
3
∴log10.3>log20.8.
3
利用函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的 方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性 直接判断； (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对 底数进行分类讨论； (3)若底数不同，真数相同，则可用换底公式化为 同底，再进行比较； (4)若底数、真数都不相同，则常借助 1、0、－1 等中间量进行比较．
解对数不等式应把握以下几点： (1)方法：利用对数函数的单调性，将问题转化为一 般不等式(组)求解． (2)要遵循“定义域”优先的原则．解对数不等式要 注意定义域的扩大，解题有两个途径，一是在变形 过程中定义域发生变化，最后一定要验根；二是解 的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进 行同解变形，最后不用验根． (3)当底数是字母时，需要分类讨论底数的取值范围． 特别提醒：解对数不等式时一定要注意相应变量暗
高考数学中的对数函数性质及其应用
高考数学中的对数函数性质及其应用对数函数是高中数学中非常重要的一个概念。
在高考中，对数函数也是非常重要的考点之一。
本文将从对数函数的定义、性质、公式以及应用来进行简单的讲解，帮助同学们更好地掌握这一重要概念。
一、对数函数的定义与性质对数函数可以这样定义：设a>0，且且a≠1，则称y=loga x是以a为底，x为真数的对数函数。
其中a被称为底数，x为真数，y 为对数值。
对数函数最基本的性质是：若a>1，则loga 1=0；若0<a<1，则loga 1=0；若a=1，则无解。
对于对数函数的底数a和真数x均不能为负数或零。
对数函数还有一个很重要的性质是对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
这个性质说明了，对数函数的定义需要满足a>0，x>0，根据定义，y=loga x，那么y也一定为实数，因此对数函数的值域为实数集。
二、对数函数的公式运用对数函数公式，能够快速简便地完成数值计算，增强数学思维，提高解题能力。
主要有以下四个公式：1、loga (mn) = loga m + loga n2、loga (m/n) = loga m - loga n3、loga m^p = p*loga m4、loga a^n = n公式1和2用于将对数函数中的乘、除法转换成加、减法。
公式3用于将对数函数中的指数运算转换成乘法。
公式4是对数函数的基本公式，即对数函数中以a为底，a的幂次方的值等于幂次数。
三、对数函数的应用1、复利计算：实际生活中，人们常常要面临各种复利计算问题。
在复利计算中，常常需要用到对数函数。
例如求N年后本金为P的投资，在年利率为r的情况下，总收益为多少。
用对数函数可以快速算出结果，公式为：A=P*(1+r)的N次方。
2、化简大数：在高精度计算和密码学领域中，经常需要对大数进行化简计算。
对于x^y的结果，如果y过大，那么我们需要通过对数函数将其化简。
即对x取对数，乘以y，再通过反函数将结果还原。
对数函数的相关性质与应用
对数函数的相关性质与应用对数函数是数学中常见的一类函数，它在各个领域中具有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的相关性质与应用。
从数学定义、性质、图像和实际应用方面进行探讨，并给出一些具体例子。
一、数学定义与性质对数函数是指以某个正实数为底的对数函数，常见的有以10为底的常用对数函数(log)和以e为底的自然对数函数(ln)。
常用对数函数可以表示为log(x)，自然对数函数可以表示为ln(x)。
对数函数具有以下基本性质：1. 对数函数的定义域与值域：对数函数的定义域是正实数集合R+，值域是实数集合R。
2. 对数函数的性质：对数函数具有对数乘法法则和对数除法法则：- 对数乘法法则：log(ab) = log(a) + log(b)- 对数除法法则：log(a/b) = log(a) - log(b)3. 对数函数的性质：对数函数具有对称性与严格递增性。
- 对称性：log(a) = -log(1/a)- 严格递增性：当a>b时，log(a)>log(b)二、图像与性质对数函数在坐标系中的图像呈现出独特的特点。
常用对数函数的图像是逐渐上升的曲线，自然对数函数的图像是逐渐下降的曲线。
对数函数的图像有以下性质：1. 图像的对称轴与对称性：常用对数函数的图像关于y轴对称，自然对数函数的图像关于原点对称。
2. 图像的渐进线：常用对数函数的图像有两条渐进线，y轴是其中一条渐进线，x=0是另一条渐进线；自然对数函数的图像有一条渐进线，x=0。
3. 图像的特殊点：常用对数函数的图像在x=1处有一个特殊点，自然对数函数的图像在x=e处有一个特殊点。
三、应用举例对数函数在各个领域中都有广泛应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 财务领域：对数函数在复利计算中起到重要作用。
通过对数函数，我们可以计算复利的增长速率和复利的期间。
2. 化学领域：对数函数在酸碱度(pH)的计算中使用。
pH值的定义是对数函数中浓度单位溶液的负对数。
函数y=logxa的性质及应用
函数y=logxa的性质及应用对数函数是数学中一种常见的函数形式。
函数y=logxa中，a是指数底数，x是真数，y是对数。
对数函数的性质和应用非常广泛，下面将详细介绍。
1.对数函数的性质：(1)基本性质：对数函数的定义域为正实数集(x>0)，值域为实数集。
其中，a>0且a≠1，x>0。
(2) 反函数性质：若y=logax，则x=a^y。
即对数函数与指数函数是互为反函数的关系。
(3)对称性：关于直线y=x对称。
(4)增减性：当0<a<1时，对数函数是递增函数；当a>1时，对数函数是递减函数。
(5) 计算性质：可以用换底公式 logab=logcb/logca来计算不同底数的对数。
2.对数函数的应用：(1) 指数方程求解：当指数函数的真数是未知数时，可以将其转化为对数方程，使用对数函数来求解。
例如，2^x=5可以转化为log25=log22^x，然后用对数函数求解。
(2) 计算长时间的复利增长：复利公式可以表示为A=P(1+r/n)^(nt)，其中A是最终金额，P是本金，r是年利率，n是复利次数，t是时间。
在实际计算中，我们可以使用对数函数来计算复利。
例如，当n为1时，公式可以简化为A=P(1+r)^t，这时可以使用对数函数计算。
(3) 声音的强度计算：声音的强度是使用对数尺度来表示的。
声音的强度级（dB）可以通过对数函数计算得到，计算公式为I=Io*log10(P/Po)，其中I是当前声音强度，Io是参考声音强度，P是当前声音压力，Po是参考声音压力。
(4)计算数据的增长速度：对数函数可以用于计算数据的增长速度，例如人口增长、病例增长等。
通过计算数据的对数增长率可以得到具有可比性的结果，方便进行分析和比较。
(5)解决复杂的数学问题：对数函数在数学中有着广泛的应用，可以解决一些复杂的问题，如概率计算、统计分析、最优化问题等。
对数函数的计算和性质可以简化问题的推导和求解过程。
对数函数的图象及性质应用【课件】
二、对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象
请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0＜a＜1和a＞1时
的对数函数的图象
0<a<1
a>1
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的性质
定义域
_(_0_,_+_∞__)_
值域
_R_
定点
_(_1_,_0_)_,即x=_1_时,y=_0_
单调性 当0<a<1时,y=logax在_(_0_,_+_∞__)_上是_减__函__数__ 当a>1时,y=logax在_(_0_,_+_∞__)_上是_增__函__数__
【知识点拨】 1.对数函数概念的理解 (1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如 y=log2(x-1)，y=logx52 都不是对数函数，可称其为对数型函数. (2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是 指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数图象和性质的关系
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( ) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0，+∞)上是增函数.( ) (3)当a>1时，若x>1,则logax>0.( )
提示：(1)正确.通过a>1和0<a<1时的对数函数的图象可知, 对数函数的图象一定在y轴右侧. (2)错误.当a>1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是增函数； 当0<a<1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是减函数. (3)正确.当a>1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是增函数， 若x>1,则logax>loga1=0. 答案：(1)√ (2)× (3)√
对数函数的应用
对数函数的应用对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与性质对数函数常用以log表示，loga(x)表示以a为底，x的对数。
其中，a为正实数且不等于1，x为正实数。
对数函数有以下几个重要性质：1.1 对数的基本性质对数函数满足乘法公式和除法公式，即loga(xy) = loga(x) + loga(y)以及loga(x/y) = loga(x) - loga(y)。
这两个公式在简化计算和推导时非常有用。
1.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互逆的关系，即loga(a^x) = x，同时a^loga(x) = x。
这个性质使得对数函数在解指数方程和指数函数求解中发挥了重要作用。
1.3 对数函数的图像特点对数函数的图像呈现出一个特殊的形态，即对数函数的图像在(0,1)区间内逐渐变陡，超过x=1后逐渐平缓并逼近于x轴。
这种特殊的图像特点与对数函数的性质密切相关。
2. 对数函数在实际问题中的应用2.1 指数增长问题对数函数在指数增长问题中具有重要应用，例如在生物学领域中，对数函数可以用来描述细菌、病毒等生物种群的增长规律。
同时，对数函数也可以用来描述金融领域中的利息计算、投资增长等问题。
2.2 信号处理与通信在数字信号处理和通信领域，对数函数常用于描述信号的强度、功率等概念。
例如，在光通信中，对数函数可以用来计算信号的光强度以及信号的损耗情况。
2.3 复利计算在金融和理财领域中，对数函数常用于复利计算。
复利是指在一定时间内，本金以及之前利息再次获得利息，通过对数函数的计算可以方便地计算出未来的资金积累情况。
2.4 数据压缩与编码对数函数在数据压缩和编码领域中发挥着重要的作用。
通过将数据转换为对数形式，可以提高数据的压缩效率，减少存储空间的占用。
3. 总结对数函数作为数学中一种重要的函数形式，在各个领域中都有广泛的应用。
对数函数的性质与应用
对数函数的性质与应用数学中，对数函数作为一种重要的数学工具，具有广泛的性质和应用。
本文将探讨对数函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下方程的函数：y = logₐ x，其中 a 为正实数且不等于 1，x 和 y 均为正实数。
对数函数以对数的形式表达了指数运算的逆运算。
1.1 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
1.2 对数函数的图像特征以y = logₐ x 为例，当 a>1 时，对数函数图像表现为从左下到右上的增长趋势；当 0<a<1 时，对数函数图像表现为从左上到右下的递减趋势。
对数函数的图像具有光滑连续、单调性等特点。
1.3 对数函数的性质（1）对数函数具有唯一性，即不同的底数 a 决定了不同的对数函数。
（2）对数函数具有对称性，即logₐx 和logₐ(1/x) 关于 y 轴对称。
（3）对数函数具有换底公式，即logₐx = logₐy / logₐa。
二、对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，涵盖了数学、科学、经济等领域。
下面将介绍对数函数在几个具体应用中的作用。
2.1 对数函数在指数运算的求解中的应用对数函数可以用来解决指数运算中的未知数问题。
例如，求解方程a^x = b，可以通过将其转化为logₐ b = x 的形式，从而利用对数函数求得未知数 x 的值。
2.2 对数函数在复利计算中的应用复利是指在一定时间内，资金按一定利率计算利息后再加入本金中进行下一次利息计算的方式。
对数函数可以用来计算复利的增长速度和时间。
例如，利息年限为 t 年，复利率为 r，本金为 P 元，则最终金额为 P(1+r)^t。
借助对数函数，可以求解出复利率 r 或者时间 t。
2.3 对数函数在数据处理中的应用对数函数在数据处理过程中起到重要的作用。
例如，在统计学中，经常会遇到数据范围过大时难以直观表示的问题。
对数函数的性质与应用课件
函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数函数相 除时，其对应的对数值也相除。
详细描述
设函数$f(x) = log_a(x)$和$g(x) = log_a(x)$，若$f(x) / g(x) = log_a(x) / log_a(x) = log_a(frac{1}{x})$，则对数函数 的除法性质成立。
对数在数学中有着广泛的应用，例如 在求解复合函数、反函数、幂函数等 问题时，对数函数可以提供一种简便 的解决方法。
在几何学中，对数函数可以用于研究 几何图形的面积、体积等方面的问题 。
在数学分析中，对数函数可以用于研 究函数的单调性、奇偶性、周期性等 性质，以及求解函数的极限、导数和 积分等。
对数在物理中的应用
图像的平移与伸缩
要点一
总结词
对数函数图像的平移和伸缩规律是重要的数学性质。
要点二
详细描述
对数函数图像的平移规律包括向上或向下平移，伸缩规律 则包括横向和纵向的拉伸或压缩。这些变换规律可以通过 代数表达式来描述，并应用于解决实际问题。
图像的对称性分析
总结词
对数函数图像的对称性分析有助于理解函数的性质。
在金融领域中，对数函数还可以用于评估投资组合的风险 和回报率，以及制定投资策略和资产配置方案等。
04
对数函数与其他函数的关 系
对数函数与指数函数的关系
互为反函数
对数函数和指数函数是一对互为反函 数的函数，即如果有一个对数函数f(x) = log(a)(x)，那么它的反函数就是指 数函数f^(-1)(x) = a^x。
性质关系
对数函数和幂函数之间有一些重要的性质关 系，例如对数函数的换底公式和幂函数的乘 法法则等。这些性质关系在对数函数和幂函
对数函数的性质及其应用教学设计
对数函数的性质及其应用教学设计一、对数函数的性质1.对数函数的定义：对数函数是指以其中一正数为底的对数，记作y=loga(x)，其中x>0，a>0且a≠12.基本性质：（1）当x=1时，loga(1)=0；（2）当x=a时，loga(a)=1；（3）当0<x<1时，loga(x)<0；（4）当a>1时，loga(x)随着x的增大而增大，即loga(x1)<loga(x2)，其中x1<x2>1；（5）当0<a<1时，loga(x)随着x的增大而减小，即loga(x1)>loga(x2)，其中x1<x2>1；（6）对数函数的图像上升的势头比幂函数缓慢。
3.换底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c>0且a、b、c≠14.对数函数的逆函数：反函数为y=a^x，又称为指数函数。
1.教学目标：（1）了解对数函数的定义及其基本性质；（2）掌握对数函数的换底公式；（3）理解对数函数与指数函数的关系；（4）掌握对数函数在实际问题中的应用。
2.教学重点：（1）对数函数的定义及其基本性质；（2）对数函数的换底公式；（3）对数函数在实际问题中的应用。
3.教学内容与教学活动：教学内容一：对数函数的定义及其基本性质教学活动一：导入活动引导学生回顾指数函数的定义及其性质，并通过探究问题的方式引入对数函数的概念。
教学活动二：讲解对数函数的定义及其基本性质通过讲解，介绍对数函数的定义及其基本性质，并对性质进行演示和证明。
教学活动三：练习活动以简单的计算题为例，让学生通过计算来巩固对对数函数的定义及其基本性质的掌握。
教学内容二：对数函数的换底公式教学活动一：讲解换底公式的概念及其推导过程通过讲解，介绍换底公式的概念及其推导过程，并进行一些例题的演示。
教学活动二：练习活动让学生通过计算题来巩固对换底公式的掌握，并培养解决实际应用问题的能力。
高中数学-对数函数性质的应用
对数函数性质的应用一．对数函数的定义域、值域例1、求函数)35(log 21-=x y 的定义域。
解：由题意，得0)35(log 21≥-x ，结合对数函数的图像与性质，得1350≤-<x ， 解得5443≤<x ，所以函数)35(log 21-=x y 的定义域为}.5443|{≤<x x 点评：本题的易错点是注意了被开方数要大于等于0，却忽略了对数函数本身的定义域。
求解对数型复合函数的问题时，应该首先保证对数的真数大于0.二．对数函数的单调性对数函数的单调性受底数a 的制约，所以当题目中关于对数函数的底数的条件仅仅是“a>0且1≠a ”时，就要注意对底数进行分类讨论。
例2、)1(log )(++=x a x f a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 解：（1）当a>1时，2log )1()(max a a f x f +==，11log )0()(0min =+==a a f x f ，所以a a a =++12log ，所以a ＝21，不合题意，舍去； （2）当0<a<1时，11log )0()(0max =+==a a f x f ，2log )1()(min a a f x f +==，所以a a a =++12log ，所以a ＝21，故选B. 点评：对于对数函数的底数，要根据单调性的不同，分a>1和0<a<1两种情况讨论。
三．对数函数的图像过定点（1，0）根据01log =a （a>0且1≠a ）可知，对数函数的图像经过定点（1，0）例3、若函数112log -+=x x y a（a>0且1≠a ）的图像过定点P ，则点P 的坐标为________. 解：当1112=-+x x ，即x ＝－2时，y ＝0，故点P 的坐标为（－2，0）. 点评：对复合函数112log -+=x x y a （a>0且1≠a ），内层函数112-+=x x μ就是外层函数μa y log =的自变量，因为外层函数的图像过定点（1，0），所以令1=μ，得x 的值，从而得复合函数经过的定点。
对数函数的计算与应用
对数函数的计算与应用一、引言对数函数是数学中重要的一类函数，在很多实际问题中都有广泛应用。
它可以用来描述指数增长、解决指数方程以及进行数据压缩等。
本文将介绍对数函数的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算。
常用的对数函数有自然对数函数（以e为底）和常用对数函数（以10为底）。
对数函数有以下几个重要性质：1. 对数函数的定义：对于任意正数a、b（a≠1），b^x=a成立的充分必要条件是x=loga(b)，其中loga(b)表示以a为底b的对数。
2. 对数函数的性质：a) loga(1)=0，即任何底数对数函数的1的对数都是0。
b) loga(a)=1，即任何底数对数函数的底数的对数都是1。
c) loga(b*c)=loga(b)+loga(c)，即底数为a的对数函数满足对数运算的乘法法则。
d) loga(b/c)=loga(b)-loga(c)，即底数为a的对数函数满足对数运算的除法法则。
e) loga(b^c)=c*loga(b)，即底数为a的对数函数满足对数运算的幂运算法则。
三、对数函数的计算方法对数函数的计算可以通过计算器或计算软件进行，也可以手动计算。
以下是常用对数函数的计算方法：1. 自然对数函数的计算：自然对数函数（以e为底）可通过计算器或软件使用ln函数进行计算。
例如，ln(2)≈0.693。
2. 常用对数函数的计算：常用对数函数（以10为底）可以通过计算器或软件使用log函数进行计算。
例如，log(100)=2。
3. 其他底数对数函数的计算：对于其他底数的对数函数，可以使用换底公式进行计算。
换底公式为loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c为任意正数。
例如，计算log5(25)，可以使用换底公式将其转化为常用对数函数：log5(25)=log10(25)/log10(5)。
四、对数函数的应用对数函数在许多实际问题中有重要的应用。
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教材：对数函数性质的应用
目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。
过程：
一、复习：对数函数的定义、图象、性质 二、例一 求下列反函数的定义域、值域：
1．4
12
1
2
-
=
--x y
11≤≤-x
1- 2．=y 解：∵2x R 从而3．=y 51<<x 由- ∴ 95402≤++-≤x x
从而 29log )54(log 3
123
1-=≥++-x x 即：值域为2-≥y
4．)(log 2
x x y a --=
解：要使函数有意义，必须： 02>--x x ①
0)(log 2
≥--x x
a ②
由①：01<<-x
由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x
当10<<a 时 必须 12≤--x x R x ∈
综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 1)(m ax 2=
--x x ∴102≤
--<x x
∴log 例二 1．log
.0 解： ∵ ∴ 2．.0log
解： ∵ ∴ 3．1.0log
1.0log
2
.03
.0和
解： 03
.0log
11.0log
1
.03
.0>=
02
.0log
11.0log
1
.02
.0>=
∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0>
例三 已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = 试比较)()(x g x f 和的大小。
解：4
3log
)()(x
x g x f x
=-
1︒ 当341431>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>x x x 或 ⎪⎩
⎪
⎨⎧<<⇒<<<<10143010x x x 时 )()(x g x f >
2︒ 当
3
414
3=
=x x 即时 )()(x g x f =
3︒
0⎧>x ⎧<<x 10)()x g <
)()x g =
例四
1y (21x ∵2x ∴183222--x x 183121-->x x 又底数12
10<<
∴012<-y y 12y y < ∴y 在),6(+∞上是减函数。
三、作业：《课课练》 P86 9 P87 “例题推荐” 1 2 3
P88 “课时练习” 8 9。