创优课堂秋数学人教B必修1练习：第29课时 换底公式与自然对数 含解析
创优课堂秋数学人教B必修1练习：第课时 函数的零点 含解析
第20课时函数的零点课时目标1.理解函数零点的定义，会判断函数零点的存在及零点的个数．2．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．3．了解零点与方程根的关系．识记强化1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．一般地，函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根的个数相等．3．函数f(x)的图象与x轴有公共点叫这个函数有零点，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标．4．如果函数f(x)在给定区间[a，b]上是连续不间断的，且在两个端点处的函数值f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间(a，b)上至少有一个零点．5．如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案：A解析：由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无公共点，故选A.2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则函数的零点个数是()A．1 B．2C．0 D．无法确定答案：B解析：∵Δ＝b 2－4ac ，ac ＜0，∴Δ＞0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个根，∴函数f (x )有两个零点．3．函数f (x )＝x 2－3x ＋1的零点之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C4．已知偶函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案：B 解析：由函数f (x )的性质，易知f (－2)＝0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．由图象可知函数f (x )有两个零点．5．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和16B ．1和－16C.12和13 D ．－12和 3 答案：B解析：∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a 2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1，∴g (x )的零点为1和－16，故选B. 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)2(x ＞0)，若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 解析：根据f (－4)＝0，f (－2)＝－2，易求得，b ＝5，c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4(x ≤0)2(x ＞0)，所以当x ≤0时，方程f (x )＝x 为x 2＋4x ＋4＝0，此方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－2，当x ＞0时，x ＝2也是方程f (x )＝x 的解，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________．答案：0，－12解析：由f (x )＝ax ＋b 的零点为2，得2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，则g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax .令－2ax 2－ax ＝0，由题意，知a ≠0，则x ＝0或x ＝－12，则g (x )的零点为0和－12.8．函数y ＝x 2－5x －14的零点为________．答案：－2或7解析：解二次方程x 2－5x －14＝0可得x ＝－2或7.9．已知关于x 的方程x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实根为x 1和x 2，且满足x 2＜32＜x 1，则实数m 的取值范围是________．答案：(－12，72) 解析：关于x 的方程x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实根x 1、x 2满足x 2＜32＜x 1， 设f (x )＝x 2－(2m －8)x ＋m 2－16，则有f ⎝⎛⎭⎫32＜0，即94－(2m －8)·32＋m 2－16＜0，解得{m |－12＜m ＜72}． 三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)分别判断下列函数的零点的个数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2＋6x ＋9；(2)f (x )＝x －1x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0. 解：(1)函数f (x )＝x 2＋6x ＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x 轴有唯一的公共点(－3,0)，所以函数f (x )＝x 2＋6x ＋9有一个零点．(2)令f (x )＝0，得x －1x＝0， 即x 2－1＝0，解得x ＝±1，所以函数f (x )＝x －1x有两个零点． (3)方法一 当x ≥0时，令f (x )＝0，得x ＋1＝0，解得x ＝－1，与x ≥0矛盾；当x ＜0时，令f (x )＝0，得x －1＝0，解得x ＝1，与x ＜0矛盾．所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0没有零点．方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0的图象，如图所示． 因为函数f (x )的图象与x 轴没有公共点，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0x －1，x ＜0没有零点． 11．(13分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x .(1)求f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的零点．解：(1)设x ∈(－∞，0)，则－x ＞0，由题意得f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x ，∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝－x 2－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x ＜0). (2)由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ＝0，x ≥0， 或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＝0，x ＜0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，∴y ＝f (x )的零点分别为－1,0,1. 能力提升12．(5分)若函数y ＝f (x )是偶函数，其定义域为{x |x ≠0}，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案：B解析：由题意可知函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，根据y ＝f (x )是偶函数知该函数在(－∞，0)上也有一个零点，所以选B.13．(15分)如图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少cm ？(精确到0.1 cm)解：(1)盒子是一个底面边长是(15－2x )cm 、高为x cm 的长方体，则y ＝(15－2x )2·x ，这个函数的定义域为(0,7.5)．(2)令y ＝150，则(15－2x )2·x －150＝0，令f (x )＝(15－2x )2·x －150，f (0)＝－150，f (7.5)＝－150，f (4)＝46.①f (0)·f (4)＜0，∴零点x 1∈(0,4)，f (2)＝92，f (2)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,2)，f (1)＝19，f (1)·f (0)＜0，∴x 1∈(0,1)，f (0.5)＝－52，f (0.5)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.5,1)，f (0.75)≈－13.313，f (0.75)·f (1)＜0，∴x 1∈(0.75,1)，同理x 1∈(0.75，0.875)，x 1∈(0.812 5,0.875)，∵|0.875－0.812 5|＝0.062 5＜0.1，∴取x 1≈0.8(cm)．②f (4)·f (7.5)＜0，∴零点x 2∈(4,7.5)，f (4＋7.52)＝f (5.75)≈－79.563，f (5.75)·f (4)＜0，∴x 2∈(4，5.75)，f (4＋5.752)＝f (4.875)≈－15.633，f (4.875)·f (4)＜0，∴x 2∈(4,4.875)．同理x 2∈(4.4375,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.875)，x 2∈(4.656 25,4.765 625)，x 2∈(4.656 25，4.710 937 5)，∵|4.656 25－4.710 937 5|＜0.1，∴取x 2≈4.7(cm)．由①②可知截去的小正方形边长约为0.8 cm 或4.7 cm.。
对数运算法则(同步课件)-2024-2025学年高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第二册)
怎样由这两个式子得到 + ？
(2)由指数运算的法则 = + 能得出对数运算具有什么运算法则？
由指数运算的运算法则可知6+ = 6 × 6 = 3 × 2 = 6，因此 + = 1.
一般地，设 = > 0， = > 0，则 = ， = .
(4)：(2)2 +20
× 5 =
(2)2 +(10
× 2) ×
10
2
= (2)2 +(1 + 2) × (1 − 2) = (2)2 +1 − (2)2 = 1.
例2说明，利用对数运算的运算法则，可以在不求出对数值的前提下，算出一
些含对数的对数式的值.
新知探索
3
例题
例2
计算下列各式的值：
5
(1)4 + 25；(2) 100；(3)2 (47 × 25 )；(4)(2)2 +20 × 5.
解(1)：4 + 25 = (4 × 25) = 100 = 2.
5
1
5
1
5
2
5
(2)： 100 = 100 = 100 = .
23
32
27
×
25
33
=
23
32
，其中
=
.
×
52
33
=
10
.
9
> 0且 ≠ 1， > 0， ∈ ， ∈ 且 ≠ 0.
练习
题型一：对数运算性质的应用
例1.(1)若2 = ，3 = ，则
2+
新人教版高中数学必修第一册换底公式ppt课件及课时作业
反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
跟踪训练1
(1)
log89 log23
的值是
√A.23
B.32
C.1
D.2
方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
lg 9
即lloogg8293＝llgg
83＝23llgg
3 lg 2·lg
32＝23.
lg 2
方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，
B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
√D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y
2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则
跟踪训练2 已知 3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，求 c 的值.
∵3a＝5b＝c，∴c>0， ∴a＝log3c，b＝log5c， ∴1a＝logc3，1b＝logc5， ∴1a＋1b＝logc15. 由logc15＝2得c2＝15， 即 c＝ 15(负值舍去).
三
实际问题中的对数运算
例3 某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初
跟踪训练3 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现
ห้องสมุดไป่ตู้
“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学
者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一
局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据
最接近
3361 10 00052
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.2.2换底公式(带答案)
2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
高一数学必修教学课件第三章换底公式
解决实际问题
增长率问题
在经济学、金融学等领域，经常需要计算增长率。利用换底 公式，可以将连续增长率转化为离散增长率，便于分析和比 较。
音高计算
在音乐领域，音高与频率之间呈对数关系。利用换底公式， 可以将音高转换为以2为底的对数，从而方便计算和分析。
拓展应用领域
工程领域
在工程计算中，经常遇到以不同 底数表示的对数。利用换底公式 ，可以统一底数，简化计算过程
预备知识
01
02
03
对数的定义和性质
学生需要了解对数的定义 、对数的性质和运算法则 ，如对数的乘法、除法、 指数和换底法则等；
指数运算
学生需要掌握指数运算的 基本法则，如指数的乘法 、除法、乘方和开方法等 ；
代数运算
学生需要具备Байду номын сангаас本的代数 运算能力，如代数式的化 简、因式分解、一元二次 方程的解法等。
符号表示的意义
换底公式的符号表示体现了对数运算 的转换关系，通过换底公式可以将不 同底数的对数相互转换，从而简化对 数运算。
03 换底公式应用举 例
简化计算过程
对数运算的化简
利用换底公式，可以将不同底数 的对数转化为相同底数的对数， 从而简化计算过程。
指数运算的化简
通过换底公式，可以将指数运算 转化为对数运算，进一步简化计 算。
。
计算机科学
在计算机科学中，换底公式可用 于算法分析和优化。例如，在排 序算法中，可以利用换底公式将 时间复杂度从O(nlogn)简化为
O(n)。
物理学领域
在物理学中，一些物理量与对数 关系密切相关。利用换底公式， 可以方便地处理这些物理量的计
算和转换。
04 换底公式与对数 运算规则关系
数学人教B版必修1学案：课堂导学 3-2-1对数及其运算第
课堂导学三点剖析一、利用换底公式进行求值【例1】计算:(1)log 1627log 8132;(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83).思路分析：在两个式子中,底数、真数都不相同,因而要用换底公式进行换底便于计算求值. 解：(1)log 1627log 8132=81lg 32lg 16lg 27lg ⨯ =45433lg 2lg 2lg 3lg ⨯=3lg 42lg 52413lg 3⨯g =1615. (2)方法一:(log 32+log 92)(log 43+log 83)=(log 32+9log 2log 33)(8log 3log 4log 3log 2222+) =(log 32+21log 32)(21log 23+31log 23) =23log 32×65log 23=45×2lg 3lg 3lg 2lg ⨯=45. 方法二:原式=()8lg 3lg 4lg 3lg )(9lg 2lg 3lg 2lg (++=)2lg 33lg 2lg 23lg )(3lg 2lg 23lg 2lg (+⨯+=23×3lg 2lg ×65× 2lg 3lg =45. 二、条件求值【例2】已知log 1227=a,求log 616的值.思路分析：此题用换底公式,将log 616换成以12为底的对数,而已知a=log 1227可转化为log 123=3a ,关键是log 122的值,312=22是一个重要转折,∴log 12312=log 1222=2log 122. 解：∵log 1227=a,∴log 123=3a . ∵log 12312=2log 122=1-log 123=13a -, ∴log 122=21(13a -). ∴log 616=6log 16log 1212=3log 2log 2log 4121212+=aa +-3)3(4. 三、恒等式的证明问题【例3】求证:(1)log x ylog y zlog z a=log x a;(2)log n a b n log c a=log c b.思路分析：两题中的对数中,底数都不完全相同,故需用换底公式,由左边向右边的式子“靠近”. 证明:(1)log x ylog y zlog z a=z a y z x y lg lg lg lg lg lg ⨯⨯=xa lg lg =log x a.∴原式成立. (2)log n ab nlog c a=c a a b n n lg lg lg lg ⨯=c a a n b n lg lg lg lg ⨯=c b lg lg =log c b. ∴原式成立.温馨提示在利用换底公式进行计算、化简、证明时,要会正用公式,即从左到右,也要会逆用公式,即从右到左,更要会变用公式,不管怎样用公式,一定要从整体上把握公式的特点,方能用活公式.各个击破类题演练1求值:(1)log 23log 95log 58;(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).解析：(1)原式=5lg 8lg 9lg 5lg 2lg 3lg ∙∙=5lg 2lg 33lg 25lg 2lg 3lg ∙∙=23. (2)原式=(2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3++)(5lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg ++)=5lg 2lg 32lg 35lg 13∙=13. 变式提升1已知log 34log 481log 8m=log 416,求m 的值.解析：由条件知2lg 3lg 2lg 23lg 43lg 2lg 2m ∙∙=2, 2lg 3lg 4m 2,∴2lgm=3lg2. ∴lgm 2=lg8.∴m 2=8.又∵m>0,∴m=22.类题演练2已知log 35=a,求log 1575.解析：log 1575=15log 75log 33=5log 1125log 33++=5log 115log 233++=a a ++112. 变式提升已知log 23=a,log 37=b,求log 4256.解析：∵log 23=a,∴log 32=a 1. ∴log 4256=42log 56log 33=76log 87log 33⨯⨯=7log 6log 8log 7log 3333++=7log 12log 2log 37log 3333+++=b aa b +++113=13+++a ab ab . 类题演练3求证:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m=1. 证明:log m (x+y+a)log (x+y+a)(y+z)log (y+z)m =)lg(lg )lg()lg(lg )lg(z y m a y x z y m a y x +∙+++∙++=1. 变式提升3设x 、y 、z ∈(0,+∞)且3x =4y =36,求证:y x 12+=1. 证明:∵3x =36,4y =36,∴x=log 336，y=log 436. ∴x 1=log 363y1=log 364. ∴x 2+y 1=2log 363+log 364 =log 36(32×4)=1. ∴x 2+y1=1.。
03-4.2 对数与对数函数-4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则高中必修第二册人教B版
（2）［多选题］(2024·山东省淄博市期末)若,,都是正数，且 ,则( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】设,则，， ，，，，所以 ,A错误，B正确.,因为，所以 ，则等号不成立，所以，则 ，C正确.因为，所以 ,D正确.
（3）已知,,,则 的值为___.
（2）(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ，
则有，所以 .
因为，所以，所以 ，所以 .
因为，所以，所以 ，两边同时平方得，所以 .
（1） ；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-3 将下列对数式改写成指数式：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-4 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( )
AB
A. B. C.若,则 D.若,则
知识点3 换底公式
例3-6 ［教材改编P24 T1］ 的值为__.
【解析】 .（【巧解】利用推论三求解： ）
例3-7 (2024·河北省唐山市期中)计算： ( )
B
A. B. C.1 D.2
【解析】原式 .
方法帮丨关键能力构建
题型1 对数的简单运算
例8 化简下列各式：
（1） ;
【解析】原式 .
B
A. B. C. D.
【解析】由对数运算法则可得 .
3.(2024·浙江省杭州市期中)若,则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】因为,所以,,所以, ,则 .
高一数学人教B版必修1课件3.2.1 第3课时《换底公式与自然对数》
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
2．log89· log32 的值为( 2 A. 3 3 C． 2
[答案] A
[解析]
) B．1 D．2
lg9 lg2 2lg3 lg2 2 原式＝lg8· lg3＝3lg2· lg3＝3.
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
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3．已知 log72＝p，log75＝q，则 lg5 用 p，q 表示为( A．pq 1＋pq C. p＋q
[答案] B
)
q B． p＋q pq D． 1＋pq
1 [解析] ∵p＋q＝log72＋log75＝log710＝lg7， lg5 q lg5 q＝log75＝lg7，∴ ＝ · lg7＝lg5. p＋q lg7
第三章
3.2
3.2.1
第3课时
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知能自主梳理 1.换底公式
logaN logab 一般地，logbN＝__________ ，其中b＞0，b≠1，N＞0，a
＞0，a≠1，这个公式称为对数的换底公式． 2．自然对数 以 ______________ e＝2.71828… 为底的对数叫做自然对数， logeN 通常 lnN ． 记作________
成才之路· 数学
人教B版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
基本初等函数(Ⅰ)
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
2019版数学人教B版必修1训练：3.2.1 对数及其运算 Word版含解析.pdf
3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算课时过关·能力提升1若log a =2c ,则a ,b ,c 满足的关系式是( )3b A.a 2c =bB .3a 2c =bC .a 6c =bD .=b a 23clog a =2c ,所以a 2c =,所以(a 2c )3=b ,即a 6c =b.3b 3b2lo 的值等于( )g 33127A.B .-C .6D .-63232=lo 3-3=log 33=6.g 33127g3-12-3-123若ln x-ln y=a ,则ln -ln 等于( )(x 2)3(y 2)3A. B.a C. D.3a a 23a 2-ln =3=3(ln x-ln 2-ln y+ln 2)=3(ln x-ln y )=3a.(x 2)3(y 2)3(ln x 2-ln y 2)4已知lg 2=a ,lg 3=b ,则log 36等于( )A. B. C. D.a +b aa +b b a a +b b a +b,得log 36=.lg6lg3=lg (2×3)lg3=lg2+lg3lg3=a +b b5在对数式log a-4(6-a )中,实数a 的取值范围是( )A .a>6或a<4B .4<a<6C .4<a<5或5<a<6D .4<a<5故4<a<6,且a ≠5.{6-a >0,a -4>0,a -4≠1,6已知f (x )=lg x ,若f (ab ) =,则f (a 2)+f (b 2)等于( )13A. B. C. D.13231929f (ab )=,可得lg(ab )=,故f (a 2)+f (b 2)=lg a 2+lg b 2=lg a 2b 2=2lg ab=2×.131313=237如果关于lg x 的方程lg 2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2·lg 3=0的两根为lg x 1,lg x 2,那么x 1·x 2的值为( )A.lg 2·lg 3 B.lg 2+lg 3C. D.-616,得lg x 1+lg x 2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg .16∵lg x 1+lg x 2=lg(x 1·x 2),∴lg(x 1·x 2)=lg ,∴x 1·x 2=.16168已知x>0,且x ≠1,log x =-4,则x= .116log x =-4,116∴x -4=.116∴x 4=16=24.∵x>0,且x ≠1,∴x=2.9计算(0.008 1-10×0.02+lg -lg 25= .)-1471314=-10×+lg -3-2=-.1033101100=1035310已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m+n = .log a 2=m ,log a 3=n ,∴a m =2,a n =3.∴a 2m+n =(a m )2·a n =22×3=12.11已知正数a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2.求证:log 2+log 2=1.(1+b +c a )(1+a -c b )=log 2+log 2a +b +c a a +b -c b =log 2(a +b +c )(a +b -c )ab=log 2(a +b )2-c 2ab=log 2a 2+b 2-c 2+2ab ab=log 22=1=右边,所以原式成立.★12已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2-x+m=0的两个根,而关于x 的方程x 2-(lg a )x-(1+lg a )=0有两个相等的实数根,求实数a ,b 和m 的值.,得{lg a +lg b =1,lg a ·lg b =m ,(lg a )2+4(1+lg a )=0.①②③由③,得(lg a+2)2=0,故lg a=-2,即a=.1100代入①,得lg b=1-lg a=3,即b=103=1 000.代入②,得m=lg a ·lg b=(-2)×3=-6.故a=,b=1 000,m=-6.1100★13设a>0,a ≠1,x ,y 满足log a x+3log x a-log x y=3,用log a x 表示log a y ,并求出当x 为何值时,log a y 取得最小值.,得log a x+3·=3,1log a x ‒log a y log ax 整理得lo x+3-log a y=3log a x ,g a 2于是log a y=lo x-3log a x+3=.g a 2(log a x -32)2+34故当log a x=,即x=时,log a y 取最小值.32a 3234。
人教版高中数学必修一《对数与对数运算》课时达标及答案
《换底公式》课时作业1．log 49343等于( ) A ．7 B ．2 C.23 D.32答案 D解析 log 49343＝lg343lg49＝3lg72lg7＝32.2．log 29×log 34＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3.log 89log 23＝( ) A.23 B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析 原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A.4．log 2353可以化简为( ) A ．log 25 B ．log 52 C ．log 85 D ．log 2125答案 A5．若log 23·log 3m ＝12，则m ＝( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．1答案 B解析 ∵log 23·log 3m ＝log 2m ＝12，∴m ＝2 12＝2，故选B.6．若f (e x )＝x ，则f (5)等于( ) A ．log 5e B ．ln5 C ．e 5 D ．5e答案 B7．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B8．设a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1 答案 A解析 原式＝3log 32－2(1＋log 32)＝a －2. 9．log 24＋log 33＝________. 答案 92解析 原式＝log 24log 22＋log 3312＝212＋12＝92.10．2513log 527＋4log 1258＝________. 答案 2 30411．若a >0，a 23 ＝49，则log 23 a ＝________.答案 312．若4a ＝25b ＝10，则1a ＋1b ＝________.答案 213.(log 32)2－log 34＋1＋log 94＝________. 答案 114．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________.(用p ，q 表示) 答案q p ＋q解析 方法一：lg5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q.方法二：⎩⎨⎧lg2lg6＝p ，lg5lg6＝q ⇒{ 1－lg5＝p lg6，lg5＝q lg6⇒lg5＝qp ＋q .15．若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________． 答案316．计算下列各式的值． (1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)； (2)log 2732·log 6427＋log 92·log 427.解析 (1)原式＝(log 32＋12log 32)×(12log 23＋13log 23)＝32log 32×56log 23＝54.(2)原式＝53log 32×36log 23＋12log 32×12log 2332＝56＋12log 32×34log 23＝56＋38＝2924. 17．已知log 142＝a ，用a 表示log27.解析 方法一：∵log 142＝a ，∴log 214＝1a .∴1＋lo g 27＝1a .∴log 27＝1a －1.∴log 27＝log 27log 22＝log 272.∴log 27＝2log 27＝2(1a －1)＝2(1－a )a .方法二：log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a ，∴2＝a (log 27＋2)，即log 27＝2(1－a )a. 方法三：log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22)＝2(1a －1)＝2(1－a )a .1．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y ＝( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3答案 A解析 ∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， ∴1x ＝log 1 0002.5，1y＝log 1 0000.25. ∴1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13，故选A. 2．log 43·log 13 432＝________.答案 －58解析 原式＝log 43·(－14log 332)＝－14×log 432＝－14×log 2225＝－14×52＝－58. 3．lg9＝a,10b ＝5，用a ，b 表示log 3645为________． 答案a ＋b a －2b ＋2解析 由已知b ＝lg5，则log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg4＋lg9＝a ＋b a ＋2lg2＝a ＋b a ＋2(1－b )＝a ＋b a －2b ＋2.4．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．解析 方法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二：原式＝(lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8)(lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125)＝(3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2)(lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5)＝(13lg53lg2)(3lg2lg5)＝13.5．已知2x ＝3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值．解析 ∵x ＝log 23，y ＝12(log 28－log 23)，∴x ＋2y ＝log 23＋3－log 23＝3.6．已知lg 87＝a ，lg 5049＝b ，用a ，b 表示lg2，lg7.解析 ∵lg 87＝a ，∴3lg2－lg7＝a .①∵lg5049＝b ，∴2－lg2－2lg7＝b .② 由①②可得lg2＝2a －b ＋27，lg7＝6－a －3b7.《对数函数的概念、图像和性质》课时作业1．函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域为( ) A ．(1,3) B ．(－∞，3) C ．(1,2)∪(2,3) D ．(－∞，1)答案 C解析 由{ x －1>0，x －1≠1，3－x >0，得1<x <3且x ≠2，故选C. 2．log 43，log 34，log 3443的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 34 43B ．log 34>log 43>log 34 43C ．log 34>log 34 43>log 43D ．log 34 43>log 34>log 43答案 B解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 3443<0，∴选B.3．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵log a 23<1＝log a a ，当a >1时，⎩⎨⎧a >1，23<a ，得a >1；当0<a <1时，⎩⎨⎧0<a <1，23>a ，得0<a <23.综上，选D.4．如图，曲线是对数函数y ＝lo g a x 的图像，已知a 的取值有43，3，35，110，则相应c 1，c 2，c 3，c 4的a 的值依次是( )A.3，43，110，35B.3，43，35，110C.43，3，35，110D.43，3，110，35 答案 B解析 利用例2中关于图像的结论，亦可用特殊值法，例如令x ＝2，则比较log 43 2，log 32，log 35 2，log 1102的大小．5．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a ，b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( ) A ．b >a >1 B ．a <b <1 C ．a >b >1 D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0， ∴a ，b ∈(1，＋∞)且b >a ，∴选A.6．设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．R <Q <P B ．P <R <Q C ．Q <R <P D ．R <P <Q 答案 A解析 P >1,0<Q <1，∵0<log 32<1， ∴log 2(log 32)<0，∴P >Q >R .7．若0<a <1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图像不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵y ＝log a (x ＋5)过定点(－4,0)且单调递减， ∴不过第一象限，选A.8．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132 D.15lg2答案 D解析 令x 5＝2，∴x ＝2 15. ∴f (2)＝lg2 15 ＝15lg2，故选D.9．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)答案 A10．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ≥12，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 答案 A11．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图像只可能是( )答案 A12．函数y ＝log a (x －2)＋3(a >0且a ≠1)恒过定点______． 答案 (3,3)13．比较大小，用不等号连接起来． (1)log 0.81.5________log 0.82； (2)log 25________log 75； (3)log 34________2； (4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>14．求不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集．解析 ∵{ 2x －1>0，－x ＋5>0，2x －1<－x ＋5，得12<x <2.∴不等式的解集为{x |12<x <2}．15．求函数y ＝2－xlg (x ＋3)的定义域．解析 要使函数有意义，必须且只需{ 2－x ≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即{ x ≤2，x >－3，x ≠－2.∴－3<x <－2或－2<x ≤2.∴f (x )的定义域为(－3，－2)∪(－2,2]． ►重点班·选做题16．函数y ＝log 2x 和y ＝lo g 124x 的图像关于直线( )对称( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．y ＝1D ．y ＝－1答案 D17．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝______. (lg2≈0.301 0) 答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m . ∴m －1＜154.12＜m ，∴m ＝155.1．已知f (x )＝1＋lg(x ＋2)，则f －1(1)的值是( ) A ．1＋lg3 B ．－1 C ．1 D ．1＋lg2 答案 B2．求下列函数定义域． (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．思路点拨 (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.解析 (1)由{ x －2>0，x －3≠0，得x >2且x ≠3. ∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4x >0x ＋1>0x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4x >－1x ≠0，解得－1<x <0或0<x <4. ∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．。
换底公式高一数学总结练习含答案解析D
2.2.2 换底公式一、对数的概念1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0且a≠1),那么数x叫作①的对数,记作②,其中a叫作对数的③,N叫作对数的④.2.常用对数与自然对数(1)通常我们将以⑤为底的对数叫作常用对数,记作⑥.(2)以e=2.718 28…为底的对数称为⑦对数,记作⑧.3.对数的基本性质(1)对数式与指数式的互化:a x=N⇔⑨;(2)底数的限制:a>0且a≠1;(3)负数和0没有对数;(4)1的对数是⑩:loga1=0;(5)底数的对数是:logaa=1;(6)对数恒等式:a log a N=,b=logaa b.二、对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=;(2)loga MN=;(3)logaM n=.三、换底公式(1)logab=(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0);(2)lo g a n b n=;(3)lo g a n b m=;(4)loga b·logbc·logcd=;(5)loga b·logba=.一、对数运算性质的应用1.(2013四川,11,5分,★☆☆)lg√5+lg√20的值是. 思路点拨逆用对数的运算性质求值.2.(2011四川,13,4分,★★☆)计算(lg14-lg25)÷100-12= .3.(2011湖北,15,5分,★★☆)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.二、换底公式的应用4.(2014四川,7,5分,★☆☆)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c5.(2013陕西,3,5分,★☆☆)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )A.loga b·logcb=logca B.logab·logca=logcbC.loga (bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac思路点拨根据对数的运算性质及换底公式判断.6.(2010辽宁,10,5分,★☆☆)设2a=5b=m,且1a +1b=2,则m=( )A.√10B.10C.20D.100一、选择题1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e0=1与ln 1=0B.8-13=12与log 812=-13 C.log 39=2与912=3 D.log 77=1与71=7 2.化简5log 25(lg 22+lg 52)的结果是( )A.lg 15 B.lg 5 C.lg 215 D.lg 253.计算log 225·log 32√2·log 59的结果为( ) A.3 B.4 C.5 D.64.设lg 2=a,lg 3=b,则log 512=( ) A.2a+b1+a B.a+2b1+a C.2a+b 1-aD.a+2b 1-a5.若lg a,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根,则(lg a b )2的值等于( ) A.2 B.12 C.4 D.14 二、填空题 6.设函数f(x)=ax -12,且f(lg a)=√10,则a 的值组成的集合为 .7.化简2723-2log 23×log 218+2lg(√3+√5+√3-√5)的结果为 . 三、解答题8.已知log 95=m,3n =7,试用含m 、n 的式子表示log 359.一、填空题1.(2015东北师大附属中学期末,★★☆)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则x+3y= . 2.(2014山东济南月考,★☆☆)代数式11-x +lg(1+x)中x 的取值范围是 . 3.(2014江苏兴化期中调研,★★☆)计算:eln 3+lo g √39+0.125-23= .4.(2013江苏盐城一中训练,★★☆)若lo g 155=a,log 3b=2,则b-a= .二、解答题5.(2014河北玉田林南仓中学月考,★☆☆)计算: lg 70-lg 56-3lg12.6.(2014四川攀枝花期末,★☆☆)求值:(1)(log43+log89)(log32+log98);(2)(279)+0.1-1+lg150-lg 2+(17)-1+log75.知识清单①以a 为底N ②x=log a N ③底 ④真数 ⑤10 ⑥lg N ⑦自然 ⑧ln N ⑨x=log a N ⑩0 1 Nlog a M+log a Nlog a M-log a Nnlog a Mlog c b log calog a bm nlog a b log a d 1链接高考1.答案 1解析 lg √5+lg √20=lg √100=lg 10=1. 2.答案 -20解析 原式=lg (14×125)÷(102)-12=lg 10-2÷10-1=-20.3.答案 6;10 000解析 A=1 000=103,A 0=0.001=10-3, M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A 1,A 2,则lg A 1-9=lg A 2-5,得lg A 1-lg A 2=4,即lg A1A 2=4,∴A1A 2=10 000.4.B log 5b=a,b>0,故由换底公式得lgblg5=a,∴lg b=alg 5.∵lg b=c,∴alg 5=c,又∵5d=10,∴d=log 510,∴1d =lg 5,将其代入alg 5=c 中得ad =c,即a=cd. 5.B log a b·log c a=log a b·1log ac =log a blog ac =log c b,故选B.6.A 由已知得,a=log 2m,b=log 5m,则1a +1b =1log 2m +1log5m=log m 2+log m 5=log m 10=2,∴m=√10,故选A.基础过关一、选择题1.C 选项C 中,log 39=2化成指数式为32=9.2.B 5log 25(lg 22+lg 52)=5log 25(lg22+lg5-lg2)=5log 25lg 25=5log 5lg5=lg 5.3.D 原式=lg25lg2·lg2√2lg3·lg9lg5=2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5=6. 4.C log 512=lg12lg5=2lg2+lg31-lg2=2a+b1-a .5.A 依题意得lg a+lg b=2,lg a·lg b=12,故(lg a b )2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×12=2. 二、填空题6.答案 {10,√1010} 解析 f(lg a)=alga -12=√10,可得(lga -12)lg a=lg √10=12,解得lg a=1,或lg a=-12,所以a=10或a=√1010. 7.答案 19解析 原式=9-3×(-3)+lg (√3+√5+√3-√5)2=18+lg 10=19. 三、解答题8.解析 由3n =7,得n=log 37,又m=log 95=log 35log 39=12log 35,∴log 35=2m,∴log 359=log 39log 335=2log37+log 35=2n+2m.三年模拟一、填空题 1.答案 1解析 由题意得lg 2x +lg 23y =lg(2x ×23y )=lg 2x+3y =lg 2, ∴x+3y=1.2.答案 (-1,1)∪(1,+∞)解析 由{1-x ≠0,1+x >0,得x>-1且x≠1.3.答案 11 解析 eln 3+lo g √39+0.125-23=3+4+(12)-2=11.4.答案 10解析 由lo g 155=a,log 3b=2得(15)a=5,32=b,所以a=-1,b=9, 所以b-a=10. 二、解答题5.解析 lg 70-lg 56-3lg 12 =lg 7056-lg 18=lg (7056×8)=lg 10=1.6.解析 (1)原式=(12log 23+23log 23)(log 32+32log 32)=76×52×log 23×log 32=3512. (2)原式=1+10-2+75=525.。
高中数学人教B版必修一3.2.1《换底公式》word教案
理解换底公式
小结
3分
换底公式的运用
共同回答
板书设计
课题
换底公式例
作业训练
作业训练：
1． 对应的指数式是（）.
A. B. C. D.
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）.
A. B.
C. DB. 0.01 C. 100 D. 1000
学科：数学
课题：3.2.1换底公式
教学目标（三维融通表述）：
通过讲解学生掌握换底公式，会运用换底公式进行灵活运算
教学重点：对换底公式的理解及应用
教学难点：运用换底公式进行灵活运算
教学过程
教学环节
问题与任务
时间
教师活动
学生活动
新课讲解
典型例题分析
理解对数的换底公式
会运用换底公式计算
8分钟
34分钟
引导学生理解换底公式
4．设 ，则底数x的值等于（）.
A. 2 B. C. 4 D.
5.计算（1） （2） ；（3）
（4） （5） （6）
6.已知
7．已知 ,则 的值等于（）.
A. 1 B. 2 C. 8 D. 12
8.化简 的结果是（）.
A .1 B. C. 2 D.3
10.已知 ，求 的值。
11．已知 试用a, b表示log365
反思
1.对数换底公式是： ______________，
特别地换成以10为底时， 换成以e为底时，
2.推论：(1)倒数公式: ，(2) ，(3)
引导学生用换底公式计算，讲解运用公式的思路
例1.求值：（1）
（2）
（3）
（4）
例2.求证（1）
人教B版高中数学必修一第29课时.docx
高中数学学习材料唐玲出品第29课时 换底公式与自然对数课时目标1.掌握换底公式及其推导证明．2．了解自然对数及其表示．3．能用换底公式进行对数式的化简、求值、证明．识记强化1．换底公式log b N ＝log a N log a b ，推论(1)log a mb n ＝nm log a b (2)log a b ＝1log b a .2．以无理数e ＝2.718 28……为底的对数叫自然对数，log e N 记作ln N ；ln N 2.302 6lg N .课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．下列等式中错误的是( )A ．log a b ·log b a ＝1B ．log c d ＝1log d cC ．log c d ·log d f ＝log c fD ．log a b ＝log b clog a c答案：D2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9 B.19C.125 D ．25答案：C解析：log 513·log 36·log 6x ＝2，∴－lg3lg5·lg6lg3·lg xlg6＝－lg xlg5＝2.即log 5x ＝－2，∴x ＝5－2＝125. 3．若log 37·log 29·log 49m ＝log 412，则m 等于( ) A.14 B.22C. 2 D ．4答案：B解析：左边＝lg7lg3·2lg3lg2·lg m 2lg7＝lg m lg2； 右边＝－lg22lg2＝－12，所以lg m ＝－12lg2， 所以m ＝2－12＝22. 4．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a答案：C解析：由换底公式可知：log 512＝lg12lg5＝lg (3×4)lg 102＝lg3＋lg41－lg2＝lg3＋2lg21－lg2＝2a ＋b 1－a . 5．若，则n 的值所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－2)C ．(1,2)D ．(2,3)答案：D解析：，利用换底公式得n ＝lg 12lg 13＋lg 15lg 13，整理得n ＝lg 12＋lg 15lg 13＝lg 110lg 13＝－1－lg3＝log 310，而log 39<log 310<log 327，故n ∈(2,3)． 6．以下四个数中的最大者是( )A ．(ln2)2B ．ln(ln2)C ．ln(2)D ．ln2答案：D解析：因为e>2，所以0<ln2<1，所以0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0，ln 2＝12ln2，故ln2最大．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．计算log 9427的值为________．答案：38解析：log 9427＝lg 433lg9＝＝34lg32lg3＝38. 8．若log 23·log 36m ·log 96＝12，则实数m 的值为________．答案：4解析：∵log 23·log 36m ·log 96＝lg3lg2·lg m lg36·lg6lg9＝lg m 4lg2＝14log 2m ＝12，∴log 2m ＝2，∴m ＝4. 9．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2且f ⎝⎛⎭⎫12011＝4，则f (2011)＝________.答案：0解析：解法一：由f (12 011)＝a log 212 011＋b log 312 011＋2＝4， 得－a log 22 011－b log 32 011＝2，∴a log 22 011＋b log 32 011＝－2.∴f (2 011)＝a log 22 011＋b log 32 011＋2 ＝－2＋2＝0.解法二：f (1x )＋f (x )＝a log 21x ＋b log 31x＋2＋a log 2x ＋b log 3x ＋2＝4. ∴f (x )＝4－f (1x)． 于是f (2011)＝4－f (12011)＝0. 三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)若2a ＝3,3b ＝5，试用a 与b 表示log 4572. 解：∵2a ＝3,3b ＝5，∴log 23＝a ，log 35＝b ，∴log 25＝log 23·log 35＝ab ，∴log 4572＝log 272log 245＝log 2(23×32)log 2(32×5)＝3＋2log 232log 23＋log 25＝3＋2a 2a ＋ab. 11．(13分)计算(lg3)2－lg9＋1×(lg 27＋lg8－lg 1 000)lg0.3×lg1.2的值． 解：原式＝(lg3)2－2lg3＋1×(32lg3＋3lg2－32)(lg3－1)×(lg3＋2lg2－1)＝(1－lg3)×32(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)×(lg3＋2lg2－1)＝－32. 能力提升12．(5分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，3x ， x ≤0，则 f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19的值是( ) A ．9 B.19C ．－9D ．－19答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，f (－2)＝3－2＝19. 13．(15分)设a ＞0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．解：由换底公式，得log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3， 整理，得(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ，∴log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34. ∴当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值34.。
人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)
2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
高中数学人教B版必修一练习：3.2.1 对数及其运算 第2课时 积、商、幂的对数与换底公式
第2课时积、商、幂的对数与换底公式【选题明细表】1.log89·log32的值为( A )(A)(B)1 (C)(D)2解析:log89·log32=lo32·log32=×·=,故选A.2.(2018·北京西城期末)若log2a+lo b=2,则有( C )(A)a=2b (B)b=2a(C)a=4b (D)b=4a解析:log2a+lo b=2,即log2a-log2b=2,所以log2=2,即=4,即a=4b,故选C.3.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么( C )(A)x=a+3b-c (B)x=(C)x=(D)x=a+b3-c5解析:因为lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg ,所以x=,选C.4.计算4log6+log64的结果是( B )(A)log62 (B)2(C)log63 (D)3解析:4log6+log64=log69+log64=log636=2.故选B.5.若log5·log36·log6x=2,则x= .解析:原式=··=2,即-=2,所以log5x=-2,所以x=5-2=.答案:6.(2018·河南洛阳期中)计算:(lg -lg25)÷10+= .解析:(lg -lg 25)÷10+=-(lg 4+lg 25)÷+7×=-2×10+7×2=-6.答案:-67.(2018·四川雅安中学期中)如果方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2,那么x1x2的值为( C )(A)lg 2lg 3 (B)lg 2+lg 3(C) (D)-6解析:因为方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2, 所以lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3),lg x1·lg x2=lg 2·lg 3,所以lg(x1x2)=-lg 6=lg 6-1,x1x2=.故选C.8.(2018·吉林长春联考)若log545=a,则log53等于( D )(A)a (B)a-1(C)(D)解析:因为log545=a=log5(5×9)=log55+log532=1+2log53,所以log53=.故选D.9.(2018·辽宁大石桥期末)已知log29=a,b=log25,则log275用a,b表示为( C )(A)2a+2b (B)2a+b(C)a+2b (D)(a+b)c解析:因为log29=a,所以log23=,所以log275=log2(5×15)=log25+ log2(3×5)=log25+log23+log25=2log25+log23=a+2b,故选C.10.(1)已知6a=27,求log1618;(2)已知log310=a,log625=b,求log445.解:(1)因为6a=27,所以a=log627==,解得log23=,所以log1618==(log22+log29)=(1+2log23)==.(2)a=log310=log32+log35, ①b=log625==, ②由①②解得所以log445====.11.设log a c,log b c是方程x2-3x+1=0的两根,求lo c的值. 解:由根与系数的关系,得将上式化为以c为底的对数,得故log c a+log c b=3,log c a·log c b=1,所以(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=5,所以lo c===±.。
2019-2020年高中数学第29课时3.2.1对数(II)教学案新人教版必修1
2019-2020年高中数学第29课时3.2.1对数(II)教学案新人教版必修1
教学目标：1、进一步熟悉对数的运算性质；掌握对数的换底公式和恒等公式；
2、会用换底公式和恒等公式进行简单的化简与证明.
重点：对数的换底公式和恒等公式及其应用.
难点：对数的换底公式和恒等公式及其应用.
一、复习引入
1、对数的运算性质；对数恒等式：
2、换底公式
二、例题分析
例1、试用常用对数表示.
例2、（1）求的值；（2）求的值.
例3、已知，，试用表示.
例4、设，求的值.
例5、设，且，求证：.
三、随堂练习
1、给出下列等式：
（1）；（2）；（3）；（4）；
其中正确的是 .
2、若，则等于
3、若，则用表示为
4、已知4771.03lg ,3010.02lg ==，则
5、
6、若21log
log 9log 7log 44923=⋅⋅a ，则 7、用换底公式求值：
（1） （2）8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432⨯⨯⨯⨯⨯.
8、已知，求.
9、计算：.
10、设c b a ===84lg ,63lg ,54lg ，试用表示.
四、回顾小结
1、对数的换底公式和恒等公式及其应用.
2、指导学生阅读课本P61-62例8、例9.。
数学人教B版必修1学案3.2.1 对数及其运算 Word版含解析
对数及其运算．对数的概念在指数函数＝(＞，且≠)中，对于实数集内的每一个值，在正实数集内都有唯一确定的值和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值，在内都有唯一确定的值和它对应．因此，在式子＝中，幂指数又叫做以为底的对数．例如：因为＝，所以是以为底的对数；因为＝，所以是以为底的对数；因为，所以－是以为底的对数．以为底的对数一般地，对于指数式＝，我们把“”记作≠)．其中，数，即＝(＞，且读作叫做对数的底数，叫做真数，“等于以为底的对数．”对数的定义可以从以下三个方面来理解：()对数式＝是指数式＝的另一种表达形式，其本质相同．对数式中的真数就是指数式中的幂值，而对数式中的对数就是指数式中的指数，对数式与指数式中各个量的关系如图所示．()对于对数式＝，只有在＞，且≠，＞时才有意义．①当＜，为某些数值时，不存在，如(－)＝没有实数解，所以(－)不存在，为此，规定不能小于，并且由指数函数的定义也可知不能小于.②当＝，且≠时，不存在，为此，规定≠.③当＝，且不为时，不存在，如不存在；而＝，＝时，可以为任何实数，不能确定．为此，规定≠.④在＝中，必须＞.这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而在＝中，总是正数；和负数没有对数．【例－】．＝．＝．＝．＝解析：由于＝＝，则＝＝.答案：【例－】解析：()＝＝；()＝＝；()＝＝.答案：() ＝；()＝；()＝.【例－】求下列各式中的值：()()＝；()＝；()＝.解：()∵()＝，∴＝.∴＝＝.()∵＝，∴＝.∴＝＝＝.()∵＝，∴＝.∴＝.∴＝，即.．对数恒等式与对数的性质()根据对数的定义，可得对数恒等式.例如等．需注意，当幂的底数和对数的底数相同时，对数恒等式才适用．()根据对数的定义，对数(＞，且≠)具有下列性质：①零和负数没有对数，即＞；②的对数为，即＝；③底的对数等于，即＝.【例】已知[()]＝，那么等于( )．．．．解析：由[()]＝，得()＝，∴＝，∴＝＝.∴.答案：．常用对数与自然对数()以为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底数略去不写，并把“”写成“”，即把记作 .①以后如果没有特别指出对数的底，都是指常用对数．例如：的对数是，就是指的常用对数是，即＝.②常用对数的性质：(ⅰ) ＝；(ⅱ) ＝；(ⅲ)＝(＞)．()以为底的对数叫做自然对数(其中＝…)．通常记作 .自然对数有如下性质：①＝；②＝(＞)．【例】有以下四个结论：①( )＝；②( )＝；③若＝，则＝；④若＝，则＝.其中正确的是( )．①③．②④．①②．③④答案：．对数的运算法则如果＞，且≠，＞，＞，那么：()()＝＋.对于()，又可表述为：正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和(简言之：积的对数等于对数的和)．此性质可以推广到若干个正因数的积：(··…·)＝＋＋…＋.()＝－.对于()，又可表述为：两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数(简言之：商的对数等于对数的差)．()α＝α.对于()，又可表述为：正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．由()可推出对数的几个常用结论：①＝；②＝－；③＝，其中＞，，∈＋，，＞.谈重点牢记对数运算法则及其成立的条件．要把握好对数运算法则及其成立的条件，特别是经常将对数的加减乘除与真数的加减乘除混淆．注意：。
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第29课时 换底公式与自然对数
课时目标
1.掌握换底公式及其推导证明．
2．了解自然对数及其表示．
3．能用换底公式进行对数式的化简、求值、证明．
识记强化
1．换底公式log b N ＝log a N
log a b ，推论(1)log a mb n ＝n
m log a b (2)log a b ＝1
log b a .
2．以无理数e ＝2.718 28……为底的对数叫自然对数，log e N 记作ln N ；ln N
2.302 6lg N .
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列等式中错误的是( )
A ．log a b ·log b a ＝1
B ．log c d ＝1
log d c
C ．log c d ·log d f ＝log c f
D ．log a b ＝log b c
log a c
答案：D
2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )
A ．9 B.1
9
C.1
25 D ．25
答案：C
解析：log 513·log 36·log 6x ＝2，∴－lg3lg5·lg6lg3·lg x lg6＝
－lg x
lg5＝2.
即log 5x ＝－2，∴x ＝5－2＝1
25.
3．若log 37·log 29·log 49m ＝log 412，则m 等于( )
A.1
4 B.2
2
C. 2 D ．4
答案：B
解析：左边＝lg7
lg3·2lg3
lg2·lg m
2lg7＝lg m
lg2；
右边＝－lg2
2lg2＝－12，所以lg m ＝－1
2lg2，
所以m ＝2－12＝22
. 4．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( )
A.2a ＋b 1＋a
B.a ＋2b 1＋a
C.2a ＋b 1－a
D.a ＋2b 1－a
答案：C
解析：由换底公式可知：log 512＝lg12lg5＝lg (3×4)lg 102
＝lg3＋lg41－lg2＝lg3＋2lg21－lg2＝2a ＋b 1－a . 5．若，则n 的值所在的区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－3，－2)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
答案：D
解析：，利用换底公式得n ＝lg 12lg 13＋lg 15lg 13，整理得n ＝lg 12＋lg 15lg 13＝lg 110lg 13
＝－1
－lg3
＝log 310，而log 39<log 310<log 327，故n ∈(2,3)． 6．以下四个数中的最大者是( )
A ．(ln2)2
B ．ln(ln2)
C ．ln(2)
D ．ln2
答案：D
解析：因为e>2，所以0<ln2<1，所以0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0，ln 2＝12
ln2，故ln2最大．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．计算log 9427的值为________．
答案：38
解析：log 9427＝lg 433lg9＝＝34lg32lg3＝38
. 8．若log 23·log 36m ·log 96＝12
，则实数m 的值为________． 答案：4
解析：∵log 23·log 36m ·log 96＝lg3lg2·lg m lg36·lg6lg9＝lg m 4lg2＝14log 2m ＝12
，∴log 2m ＝2，∴m ＝4. 9．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2且f ⎝⎛⎭⎫12011＝4，则f (2011)＝________.
答案：0
解析：解法一：由f (12 011)＝a log 212 011
＋b log 312 011
＋2＝4， 得－a log 22 011－b log 32 011＝2，。