常见概率分布特征总结
常用概率分布
k k
2、二项分布出现阳性次 数至少为k次的概率为： n! P( X k ) P( X ) X (1 ) n X X k X k X !( n X )!
正态分布：有两个参数
1、位置参数
:描述正态分布的集中趋
势位置。 2、形态参数 ：描述正态分布的离散 程度。 越小，分布越集中，曲线越 “瘦高”； 越大，分布越离散，曲线 越“肥胖”。 记为N（ ， 2），表示均数为，标 准差为的正态分布 见图4-5。
-6
μ1
-5
-4
-3
同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白；
实验中的随机误差等。
因此，通过正态曲线下面积的分布规律：
概括地估计变量值的频数分布； 用于了解某个体值在其所属群体中占据 何种位置。
例
如：
已知某地120名20岁男大学生身高均数
＝172.90cm，标准差s=4.09cm。
（1）身高在182cm以上者占该地20岁男
则0.51～＋∞的面积为0.3050 区间（－1.93，1.51）的面积: p＝1－0.0268－0.3050＝0.6682 身高在165～175cm者占该地20岁男大学生的66.82%。
（3）求80%的男大学生身高集中在哪个范围？
大学生总数的百分数？ （2）身高在165－175cm者占该地20岁男 大学生总数的百分数？ （3）该地80%的男大学生身高集中在 哪个范围？
（1）已知身高
X ＝172.9cm
A、先做标准正态变换：
3.概率分布的特征
SX4
例3-7
某销售商汽车销售量由X表示，为了解每 天销售汽车数量，随机抽取了10天，每天 分别销售9，11，11，14，13，9，8，9， 14，12。 则 样本均值为：？？？ 样本方差为：？？？
如果我们再随机抽取一次，你认为，所得 到的样本均值与样本方差会一样吗？
二、条件期望值
•条件概率/条件概率分布/条件概率密度
•条件数学期望
三、方差：离散程度的度量
概念：随机变量取值偏离数学期望点的累积， 度量了随机变量X的取值与其期望值或均值的偏 离程度。所以，方差越大意味着随机变量变化 的区间越宽。 定义：随机变量与其期望偏差的平方的平均
一般地记Var(X)为
方差的平方根称为标准差(Standard deviation, s. d.) 例3-4 掷骰子若干次，得到期望值为3.5,求其方 差，具体见下表。
n
X
Xi n
i 1
2.样本方差
n
S X 2 i 1
( Xi X )2 n1
3.样本协方差 4.样本相关系数
Cov( X
,Y
)
( Xi X )(Yi Y
n1
)
( Xi X )(Yi Y ) /(n1) r SX SY
5.样本偏度 6.样本峰度
( Xi X )3 /(n1) s SX3
因此，方差为2.9167。标准差为1.7078。
数学期望与方差的图示
随机变量的概率分布
方差的性质
切比雪夫不等式
计算随机变量X落入某个区间的概率.
例3-5 杭电小卖部每天上午7-8点平均卖出100个肉松 蛋糕，方差为25，问：在这个时间段，卖出90-110 个肉松蛋糕的概率为多少？ 解：P(90=<X<=110)=P(|X-100|<=10)>=1-1/4 =0.75
常用的概率分布类型其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E（X）=nd/NX的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1x=0，1，……，nX的期望 E（X）=npX的方差 D（X）=np（1-p）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
概率分布基础之离散总结
概率分布基础之离散总结概率分布是描述随机变量可能取值的可能性的数学模型。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可数个数值的概率分布。
本文将对离散概率分布进行基础总结，包括离散概率分布的定义、特征以及常见的离散概率分布模型。
一、离散概率分布的定义离散概率分布是指在一定条件下，随机变量取不同离散数值的概率分布。
它由两部分组成：随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
概率必须满足两个条件：非负性和概率和为1。
二、离散概率分布的特征1. 概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）：离散概率分布的概率质量函数是指随机变量取各个离散数值的概率。
它是一个非负函数，对于任意一个可能的取值k，概率质量函数P(k)表示随机变量取值为k的概率。
2. 期望值（Expectation）：离散概率分布的期望值是指随机变量的加权平均值，权重即为每个取值的概率。
期望值可以理解为在大量重复实验中，随机变量的平均取值。
3. 方差（Variance）：离散概率分布的方差是指随机变量取值与期望值之间的差异程度。
方差越大，随机变量的取值相对较分散；方差越小，随机变量的取值相对较集中。
三、常见的离散概率分布模型1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散概率分布模型，描述了只有两个可能结果的随机试验。
例如，抛硬币的结果只有正面和反面两种可能，每种可能的概率为p和1-p。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种多次伯努利试验的概率分布模型。
在n次独立重复试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布描述了成功次数的概率分布。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布是用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布模型。
泊松分布适用于事件间独立且发生概率很小的情况，例如单位时间内发生的交通事故数、电话呼叫数等。
常见概率分布总结
x 2πσ2
x≥0
λe−λx，x ≥ 0，λ > 0
xα−1 e−x/β Г α βα
x ≥ 0，α > 0，β > 0
kλ k k−1
! xk−1e−kλx
xn /2−1 2n /2 Г n/2
e−x/2，x
≥0
μ
——
1 λ αβ 1 λ n
μ2
——
1 λ2
2
αβ 1 kλ2 2n
ejμω−μ2ω2/2
x σ2
e−(x 2 +a 2 )/2σ 2
I0
ax σ2
−∞ < ������ < ∞，a> 0
2 Гm
m Ω
m x2m−1 e(−m/Ω)x2
x>0
α α+β
——
σπ
2
1 + r I0
r 2
+
， rI1
r 2
e−r/2
r = a2/2σ2
Г m + 1/2 Ω
Гm
m
αβ α+β 2 α+β+1
∞
rq
pr
p2
1 − qejω
rq p2
N2 − 1 12
pr ejω − q
ej
N +1
ω/2
sin Nω/2 sin ω/2
C 协方差矩阵
e jm ut −uC ut /2
—— (1 − jω/λ)−1 (1 − jωβ)−α (1 − jω/kλ)−k (1 − j2ω)−n/2
韦伯分布
αx β −1 e−α x β /β x ≥ 0，α > 0，β > 0
概率分布的特征与计算
概率分布的特征与计算概率分布是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的取值和其对应概率的关系。
概率分布的特征包括均值、方差、偏度和峰度等，在统计学和实际应用中有着重要的作用。
本文将介绍概率分布的特征以及如何计算它们。
一、概率分布的特征1. 均值：概率分布的均值是衡量随机变量取值集中趋势的指标。
对于离散型随机变量，均值的计算公式是E(X) = Σ(xP(x))，其中 x 为随机变量的取值，P(x) 为对应取值的概率。
对于连续型随机变量，均值的计算公式是 E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中 f(x) 为概率密度函数。
2. 方差：概率分布的方差衡量随机变量取值的离散程度。
方差的计算公式为 Var(X) = E((X-E(X))^2)，其中 E(X) 为随机变量的均值。
3. 偏度：概率分布的偏度描述了分布曲线的对称性。
偏度为0表示分布为对称分布，大于0表示分布右偏，小于0表示分布左偏。
计算偏度的公式为 Skewness = E((X-E(X))^3)/(Var(X))^1.5。
4. 峰度：概率分布的峰度衡量了分布曲线的陡峭程度。
峰度大于3表示分布尖峭，峰度小于3表示分布平坦。
计算峰度的公式为 Kurtosis = E((X-E(X))^4)/(Var(X))^2。
二、概率分布的计算1. 二项分布：二项分布用于描述在 n 次重复且相互独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
计算二项分布的均值的公式是 E(X) = np，方差的公式是 Var(X) = np(1-p)，其中 n 为试验次数，p 为每次试验成功的概率。
2. 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
计算泊松分布的均值和方差的公式都是λ，其中λ 表示单位时间或单位面积内事件平均发生次数。
3. 正态分布：正态分布是自然界中常见的分布，也称为高斯分布。
正态分布的均值、方差、偏度和峰度都具有特定的数值。
均值为μ，方差为σ^2，偏度为0，峰度为3。
概率分布知识点归纳总结
概率分布知识点归纳总结一、概率分布的基本概念1. 随机变量随机变量是指对随机现象的结果进行数量化时，所得的变量。
它反映了随机现象的数量特征，可以是离散变量或连续变量。
离散变量是只能取有限个或可数多个数值的变量，如掷骰子所得点数；连续变量是在某个区间内可以取任意值的变量，如身高、体重等。
2. 概率函数概率函数描述了随机变量取值的概率情况，它可以分为离散型概率函数和连续型概率函数。
离散型概率函数通常用概率质量函数（PMF）表示，它表示了随机变量取各个可能值的概率；连续型概率函数通常用概率密度函数（PDF）表示，它表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
3. 概率分布概率分布是指随机变量在各个取值上的概率分布情况。
离散概率分布可以通过概率质量函数来描述，连续概率分布可以通过概率密度函数来描述。
概率分布具有一些重要的性质，如和为1、非负性等。
二、常见的概率分布1. 离散概率分布（1）① 二项分布二项分布描述了n次独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
（2）② 泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数，k为事件发生的实际次数。
（3）③ 几何分布几何分布描述了第一次成功发生的概率分布，即在多次独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中k为首次成功所需的试验次数，p为成功的概率。
2. 连续概率分布（1）① 正态分布正态分布是统计学中最重要的分布之一，它在自然界和人类社会中都有广泛的应用。
它的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2 * σ^2))，其中μ为期望值，σ为标准差。
概率论 常用统计分布
由中心极限定理得
n
lim P {
n
2 n n
2n
x}
x
lim P{ i 1
n
2 X i n
n
x}
1 2
t2 e 2 dt
即 2分布的极限分布是正态 分布，也即当 n
很大时，
2 n n
2n
2 服从N (0,1), 进而 n N ( n,2n).
Y12
Y22
~ 2 ( 2)
则C1 1 2 , C2 1 4 .
2. t 分布 历史上，正态分布由于其广泛的应用背景 和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布”， 在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻 的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验 数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认 识，我们知道在总体均值和方差已知情况下， 样本均值的分布将随样本量 增大而接近正态分布,
n
x
1 2
e dt .
t2
2
2 证 由假设和定义5.6, n X i2 , 其中X 1 , X 2 ,, X n i 1
2 2 2 独立且每个X i ~ N (0,1),因而X1 , X2 ,, X n 独立同分布,
且
E( X i2 ) 1, D( X i2 ) 2 (i 1,2,, n)
(3) T的数字特征
E (T ) 0,
n D(T ) n2
( n 2).
例3 设总体X和Y相互独立, 且都服从N（0,9）
X 1 , X 2 ,, X 9和Y1 ,Y2 ,,Y9来自总体X ,Y的样本，
求统计量T的分布，其中
T Xi /
常见统计分布及其特点
附录一常见分布汇总一、二项分布二项分布Binomial Distribution,即重复n次的伯努利试验Bernoulli Experiment,用ξ表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是;二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np;通常当n≧10,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算;2、特点——期望和方差均为λ;3、应用固定速率出现的事物;——在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客,以固定的平均瞬时速率λ或称密度随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间面积或体积内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X的分布函数Fx=x-a/b-a,a≤x≤b则称随机变量X服从a,b上的均匀分布,记为X~Ua,b;四、指数分布Exponential Distribution1、概念2、特点——无记忆性1这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害;2无记忆性当s,t≥0时有PT>s+t|T>t=PT>s 即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等;3、应用在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normal distribution1、概念2、中心极限定理与正态分布说明了正态分布的广泛存在,是统计分析的基础中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;有限的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布;3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在;4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础定理一：设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n——总体方差常常未知,用t分布较多六、χ2卡方分布与方差有关chi-square distribution1、概念若n个相互独立的随机变量ξ、ξ、……、ξn ,均服从标准正态分布也称独立同分布于标准正态分布,则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布chi-squaredistribution,其中参数n称为注意假设随机干扰项呈正态分布;因此,卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来;用RSS/δ2,所得的变量就是标准正态分布,就服从卡方分布;2、卡方分布的特点1分布的为自由度 n,记为 E = n;这个容易证明2分布的为2倍的自由度2n,记为 D = 2n;3如果互相独立,则：独立可加减服从分布,自由度；服从分布,自由度为3、图形特点4、应用定理二,设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n1正态分布以及卡方分布是F检验的基础;大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验;七、t学生分布用样本方差s来标准化——Student'st-distribution1、概念适用于δ2未知理解把样本标准正态化的U变换前提是方差已知,但总体方差是未知的,所以用样本方差来代替总体方差;根据中心极限定理,抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布;由于在实际工作中,往往σ是未知的,常用s作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换,统计量t 值的分布称为t分布u变换指把变量转换为标准正态分布思考为什么样本方差比总体方差要小因为一个是总体方差,一个是样本均值的方差;不同2、特点1与标准正态分布曲线相比,自由度v 越小,t 分布曲线愈平坦,曲线中间愈低,曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大,t 分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度v=∞时,t 分布曲线为标准正态分布曲线;定理三：设X1,X2,X3.;;Xn 是来自正态总体N μ,δ2的样本,则有样本均值X~N μ,δ2/n,S 为样本方差 ）（μ1-n t ~n /S X 注意S 是样本方差;中心极限定理说的是样本均值的方差;八、F 分布F-distribution1、概念F 分布定义为：设X 、Y 为两个独立的随机变量,X 服从自由度为k1的卡方分布,Y 服从自由度为k2的卡方分布,这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2、特点1它是一种非对称分布；2它有两个自由度,即n1 -1和n2-1,相应的分布记为F n1 –1, n2-1, n1 –1通常称为分子自由度, n2-1通常称为分母自由度；3F 分布是一个以自由度和为参数的分布族,不同的自由度决定了F 分布的形状;4F 分布的性质：5残差平方和之比通常与F分布有关;九、逻辑分布logistic分类评定模型——最早应用最广的离散选择模型1、概念2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模;在生物统计和经济领域使用;Logistic 分布由尺度和位置参数描述;Logistic 分布没有形状参数,也就是说其概率密度函数只有一个形状;下列图形显示了不同参数值对 Logistic 分布的效应;尺度参数的效应位置参数的效应Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似,但 Logistic 分布的尾部更长;十、伽马分布1、概念——伽玛分布Gamma Distribution是统计学的一种连续概率函数;Gamma分布中的参数α称为形状参数shape parameter,β称为scale parameter;假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为特征函数为伽马分布的可加性当两随机变量服从Gamma分布,且单位时间内频率相同时,Gamma数学表达式若随机变量X具有概率密度其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α,β的伽马分布,记作Gα,β.九、extreme value distribution 极值分布十、DF分布与ADF分布——用于时间序列平稳性的单位根检验;八、pareto分布十、weibull分布。
概率分布及其特征
概率分布及其特征概率论是数学中一门极为重要的学科，它与统计学紧密相关，是科学研究中经常用到的一种方法。
在概率论中，概率分布是一个非常重要的概念。
概率分布是指随机变量可能取到的各个取值及其发生的概率。
在本文中，我将深入探讨概率分布及其特征。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量只会取到一系列离散值，比如整数值或字符值。
对于离散型概率分布，我们通常使用概率质量函数来表示。
概率质量函数的作用是描述一个离散型随机变量的所有取值及其对应的概率。
通常用P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于离散型概率分布，概率质量函数具有以下两个特征：1.0<=P(X=x)<=1。
每个特定值的概率不会大于1或小于0。
2.所有P(X=x)之和等于1。
所有可能的离散值的概率之和为1。
即∑P(X=x)=1。
常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量可能取到的所有值都在某个区间内，而不是离散的特定值。
对于连续型概率分布，我们通常使用概率密度函数来表示。
概率密度函数的作用是描述连续型随机变量在一个区间内可能取到的所有值的分布情况。
通常用f(x)表示在x处的密度函数值。
对于连续型概率分布，概率密度函数具有以下两个特征：1.密度函数值大于等于0。
任何给定的x值的概率密度函数值必须大于等于0。
因为概率密度函数表示概率在某个范围内的值的概率大小。
2.区间内所有密度函数值的积分等于1。
概率密度函数描述的是区间中所有可能的值的密度，因此在该区间内所有密度函数值的积分必须等于1。
常见的连续型概率分布包括正态分布、指数分布、均匀分布等。
三、期望期望是概率分布的一个重要特征，它表示随机变量在一组样本中所期望的平均值。
期望可以是一个数值，也可以是一个随机变量。
以离散型概率分布为例，期望可以表示为：E(X)=∑x P(X=x)×x其中，P(X=x)代表随机变量X等于x的概率。
心理统计学05-概率分布及集中常用概率分布特征
np, npq
正态分布
• 正态分布曲线函数 • 图像
f (x)
e 1
2
( x u)2
2 2
N(μ，0.25)
N(-2，1)
N(0，1)
N(2，1)
N(μ，1)
平均数不同，标准差相同 记作X～N(μ,σ2)
N(μ，2.25) 平均数相同，标准差不同
正态分布——应用
• 假定500个学生某科成绩分布接近于正态分布N（70,100）， 问：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于 65和80分之间有多少人？
概率等于1
概率介于（0,1）之间
概率等于0
概率：事件出现可能性大小的数字描述，在[0,1]之间取值
概率定义——后验（经验）概率
• 设随机事件A在相同的条件下进行的n次试验中发生了n次A ，
• •
则当件称nA趋在fnn /(A于该nA是)无条事穷件nnA件大下A时发在该生这数的n次值概试将率验稳。中定即发在：生一的个频常数数，上记，成这一常数称。为事
用概率差求介于65分与80分之间的人数 500x0.5328=266.4≈266人
正态分布——应用
• 某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75，σ ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班”重点 培养，假定测验成绩近似正态分布，问多少分以上才能被 选到“尖子班”学习？
• 解 求25名学生比例：25/1000=0.025=2.5%
0.5180 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
概率定义——先验（古典）概率
• 满足以下两个条件
•
每次试验中所有可能出现的结果的个数是有限的；
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
简单样本的概率分布
简单样本的概率分布在统计学中，概率分布是描述随机变量取值概率的数学表达方式。
对于简单样本的概率分布，我们通常指的是连续型随机变量的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
这些分布形式在各种应用场景中都有广泛的应用，例如金融、生物、医学等领域。
一、简单样本的概率分布概念简单样本的概率分布是指从一个总体中随机抽取若干个样本，每个样本具有相同的概率分布形式。
通常，我们抽取的样本数量越多，样本的概率分布就越接近总体概率分布。
因此，简单样本的概率分布可以用来估计总体的概率分布。
二、常见的简单样本概率分布1.正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，其概率密度函数呈钟形曲线。
正态分布在自然界和人类社会中广泛存在，如人类的身高、考试分数等都呈现出正态分布的特点。
正态分布的数学表达式为：f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ21e−2σ2(x−μ)2其中，μ是均值，σ是标准差。
2.泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布在物理学、生物学、经济学等领域都有应用。
泊松分布的数学表达式为：P(X=k)=λke−λP(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}P(X=k)=k!λke −λ其中，λ是泊松分布的参数，表示单位时间内随机事件发生的平均次数。
3.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，常用于描述随机试验中成功的次数。
例如，抛硬币试验、扔骰子等都可以用二项分布来描述。
二项分布的数学表达式为：P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−kP(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}P(X=k)=knpk(1−p)n−k 其中，CnkC_n^kCnk表示组合数，即从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合方式数；p 是每次试验成功的概率；n 是试验次数。
第4章 几种常见的概率分布
6. 正态分布的单双侧临界值
面积为，已知 上侧临界值 P(U> u )= α ，下侧临界值 P (U <- u )= α (附表 3 上侧临界值)
若将一定曲线下面积α，平分到两侧尾区，则每侧曲线下面积为α/2,
即 P(
U U 2
)=
α,
U 这时的
U
2
称为α的双侧临界值。
面积为，已知
u 称为的上侧临界值。 附表3 （256页）给出了u的值。
N(0，1)
x=0 时，φ(x) 达到最大值
(1) 关于点（0，0.5）对称，该点也
是它的拐点
(2)x 取值离原点越远，φ (x) 值越小 (2) 曲线以 y = 0 和 y = 1 为渐近线；
(3)关于 y 轴对称，即φ(x)= φ (- x)
(3) Ф(1.960)－Ф(－1.960) = 0.95
种变量有它各自的概率而组成一个分布。这个分布就叫做二项概率分布，或简称二项分布
（binomial distribution) 由此得到计算二项分布任何一项概率的通式为：p(x) =Cnx φ
x(1- φ)n-x
二项分布是一种离散型随机变量的概率分布
性质
n
Cnx x (1 )nx 1
x0
m
一指定时间范围内或在指定的面积或体积内某一事件出现的个体数的分布 泊松分布是一种离散型随机变量的概率分布
实例 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形数，共记录 200 窝， 畸形仔猪数的分布情况如下表所
示。试判断畸形仔猪数是否服从泊松分布。 畸形仔猪数统计分布
解：根据泊松分布的平均数与方差相等这一特征，若畸形仔猪数服从泊松分布，则由观察数 据计算的平均数和方差就近于相等。样本均数和方差 S2 计算结果如下：
常用概率分布的特征及应用
常用概率分布的特征及应用概率分布是概率论中的重要概念之一，用于描述随机变量的可能取值及其对应的概率。
在实际应用中，常用的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
本文将介绍常用概率分布的特征及其应用。
一、离散型分布1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，用于描述只有两个可能结果的随机试验。
伯努利分布的特征是每次试验只有成功和失败两种结果，成功的概率记为p，失败的概率记为1-p。
伯努利分布的应用场景包括投硬币正反面、赌博游戏的胜负等。
2. 二项分布二项分布是由n次独立的伯努利试验组成，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
二项分布的特征是试验成功的次数服从参数为n 和p的二项分布。
二项分布的应用场景包括统计调查、质量抽样检验等。
3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间（或单位面积、单位长度等）内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布的特征是事件发生的平均次数λ，该分布的概率可以通过泊松定理计算得出。
泊松分布的应用场景包括电话呼线、交通事故发生、网站访问量等。
二、连续型分布1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型分布，用于描述随机变量在一个区间内取值的概率分布。
均匀分布的特征是在给定区间内每个取值的概率相等。
均匀分布的应用场景包括随机数生成、题库出题等。
2. 正态分布正态分布也被称为高斯分布，其特征是呈钟形曲线分布，对称轴是均值。
正态分布的应用非常广泛，包括量化投资、质量控制、IQ测试等。
3. 指数分布指数分布描述了连续时间之间的等候时间。
其特征是呈右偏态分布，逐渐递减至零。
指数分布的应用场景包括网络传输延迟、设备寿命等。
4. 法雷分布法雷分布用于描述极端事件的概率分布。
其特征是呈右偏态分布，尾部的概率密度函数迅速递减。
法雷分布的应用场景包括金融风险评估、天灾风险预测等。
总结：以上介绍了常用的概率分布以及它们的特征和应用。
离散型分布主要用于描述随机试验的结果，如伯努利分布、二项分布和泊松分布；而连续型分布则用于描述随机变量值的分布，如均匀分布、正态分布、指数分布和法雷分布。
常见概率分布表(超全总结)
指数分布 （负指数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
n
2n
χ2 分布
������ 2 (������)
������ ≥ 1
f(x) = {
2n⁄2 Γ(������⁄2) 0 ,
������ ≥ 1
������ > 0
均匀分布
U(a, b)
a<b
K=0,1,2,… 1 , ������ < ������ < ������ f(x) = {������ − ������ 0, 其它 f(x) = 1 f(x) = {√2������������������ 1 √2������������ ������ ������ −(������−������)
非中心χ 分布
2
������ f(x) = {
������+������ −( 2 ) ∞
������ (������, ��� 0
2������⁄2
������ 2+������−1 ������������ ∑ ������ , (������ > 0) 2������ ������=0 Γ (2 + ������) 2 ������! 0 , 其它
逆高斯分布
N (μ, λ)
−1
λ, μ > 0
Γ分布
连 续 型
(伽玛分布)
Γ(������, ������)
������, ������ > 0
1 ������ ������−1 ������ −������⁄������ , ������ > 0 f(x) = {������ ������ Γ(������) 0 , 其它 1 −������ ������ ������ , ������ > 0 f(x) = { ������ 0 , 其它 1 ������ 2 −1 ������ −2 , ������ > 0 其它
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
数据概率分布：分析概率分布
数据概率分布：分析概率分布数据概率分布是统计学中重要的概念，用于描述数据在不同取值上的分布情况。
通过对数据的概率分布进行分析，可以揭示数据的特征和规律，对未知数据进行预测和判断。
本文将介绍概率分布的基本概念、常见的概率分布类型以及如何进行概率分布分析。
一、概率分布的基本概念概率分布是指在一组数据中，每个数据取某个特定值的概率。
概率分布可以用概率密度函数或累积分布函数来表示。
其中，概率密度函数描述了连续型随机变量在某个取值附近的概率分布情况，而累积分布函数描述了随机变量取某个值以下的概率。
二、常见的概率分布类型1. 正态分布正态分布是最常见的概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布的特点是对称且呈钟形曲线，大多数数据集都近似遵循正态分布。
正态分布可以由均值和标准差完全描述。
2. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间内某个随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的特点是概率随时间的增长呈指数衰减，且事件之间是独立发生的。
3. 二项分布二项分布适用于描述重复进行相同随机试验，每次试验有两个可能结果的概率分布。
二项分布的特点是概率相等，每次试验相互独立。
4. 均匀分布均匀分布是指在一定区间内所有取值具有相同的概率分布。
均匀分布的特点是取值概率相等，且不受前一次试验结果的影响。
三、概率分布分析方法1. 统计描述通过计算数据的均值、标准差等统计指标，可以揭示数据的整体特征和分散程度。
均值可以用于描述数据的集中趋势，标准差可以用于描述数据的离散程度。
2. 概率图概率图是一种用来展示数据分布情况的图表。
常见的概率图包括直方图、散点图和箱线图等。
直方图可以直观地展示数据在不同取值上的分布情况；散点图可以用于显示两个变量之间的关系；箱线图可以显示数据的分位数、离群值等信息。
3. 假设检验假设检验是通过对已知数据进行推断，来验证某种假设是否成立的统计方法。
常用的假设检验方法有Z检验、T检验和卡方检验等，可以用于验证数据是否符合某个特定的概率分布，或者对两组数据的差异进行比较。
概率分布的特征值
2 二项分布的数学期望值和方差
若X～B(n,p)
P( X k ) Cnk pk qnk
E( X ) Cnk pk qnk np( p q)n1 np
D( X ) E( X 2 ) E( X )2
k 2Cnk pk qnk n2 p2
npq
3
设X服从正态分布，其概率密度为
统计学
概率分布的特征值
一、数学期望值及其性质
教学资源
1 离散型随机变量的数学期望
设X是离散型随机变量，X取x1，x2…xk…，相应的概率 为p1，p2…pk，…，若级数∑xipi绝对收敛，则称级数 ∑xkpk为随机变量X的数学期望，记为 E (X)=∑xkpk
数学期望简称期望或均值。 由定义可知，数学期望被看作是随机变量的可能取值与
E(X1±X2±…±Xn)=E(X1)±E(X2)±…± X(Xn)
对于n个相互独立的随机变量X1，X2，…， Xn，有 E(X1，X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)
概率分布的特征值
二、方差及其性质
教学资源
1 方差的定义
设X是一个随机变量，E 若X E(X )2
存
在，则称其为X的方差，记作D(X)或
其相应的概率作为权数的一个加权平均数。
2 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X的概率密度为 f（X），
若积分
xf (x)dx
绝对收敛，则随机变量X的
数学期望E(XE)(为X )
xf (x)dx
这就是说，连续型随机变量X的期望是它的概率密度f（x） 与实数x的乘积在无穷区间（-∞，+∞）上的广义积分。
f (x)
1
1( x )2
e 2 , 0,
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设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密பைடு நூலகம்函数 在[a，b]上为常数 ，即
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
a≤x≤b
0，x<a，
1，x>b。
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为
。
指数分布
,
0, ,
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
X的分布函数为
,
x<0。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量 的密度函数为
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
。。
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
常见概率分布特征总结
八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
。