三相交流电知识
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（4）五次谐波：
2 2
2
i
R 10Ω
u
L 0.05 H C 22.5 µF
1 Z 5 = R + 5ω L − = 51.2 Ω 5ωC 1 5ωL − 5ωC = 78.8o (电感性) ϕ 5 = arctg R
图5-10 RLC串联电路对 非正弦电压的响应
I 5m
U5m = = 0.39 A Z5
= A0 + ∑ Akm Sin (kω t + ψ k )
k =1 ∞
式中 Akm = Bkm + C km
2 2
1 2π A0 = ∫0 f (ωt )dωt 2π 1 2π C km = ∫ f (ωt )Coskωtdωt
C km ψ k = arctg Bkm 1 2π Bkm = ∫ f (ωt )Sinkωtdωt
例6-1 对于图6-2的电路，试确定开关S闭合后的初始瞬 间电压 uc , uL 和电流iL , ic , iR 及 is 的初始值。假设S闭合前电路 已处于稳态。
10 mA
iS
u
iR
iC
1 KΩ C
解：电路分析： S闭合前 瞬间，直流恒流源电流仅 流经R支路与L支路，电容
2 KΩ
S
iL 2 KΩ
π
ω
图5-4 矩形波频谱图 （令Um=1)
对于图5-5所示开关函数，同样可以分解为 1 2 2 2 K 1 (ωt ) = + Cosωt − Cos 3ωt + Cos 5ωt + L 2 π 3π 5π 1 ∞ 2 n −1 Cos (2 n − 1)ω t K (ωt ) = + ∑ (− 1) (2n − 1)π 2 n =1 1
当开关由位置1变为位置2时，电容上的电荷同样需要一 个积累过程，是电源U0的电能向电容C逐步充电，最终达到 第二种稳定状态。与电容元件相似 ，作为储能元件的电感， 其上的能量同样不能突变。
i
2
U
S
R
uR
1
u1
C u2
图6-1
二、换路定则 开关位置的变动，电路的接通，切断等统称为换路。 设t=0为换路瞬间，以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+ 表示换路后的初始瞬间。从t=0-到t=0+瞬间，电感元件中的电 流不能跃变，电容元件上的电压不能跃变，这称为换路定则， 用公式表示，即： iL ( 0− ) = i L ( 0+ ) （6-1） uC ( 0 − ) = uC ( 0 + ) 换路定则仅适用于换路瞬间，根据换路定则可以确定t=0+时 电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。 三、初始值的确定 ) 步骤如下：1.由t=0-的电路求出 i L ( 0 − )或 uC ( 0 − 。 2.根据式（6-1）及t=0+的电路，求出其他电 压和电流的初始值。
例5-1 已知图5―10输入电压u为非正弦周期电压 u = 40 + 180 Sin ω t + 60 Sin (3ω t + 45 o ) + 20 Sin (5ω t + 18 o ) V 基波角频率 ω = 2π × 50 rad S ，求电路响应（电流i)。 解：运用叠加原理 （1）直流分量：因为电路有电容元件，故直流响应电流I0=0
线电压（火线与火线之间的电压） U l = 3 × 220V = 380V ，其相 量关系如图3-2所示。 U
l • •
Up 30
o
2. 负载的联接
图 3-2
如果电器设备属于单相制，额定电压为220V时，应接在火线 与中线之间，额定电压为380V，则应接在火线与火线之间。 当电器设备采用三相制时（如三相电机等），设备的三个端 第（36）页
i
R
当开关S处于2的位置，电路最 终达到下列稳定状态（第二种 稳定状态）： i=0 u1 = U （因电容元件不能通过直流电流） u2 = uc = U uR = 0 电容上储存有电荷 Q=CU
2
U
S
1
u1
uR
C u2
图6-1
显然，当开关S的位置发生变化时，电路将从一个稳定状 态转变为另一个稳定状态，这种转变往往不能跃变，而是需 要一定的时间，经历一个过程，这个物理过程就称为过渡过 程，又称暂态过程。 暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造 成的。例如当S处于2的位置时，电容元件储有电能 1 CU 2 ， 2 如果开关S由2转向1，电能不能跃变，这反映在电容上电压uC 不能跃变，过渡过程就是使电容上的电能向电阻逐步泄放， 最终电能耗尽达到第一种稳定状态。 第（40）页
图5-5 开关函 数
(b)三角波分解 8U m 1 1 u = 2 Sin ωt − Sin 3ωt + Sin 5ωt + L π 98 25
π2
− 8 9π
2
8 25π 2
ω
图5-6 三角波频谱图令（Um=1） (c)锯齿波分解 1 1 1 1 u = U m − Sinωt − Sin 2ωt − Sin 3ωt − L 2π 3π 2 π
4 1 u = Sin ωt + Sin 3ωt π 3 图5-2(c)是三个不同频率正弦波 的叠加波形
0
π
t
2π
(b)
4 1 1 Sinωt + Sin3ωt + Sin5ωt 3 5 π
1 0
π
t
2π
(c)
4 1 1 u = Sin ωt + Sin 3ωt + Sin 5ω t π 3 5 图5-2(d)是四个不同频率正弦波的 叠加波形
如前节所述，一个非正弦周期信号可以看成是直流与各次 谐波的叠加，因此，线性电路对非正弦周期信号的响应就是电 路对这些信号（直流及各次谐波）的响应的叠加。
线 性 电 路
u
i (t )
R
u0 u1 u2
线 性 电 路
i (t )
R
图5-9 非正弦信号激励下线性电路的响应 设u0，u1，u2，……是u分解后所得各电压分量，即 u = u0 + u1 + u2 + L 而这些电压分量单独作用该线性电路所得输出电流分别为i0，i1， i2， i3，……则根据叠加原理，在非正弦周期信号激励下，该线 性电路总的输出电流为 i = i 0 + i1 + i 2 + L
2 （2）基波： 1 Z 1 = R 2 + ωL − = 126Ω ωC 1 ωL − o ωC = −85.3（电容性） ϕ 1 = arctg 电容性） R
I1m 第（39）页
U 1m = = 1.43 A Z1
（3）三次谐波：
1 2 Z 3 = R + 3ωL − = 10Ω 3ωC 1 3ωL − 3ωC = 0o ϕ 3 = arctg R U 3m I 3m = =6 A Z3
第四章 三相交流电
1. 关于三相交流电
大型发电，输配电系统，均采用三相制。大型交流电动机也 是三相制。 三相交流电有A、B、C三相，它们的相量关系如图3-1所示。
A B C N
• •
UA
•
UB
•
UC
(火线） (火线） (火线） （中线）
UA
•
UB
•
UC
图 3-1
U 在低压配电系统中，相电压（火线与中线之间的电压） p = 220V ，
因此，计算非正弦周期信号激励下线性电路的响应，步骤如下： （1）将非正弦周期信号分解成傅里叶级数，从而得到直流及各 次正弦谐波分量。 （2）分别计算直流及各次正弦谐波分量单独作用时，电路的响 应。 （3）将所得电路的响应（电压或电流）叠加起来，即为所需的 结果。 注意：不同频率的正弦量的相加，必须用三角函数式或正弦波 形来进行，不能用相量图或复数式。因为后两种方法是 对同频率的正弦量而言的。
u
R
u E 0 E1 m i= = Sin ω t + R R R
也不是纯粹正弦波, 而是单向电流。
e1
E0
u
(a)
E0
0
e1
t
(b)
图5-1
我们再看图5-2(a)是一个纯粹的正弦波
u=
4
f (t ) 1
4
π
Sinω
π
Sin ωt
1
0
π
t
2π
(a)
图5-2(b)是二个不同频率正弦波的叠加
4 1 Sinωt + Sin3ωt 3 π
L
R
图6-2 例6-1的电路 支路不允许直流通过，C 可以认为开路，而L对 直流可以认为短路， R支路与L支路所含电阻值均为2KΩ ， × 故iR=iL=10mA/2=5mA,支路端电压u=5mA 2KΩ=10V。 电容上电压10V。
画出t=0-瞬间的等效电路如图6-3（A）所示。
iS
S
+
iR
iC
所以电流为
i = I 0 + i1 + i 3 + i5
= 1.43 Sin (ωt + 85.3o ) + 6 Sin (3ωt + 45 o ) + 0.39 Sin (5ωt − 60.8o )A
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第六章 电路的暂态分析
§6.1 换路定则及初始值的确定
一、稳态与暂态 图6-1电路根据开关的位置不同，有二种可能的稳定 状态。当开关S处于1的位置，电路最终达到下列稳定状 态（第一种稳定状态）： u2 = uc = 0 电容上没有电荷。 i=0 u1 = 0
1 0
4 1 1 1 Sinωt + Sin 3ωt + Sin5ωt + Sin7ωt 3 5 7 π
π
t
2π
(d)
图5-2正弦波的合成 4 1 1 1 u = Sin ωt + Sin 3ωt + Sin 5ωt + Sin 7ωt π 3 5 7
由此可见，非正弦周期信号是若干个正弦波信号（有时亦包括 直流）按不同幅度叠加的结果。反过来，一个非正弦周期量也 可以分解为直流，基波及各次谐波。设周期函数为f(ωt)，其角 频率为ω，则由高等数学中傅里叶三角函数展开公式可知 f (ω t ) = A0 + A1 m Sin (ω t + ψ 1 ) + A2 m Sin (2ω t + ψ 2 ) + L
2U m (1 − Cosk π ) = kπ (k 为偶数 ) 0 = 4U m k π (k 为奇数 )
u
Um Um
u
0
π
2π
ωt
0
π
2π
ωt
(b)三角波
(d)全波整流波形
图5-3 非正弦周期量
C km =
1
π
∫
2π
0
uCosk ω td ω t = 0
由此求出
u=
=
k = 0 ,1 , 3 ,L
π
0
π
0
第（37）页
例5-1 图5-3中有四种非正弦周期信号，现分别对它们进行波形 的分解。 (a)对矩形波进行分解 1 2π A0 = ∫0 ud ω t = 0 2π 1 2π B km = ∫ uSink ω td ω t
u
Um Um
u
0
π
2π
ωt
0
2π
4π
ωt
π
0
(a)矩形波 矩形波
(c)锯齿波 锯齿波
钮均应接火线。具体联接形式（△型或Y型），在电器设备标 牌上均有说明。 对于对称的三相负载，流过中线的电流为零，因而可以省去中 线。
第五章 非正弦周期电流的电路
§5.1 非正弦周期量的分解
矩形波，锯齿波，整流波，脉冲波以及语言，音乐，图 象，数据等电信号均属于非正弦周期波形。图5-1中电阻两端 的电压u是直流E0与正弦交流电e1的叠加： u = E 0 + e1 = E 0 + E1 m Sin ω t 显然，电压u不是纯粹的正弦周期电压， i 由此产生的电流
1 2
1 −π − 1 2π − 1 3π
ω
第（38）页
图5-7 锯齿波频谱图（令Um=1)
(d)全波整流波分解
2U m 2 2 u= 1 − Cos 2ωt − Cos 4ωt − L 15 π 3
2 π
− 4 − 4
3π
15π
ω
图5-8 全波整流波频谱图（令Um=1)
§5.2 非正弦周期信号激励下线性电路的响应
1
ωt
0
4 4 K 2 (ωt ) = Cosωt − Cos 3ωt + Cos 5ωt + L π 3π 5π ∞ 1 4 n −1 = ∑ (− 1) Cos (2n − 1)ω t (2n − 1)π n =1
-1
4
(a)单向开关函数 单向开关函数 K 2 (ωt )
ωt
(b)双向开关函数 双向开关函数
∑B
km
Sink ω t
4U m 1 1 Sinωt + Sin3ωt + Sin5ωt + L 3 5 π 此分解结果，正好印证了图5-2(d)波形叠加所得出的结论。
各频谱分量的幅度表示在同一频率轴上，便得图5-4所示频率图。
4
4 3π 4 5π 4 7π ω 3ω 5ω 7ω
1 KΩ
2 KΩ
+
iL 2 KΩ
uL
10 mA
iS
S
iR
uR
iC
1 KΩ
2 KΩ
uC
iL 2 KΩ
2 2
2
i
R 10Ω
u
L 0.05 H C 22.5 µF
1 Z 5 = R + 5ω L − = 51.2 Ω 5ωC 1 5ωL − 5ωC = 78.8o (电感性) ϕ 5 = arctg R
图5-10 RLC串联电路对 非正弦电压的响应
I 5m
U5m = = 0.39 A Z5
= A0 + ∑ Akm Sin (kω t + ψ k )
k =1 ∞
式中 Akm = Bkm + C km
2 2
1 2π A0 = ∫0 f (ωt )dωt 2π 1 2π C km = ∫ f (ωt )Coskωtdωt
C km ψ k = arctg Bkm 1 2π Bkm = ∫ f (ωt )Sinkωtdωt
例6-1 对于图6-2的电路，试确定开关S闭合后的初始瞬 间电压 uc , uL 和电流iL , ic , iR 及 is 的初始值。假设S闭合前电路 已处于稳态。
10 mA
iS
u
iR
iC
1 KΩ C
解：电路分析： S闭合前 瞬间，直流恒流源电流仅 流经R支路与L支路，电容
2 KΩ
S
iL 2 KΩ
π
ω
图5-4 矩形波频谱图 （令Um=1)
对于图5-5所示开关函数，同样可以分解为 1 2 2 2 K 1 (ωt ) = + Cosωt − Cos 3ωt + Cos 5ωt + L 2 π 3π 5π 1 ∞ 2 n −1 Cos (2 n − 1)ω t K (ωt ) = + ∑ (− 1) (2n − 1)π 2 n =1 1
当开关由位置1变为位置2时，电容上的电荷同样需要一 个积累过程，是电源U0的电能向电容C逐步充电，最终达到 第二种稳定状态。与电容元件相似 ，作为储能元件的电感， 其上的能量同样不能突变。
i
2
U
S
R
uR
1
u1
C u2
图6-1
二、换路定则 开关位置的变动，电路的接通，切断等统称为换路。 设t=0为换路瞬间，以t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+ 表示换路后的初始瞬间。从t=0-到t=0+瞬间，电感元件中的电 流不能跃变，电容元件上的电压不能跃变，这称为换路定则， 用公式表示，即： iL ( 0− ) = i L ( 0+ ) （6-1） uC ( 0 − ) = uC ( 0 + ) 换路定则仅适用于换路瞬间，根据换路定则可以确定t=0+时 电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。 三、初始值的确定 ) 步骤如下：1.由t=0-的电路求出 i L ( 0 − )或 uC ( 0 − 。 2.根据式（6-1）及t=0+的电路，求出其他电 压和电流的初始值。
例5-1 已知图5―10输入电压u为非正弦周期电压 u = 40 + 180 Sin ω t + 60 Sin (3ω t + 45 o ) + 20 Sin (5ω t + 18 o ) V 基波角频率 ω = 2π × 50 rad S ，求电路响应（电流i)。 解：运用叠加原理 （1）直流分量：因为电路有电容元件，故直流响应电流I0=0
线电压（火线与火线之间的电压） U l = 3 × 220V = 380V ，其相 量关系如图3-2所示。 U
l • •
Up 30
o
2. 负载的联接
图 3-2
如果电器设备属于单相制，额定电压为220V时，应接在火线 与中线之间，额定电压为380V，则应接在火线与火线之间。 当电器设备采用三相制时（如三相电机等），设备的三个端 第（36）页
i
R
当开关S处于2的位置，电路最 终达到下列稳定状态（第二种 稳定状态）： i=0 u1 = U （因电容元件不能通过直流电流） u2 = uc = U uR = 0 电容上储存有电荷 Q=CU
2
U
S
1
u1
uR
C u2
图6-1
显然，当开关S的位置发生变化时，电路将从一个稳定状 态转变为另一个稳定状态，这种转变往往不能跃变，而是需 要一定的时间，经历一个过程，这个物理过程就称为过渡过 程，又称暂态过程。 暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造 成的。例如当S处于2的位置时，电容元件储有电能 1 CU 2 ， 2 如果开关S由2转向1，电能不能跃变，这反映在电容上电压uC 不能跃变，过渡过程就是使电容上的电能向电阻逐步泄放， 最终电能耗尽达到第一种稳定状态。 第（40）页
图5-5 开关函 数
(b)三角波分解 8U m 1 1 u = 2 Sin ωt − Sin 3ωt + Sin 5ωt + L π 98 25
π2
− 8 9π
2
8 25π 2
ω
图5-6 三角波频谱图令（Um=1） (c)锯齿波分解 1 1 1 1 u = U m − Sinωt − Sin 2ωt − Sin 3ωt − L 2π 3π 2 π
4 1 u = Sin ωt + Sin 3ωt π 3 图5-2(c)是三个不同频率正弦波 的叠加波形
0
π
t
2π
(b)
4 1 1 Sinωt + Sin3ωt + Sin5ωt 3 5 π
1 0
π
t
2π
(c)
4 1 1 u = Sin ωt + Sin 3ωt + Sin 5ω t π 3 5 图5-2(d)是四个不同频率正弦波的 叠加波形
如前节所述，一个非正弦周期信号可以看成是直流与各次 谐波的叠加，因此，线性电路对非正弦周期信号的响应就是电 路对这些信号（直流及各次谐波）的响应的叠加。
线 性 电 路
u
i (t )
R
u0 u1 u2
线 性 电 路
i (t )
R
图5-9 非正弦信号激励下线性电路的响应 设u0，u1，u2，……是u分解后所得各电压分量，即 u = u0 + u1 + u2 + L 而这些电压分量单独作用该线性电路所得输出电流分别为i0，i1， i2， i3，……则根据叠加原理，在非正弦周期信号激励下，该线 性电路总的输出电流为 i = i 0 + i1 + i 2 + L
2 （2）基波： 1 Z 1 = R 2 + ωL − = 126Ω ωC 1 ωL − o ωC = −85.3（电容性） ϕ 1 = arctg 电容性） R
I1m 第（39）页
U 1m = = 1.43 A Z1
（3）三次谐波：
1 2 Z 3 = R + 3ωL − = 10Ω 3ωC 1 3ωL − 3ωC = 0o ϕ 3 = arctg R U 3m I 3m = =6 A Z3
第四章 三相交流电
1. 关于三相交流电
大型发电，输配电系统，均采用三相制。大型交流电动机也 是三相制。 三相交流电有A、B、C三相，它们的相量关系如图3-1所示。
A B C N
• •
UA
•
UB
•
UC
(火线） (火线） (火线） （中线）
UA
•
UB
•
UC
图 3-1
U 在低压配电系统中，相电压（火线与中线之间的电压） p = 220V ，
因此，计算非正弦周期信号激励下线性电路的响应，步骤如下： （1）将非正弦周期信号分解成傅里叶级数，从而得到直流及各 次正弦谐波分量。 （2）分别计算直流及各次正弦谐波分量单独作用时，电路的响 应。 （3）将所得电路的响应（电压或电流）叠加起来，即为所需的 结果。 注意：不同频率的正弦量的相加，必须用三角函数式或正弦波 形来进行，不能用相量图或复数式。因为后两种方法是 对同频率的正弦量而言的。
u
R
u E 0 E1 m i= = Sin ω t + R R R
也不是纯粹正弦波, 而是单向电流。
e1
E0
u
(a)
E0
0
e1
t
(b)
图5-1
我们再看图5-2(a)是一个纯粹的正弦波
u=
4
f (t ) 1
4
π
Sinω
π
Sin ωt
1
0
π
t
2π
(a)
图5-2(b)是二个不同频率正弦波的叠加
4 1 Sinωt + Sin3ωt 3 π
L
R
图6-2 例6-1的电路 支路不允许直流通过，C 可以认为开路，而L对 直流可以认为短路， R支路与L支路所含电阻值均为2KΩ ， × 故iR=iL=10mA/2=5mA,支路端电压u=5mA 2KΩ=10V。 电容上电压10V。
画出t=0-瞬间的等效电路如图6-3（A）所示。
iS
S
+
iR
iC
所以电流为
i = I 0 + i1 + i 3 + i5
= 1.43 Sin (ωt + 85.3o ) + 6 Sin (3ωt + 45 o ) + 0.39 Sin (5ωt − 60.8o )A
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第六章 电路的暂态分析
§6.1 换路定则及初始值的确定
一、稳态与暂态 图6-1电路根据开关的位置不同，有二种可能的稳定 状态。当开关S处于1的位置，电路最终达到下列稳定状 态（第一种稳定状态）： u2 = uc = 0 电容上没有电荷。 i=0 u1 = 0
1 0
4 1 1 1 Sinωt + Sin 3ωt + Sin5ωt + Sin7ωt 3 5 7 π
π
t
2π
(d)
图5-2正弦波的合成 4 1 1 1 u = Sin ωt + Sin 3ωt + Sin 5ωt + Sin 7ωt π 3 5 7
由此可见，非正弦周期信号是若干个正弦波信号（有时亦包括 直流）按不同幅度叠加的结果。反过来，一个非正弦周期量也 可以分解为直流，基波及各次谐波。设周期函数为f(ωt)，其角 频率为ω，则由高等数学中傅里叶三角函数展开公式可知 f (ω t ) = A0 + A1 m Sin (ω t + ψ 1 ) + A2 m Sin (2ω t + ψ 2 ) + L
2U m (1 − Cosk π ) = kπ (k 为偶数 ) 0 = 4U m k π (k 为奇数 )
u
Um Um
u
0
π
2π
ωt
0
π
2π
ωt
(b)三角波
(d)全波整流波形
图5-3 非正弦周期量
C km =
1
π
∫
2π
0
uCosk ω td ω t = 0
由此求出
u=
=
k = 0 ,1 , 3 ,L
π
0
π
0
第（37）页
例5-1 图5-3中有四种非正弦周期信号，现分别对它们进行波形 的分解。 (a)对矩形波进行分解 1 2π A0 = ∫0 ud ω t = 0 2π 1 2π B km = ∫ uSink ω td ω t
u
Um Um
u
0
π
2π
ωt
0
2π
4π
ωt
π
0
(a)矩形波 矩形波
(c)锯齿波 锯齿波
钮均应接火线。具体联接形式（△型或Y型），在电器设备标 牌上均有说明。 对于对称的三相负载，流过中线的电流为零，因而可以省去中 线。
第五章 非正弦周期电流的电路
§5.1 非正弦周期量的分解
矩形波，锯齿波，整流波，脉冲波以及语言，音乐，图 象，数据等电信号均属于非正弦周期波形。图5-1中电阻两端 的电压u是直流E0与正弦交流电e1的叠加： u = E 0 + e1 = E 0 + E1 m Sin ω t 显然，电压u不是纯粹的正弦周期电压， i 由此产生的电流
1 2
1 −π − 1 2π − 1 3π
ω
第（38）页
图5-7 锯齿波频谱图（令Um=1)
(d)全波整流波分解
2U m 2 2 u= 1 − Cos 2ωt − Cos 4ωt − L 15 π 3
2 π
− 4 − 4
3π
15π
ω
图5-8 全波整流波频谱图（令Um=1)
§5.2 非正弦周期信号激励下线性电路的响应
1
ωt
0
4 4 K 2 (ωt ) = Cosωt − Cos 3ωt + Cos 5ωt + L π 3π 5π ∞ 1 4 n −1 = ∑ (− 1) Cos (2n − 1)ω t (2n − 1)π n =1
-1
4
(a)单向开关函数 单向开关函数 K 2 (ωt )
ωt
(b)双向开关函数 双向开关函数
∑B
km
Sink ω t
4U m 1 1 Sinωt + Sin3ωt + Sin5ωt + L 3 5 π 此分解结果，正好印证了图5-2(d)波形叠加所得出的结论。
各频谱分量的幅度表示在同一频率轴上，便得图5-4所示频率图。
4
4 3π 4 5π 4 7π ω 3ω 5ω 7ω
1 KΩ
2 KΩ
+
iL 2 KΩ
uL
10 mA
iS
S
iR
uR
iC
1 KΩ
2 KΩ
uC
iL 2 KΩ