圆锥曲线的焦半径(角度式)

-> 7圆锥曲线的焦半径一角度式

一椭圆的焦半径

设P是椭圆务+条“ S心。）上任意-点，F为它的-个焦点，则

■ 2

乙PFO = e,则 |PF| = ------

a-ccQsO

上述公式定义ZPFO = &, P是椭圆上的点，F是焦点，0为原点，主要优点是焦点在左右上下均适用，无需再单独讨论

证明：设PF另一个焦点为F,则PF = FF-FP 两边平方得：戸戶2=丽'-2両•帀+帀2

即：（2a — ///）" = 4c" + 4cni cos & + nr

得：叶—

a-ccos0

1过椭圆手+宁】的右焦点F任作-直线交椭圆于A、B衲点,若的+阿=

A AF BE .则＞1的值为

2（2002全国理）设椭圆壬+ ^1 （心心0）的-个焦点八过F作-条直

线交椭圆于P、。两点，求证：网+肉为定值，并求这个定值结论:椭圆的焦点弦所在的焦半径的倒数和为定值,即尙+侖=寻

3< 2007 M庆理）在椭圆4 + 21 = 1 （a>h>0）上任取三个不同的点时，P

「a~ Ir ■

使= = 笃牛耳为右焦点，证明丽+丽+两为定值, 并求此定值

结论^若过F作"条夹角相等的射线交椭圆于L …，吒，则

na

4 F是椭圆+ + r=l的右焦点，山F引出两条相互垂直的直线b,直线"与乙

椭圆交于点A、C ,直线b与椭圆交于3、D ,若FA =/]f

FC

FD=i则下列结论一定成立的是（

B zj + 坊 +Zj+r, =4血

D - + - + - + - = 472 片「2 「3 「4

F是椭圆手+牛]的右焦点，过点F作-条与坐标轴不垂直的直线交椭圆于八B,线段A〃的中垂细如轴于点M,则緡的值为

6伽。辽宇理）设椭圆C： 5 +壬"5">0）的左焦点为F,过点F的

直线与椭圆C相交于A, 3两点，直线/的倾斜角为60° ,乔=2丽

<1）求椭圆C 的离心率

（2）如果|"=罟，求椭圆C 的方程

7 <2010全国"理）已知椭圆G 召+石"的离心率为孚过右焦点F 且斜 率为£ （«>0）的直线与C 相交于A, B 两点，若AF = 3FB,则《=（

B 72

8已知椭圆C ： ■ + *" S 心0）的右焦点为八过点F 的直线与椭圆C

13’ ）

已知椭圆各+与=1的左右焦点分别为斤，耳，过斤的直线 交椭圆于D 两点，过人的直线交椭圆于A, C 两点，且AC 丄求四边

■ 形4£3的面积的最小值

2

10 （2005全国卷］［理）P, 2，M, N 四点都在椭圆%-+^ = 1±, F 为椭圆

2 在y 轴正半轴上的焦点，S 知丽与FS 共线，MF^FN 共线，且丽•丽=0,

相交于A, B 两点, 若BF =2AF ,则椭圆的离心率f 的取值范ffl 是（

9 （2007全国I 理）

求四边形PQMN 面积的最大值和最小值

11已知过椭圆余+壬=1左焦点片的弦（非长轴）交椭圆于A ，B 两点，场为 右焦点，求使AF/B 的面积最大时直线A8的方程

二双曲线的焦半径

设P 是椭圆》卡“ so,心0）上任意-点，F 为它的-个焦点,

式中“土”记忆规律，同正异负，即当位于轴的同侧时取正，否则取 负，取ZPFO = &,无需讨论焦点位置，上式公式均适用

2 2

1 （2009全国II 理）已知双曲线C ：亠-厶> =1 （«>0, h>0）的右焦点为F,

a- b-

过F 且斜率为^/5的直线交C 于A.B 两点，若乔=4而，则C 的离心率为（

2 （2007重庆理）过双曲线%--/= 4的右•焦点F 作倾斜角为105°的直线交双 曲线于P 、e 两点，则\FP[\FQ\的值为

贝lJZPFO = e,贝Ij PF =——

ccQsO±a

三抛物线的焦半径

已知A 是抛物线C ： r =2/zr （卩>0）上任意一点，F 为焦点，ZAFO = e.

所以 AF =P-AFcos3

】过抛物线宀2\的焦点F 作直线交抛物线于B 两点，若两-网 则直细的倾斜角

八。®守）等于（

2 （2008江西）过抛物线x- = 2py （/7>0）的焦点F 作倾斜角为30°的直线与

3 （2008全国理）己知F 为抛物线C ： = 4%的焦点，过尸且斜率为1的直线 与抛物线C 交于A , B 两点，设|fX|>|ra|,贝屮Xl 与|ra|的比值等于

4 （2010重庆理）已知以F 为焦点的抛物线y-=4x 上的两点A, B 满足 乔=3用，，则弦AB 的中点到准线的距离为

则AF =

1+COS&

证明：PN 为准线，于是= 其中PF = ［八

FM = AF • cos 切 于是A7V = PF -FM =P-AF COS0

抛物线分别交于A, B 两点（点A 在y 轴左侧），则 AF

5已知抛物线r =4%,准线与戈轴交于f 点，过点£的直线y = Mx + l ）交抛物线 于A, B 两点，F 是焦点，且满足ZAra = 60°,求

6已知F 为抛物线C ： r=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线厶，1"直线 厶与C 交于A, B 两点，直线4与C 交于D, f 两点，则AB + DE 的最小值为

r = 2px 和圆C2：（戈-上）2 + r=£l,直线/经过q 的焦点，与q

2

D /?

7抛物线q ： 交于A 、D. 与C2交于B 、C,则丽•阪的值为（