高中数学必修一错题整理及变式训练

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人教高中数学必修一B版《等式的性质与方程的解集》等式与不等式说课教学课件

如果a=3,那么a2=3a,正确,故选项C不符合题意;
如果a=0时,两边都除以a,无意义,故选项D符合题意.
故选D.
答案:D
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
2.下列分解因式正确的是(
)
A.x2+y2=(x+y)(x-y)
B.m2-2m+1=(m+1)2
C.(a+4)(a-4)=a2-16
课前篇
自主预习
一
二
知识点二、方程的解集
1.思考
(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?

2
-± -4
提示:(1)x=- .(2)当 b2-4ac≥0 时,x1,2=
2
.
2.填空
(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
(1)平方差公式法;
(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;
(4)十字相乘法.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
变式训练 1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;
(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解:(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);
(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.
分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补

4.2 对数 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

2
2
(3)由lg 1 000=3,可得103=1 000.
(4)由ln x=2,可得e2=x.
反思感悟指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,
写出对数式;
(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出
指数式.
变式训练2将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
高中数学苏教版必修第一册
第4章指数与对数
4.2 对数
4.2.1
对数的概念
课标阐释
1.理解对数的概念,能够熟练地进行
对数式与指数式的互化.(逻辑推理)
2.理解常用对数、自然对数的概念
及记法.(数学抽象)
3.掌握对数的性质,能进行简单的对
数计算.(数学运算)
思维脉络
情境导入
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……
.
5.log33+3lo g 3 2 =
.
答案 3
解析 log33+3lo g 3 2 =1+2=3.
6.求下列各式中x的值:
3
2
(1)logx27=2;(2)log2x=-3;
1
(3)x=log27 ;(4)x=log 1 16.
9
2
解 (1)由
3
3
logx27=2,可得 2 =27,
2
2
∴x=273 =(33)3 =32=9.
logay(x>0,y>0,a>0,a≠1),故 C 正确;
loga(xy)=logax+logay(x>0,y>0,a>0,a≠1),故 D 错误.故选 C.

高中数列曲一线经典例题

我的错题本(含变式训练)_20140601_182650生成时间：2014.06.01 18:26:50 [第50页第1题] (2014江淮十校联考) 已知正数a, b满足: 三数a, 1, b的倒数成等差数列, 则a+b的最小值为( )A. 1B. 2C.D. 4[答案] B[变式训练] (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，4) 在等差数列中，，则（）(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60[变式答案] D[变式解析] 数列是等差数列，，.[第50页第1题] (2014安徽淮北一中月考) 等比数列{a n}中, a3=6, 前三项和S3=4xdx, 则公比q的值为( )A. 1B. -C. 1或-D. -1或-[答案] C[变式训练] (2009辽宁, 6, 5分) 设等比数列{a n}的前n项和为S n, 若=3, 则=( )A. 2B.C.D. 3[变式答案] B[变式解析] 由等比数列的性质:S3, S6-S3, S9-S6仍成等比数列, 于是, 由S6=3S3, 可推出S9-S6=4S3, S9=7S3, ∴=. 故选B.[第50页第2题] (2011江西, 5,5分) 已知数列{a n}的前n项和S n满足: S n+S m=S n+m, 且a1=1, 那么a10=( )A. 1B. 9C. 10D. 55[答案] A[变式训练] (2008江西, 5, 5分) 在数列{a n}中, a1=2, a n+1=a n+ln1+, 则a n=( ) A. 2+ln n B. 2+(n-1) ln n C. 2+nln n D. 1+n+ln n[变式答案] A[变式解析] 解法一:由已知, a n+1-a n=ln, a1=2,∴ a n-a n-1=ln,a n-1-a n-2=ln,……a2-a1=ln,将以上n-1个式子累加得:a n-a1=ln+ln+…+ln=ln=ln n.∴ a n=2+ln n. 故选A.解法二:由a2=a1+ln 2=2+ln 2, 排除C、D;由a3=a2+ln=2+ln 3, 排除B. 故选A.[第50页第2题] (2013山西太原五中, 9,5分) 已知数列{a n}, {b n}满足a1=1, a2=2, b1=2,对任意的正整数i, j, k, l, 当i+j=k+l时, 都有a i+b j=a k+b l, 则(a i+b i) 的值是( )A. 2 012B. 2 013C. 2 014D. 2 015[答案] D[变式训练] (2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，13,5分)已知数列{}的前n项和为，，则.[变式答案] 33 .[变式解析][第50页第3题] (2013安徽马鞍山二中期中, 4,5分) 数列{a n}满足: 点(n, a n-1) 在函数f(x) =2x的图象上(n∈N, n≥2), 则{a n}的前10项和为( )A. 4 092B. 2 047C. 2 046D. 1 023[答案] A[变式训练] (2010浙江, 3, 5分) 设S n为等比数列{a n}的前n项和, 8a2+a5=0, 则=( ) A. 11 B. 5 C. -8 D. -11[变式答案] D[变式解析] 设数列的公比为q, 则8a1q+a1q4=0, 解得q=-2, ∴===-11, 故选D.[第50页第3题] (2014广东六校第一次联考) 将石子摆成如图的梯形形状, 称数列5,9, 14,20, …为“梯形数”. 根据图形, 数列第6项a6= ; 第n项a n= .[答案] 35;[变式训练] (2007天津, 21, 14分) 在数列{a n}中, a1=2, a n+1=λa n+λn+1+(2-λ) 2n(n ∈N*) , 其中λ>0.(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ) 求数列{a n}的前n项和S n;(Ⅲ) 证明存在k∈N*, 使得≤对任意n∈N*均成立.[变式答案] (Ⅰ) 解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ) 2=λ2+22,a3=λ(λ2+22) +λ3+(2-λ) 22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23) +λ4+(2-λ) 23=3λ4+24.由此可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=(n-1) λn+2n.以下用数学归纳法证明.(1) 当n=1时, a1=2, 等式成立.(2) 假设当n=k时等式成立, 即a k=(k-1) λk+2k,那么, a k+1=λa k+λk+1+(2-λ) 2k=λ(k-1) λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1) -1]λk+1+2k+1.这就是说, 当n=k+1时等式也成立. 根据(1) 和(2) 可知, 等式a n=(n-1) λn+2n对任何n∈N*都成立.解法二:由a n+1=λa n+λn+1+(2-λ) 2n(n∈N*) , λ>0, 可得-=-+1, 所以为等差数列, 其公差为1, 首项为0. 故-=n-1, 所以数列{a n}的通项公式为a n=(n-1) λn+2n.(Ⅱ) 设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2) λn-1+(n-1) λn, ①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2) λn+(n-1) λn+1, ②当λ≠1时, ①式减去②式, 得(1-λ) T n=λ2+λ3+…+λn-(n-1) λn+1=-(n-1) λn+1,T n=-=.这时数列{a n}的前n项和S n=+2n+1-2.当λ=1时, T n=. 这时数列{a n}的前n项和S n=+2n+1-2.(Ⅲ) 证明:通过分析, 推测数列的第一项最大. 下面证明:<=, n≥2. ③由λ>0知a n>0. 要使③式成立, 只要2a n+1<(λ2+4) a n(n≥2) .因为(λ2+4) a n=(λ2+4) (n-1) λn+(λ2+4) 2n>4λ·(n-1) λn+4×2n=4(n-1) λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1, n≥2所以③式成立. 因此, 存在k=1, 使得≤=对任意n∈N*均成立.[第50页第6题] (2013课标全国Ⅰ, 14,5分) 若数列{a n}的前n项和S n=a n+, 则{a n}的通项公式是a n= .[答案] (-2) n-1[变式训练] (2007福建, 2, 5分) 数列{a n}的前n项和为S n, 若a n=, 则S5等于( )A. 1B.C.D.[变式答案] B[变式解析] S5=++…+=++…+=1-=,故选B.[第50页第6题] (2014安徽望江二中月考) 设满足以下两个条件的有穷数列a1, a2, …,a n为n(n=2,3, 4, …) 阶“期待数列”: ①a1+a2+a3+…+a n=0; ②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1.(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(2) 若某2k+1(k∈N*) 阶“期待数列”是等差数列, 求该数列的通项公式.[答案] (详见解析)[变式训练] (2013年北京海淀区高三第二次模拟，20，13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.（Ⅰ）数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；（Ⅱ）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；（Ⅲ）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.[变式答案] （Ⅰ）解：法1：法2：法3：（Ⅱ）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果首先操作第三列，则则第一行之和为，第二行之和为，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或，当时，则接下来只能操作第一行，此时每列之和分别为，必有，解得.当时，则接下来操作第二行此时第4列和为负，不符合题意.②如果首先操作第一行则每一列之和分别为，，，.当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉；当时，，至少有一个为负数；所以此时必须有，即，所以或，经检验，或符合要求综上，.（Ⅲ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数. 证明如下：记数表中第行第列的实数为（），各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，则. 记.按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止. 终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立.[第50页第4题] (2014安徽望江四中月考) 数列{a n}的通项公式a n=ncos, 其前n项和为S n, 则S2 013= .[答案] 1 006[变式训练] (2007广东, 5, 5分) 已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n, 第k项满足5<a k<8, 则k等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6[变式答案] B[变式解析] a n===2n-10,∵ 5<a k<8, ∴ 5<2k-10<8,∴<k<9. 又∵ k∈N*, ∴ k=8, 故选B.[第50页第4题] (2013河北秦皇岛二模, 15) 已知数列{a n}满足a1=0, a n+1=(n∈N*), 则a20= .[答案] -[变式训练] (2007天津, 21, 14分) 在数列{a n}中, a1=2, a n+1=λa n+λn+1+(2-λ) 2n(n ∈N*) , 其中λ>0.(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ) 求数列{a n}的前n项和S n;(Ⅲ) 证明存在k∈N*, 使得≤对任意n∈N*均成立.[变式答案] (Ⅰ) 解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ) 2=λ2+22,a3=λ(λ2+22) +λ3+(2-λ) 22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23) +λ4+(2-λ) 23=3λ4+24.由此可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=(n-1) λn+2n.以下用数学归纳法证明.(1) 当n=1时, a1=2, 等式成立.(2) 假设当n=k时等式成立, 即a k=(k-1) λk+2k,那么, a k+1=λa k+λk+1+(2-λ) 2k=λ(k-1) λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1) -1]λk+1+2k+1.这就是说, 当n=k+1时等式也成立. 根据(1) 和(2) 可知, 等式a n=(n-1) λn+2n对任何n∈N*都成立.解法二:由a n+1=λa n+λn+1+(2-λ) 2n(n∈N*) , λ>0, 可得-=-+1, 所以为等差数列, 其公差为1, 首项为0. 故-=n-1, 所以数列{a n}的通项公式为a n=(n-1) λn+2n.(Ⅱ) 设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2) λn-1+(n-1) λn, ①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2) λn+(n-1) λn+1, ②当λ≠1时, ①式减去②式, 得(1-λ) T n=λ2+λ3+…+λn-(n-1) λn+1=-(n-1) λn+1,T n=-=.这时数列{a n}的前n项和S n=+2n+1-2.当λ=1时, T n=. 这时数列{a n}的前n项和S n=+2n+1-2.(Ⅲ) 证明:通过分析, 推测数列的第一项最大. 下面证明:<=, n≥2. ③由λ>0知a n>0. 要使③式成立, 只要2a n+1<(λ2+4) a n(n≥2) .因为(λ2+4) a n=(λ2+4) (n-1) λn+(λ2+4) 2n>4λ·(n-1) λn+4×2n=4(n-1) λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1, n≥2所以③式成立. 因此, 存在k=1, 使得≤=对任意n∈N*均成立.[第50页第7题] (2012江西, 16,12分) 已知数列{a n}的前n项和S n=-n2+kn(其中k∈N+), 且S n的最大值为8.(1) 确定常数k, 并求a n;(2) 求数列的前n项和T n.[答案] (详见解析)[变式训练] (2012北京东城区高三模拟，8,5分)定义：已知数列则的值为( )[变式答案] C[变式解析] ，∴.设函数，则，令，解得，此时函数是减函数；令，解得，此时函数是增函数，∴当时，取最小值.又，又，∴，∴，又，，∴的最小值是，即.[第50页第5题] (2013安徽合肥一六八中学段考, 14,5分) 已知数列{a n}满足a1=15, 且a n+1-a n=2n, 则的最小值为.[答案][变式训练] (2012山东省规范化学校高三11月月考，14,4分)已知数列的前项和为，满足,则= .[变式答案][变式解析] ∵，∴，∴，当时，，当时，，此时时，，∴[第50页第5题] (2013辽宁五校联考) 定义函数f(x) =[x[x]], 其中[x]表示不超过x 的最大整数, 如[1.5]=1, [-1.3]=-2. 当x∈[0, n) (n∈N*) 时, 设函数f(x) 的值域为集合A, 记A中的元素个数为a n, 则的最小值为.[答案][变式训练] (2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,7,5分)已知正项数列中，，，，则等于（）A．16 B．8 C．D．4[变式答案] D[变式解析] ∵，∴数列是等差数列，公差，所以，∴，∴.[第51页第1题] (2014安徽望江四中月考) 已知{a n}为等差数列, 若a1+a5+a9=8π, 则cos(a3+a7) 的值为( )A. B. - C. D. -[答案] D[变式训练] (2010全国Ⅱ, 4, 5分) 如果等差数列{a n}中, a3+a4+a5=12, 那么a1+a2+…+a7=( )A. 14B. 21C. 28D. 35[变式答案] C[变式解析] 由等差数列性质得a3+a4+a5=3a4,由3a4=12, 得a4=4, 所以a1+a2+…+a7==7a4=28.[第51页第6题] (2014安徽寿县一中月考) 设等差数列{a n}的公差不为0, 其前n项和是S n. 若S2=S3, S k=0, 则k= .[答案] 5[变式训练] (2014山西太原高三模拟考试（一），4) 已知等差数列的前n项和为S n, , 则使S n取得最小值时n的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7[变式答案] B[变式解析] 根据等差数列的性质可得，代入得，，解得，所以等差数列的通项公式为，当n=6时，；当n=5时. 所以使S n取得最小值为5.[第51页第2题] (2011全国, 4,5分) 设S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a1=1, 公差d=2, S k+2-S k=24, 则k=( )A. 8B. 7C. 6D. 5[答案] D[变式训练] (2013北京西城区高三三月模拟，10,5分) 设等差数列的公差不为，其前项和是．若，，则______．[变式答案] 5[变式解析] 由，得，故由等差中项的性质得. 所以. 又，公差不为，所以.[第51页第7题] (2011湖南, 12,5分) 设S n是等差数列{a n}(n∈N*) 的前n项和, 且a1=1, a4=7, 则S5= .[答案] 25[变式训练] (2009全国Ⅱ, 14, 5分) 设等差数列{a n}的前n项和为S n. 若a5=5a3, 则= .[变式答案] 9[变式解析] ==·=×5=9.[第51页第3题] (2012福建, 2,5分) 等差数列{a n}中, a1+a5=10, a4=7, 则数列{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 4[答案] B[变式训练] (2012广东,11,5分)已知递增的等差数列{a n}满足a1=1,a3=-4,则a n= .[变式答案] 2n-1[变式解析] 设公差为d,则a2=1+d,a3=1+2d,代入a3=-4,得1+2d=(1+d)2-4,解得d=2或d=-2(舍去),∴a n=1+(n-1)·2=2n-1.[第51页第8题] (2013广东, 12,5分) 在等差数列{a n}中, 已知a3+a8=10, 则3a5+a7= .[答案] 20[变式训练] (2012广东,11,5分)已知递增的等差数列{a n}满足a1=1,a3=-4,则a n= .[变式答案] 2n-1[变式解析] 设公差为d,则a2=1+d,a3=1+2d,代入a3=-4,得1+2d=(1+d)2-4,解得d=2或d=-2(舍去),∴a n=1+(n-1)·2=2n-1.[第51页第4题] (2012辽宁, 6,5分) 在等差数列{a n}中, 已知a4+a8=16, 则该数列前11项和S11=( )A. 58B. 88C. 143D. 176[答案] B[变式训练] (2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,7,5分)已知正项数列中，，，，则等于（）A．16 B．8 C．D．4[变式答案] D[变式解析] ∵，∴数列是等差数列，公差，所以，∴，∴.[第51页第9题] (2014浙江金华一中月考) 设数列{a n}的前n项和为S n, a1=3且a n+1=2S n+3, 数列{b n}为等差数列, 且公差d> 0, b1+b2+b3=15.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若+b1, +b2, +b3成等比数列, 求数列{b n}的前n项和T n.[答案] (详见解析)[变式训练] (2012山东省规范化学校高三11月月考，14,4分)已知数列的前项和为，满足,则= .[变式答案][变式解析] ∵，∴，∴，当时，，当时，，此时时，，∴[第51页第5题] (2013皖南八校第一次联考, 4,5分) 已知等差数列{a n}满足a1=-4,a4+a6=16, 则它的前10项和S10=( )A. 138B. 95C. 23D. 135[答案] B[变式训练] (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，9) 已知等差数列中，有，且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（）A．11 B．19 C． 20 D．21[变式答案] B[变式解析] 设该等差数列的公差为d，由其前项和有最大值可得d＜0；由题意可得，即，又因为d＜0，可得，所以，故满足题意的n的最大值为19.[第51页第10题] (2013四川, 16,12分) 在等差数列{a n}中, a1+a3=8, 且a4为a2和a9的等比中项, 求数列{a n}的首项、公差及前n项和.[答案] (详见解析)[变式训练] (2007江西, 14, 4分) 已知数列{a n}对于任意p, q∈N*, 有a p+a q=a p+q, 若a1=, 则a36= .[变式答案] 4[变式解析] 由a p+a q=a p+q得a n=na1, 所以a36=36a1=4, 故填4.[第52页第1题] (2014安徽池州一中月考) 等差数列{a n}中的a1、a4 025是函数f(x)=x3-4x2+6x-1的极值点, 则log2a2 013=( )A. 2B. 3C. 4D. 5[答案] A[变式训练] (2010全国Ⅱ, 4, 5分) 如果等差数列{a n}中, a3+a4+a5=12, 那么a1+a2+…+a7=( )A. 14B. 21C. 28D. 35[变式答案] C[变式解析] 由等差数列性质得a3+a4+a5=3a4,由3a4=12, 得a4=4, 所以a1+a2+…+a7==7a4=28.[第52页第6题] (2012江西, 12,5分) 设数列{a n}, {b n}都是等差数列. 若a1+b1=7,a3+b3=21, 则a5+b5= .[答案] 35[变式训练] (2014周宁、政和一中第四次联考，12) 设为等差数列的前项和，若公差则 .[变式答案] 5[变式解析] ，即，，，解得.[第52页第2题] (2013课标全国Ⅰ, 7,5分) 设等差数列{a n}的前n项和为S n, 若S m-1=-2, S m=0, S m+1=3, 则m=( )A. 3B. 4C. 5D. 6[答案] C[变式训练] (2014山西太原高三模拟考试（一），4) 已知等差数列的前n项和为S n, , 则使S n取得最小值时n的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7[变式答案] B[变式解析] 根据等差数列的性质可得，代入得，，解得，所以等差数列的通项公式为，当n=6时，；当n=5时. 所以使S n取得最小值为5.[第52页第7题] (2012福建, 14,4分) 数列{a n}的通项公式a n=ncos+1, 前n项和为S n, 则S2 012= .[答案] 3 018[变式训练] （2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则； . [变式答案] 36；3981[变式解析] ;.[第52页第3题] (2012四川, 12,5分) 设函数f(x) =2x-cos x, {a n}是公差为的等差数列, f(a1) +f(a2) +…+f(a5) =5π, 则[f(a3) ]2-a1a5=( )A. 0B. π2C. π2D. π2[答案] D[变式训练] （2013广东，12,5分）在等差数列{a n}中, 已知a3+a8=10, 则3a5+a7= . [变式答案] 20[变式解析] 设等差数列的公差为d, 则a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d) =20.[第52页第8题] (2013课标全国Ⅱ, 16,5分) 等差数列{a n}的前n项和为S n. 已知S10=0, S15=25, 则nS n的最小值为.[答案] -49[变式训练] (2009全国Ⅱ, 14, 5分) 设等差数列{a n}的前n项和为S n. 若a5=5a3, 则= .[变式答案] 9[变式解析] ==·=×5=9.[第52页第9题] (2014江苏南京第五十五中学月考) 数列{a n}满足a n=2a n-1+2n+1(n∈N*, n ≥2), a3=27.(1) 求a1, a2的值;(2) 已知b n=(a n+t) (n∈N*), 若数列{b n}成等差数列, 求实数t;(3) 求数列{a n}的前n项和S n.[答案] (详见解析)[变式训练] (2007福建, 2, 5分) 数列{a n}的前n项和为S n, 若a n=, 则S5等于( )A. 1B.C.D.[变式答案] B[变式解析] S5=++…+=++…+=1-=,故选B.[第52页第4题] (2013安徽马鞍山二模, 9) 已知等差数列{a n}的通项公式为a n=, 设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|(n∈N*), 则当A n取最小值时, n的值为( )A. 16B. 14C. 12D. 10[答案] D[变式训练] (2009全国Ⅱ, 14, 5分) 设等差数列{a n}的前n项和为S n. 若a5=5a3, 则= .[变式答案] 9[变式解析] ==·=×5=9.[第52页第5题] (2014安徽淮北一中月考) 公差为d, 各项均为正整数的等差数列中, 若a1=1, a n=51, 则n+d的最小值等于.[答案] 16[变式训练] (2014周宁、政和一中第四次联考，12) 设为等差数列的前项和，若公差则 .[变式答案] 5[变式解析] ，即，，，解得.[第52页第10题] (2013山东, 20,12分) 设等差数列{a n}的前n项和为S n, 且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 设数列{b n}的前n项和为T n, 且T n+=λ(λ为常数), 令c n=b2n(n∈N*), 求数列{c n}的前n项和R n.[答案] (详见解析)[变式训练] (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），16) 定义表示实数中的较大的. 已知数列满足，若记数列的前项和为，则的值为__________.[变式答案] 5235[变式解析] ①当时，数列为：，周期为5；所以, 故.5235.②当时，数列为：，周期也是5.，所以（舍）..[第53页第1题] (2014安徽示范高中第一次联考) 已知数列{a n}的前n项和S n=n2-n, 正项等比数列{b n}中, b2=a3, b n+3b n-1=4(n≥2, n∈N*), 则log2b n=( )A. n-1B. 2n-1C. n-2D. n[答案] D[变式训练] (2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，16) 已知数列中,, , ,则……= .[变式答案][变式解析] ，，∴，…………所以……=[第53页第2题] (2013课标全国Ⅱ, 3,5分) 等比数列{a n}的前n项和为S n, 已知S3=a2+10a1, a5=9, 则a1=( )A. B. - C. D. -[答案] C[变式训练] （2013江西，3,5分）等比数列x, 3x+3,6x+6, …的第四项等于( )A. -24B. 0C. 12D. 24[变式答案] A[变式解析] 由x, 3x+3,6x+6成等比数列, 知(3x+3) 2=x·(6x+6), 解得x=-3或x=-1(舍去). 所以此等比数列的前三项为-3, -6, -12. 故第四项为-24, 选A.[第53页第3题] (2013江西, 3,5分) 等比数列x, 3x+3,6x+6, …的第四项等于( ) A. -24 B. 0 C. 12 D. 24[答案] A[变式训练] (2013课标Ⅱ，3,5分) 等比数列{a n}的前n项和为S n, 已知S3=a2+10a1, a5=9, 则a1=( )A. B. - C. D. -[变式答案] C[变式解析] 由已知条件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1, 设数列{a n}的公比为q, 则q2=9.所以a5=9=a1·q4=81a1, 得a1=, 故选C.[第53页第4题] (2013安徽名校联盟第二次联考, 4) 已知数列{a n}, a1=1, 且a1+a2+…+a n-1=a n-1(n≥2, n∈N*), 则的前n项和为( )A. 1-B. 1-C.D.[答案] C[变式训练] (2014山西太原高三模拟考试（一），4) 已知等差数列的前n项和为S n, , 则使S n取得最小值时n的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7[变式答案] B[变式解析] 根据等差数列的性质可得，代入得，，解得，所以等差数列的通项公式为，当n=6时，；当n=5时. 所以使S n取得最小值为5.[第53页第5题] (2013海南海口一模, 9) 若正项数列{a n}满足lg a n+1=1+lg a n, 且a2 001+a2 002+a2 003+…+a2 010=2 013, 则a2 011+a2 012+a2 013+…+a2 020的值为( )A. 2 013·1010B. 2 013·1011C. 2 014·1010D. 2 014·1011[答案] A[变式训练] (2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，16) 已知数列中,, , ,则……= .[变式答案][变式解析] ，，∴，…………所以……=[第53页第6题] (2014广东广州培正中学月考) 已知数列{a n}的前n项和S n=2a n-1, 则数列{a n}的通项公式为a n= .[答案] 2n-1(n∈N*)[变式训练] (2009福建, 15, 4分) 五位同学围成一圈依序循环报数, 规定:①第一位同学首次报出的数为1, 第二位同学首次报出的数也为1, 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数, 则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数, 当五位同学依序循环报到第100个数时, 甲同学拍手的总次数为.[变式答案] 5[变式解析] 五位同学报数所构成的数列为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, 该数列被3除所得的余数构成的数列为1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …,所得新数列中每4个数出现一个0, 而又有5位同学, 因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20, 所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16, 36, 56, 76, 96, 共5个数, 故答案为5.[第53页第7题] (2011北京, 11,5分) 在等比数列{a n}中, 若a1=, a4=-4, 则公比q= ; |a1|+|a2|+…+|a n|= .[答案] -2; 2n-1-[变式训练] (2014广州高三调研测试, 9) 在等比数列中，若，则．[变式答案] 3[变式解析] 数列为等比数列，，，，即.[第53页第8题] (2013北京, 10,5分) 若等比数列{a n}满足a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比q= ; 前n项和S n= .[答案] 2; 2n+1-2[变式训练] (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 4) 设为数列的前项和，已知，若，则（）A. 512B. 16C. 64D. 256[变式答案] D[变式解析] 由，，则，，数列从第二项起是等比数列，.[第53页第10题] (2013陕西, 17,12分) 设{a n}是公比为q的等比数列.(1) 推导{a n}的前n项和公式;(2) 设q≠1, 证明数列{a n+1}不是等比数列.[答案] (详见解析)[变式训练] (2009北京, 14, 5分) 已知数列{a n}满足:a4n-3=1, a4n-1=0, a2n=a n, n∈N*, 则a2 009= ;a2 014= .[变式答案] 1;0[变式解析] a2 009=a503×4-3=1, a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.[第53页第9题] (2014安徽淮北一中月考) 在等差数列{a n}中, a1=3, 其前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数, b1=1, 公比为q, 且b2+S2=12, q=.(1) 求{a n}与{b n}的通项公式;(2) 证明: ≤++…+< .[答案] (详见解析)[变式训练] (2008江西, 5, 5分) 在数列{a n}中, a1=2, a n+1=a n+ln1+, 则a n=( ) A. 2+ln n B. 2+(n-1) ln n C. 2+nln n D. 1+n+ln n[变式答案] A[变式解析] 解法一:由已知, a n+1-a n=ln, a1=2,∴ a n-a n-1=ln,a n-1-a n-2=ln,……a2-a1=ln,将以上n-1个式子累加得:a n-a1=ln+ln+…+ln=ln=ln n.∴ a n=2+ln n. 故选A.解法二:由a2=a1+ln 2=2+ln 2, 排除C、D;由a3=a2+ln=2+ln 3, 排除B. 故选A.[第54页第1题] (2014中原名校联盟摸底) 已知等比数列{a n}中, 各项都是正数, 且a1,a3, 2a2成等差数列, 则=( )A. 1-B. 1+C. 2D. -1[答案] B[变式训练] (2010全国Ⅱ, 4, 5分) 如果等差数列{a n}中, a3+a4+a5=12, 那么a1+a2+…+a7=( )A. 14B. 21C. 28D. 35[变式答案] C[变式解析] 由等差数列性质得a3+a4+a5=3a4,由3a4=12, 得a4=4, 所以a1+a2+…+a7==7a4=28.[第54页第2题] (2011上海, 18,5分) 设{a n}是各项为正数的无穷数列, A i是边长为a i, a i+1的矩形的面积(i=1,2, …), 则{A n}为等比数列的充要条件是( )A. {a n}是等比数列B. a1, a3, …, a2n-1, …或a2, a4, …, a2n, …是等比数列C. a1, a3, …, a2n-1, …和a2, a4, …, a2n, …均是等比数列D. a1, a3, …, a2n-1, …和a2, a4, …, a2n, …均是等比数列, 且公比相同[答案] D[变式训练] (2012浙江省杭州市萧山区高三12月月考，3，5分) “”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[[变式答案] A[变式解析] ，所以“”是“”的充分不必要条件.[第54页第3题] (2013福建, 9,5分) 已知等比数列{a n}的公比为q, 记b n=a m(n-1) +1+a m(n-1)*), 则以下结论一定正确的是( ) +2+…+a m(n-1) +m, c n=a m(n-1) +1·a m(n-1) +2·…·a m(n-1) +m(m, n∈NA. 数列{b n}为等差数列, 公差为q mB. 数列{b n}为等比数列, 公比为q2mC. 数列{c n}为等比数列, 公比为D. 数列{c n}为等比数列, 公比为[答案] C[变式训练] (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，4) 在等差数列中，，则（）(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60[变式答案] D[变式解析] 数列是等差数列，，.[第54页第4题] (2013安徽旌德中学, 7,5分) 已知公比不为1的等比数列{a n}的首项为1, 若3a1, 2a2, a3成等差数列, 则数列的前5项和S5为( )A. B. C. 121 D. 31[答案] A[变式训练] (2012浙江省杭州市萧山区高三12月月考，7，5分)设是数列的前项和，已知，则=（）A. B. C. D.[变式答案] D[变式解析] 解法一：A中，，则，，所以，所以A不正确；同理可验证B、C均不正确，故选D；解法二：∵，∴，整理得，即数列是公差的等差数列，又，所以，∴.[第54页第5题] (2013北京丰台一模, 9) 已知数列{a n}满足: a1=1, a n+1=2a n+3(n∈N*), 则a11=( )A. 210-3B. 211-3C. 212-3D. 213-3[答案] C[变式训练] (2009福建, 15, 4分) 五位同学围成一圈依序循环报数, 规定:①第一位同学首次报出的数为1, 第二位同学首次报出的数也为1, 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数, 则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数, 当五位同学依序循环报到第100个数时, 甲同学拍手的总次数为.[变式答案] 5[变式解析] 五位同学报数所构成的数列为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, 该数列被3除所得的余数构成的数列为1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …,所得新数列中每4个数出现一个0, 而又有5位同学, 因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20, 所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16, 36, 56, 76, 96, 共5个数, 故答案为5.[第54页第6题] (2014江苏兴化期中调研) 已知函数f(x) =, 正项等比数列{a n}满足a50=1, 则f(ln a1) +f(ln a2) +f(ln a3) +…+f(ln a99) = .[答案][变式训练] (2012北京海淀区高三11月月考，4,5分)已知数列的前项和，则（）A．B．C．D．[变式答案] D[变式解析] .[第54页第7题] (2012浙江, 13,4分) 设公比为q(q> 0) 的等比数列{a n}的前n项和为S n. 若S2=3a2+2, S4=3a4+2, 则q= .[答案][变式训练] (2010全国Ⅰ, 4, 5分) 已知各项均为正数的等比数列{a n}中, a1a2a3=5,a7a8a9=10, 则a4a5a6=( )A. 5B. 7C. 6D. 4[变式答案] A[变式解析] ∵{a n}是等比数列, ∴==q9, 故(a4a5a6) 2=(a1a2a3) ·(a7a8a9) =50, 又a n>0, ∴a4a5a6=5. 故选A.[第54页第8题] (2012辽宁, 14,5分) 已知等比数列{a n}为递增数列, 且=a10, 2(a n+a n+2)=5a n+1, 则数列{a n}的通项公式a n= .[答案] 2n[变式训练] (2014广州高三调研测试, 9) 在等比数列中，若，则．[变式答案] 3[变式解析] 数列为等比数列，，，，即.[第54页第9题] (2013江苏, 14,5分) 在正项等比数列{a n}中, a5=, a6+a7=3. 则满足a1+a2+…+a n> a1a2…a n的最大正整数n的值为.[答案] 12[变式训练] (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 4) 设为数列的前项和，已知，若，则（）A. 512B. 16C. 64D. 256[变式答案] D[变式解析] 由，，则，，数列从第二项起是等比数列，.[第54页第10题] (2014安徽池州一中月考) 数列{a n}的前n项和为S n, S n+a n=-n2-n+1(n∈N*).(1) 设b n=a n+n, 证明: 数列{b n}是等比数列;(2) 求数列{nb n}的前n项和T n;(3) 若c n=-a n, P=, 求不超过P的最大整数值.[答案] (详见解析)[变式训练] (2009福建, 15, 4分) 五位同学围成一圈依序循环报数, 规定:①第一位同学首次报出的数为1, 第二位同学首次报出的数也为1, 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数, 则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数, 当五位同学依序循环报到第100个数时, 甲同学拍手的总次数为.[变式答案] 5[变式解析] 五位同学报数所构成的数列为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, 该数列被3除所得的余数构成的数列为1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …,所得新数列中每4个数出现一个0, 而又有5位同学, 因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20, 所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16, 36, 56, 76, 96, 共5个数, 故答案为5.[第54页第11题] (2012湖北, 18,12分) 已知等差数列{a n}前三项的和为-3, 前三项的积为8.(1) 求等差数列{a n}的通项公式;(2) 若a2, a3, a1成等比数列, 求数列{|a n|}的前n项和.[答案] (详见解析)[变式训练] (2007福建, 2, 5分) 数列{a n}的前n项和为S n, 若a n=, 则S5等于( )A. 1B.C.D.[变式答案] B[变式解析] S5=++…+=++…+=1-=,故选B.[第55页第1题] (2014浙江嘉兴一中摸底) 等差数列{a n}中, 已知a1=-12, S13=0, 使得a n> 0的最小正整数n为( )A. 7B. 8C. 9D. 10[答案] B[变式训练] (2013北京西城区高三三月模拟，10,5分) 设等差数列的公差不为，其前项和是．若，，则______．[变式答案] 5[变式解析] 由，得，故由等差中项的性质得. 所以. 又，公差不为，所以.[第55页第2题] (2013广东惠州调研) 已知数列{a n}中, a n+1+(-1) n a n=2n-1, 则数列{a n}的前12项和S12=( )A. 76B. 78C. 80D. 82[答案] B[变式训练] (2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，16) 已知数列中,, , ,则……= .[变式答案][变式解析] ，，∴，…………所以……=[第55页第3题] (2013江南十校联考) 已知函数f(x) =x a的图象过点(4,2), 令a n=, n∈N*. 记数列{a n}的前n项和为S n, 则S2 013=( )A. -1B. -1C. -1D. +1[答案] C[变式训练] （2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则； . [变式答案] 36；3981[变式解析] ;.[第55页第4题] (2013山东日照一模, 10) 已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n, 则{|a n|}的前n项和T n=( )A. 6n-n2B. n2-6n+18C.D.[答案] C[变式训练] (2013北京西城区高三三月模拟，10,5分) 设等差数列的公差不为，其前项和是．若，，则______．[变式答案] 5[变式解析] 由，得，故由等差中项的性质得. 所以. 又，公差不为，所以.[第55页第5题] (2014浙江温州八校联考) 已知{a n}是等差数列, a1=1, 公差d≠0, S n 为其前n项和, 若a1、a2、a5成等比数列, 则S8= .[答案] 64[变式训练] (2010辽宁, 6, 5分) 设{a n}是由正数组成的等比数列, S n为其前n项和. 已知a2a4=1, S3=7, 则S5=( )A. B. C. D.[变式答案] B[变式解析] a n>0, a2a4=q4=1, S3=a1+a1q+a1q2=7.解得a1=4, q=或-(舍去) ,S5===, 故选B.[第55页第6题] (2013辽宁, 14,5分) 已知等比数列{a n}是递增数列, S n是{a n}的前n 项和. 若a1, a3是方程x2-5x+4=0的两个根, 则S6= .[答案] 63[变式训练] (2010辽宁, 6, 5分) 设{a n}是由正数组成的等比数列, S n为其前n项和. 已知a2a4=1, S3=7, 则S5=( )A. B. C. D.[变式答案] B[变式解析] a n>0, a2a4=q4=1, S3=a1+a1q+a1q2=7.解得a1=4, q=或-(舍去) ,S5===, 故选B.[第55页第7题] (2012北京, 10,5分) 已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和. 若a1=, S2=a3, 则a2= ; S n= .[答案] 1; n(n+1)[变式训练] (2012宁夏高三模拟，13,5分)公差为d,各项均为正整数的等差数列中,若a1=1,a n=51,则n+d的最小值等于.[变式答案] 16[变式解析] a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)d=51,∴d=,而d∈N*,n+d=n+,n分别取2,3,6,11,26,51,可知n+d的最小值为16.[第55页第8题] (2014安徽示范高中第一次联考) 已知数列{a n}中, a1=2, a n+1=+2a n(n∈N*).(1) 证明数列{lg(1+a n) }是等比数列, 并求数列{a n}的通项公式;(2) 记b n=+, 求数列{b n}的前n项和S n.[答案] (详见解析)[变式训练] (2009北京, 14, 5分) 已知数列{a n}满足:a4n-3=1, a4n-1=0, a2n=a n, n∈N*, 则a2 009= ;a2 014= .[变式答案] 1;0[变式解析] a2 009=a503×4-3=1, a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.[第55页第9题] (2013浙江, 18,14分) 在公差为d的等差数列{a n}中, 已知a1=10, 且a1, 2a2+2,5a3成等比数列.(1) 求d, a n;(2) 若d< 0, 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.[答案] (详见解析)[变式训练] (2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，13,5分)已知数列{}的前n项和为，，则.[变式答案] 33 .[变式解析]。

注重错题归纳，提升数学解题能力

㊀㊀㊀１４９㊀数学学习与研究㊀２０２３０４注重错题归纳提升数学解题能力注重错题归纳，提升数学解题能力Һ段军长㊀（甘肃省会宁县第一中学，甘肃㊀白银㊀７３０７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ高中数学学习知识跨度大，综合性强，思维水平要求高，教师在课堂教学内外都要重视错题归因，通过错题引导学生归纳总结㊁提升思维，提高学生解决问题的速度和准确性，让学生积累解题经验，并学以致用．为了实现上述目标，进一步提高学生解决问题的能力，教师要从学生的实际学习情况入手指导学生高效率整理归纳错题，带领学生挖掘处理数学问题的规律，优化教学指导，矫正不良心态，积累经验做精错题集，达成深度学习，并逐步掌握完整的知识体系结构，实现查漏补缺，提高解题效率和准确率．ʌ关键词ɔ高中数学；错题归纳；解题能力；相关措施ʌ基金项目ɔ本文系白银市教育科学十四五规划２０２２年度一般课题‘新高考背景下基于核心素养的高中数学错题管理策略探究与实践“，课题立项号ＢＹ［２０２２］Ｇ３６９．引㊀言数学教学要特别重视学生的知识运用能力和思维提升，把增强学生在具体情境中的解题能力作为前提，引导学生通过整理和利用错题本，对日常学习中可能出现的易错题及做错的题进行记录与归纳，避免同类知识多次出错，同一思路反复遗忘．在教学实践中，教师要通过鼓励㊁指导和督查，引导学生有效地整理错题本归纳错题，全方位发现错题㊁分析错题和解决错题，同时利用错题本复习巩固错题，解决一错再错的问题．一㊁通过错题归纳，优化教学指导在数学课程教学中归纳错题，能够优化教学指导．实际上，从学习主体维度出发，错题归纳的价值在于让学生正视自己的问题，了解自身学习的知识盲区㊁思维误区，进而调整自身的学习方式．但从教学主体维度出发，学生错题集的归纳更是教师进行课堂设计的依据和焦点．教师可以针对个性问题与共性问题，设计不同容量和复习频率的课堂内容，从而优化教学指导，具体体现：一是优化对学情和自己教学接受度的了解和认知，彰显教师的主导作用．教师通过对错题集的批阅，对学生的错误进行细致统计㊁细致研究㊁系统归类，可以直观系统地掌握学情，有针对性地进行指导，同时借助错题积累，课后反思课堂教学设计和方法指导是否合理高效，针对问题分析原因，借鉴他人优秀经验，提升课堂教学质量和艺术．这样既是在彰显教师的课堂主导地位，也可为学生提高解题能力提供保障．二是通过错题归纳，优化作业设计，助力减负增效．错题集的归纳整理，促使教师更主动地参与学生的学习活动，客观分析学生审题㊁析题㊁解题的突破口与关键知识，合理设计分层作业，训练学生一题多解㊁多解归一的能力，针对性地训练解题能力并删减无效作业，提质减负．三是优化教师教研意识，提升课程开发能力，实现教师专业成长，最终达成教学相长．新课程标准更加注重教师的教研意识与课程开发能力，教师的成长是学生发展的有效路径．而错题集就是学生创造的宝贵资源，针对现实问题和常见错误的理论与实际结合的深层次研究，才最有创新性和推广价值，更是通过教学改革促进学生发展不可或缺的部分．二㊁通过错题归纳，培养学习主体意识错题归纳是高中数学日常学习的关键流程，建立错题本学习更有针对性，既节约时间又提高效率，能唤醒和培养学生的学习主体意识，获取更佳的学习效果．由于学生大多参照课后作业㊁试卷㊁教辅资料等进行错题积累，这时错题较为分散，影响学生查阅的有效性，无形中增加了学生的学习负担．如果学生多次寻找错题无法直观查阅，就会影响到学生学习的积极性．因此，教师要借助错题归纳解决遇到的学习困难，帮助学生拓展解决问题思路．同时，由于课堂教学时间有限，教师很难随堂实施专门的个性化辅导，而借助错题集归纳相关问题，为师生的无障碍交流提供了平台，这个过程也提升了学生自主学习的水平，促使学生树立学习主体意识．学生在被动的㊁无差异的学习中，更多依赖教师的集体讲解理解知识，被动地用习题来训练巩固知识，以书面的课时作业来反馈学习效果．而在错题归纳背景下，学习重心由㊀㊀㊀㊀㊀１５０数学学习与研究㊀２０２３０４教转向学，课堂重点由教师教转向学生学，学生地位由被动变为主动，学生的主体意识被唤醒，这一过程帮助学生树立了学习信心，提升了学生的解题能力．比如，在集合相关概念的教学中，通过集合计算取值范围问题是重点内容，然而调查显示，学生在初学时大多错误百出．有这样一道例题：假设存在两个集合Ａ和Ｂ，Ａ＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ－１ɤｘɤ２ａ－１｝，在Ａ包含Ｂ的情况下，求实数ａ的取值范围．在解答该问题时，学生会淡化空集的存在，最终解答错误．针对该问题，教师可借助同类习题引导学生归一训练，引导学生审读空集概念，以概念关键词任何集合的子集内部没有元素的集合等为突破口，多角度审题㊁析题，在实际问题中研究空集；还可以引导学生记录错题的影响因素，尝试提升学生研究错误问题的能力．另外，部分学生基础知识掌握不够扎实，无法从错题归纳中收获知识与经验，教师如果强制性要求学生归纳错题，不仅不能做到巩固知识，还会打击学生的学习自信．基于此，教师应主动研究学生存在的学习问题，动态跟踪错题训练，指导学生分层归纳错题，让学生感受到教师对自身的重视，感受到归纳错题的收获，这样可以有效提高学生参与学习的积极性，激活学生对数学学习的兴趣，让学生成为学习的主人，培养学生的学习主体意识．三㊁通过错题归纳，实现知识查缺补漏错题整理之所以高效，错题本学习法之所以被推崇，最现实的意义是能够帮助学生迅速对照检查，查漏补缺，构建完整的知识体系．错题归纳不是简单的错题再现，而是对错题的记录㊁反思㊁分析与总结，尤其是函数㊁导数㊁解析几何推导公式多，概念复杂，变式丰富，如果学生某节课或几节课未参与上课或状态差，就会造成知识欠缺．错题归纳还包含学生时常遗忘的知识点，甚至是掌握不够扎实的知识．这些基本知识的遗漏与缺失可以通过错题归纳反思回顾，逐步提高学生查缺补漏的能力．具体的学习过程中错题以课后习题，课外作业和试卷为主，注重错题积累的时效性．课时知识不隔天，章节知识不过周，时间跨度大会增加学生遗忘错题的概率．在平时学习中因为试卷堆积困难，试卷丢失，错题遗漏导致知识补偿不到位．错题归纳可将知识再现，通过更正错题任务，实现查缺补漏，让学生了解错题的基本题型，使学生在反思和研究中深层次挖掘知识点内涵，轻松分析题目考点，循序渐进地强化学生思维研究能力．比如函数知识点的学习，学生可能对函数自变量的取值范围及函数值域的概念出现混淆，很容易出现解题错误，所以教师要研究学生出错的原因，挑选学生易出现错误的题目对学生进行训练，帮助学生查缺补漏．例如：ｙ＝３ｘ２－２（ｍ＋３）ｘ＋ｍ＋３的值域为［０，＋ɕ］，则实数ｍ的实际取值范围应该是多少？一些学生出现错误的原因是将题目中已知的值域范围当成自变量的取值范围进行求解．这就体现了学生对知识掌握存在疏漏之处，所以教师可以通过错题归纳收集学生学情，有针对性地帮助学生查缺补漏．四㊁通过错题归纳，优化复习效率一般而言，导致学生做错数学题目的因素包含几点：过于粗心判断出现错误㊁缺少完整的解决问题思路㊁知识欠缺㊁变式会而不对或对而不全．因此，回顾复习与研究错题影响因素是比较关键的，不仅是寻找纠正错误，还可强化提示后续不再出现同类错误，减少问题出错的概率，归纳错题全面彰显作用．一是指向课后复习的盲目性，错题归纳可以对症下药，提高复习效率．在高中数学教学实践中归纳错题可以有效提升学生的学习成绩．在归纳错题之后，教师要引导学生复习巩固，学习怎样运用错题提高学习效果．错题归纳过程中，教师更需要鼓励学生定期归纳错题的同时周期复习回顾．教师要适当减少学生作业负担，留出一定时间带领学生复习错题，让学生及时改进有问题的地方．一方面一些学生吸取之前的练习经验；另一方面，学习能力强的学生会关联其他易错点，充分归纳和记录．精选的错题可以缩短学习时间减轻课业负担，针对性更强，保证单位时间内的复习收益最大化．二是指向复习懈怠，错题归纳可以直观体现一段时间内学生的学习困惑，错题集就是复习清单，杜绝了部分学生平时学习感觉自信满满，现场检测一塌糊涂的现象．错题的类型具有多样性，涉及审题存在错误㊁概念混淆等，无形中为学生复习提供直接素材，鞭策学习行为，唤醒学习意愿．三是指向知识遗忘，数学知识比较抽象，学生知识的总结和学习方法的积累是需要不间断依赖语言归纳才能得以体现的，这是它比较重要的存在价值．错题摘抄是错题归纳最基础的操作，也是起始阶段，所以对错题集的复习最为直观的作用是回归，回归遗忘的知识，回归遗忘的思路，再现遗忘的解题方法．调查分析显示，大多数学生都在建立错题本，但是因课下作业偏多，不能妥善地利用错题本，错题本的价值没有最㊀㊀㊀１５１㊀数学学习与研究㊀２０２３０４大化的体现，甚至归纳过程形式化，唯数量化，致使学生厌烦错题复习，忽视错题资源的价值．基于此，数学教师要向学生强调错题归纳的重点不是数量，而要关注质量．教师鼓励学生自主检查易错题，监督学生归纳错题的结果．部分教师把易错题整理在一张试卷上，此种监督手段的成效比较显著．鼓励学生在章节总结前，在期中㊁期末考试前集中精力和时间复习错题集，在解题实践中翻阅错题集，在应试情境中向错题集迁移．数学教师跟踪研究学生解题准确率㊁错题归纳的质量和复习的质量，认真比较学生错题归纳的结果，对学生普遍存在的错误内容加以记录，整理在课件上并体现在课堂教学中，教学中再次给学生强调错题归纳和复习利用技巧，引导学生高效利用错题本优化复习效率，加深学生对数学错题的印象，提升教学实效．五㊁通过错题归纳，了解问题的内在规律，达成深度学习深度学习是一种认识水平较高的高阶思维活动，它的反面就是浅表化学习．浅表化学习就是就题论题，模仿解题，很难达到对问题本质的理解，而深度学习则需要内源性的主动思维，深入思考，达到对知识本质的渗透理解．错题归纳的过程可以有效增强学生自主钻研了解问题的内在规律，提高发现问题与解决问题的能力，是由浅表化学习逐步迈向深度学习的过程．错题归纳的过程是促进学生逐步挖掘问题的本质规律的高效能学习过程，强化对解题方法运用㊁对问题本质的挖掘．具体来讲，有效的分类与加工训练问题引导学生逐步掌握规律，能够避免学生由于训练题目数量多而出现厌倦情绪的情况，促使学生提升自身的知识应用能力和思维研究能力．归纳数学错题，系统化地呈现错题特征，便于调动大脑联系记忆机制，优化知识认知，明晰解题思路，是深度学习的直接体现．六㊁通过错题归纳，矫正不良心态受到高考的影响，大多数高中学生都会感受到学习的压力，以至于一些学生听课方式以及课下整理错题的方式不够合理，特别是错题整理．想让学生把整理错题视作学习知识内容，教师要利用科学有效的方法，让学生意识到错题归纳的必要性．教师给学生设计练习题时，应根据学生实际情况，尤其是学生容易出现的错误，带领学生细致研究与分析问题出错的原因，之后鼓励学生结合具体现象整理与归纳．针对学生缺少自控能力的问题，教师定期检查学生错题归纳结果．另外，学生错题种类比较多，若盲目地归纳和整理，不只是降低学习成效，还会增加对学习过程的反感．为此，教师需要阐述归纳错题的要点，让学生分类归纳错题，调整高中学生在学习中粗心做题的不良习惯．归纳错题时，教师要鼓励学生书写工整，记录错误答案以及正确答案，适当用画笔进行标注，培养学生的获得感．另外，教师需要分析学生归纳错题的效果，定期给学生出示易错题目，强化学生印象，对学生良好的表现充分鼓励和赞扬，提高学生进行错题归纳的主动性．由于诸多高中学生都属于独生子女，自我中心感较强，甚至存在逆反情绪，在做题中难免表现出浮躁的情绪，不能静心钻研题目，错题集相较于其他学习资料，个性㊁适量㊁有基础，能短时间唤醒记忆，让学生有获得感．结束语综上所述，高中数学错题归纳可提高学生的学习成绩，还可增强学生的解题能力，让学生在数学学习中感知成长与学习的欢乐．高中数学教师要充分意识到错题归纳的意义，尽可能减少学生的学习负担，及时鼓励学生进行错题归纳和积累，帮助学生树立学习信心，更多地在数学学习中发挥主观能动性，强化学生对知识点的印象，发展学生核心素养，不断推动高中数学教学发展的进程．ʌ参考文献ɔ［１］吴秀军．巧妙利用错误资源，强化数学解题能力［Ｊ］．学周刊，２０２０（１９）：９５－９６．［２］李红金．探究高中数学解题思路以及解题能力的训练［Ｊ］．新课程，２０２０（３３）：１３７．［３］任时金．浅谈错题集在高中数学教学中的应用［Ｊ］．明日，２０１９（１３）：７１．［４］袁璐．充分利用错题本，提高初中数学教学效率［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０１９（１２）：１９．［５］马进贤．探讨高中数学教学如何培养学生的解题能力［Ｊ］．中文信息，２０１９（０５）：１２５．［６］赖雯．巧用数学思维方法提升学生数学解题能力探讨［Ｊ］．成才之路，２０１９（１８）：４４．［７］朱吉友．探究高中数学教学中提高学生数学解题能力的措施［Ｊ］．幸福生活指南，２０１９（０６）：１．［８］文钰林．三色错题集在高中数学学习中的建立与有效运用［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２０（０４）：７５．。

第5章-5.3.2-正切函数的图象与性质高中数学必修第一册湘教版

4

4
π
π
π
π
= tan 4.当 = 时，
= tan(4 × ) = tan = 3．
12
12
12
3
= 4，所以
π
π
> 0 ，点 , 0
3
3
5π
π 2π

, 0 是其图象上相邻的两个对称中心，则在区间[ ， ]上的最大值为___.
6
2
3
π
5π

5π
π
π
【解析】由 , 0 和
3
∈ [0, ) ∪ ( , π]的值域为 −∞, −
3
]
3
∪ [ 3, +∞ .
图5.3.2-9
题型3 周期性与对称性
例12 函数 = tan −4 +
π
A.
4
π
B.
2
π
6
的最小正周期为( A
C.π
【解析】函数 = tan + 的最小正周期 =
=
π
−4
π
4
= .
)
和
例15 若函数 = tan ∈ + 的图象的一个对称中心是点
为( B
，则的最小值
)
A.2
B.3
C.6
【解析】因为正切函数 = tan 图象的对称中心为点
=
π
,0
6
π
2
D.9
π
,0
2
∈ ，所以令
∈ ,
（正切函数图象的对称中心包括图象与轴的交点，以及渐近线与轴的交点）
D. < <
π π

第二章-4.1-函数的奇偶性高中数学必修第一册北师大版

−1 = 1 − ，
则 −1 + 1 = 2 ≠ 0， −1 − 1 = −2 ≠ 0，
即 −1 ≠ − 1 , −1 ≠ 1 ,则函数既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述，当 ≠ 0时，函数既不是奇函数也不是偶函数；当 = 0时，函数
为偶函数.
【解析】对于A，由奇函数的图象特征知，A正确；
对于B，例如 =
1
为奇函数，但其图象不过原点，故B错误；（【巧解题】只有奇函

数在 = 0处有定义时，其图象才过原点）
对于C，由偶函数的图象特征知，C正确；
对于D，例如 =
1
为偶函数，但其图象与（【注意】在
2
轴不相交，故D错误．
= 0处无定义）
−

=
=
=
1+2 −−1
1+2 −+1
1+2 +−1
1+2 ++1
1+ 2 −−1
1+ 2 ++1
1+ 2 −+1
1+ 2 +−1
1+ 2 − +1 2
1+ 2 − −1 2
= −1,
∴ − = − ，
∴ 为奇函数.
【学会了吗|变式题】
=
1+ 2 −+1
1+ 2 ++1
−2+2
1+ 2 −+1
1+ 2 ++1
= 0,
∴ − = − ,∴ 为奇函数.
方法2 当 = 0时， = 0.（【注意】函数的奇偶性是整体性质，是对整个定义域

高中数学【空间几何】相关4大易错点梳理真题分类讲解

目录
易错点 1 柱锥台区分..................................................................................................... 2 易错点 2 斜二测画法与直观图.......................................................................................6 易错点 3 平行垂直判定与性质.......................................................................................7 易错点 4 外接球半径..................................................................................................... 10
//平
面 BCD ，同理得 HI / / 平面 BCD ，由于 GH HI H ，所以平面 GHI / / 平面 BCD ；故选项 A 正确；
第 2 页共 31 页
对于 B 选项，如图 2， PC 为母线 m ， PO 为圆锥的高，连接 CO ，即 CO 是 PC 在底面的射影，过 O 作 OC AB ，根据平面的性质得，过 O 作 OC 的垂线有且只有一条，故 B 选项正确；对于 C 选项，由于正棱柱的中心到正棱柱的各个顶点的距离相等，故满足球心到球面上的任意点的距离相等且等于半径，故正棱柱的中心就是其外接球的球心，故 C 选项正确；
2
22
∴在原图形中 AD 6a ， BC a ， S 1 a 6a 6 a 2 ．故选：A．

2020年新高一人教A版数学必修1 集合间的基本关系

课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
解:(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B. 由图可知,B⫋A. (2)由已知A⊇B. ①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1. 由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,
课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
变式训练 2设A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形},则下列关系正确的是( ) A.E⫋D⫋C⫋A B.D⫋E⫋C⫋A C.D⫋B⫋A D.E⫋D⫋C⫋B⫋A 解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知, 应选A.
�� = 4 , �� = 0, �� = 0, 解得或或 1 �� = 0 �� = 1 �� = 2 . 验证得,当 x=0,y=0 时,与集合中元素的互异性相矛盾,舍去. �� = �� = 0, 故 x,y 的取值为或 �� = 1 �� =
2��-3 ≥ -5, 由图可得解得-1≤a≤4. ��-2 ≤ 2,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
反思感悟 1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法, 将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. 2.涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.

构建高中学生数学“错题整理—反馈矫正”的教学策略和方法

课题展示新课程NEW CURRICULUM一、问题的提出高中学生数学学习已经一年了,但学生对高中数学学习有很大的困惑。

有学生跟我说:“老师,我自认为我的数学基础不错,为什么有些问题平时上课错了,后来我自认为弄懂了,可在单元测试中又错了,而期末考试考到本题,我还是失分了。

这是怎么回事呢?这样,一错再错,我真得对自己没信心了。

”也有学生说:“我数学怎么考不了高分呢?每次总会在某些地方出错。

”我认为,我们的学生在数学错题整理中存在问题:(1)由于长期受应试教育的影响,学校以及教师缺乏明确的较为系统的错题整理教学策略,我们高中生普遍重视错题,但并没有很好地处理错题,相对缺乏明确的错题整理意识;(2)有些学生可能比较积极地面对自己的错误,较少感受到因犯错误而被他人贬低的心理压力,在错题整理态度和观念上必定高于普通生;(3)有些学生基于个人经验积累了一些错题整理经验,在错题整理行为与策略上必定强于一般学生。

可见,构建高中学生数学“错题整理—反馈矫正”的教学策略和方法显得尤为重要。

二、教学策略和方法的实施1.学生方面:(1)避免错题发生的预防。

培养学生在每一次作业或练习时,能主动地进行检查和检验,以降低错题出现的概率。

操作上,从课堂练习进行训练。

(2)形成“错题整理—反馈矫正”的氛围。

在班级中营造解决错题的氛围,让学生共同关注错题,激发反思错题的热情。

定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题,让学生在课堂上进行剖析,充分暴露解题思路,讨论错误原因。

在学生常犯错误的关键之处,经常适时地引导学生去反思、回顾。

(3)养成“错题整理—反馈矫正”的习惯。

努力帮助每个学生逐步养成独立反思的良好习惯。

拟采取以下方法:①有错必纠,②坚持训练。

(4)善于错题成因的分析。

学生对练习、检测中的错题,缺乏独立分析的能力,因此,教师必须教给他们错题分析的方法。

①反馈矫正题目要求。

②反馈矫正解题过程。

③反馈矫正生活实际。

④反馈矫正书写及笔误。

第3章-3.1-不等式的基本性质高中数学必修第一册苏教版

2.已知，且，,则，的大小关系是( )
A
A. B. C. D.不能确定
【解析】由，得,, .所以,所以，故选A.
3.(2024·北京市八一学校月考)已知，且，则( )
A
A. B. C. D.
【解析】令,，则,,，从而，选A.
由，且可得,且.因为 ,所以，又,所以，所以，选A.
题型4 对不等式性质的理解及应用
例8 ［多选题］(2024·江苏省无锡一中期末)十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列关于不等式的结论中错误的是( )
D
A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则
【解析】对于A，若，，，均小于0，则 ,故A不正确;对于B,若，则，则，即，故B不正确;对于C,若，则，即，故C不正确;对于D,若，则，故D正确．
例9 ［教材改编P53 例1］解下列不等式.
（1）；
【解析】，，，， .
（2） .
【解析】，，，，， .
【解析】设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为 ,设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为，则混合后的糖水浓度为，所提炼出的不等式：若，，且,则 .
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·江苏省无锡市期中)某公司有20名技术人员，计划开发，两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值/万元
7.5
__件，总产值最高为_____万元.
20
330
【解析】设应开发类电子器件件，可得开发类电子器件件，则，解得．由题意得总产值 ,当时，，当且仅当时，取得最大值,为330．

第1章-1.2-子集、全集、补集高中数学必修第一册苏教版

44444 4
537
424
= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .

2
1
4
（特征法）集合A中的元素为 = + =
=

4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；

第二章-2.2.4-均值不等式及其应用高中数学必修第一册人教B版

第二章等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
教材帮|必备知识解读
知识点1 均值不等式
例1-1 已知, ∈ ，且 > 0,则下列结论恒成立的是( D
2
2
A. + > 2
1
C.

B. + ≥ 2
1

+ >
)
2

D.

+

≥2
【解析】对于A,当 = 时，2 + 2 = 2,所以A错误；
需要的代数式）
∵ > 1,∴ − 1 > 0,
∴≥2
−1
当且仅当 − 1 =
9
⋅
−1
+ 2 = 2 × 3 + 2 = 8,
9
,即
−1
故当 = 4时，min = 8.
= 4时取等号.
（3）若,是正数，则
【解析】
1 2
+
2
1 2
+
2
1 2
+ +
2
1 2
4
) 的最小值是 ___.
列不等式恒成立的是( AD
1
A.

≥
1
4
1
B.

1
+

)
≤1
【解析】由 + = 4，得 ≤
由 ≤ 2得 ≤ 4，∴
1

≥
1
D. 2 2
+
C. ≥ 2
+
2
4
2
= = 2，故C错误；

数学大闯关错题与变式

（第二关）10.
A.25° B.27° C.30°
D.36°
（第二关）1.
练习 3：
变式 1：计算 1 2018 1 2020 2 2
（第二关）7.
（第三关）4.
练习 2：
（1）20.4°=20°+ × =20° ′
（2）15′30″=
′
练习 4：
（第三关）5. 变式训练 5：
二、课堂小测
数学大闯关错题与练习
一、错题集锦与变式训练
（第一关）8. 如图是某企业 6 月份各项支出金额占该月总支出金额的比例情况,该月总支出金额为 40 万元，7 月份由于原料提价，需增加 1 万元支出,如果在总支出金额不变的情况下,压缩管理支出，那么 7 月份绘制的图形中,管理支出所占区域的扇形圆心角度数为( )
1. 若 a＜0，求 a101 a103 .
2.若 x2 2(m 3)x 16 是关于 x 的完全平方式，
求 m 的值.
3.
（第三关）8.
4.
变式 6：若 AB 边的长为 x 米，BC 边的长 y 米，则
y 与 x 之间的表达式是. Nhomakorabea

2021年新高考北京数学高考真题变式题1-5题-(解析版)

2021年新高考北京数学高考真题变式题1-5题原题11．已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=（）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤变式题1基础2．若{0A x x =<<,{}12B x x =≤<,则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≤B ．{}2x x ≥C ．{1x x ≤D ．{}02x x <<变式题2基础3．设集合{1,3,5}A =,{3,4,5}B =,则A B ⋃=（）A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}变式题3巩固4．已知集合{}2log 2M x x =<∣,{}25N x x =<<∣,则M N ⋃=（）A ．{}45x x <<∣B ．{}04xx <<∣C ．{}05xx <<∣D ．{}24xx <<∣变式题4巩固5．已知集合112162x A x N -⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭,{}240B x x x m =-+=．若1A B ∈ ,则A B ⋃=（）A ．{1,2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}变式题5巩固6．已知集合{}13A x x =-<≤,集合{}2B x x =≤,则下面关系式正确地是（）A ．A B =∅B ．{}23A B x x ⋃=-<≤C ．{R 1A B x x ⋃=≤-ð或}2x >D ．{}R 23A B x x ⋂=<≤ð变式题6巩固7．设集合{}2|1log 3A x x =≤≤,{}2|340B x x x =--<,则A B ⋃=（）变式题7提升8．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭,1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]原题29．在复平面内,复数z 满足(1)2i z -=,则z =（）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+变式题1基础10．若复数z 满足(12i)5z +=,则z =（）A ．1i +B ．1i-C ．12i+D ．12i-变式题2基础11．已知复数12z i =-（i 为虚数单位）,则1=z（）．A ．12i55+B ．12i55-C ．12i-D ．12i+变式题3巩固12．已知复数z 满足ii 1z z -=+,则复数z =（）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i-+变式题4巩固13．已知i 是虚数单位,复数z =（1+b i ）（2+i ）地虚部为3,则复数z 地共轭复数为（）A ．-1+3i B ．1-3iC ．-3+3iD ．3-3i变式题5巩固14．已知复数z 满足：()12i i 2z +=-,则z =（）A ．14B C ．12D 变式题6巩固15．已知复数53i1iz +=-,则下面表达正确地是（）A ．z 地虚部为4i B ．z 地共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应地点在第二象限变式题7提升16．复数21iz =+（i 是虚数单位）地共轭复数在复平面内对应地点是A ．()1,1B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--变式题8提升17．已知复数z 对应地点在第二象限,z 为z 地共轭复数,有下面有关z 地四个命题：甲：2z z +=-。

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