向量的夹角与长度

4．4 向量的夹角与长度

例1．已知.2,120,4||,2||垂直与使向量值求的夹角为与b a b ka k b a b a +-== 例2．已知ABCD 是平行四边形，求证：|).|||(|2|||2222AD AB BD AC +=+

例3．已知非零和量.,274;573的值求垂直与垂直与且向量的夹角为与θθb a b a b a b a b a ---+ 例4．已知,1)()(,2||,,=+⋅-=b a b a a b a 且满足是非零向量

（1）求22)()(b a b a ++-

（2）若.,3θ的夹角与求b a b a -=⋅ 【备用题】 如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补. 【基础训练】

1．已知的值为则的夹角为与b a b a b a ⋅==,3

,6||,31||π

（ ）

A ．2

B ．±2

C ．1

D ．±1 2．等式①00=⋅a ②00=⋅a ③||||||b a b a =⋅ ④22||a a =其中正确的个数为

（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．下列命题①||||||b a b a =⋅ ②22||a a = ③)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ ④)()()(b a b a ⋅=⋅λλλ其中正确

命题的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．在ΔABC 中，=⋅===CA BC c b a 则 30,4,3__________________. 5．已知方向上的投影长为在则的夹角为与b a b a a ,60,4|| =________________.

6．已知b a j i j i a y x j i 与则轴上的单位向量且分别是,346,125,,+=-=夹角的余弦值为___________. 【拓展练习】

1．已知=+⋅-=-=)(),3,2()4,3(b a a b a 则

（ ） A ．－13 B ．7

C ．6

D ．26 2．已知的夹角为则b a b a ,),3,3(),3,1(-==

（ ）

A ．6π

B ．3

π

C ．2π

D ．π32

3．已知||)sin ,(cos ),sin ,(cos PQ Q P 则ββαα的最大值为 （ ） A ．2

B ．2

C ．4

D ．22 4．λ和实数已知向量b a ,，下列等式中错误的是

（ ）

A ．a =||

B ．||||||b a b a =⋅

C ．b a b a ⋅=⋅λλ)(

D ．||||||b a b a ≤⋅ 5．已知e a e a a 与则向量方向的投影为在单位向量向量,3,2||-=的夹角为

（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

6．若等于则||,743,374AB j i OB j i OA -=+-=_____________. 7．向量)3,3(),1,3(-==b a 的夹角是_____________.

8．已知b a b a 在则),2,0(),3,1(=-=方向上的投影是_____________.

9．已知=⋅+⋅+⋅=++===a c c b b a c b a c b a 则且,0,32||,3||,3||________________. 10ABCD 是菱形的充要条件是对角线.BD AC ⊥

11．已知.||),5

7

,51(,1||||b a b a b a --=+==求

12．设在四边形ABCD 中，,,,,,a d d c c b b a d DA c CD b BC a AB ⋅=⋅=⋅=⋅====且问该四边形

ABCD 是什么图形.

13．在向量c b a ,,之间，该等式. ⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅⋅⋅=++)

23(:3:1)(:)(:)(0

a c c

b b a

c b a 成立，当,1||,1||时求时==a a

求||||c a 和的值.

14．若c b a ,,中每两个向量的夹角均为60°，且||,2||,6||,4||c b a c b a ++===求的值.