概率第一章(1)

( 2）结合律： A B ) C ( A B ) C
3）分配律： ( A B ) C ( A C ) ( B C )
A B A B A B A B
i 1
4）对偶律： ( D.Morgan律 ) 5）幂等律：
i 1
Ai Ai
i 1
o
例1 在自然数1，2，…120中任取一数，求此数能被3整除的概率。
解： 设 A=“此数能被3整除” {1 , 2 ,120 } n 120
n A 120 40 3 40 P ( A) 120 1 由古典概型的计算公式： 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按
A B A B

注：差运算不满足交换律 6 互不相容（互斥）
若事件A，B不能同时发生 A B
7 对立事件（逆事件）
若A B ，A B 记为 A B
1o A A 2o A A
A
A

3o A B AB
例2 设 A , B, C 是 中的随机事件，试用事件间的运算关 系表示下列事件： （1） A , B, C 中至少有一个发生 （2） A , B, C 中至少有两个发生 （3）事件 A 与 B 发生 而 C 不发生
个人各抽一张，在未抽完之前先抽者不准宣布结果。试证
明：每个人抽的甲级票的概率相等皆为k/n，而与取的先
后顺序无关。
例4 从1，2，·，9共9个数字中任取一个，然后放回，先 · · 后取出5个数字，求下列事件的概率
（1）A：最后取出的数字是奇数
（2）B：五个数字全不相同
（3）C：1恰好出项两次
（4）D：1至少出现两次
3º可加性
例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到达
汽车站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过3分
钟的概率。
例2 （会面问题）两人相约某天5点至6点在某地点会面， 先到者等 候另一人20分钟 ，过时离去。试求这两个人能
会面的概率。
例3 从（0，1）内任意取两个数，求这两个数的乘积小于 1/4的概率。
i 1 i 1
2） 概率是定义在事件域上非负 规范 可列可加的集合函数。
四、 概率空间
设 --样本空间 F—事件域 P—概率 称三元总体（ ， F ， ）为概率空间。
五 概率的性质
1 P ( ) 0
2 P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n
………（1）
个事件的概率。
补充习题 (彩票问题)
一种福利彩票称为幸福35选7,即从01,02,…,35中不重复地开出7个
基本号码和一个特殊号码,中各等奖的规则如下,试求各等奖的中奖 概率 中奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 幸 福 35 选 7 的 中 奖 规 则
中奖规则
7个基本号码全中 中6个基本号码及特殊号码 中6个基本号码 中5个基本号码及特殊号码 中5个基本号码 中4个基本号码及特殊号码 中4个基本号码或三个基本号码及特殊号码
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
引例1 某汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到达车
站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的
概率。 引例2 如果在一个5平方公里的海域里有表面达40平方公 里的大陆架蕴藏着石油，假设在这海域里随意任取一点
钻探，问钻到石油的概率是多少？ 引例3 在400ml的自来水中有一个大肠杆菌，今从中随 机取出2ml水，放在显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概


三 事件的关系及运算
1 关系及运算
1）包含关系 2) 相等关系
A B ( B A)
A B
B
A

若A B 且 B A A B
3 并 A B
事件A, B中至少有一个发生的事件
推广1： Ai
i 1 n
表示A1 , A2 , An 中至少有一个发生的事件。
n
推广2：
（5）E：恰好出现两对不同的数字
例5 9个国籍不同的乒乓球队，内有3个亚洲国家队，抽
签分成3组进行预赛，（每组3队），试求：
（1）3个组各有1个亚洲国家队的概率。
（2）3个亚洲国家队集中在第一组的概率。
（3）3个亚洲国家队集中在某一组的概率。
例6（分房问题 分球入盒问题）将n个不同的球以同样的 概率分到N（n N）个盒子中去，试求下列事件的概率。 （1）指定的n个盒子各有一个球。 （2）恰好有n个盒子各有一个球。 例7 在例7中假定n个球是不可分辨的，求 （1）（2）两
规定： Ai lim Ai
i 1 n i 1
4 交
n
A B
A B
事件A, B同时发生的事件。
推广1： Ai 表示A1 , A2 ,, An同时发生.
i 1
推广2：
i 1
Ai lim Ai
n i 1

n
A B
5 差 A B
事件A发生而事件B不发生
例1 写出下列试验的样本空间
1） 抛掷一枚均匀的硬币，观察出现正反面的情况。 2）连续投两枚硬币，观察出现正反面的情况。 3）对某一目标进行射击，直到击中为止。
4）研究电视机的使用寿命。
3 随机事件 定义：样本空间中具有某种性质的样本点的集合。 4
必然事件
不可能事件
A
A
n! r n (C n C n r r !( n r )!
r r r C n C n1 C n1 )
r (1 r n)
可重复组合：
r C n r 1
多组组合： 将n个不同的元素分成 s组，使第一组有 r 1 个元素， 第二组 r 2 有个元素，第s组有 rS 个元素 ，且有
序 论
一 概率论与数理统计研究的对象
1 确定性现象
在一定条件下必然发生的某种确定性现象。
2 随机现象
在一定的条件下进行观察和试验，其结果不能事先确
定的现象。 （偶然性、规律性） 概率统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科。 二 概率统计的起源与发展 三 概率论的广泛应用
第一章
事件与概率
本章主线提示：先由随机试验引出样本空间，并 给出概率的描述性定义，然后介绍古典概型与几 何概型中概率的求法。在对概率有了一些直观了 解的基础上，引出了事件的域，进而给出了概率 的公理化定义，并由此定义导出概率的基本性质。
n
n
Ai Ai
iHale Waihona Puke Baidu1
n
n
A A A
A A A
§1· 2
一 概率的直观意义
概率和频率
随机事件发生可能性大小的度量称为概率。 nA n A ---频数 f ( A) 二 频率 n
投币实验表
实验者
De.Ｍorgan Buffon K.Person K.Person
投掷次数
2048 4040 12000 24000
3o 若Ai F , i 1,2, n, 则 Ai F
则称 F 为布尔代数.
2.
o
--代数
设事件集合F

满足：
1o F 3
2o 若 A F , 则 A F
i 1
若Ai F , i 1,2,, 则 Ai F
则称 F为--代数（--域）
3. 事件域
三 概率的统计定义 定义 频率的稳定值（中心）称为概率。记为： P ( A)
频率 概率（n充分大）
概率的性质：
1o 2o 3
o
P ( A) 0 P ( ) 1 P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n
（A , A2 , An 两两互斥） 1
§1.3 古典概率
1 排列与组合公式 1） 基本计算原理 乘法原理： 2 ） 排列
r 选排列： Pn
加法原理：
n! r (1 r n) n( n 1)( n r 1) ( n r )! n Pn n!
可重复排列：
n n n n
r
r (r 1)
3） 组合
不重复组合： C r n
r1 r2 rs n ，则 分法总数为： n! r1! r2 ! rs !
二 古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质
1º 具有有限个样本点 1 , 2 , n
2º 每个样本点出现的机会均等 则称此试验为古典概型。 2 概率计算：
k A中所含基本事件数 A中样本点数 P ( A) n 基本事件总数 样本点总数
A { 3 , 6 ,120 }
电流放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在 按 1）有放回抽样 2）不放回抽样下，求下列事件的概率 A= “从100只中任取3只，3只都是乙类”
B=“从100只中任取3只，其中有2只是甲类，1只是乙类”
例3 设有n个人定了n张票，其中有k张甲级票，现让这n
率是多少？
一、 几何概型
定义：
若随机试验满足以下条件，则称其为几何概型。
1º 有无限个样本点，且样本空间是几何空间中的一个
有限区域。
2º样本点落在有限区域的概率与区域的度量大小成正比
而与区域的位置形状无关。
计算公式：
A的度量 A P ( A) 的度量
几何概率
性质： 1º非负性
2º规范性
例4（Buffon投针问题）平面上画着一些平行线，它们之
间的距离为a，向此平面内任投一长度为L（L<a）的 针，求此针与某一 行线相交的概率。
二 、事件域
1. 布尔代数
设是集合， F是由 的一些子集组成的集合族,如果满足：
1o F 2o 若 A F , 则 A F
n i 1
Ai A j (1 i j n)
……..（2）
3 对任意事件A有, P ( A) 1 P ( A) (3)
(4)
4 若A B , 则 1o P ( A B ) P ( A) P ( B ) 2o P ( A) P ( B )
A AB B
B AB
A B
A


5
对任意两个事件A，B 有：
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A B) (5)
推广： 设A1，A2， ，An F，则有：
P（ Ai） P（Ai）
i 1 i 1 n n 1 i〈j n
§1· 随机事件与样本空间 1
一 随机试验
一个试验如果满足下列条件则称为随机试验。 （1）试验可以在相同的条件下重复进行。 （可重复性） （2）试验的所有结果明确可知，并且不止一个。 （全部可知性） （3）每次试验只能出现一个结果，并且事先不能确定。（随机性）
二 随机事件
1 基本事件（样本点） 用 试验中的每一个基本的结果称为基本事件（样本点）。 表示 2 样本空间 全体样本点构成的集合。 用 表示
ABC
AB AC BC
ABC
（4） A , B, C 中恰好有两个发生 ABC ABC ABC
（5） A , B, C 中至多有一个发生
ABC ABC ABC ABC
2 运算规律
1）交换律：
A B B A
A B B A
( A B) C ( A B) C
若F由样本空间的一些子集构成一个域，则称它为
事件域。 F中的元素称为事件。
三、概率的公理化定义
1） 定义在事件域F上的集合函数P称为概率， 如果满足：
（P.1）非负性：
P () 0 P ( ) 1

（P.2）规范性：
（P.3）可列可加性： 若
Ai F , i 1,2, Ai A j ( i j ) , 则 P ( Ai ) P ( Ai )
（1）
P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 n
3
概率的古典定义
k P ( A) 称为事件A发生的概率。 将 n
----古典定义
o n n i 1 i 1
4 性质： 1 P ( A) 0
o
2 P ( ) 1 3 P ( Ai ) P ( Ai )
出正面次数
1061 2048 6019 12012
出正面频率
0.518 0.5069 0.5016 0.5005
频率的 性质： 1º非负性： 2º规范性：
f n ( A) 0 f n ( ) 1
3º 有限可加性： f n ( A B ) f n ( A) f n ( B ) ( AB )