切线与割线斜率关系的深度探析

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谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法

1 得 [ e x 2 e x1 ( x 2 x 1 ) e x 2 x1
x 2 x1 2
即 ] 0，
x x1 f (x2 ) f (x1) )。 f '( 2 2 x2 x1
【例 4】已知函数 f (x) x ln x, (x 0) ， x1 , x2 ( x1 x2 ) 为函数图像上任意两点的横坐标，求证：
（（ⅱ）若 f (x) 0 有两个实根，分别为 x1, x 试比较 2 x1 x2 ) ，
f '( x2 x1 ) 的大小。 2
通法：（ⅰ）易求得 a 的取值范围为 a 0或a 1；
f (x2 ) f (x1) 与 x2 x1
（ⅱ）由于 f (x) e ax 1，故 f ' (x) e a ，进而 f ' ' (x) f ' ' ' (x) e 0 ，。
a 0 时，有
f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1) x x f ' ( x2 x1 ) ； a 0 时，有 f '( 2 1 ) 。 x2 x1 x2 x1 2 2
x
【例 3】已知函数 f (x) e ax 1.
3
（ⅰ）若 f (x) 0 仅有一个实根，求实数 a 的取值范围；
x1 , x 2 D , 且 x1 x 2 ：若 f ''(x) 单调递增，则有
若 f ''(x) 为常数，则有
f (x2 ) f (x1) x x f '( 2 1 ) ； x2 x1 2
f ( x2 ) f ( x1 ) x x f ' ( 2 1 ) ；若 f ''(x) 单调递减，则有 x2 x1 2

浅谈“割线与切线”的斜率之间的关系——由学生的提问所引发的教学探究

一
解法２设所截３段的长分别为口６ｚ口，，一一
步探讨
浅谈 “割线与切线＂的斜率之间的关系
— —
由学生的提问所引发的教学探究
（白水高级中学湖北枣阳４１１）４２４
●张琴字
问题１已知曲线Ｃ：ｈ一ｅ（ｙ＝ｅ２ ∈Ｒ）任上
同样可得＝， ÷ 也就是说不同的实数组（６可，）
以得到相同Βιβλιοθήκη 的，，此与口Ｙ与ｂ构成的并不Ｙ因，是一一对应的等价关系，解法２是不正确的．故有
兴趣的读者不妨对这２个相似背景问题中的锐角
图５图６
三角形、直角三角形及钝角三角形的概率问题作进
２一ｌ２一１
结论
已知函数ｆ（是定义在连续区间）
（ｃＲ上的可导函数．曲线Ｃ：厂）任意２Ｉ）＿若Ｙ＝（上
个点连线的斜率的取值范围为集合Ａ其导函数， ’ 的值域为集合Ｂ，有以下结论：（）则
综上所述，论得证．结例女 Ⅱ ）＝（ ∈Ｒ）．
在该函数的图像上任取２个点（，，：，Ｙ）（，Ｙ） ≠ ）过这２点连线的斜率（，个
ｋ：二：＿＝：％１∈ Ｒ，－２＿＝％＝一＿＝一－１＋２＋，∈ ．
ｒ０＜ａ＜Ｚ；ｒ＜口＜Ｚ０；
则题目就可以转化为如下的问题：
Ｏ－
｛＜＜；即０ｂ￡【ｂｚ０｛＜＜；０ｚ口ｂｚ【＜＋＜，＜一一＜，００ｂ２

两条切线互相垂直斜率关系

两条切线互相垂直斜率关系在数学领域中，我们经常会遇到两条直线相交的情况。

如果两条直线互相垂直，则它们会在交点处形成一个直角。

那么问题来了，我们如何确定两条切线互相垂直的情况呢？答案就是斜率关系。

什么是斜率？直线的斜率是这条直线在坐标系中形成一个角度，用于衡量直线的倾斜程度。

我们通常用k来表示。

现在我们来看两条切线相交的情况。

假设我们有两条曲线，f(x)和g(x)，它们在某处相交。

我们定义点(A, f(A))为曲线f(x)在该点的一个坐标，同理，点(B, g(B))为曲线g(x)在该点的一个坐标。

在这两个点处，我们可以看到两个切线，分别是tang_f和tang_g。

我们需要分别确定这两条切线在交点处的斜率。

首先，我们来看切线tang_f的斜率。

根据微积分的定义，我们可以得出：f'(A) = lim((h->0) ((f(A+h) - f(A)))/h)f'(A)表示曲线f(x)在点A处的切线的斜率，lim表示h趋近于0的极限值。

我们可以将h=0代入方程，这样除数变成了0，但f(A+h) - f(A)不等于0。

所以，我们需要对分子和分母同时除以h。

这样，我们就可以得到：f'(A) = lim((h->0) (f(A+h) - f(A))/h) (*)同样，我们可以计算切线tang_g的斜率。

我们需要使用相同的方法，只不过需要将上式中的f变成g。

g'(B) = lim((h->0) (g(B+h) - g(B))/h)现在，我们来看两个斜率的乘积，即f'(A) * g'(B)。

如果它们相乘等于-1，则两条切线互相垂直。

因此，我们需要将这个等式的两边代入(*)式中，这样可以得到：f'(A) * g'(B) = -1如果你有数学基础，你可以自行证明这个等式成立。

如果你不确定它的正确性，可以自己尝试证明一下。

不难发现，这个等式和勾股定理非常相似，也是用来证明直角三角形的一个重要定理。

微分法新规应用5切线曲线的切线和斜率

切线向上的方向与自变量轴的正方向的夹角称为倾斜角，切线倾斜角的正切称为切线的斜率。
ⅰ.曲线 C： y = f (x) 的切线斜率是
k = tanα = f ′( x) = dy = lim f (x + dx) − f (x) ，
dx dx→0
dx
这里自变量轴是 x 轴，其中切线的倾斜角是 α （右手坐标系
长线。
图3
【说明】如图3， A(CB) 是曲线 y = f (x) 上，对应 x 轴上(微分)
点 x∽x+dx 处放大表示的光滑微分点， rt△ACB 是点 A(CB) 内的微分三角形。在此点内弧 � AB 和直线 AB 重合，直线 AB 的延长线就是切线 AT ；其斜），极限 lim f (x + dx) − f (x) 也可记作 lim f (x + ∆x) − f (x) ，它提供
dx→0
dx
∆x→0
∆x
了利用割线 PT 变化的斜率的极限去无限逼近切线斜率的方
法。
ⅱ曲线 C 的方程也可用 y = f (x) 的反函数 x = f −1( y) = φ( y) 表示，
边的比 dy = tanα = f ′(x) 。
dx
图1 这个观点可以揭示现代微分学中通用的切线定义的真谛。图1中，所谓“Q 点沿着曲线 C 无限地接近 P 点时，割线 PQ
的极限位置”其本质就是进入了微分点 P（Q）的内部，这时
曲线 P(Q) 就是点内微分三角形的斜边 P(Q) (请注意，这时图1 把点 P(Q) 内部的微分三角形放大并移到了另外位置)，微分点内斜边 P(Q) 的延长线就是切线 PT。 4.“光滑微分点”的现实原型

导数割线的斜率和切线的关系

导数割线的斜率和切线的关系
关于导数割线的斜率与切线之间的关系，是工业工程的一个重要的概念。

从数学的角度来看，可以概括为：求得函数的唯一切线，其斜率等于该函数的导数。

理解这一关系，首先需要梳理清楚其中的基本概念：函数是由空间两点之间的关系图像表示的，斜率指的是空间中两点之间的对比，也就是定义域变量和值域变量之间的比值（可以理解为两点连线的倾斜程度）；导数也是定义域变量与值域变量之间的变化率，它同样可以被用于表示两点之间对比的性质，但是它包含的信息比斜率多，它不仅包含了两点之间的对比性，而且包含了变化的加速度。

通过以上的解释，我们可以看出，斜率和导数之间的联系在于：斜率表体示两点之间的对比，而导数则则表明变化的加速度。

当定义域变量发生变化，函数的唯一切线的斜率便会对应发生变化，即变化率就等于函数的导数，这样一来，函数有唯一切线，其斜率则为该函数的导数。

在实际应用中，理解函数的导数割线与切线之间的关系，是工业工程的一个重要知识。

例如可以用于优化流程的能力，减少能量消耗；也可以将函数的导数割线实验，对新型加工器材等实施改进，从而取得最优化的生产效果。

据此，可以看出，函数的导数割线与切线之间的实质部分，是一种关系：斜率等于该函数的导数。

通过对这种关系的深入理解，可以为工业工程中节能，优化机械改进等应用提供指导意义。

切线方程和法线方程的斜率关系

切线方程和法线方程的斜率关系是一个比较经典的数学问题，它可以帮助我们理解曲线的特性，以及如何求解曲线上某一点的切线和法线方程。

首先，我们来看看曲线的切线方程和法线方程的定义。

切线方程是指曲线上某一点的切线方程，它可以用一般式来表示：y=kx+b。

其中k是切线的斜率，b是切点的y坐标。

而法线方程是指曲线上某一点的法线方程，它也可以用一般式来表示：y=m*x+n。

其中m是法线的斜率，n是法点的y坐标。

接下来，我们来看看切线方程和法线方程的斜率之间的关系。

我们知道，曲线上某一点的切线和法线是互相垂直的，因此它们的斜率也是互相垂直的。

这意味着，如果我们知道曲线上某一点的切线斜率，那么它的法线斜率就可以用下面的公式来计算：m=-1/k。

最后，我们来看看如何使用切线方程和法线方程的斜率关系来求解曲线上某一点的切线和法线方程。

首先，我们需要知道曲线上某一点的坐标，然后求出该点的切线斜率。

接着，根据切线斜率和法线斜率之间的关系，可以计算出法线斜率。

最后，根据切线斜率和法线斜率，以及曲线上某一点的坐标，就可以求出该点的切线方程和法线方程了。

总之，切线方程和法线方程的斜率关系是一个比较重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解曲线的特性，以及如何求解曲线上某一点的切线和法线方程。

割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件

文１末尾指出，对于有多个拐点的函数，也可能满足ＡＢ，比如ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ等等，所以， “有且仅有一个拐点”只是 “ＡＢ”的充分条件而非必要条件．那么 “ＡＢ”的充要条件是什么？本文通过探索，成功地解决了这个问题，不但发现了
取值集合相同，又ｇ′（ｘ）＝４＋ｘ２３－ｘλ２＞４，所以
ｇ（ｘｘ１１）－－ｇｘ２（ｘ２）＞４，显然满足题意；
２° 当λ＞０时，令ｇ″（ｘ）＝０得ｘ０＝λ３，当０＜
ｘ＜λ３时，ｇ″（ｘ）＜０，当ｘ＞λ３时，ｇ″（ｘ）＞０，所以
５４
数学通报２０１１年第５０卷第１２期
②
令ｇ（ｔ）＝２ｌｎ（ｔ２ｔ－ｔ－１２１）２，
则ｇ（ｔ）＝２ｌｎｔｔ２２－－ｌ（ｎ２ｔ（２－ｔ１－）１），
设Ａ（２ｔ－１，ｌｎ（２ｔ－１）），Ｂ（２ｔ，ｌｎｔ２）是对数函
数ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）图像上的两点，则ｇ（ｔ）＝ｋ２ＡＢ，因为曲线ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）上凸，无拐点，根据
推论２，曲线ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞１）上割线斜率的取值集合等于切线斜率的取值集合，又０＜ｙ′＜１，所以０＜ｋＡＢ＜１，所以ｇ（ｔ）＞２，结合②得ａ≤２．
例１（２００９年高考辽宁卷理２１题）已知函数ｆ（ｘ）＝１２ｘ２－ａｘ＋（ａ－１）ｌｎｘ，ａ＞１．
（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；（２）证明：若ａ＜５，则对任意ｘ１，ｘ２ ∈ （０，＋ ∞ ），ｘ１ ≠ｘ２，有ｆ（ｘｘ１１）－－ｘｆ２（ｘ２）＞－１．解（１）略；（２）ｆ′（ｘ）＝ｘ＋ａｘ－１－ａ，ｆ″（ｘ）

斜率切线知识点

斜率切线知识点斜率和切线是数学中的重要概念，特别在微积分中经常被使用。

在本文中，我们将逐步解释斜率和切线的概念以及它们在数学中的应用。

1.斜率的概念斜率是描述函数曲线的变化率的一个重要指标。

通常用字母m表示斜率。

对于一条直线来说，斜率表示该直线上任意两点之间的纵坐标变化量与横坐标变化量之比。

对于一条曲线来说，斜率表示曲线上某一点处的切线斜率。

2.切线的概念切线是曲线上某一点处与该点处曲线相切的直线。

切线与曲线在该点处有相同的斜率。

切线可以帮助我们研究曲线在某一点的性质，比如判断曲线是否上升或下降，以及在该点处的曲率等。

3.斜率和切线的计算对于一条直线来说，我们可以通过两点坐标来计算斜率。

假设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过以下公式计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

对于一条曲线来说，我们可以通过求导来计算曲线在某一点处的切线斜率。

假设曲线的方程为y = f(x)，则切线斜率可以通过求f(x)的导数f’(x)来计算。

在某一点处，切线的方程可以表示为y - f(x0) = f’(x0)(x - x0)，其中(x0, f(x0))是曲线上的某一点。

4.斜率和切线的应用斜率和切线在数学中的应用非常广泛。

它们可以帮助我们研究曲线的性质，比如凸性、拐点等。

此外，斜率和切线还可以用于求解最值问题，比如确定曲线上某一点处的最大值或最小值。

在物理学中，斜率和切线可以帮助我们研究物体的运动。

例如，通过计算物体的速度-时间图像的斜率，我们可以确定物体的加速度。

同样，通过计算位移-时间图像的斜率，我们可以确定物体的速度。

在经济学中，斜率和切线可以用于分析供需曲线。

供需曲线的交点处表示市场的均衡价格和数量。

通过计算供需曲线在交点处的斜率，我们可以了解价格和数量的变化关系。

总结起来，斜率和切线是数学中重要的概念，在微积分和其他领域中有着广泛的应用。

通过理解斜率和切线的概念以及计算方法，我们可以更好地理解曲线的性质，并在实际问题中应用这些知识点进行分析和求解。

两线相切斜率关系

两线相切斜率关系一、引言两线相切是初中数学中的一个重要概念，它在高中数学和大学数学中也有广泛的应用。

本文将从斜率的角度出发，探讨两线相切时斜率的关系。

二、什么是斜率？斜率是指直线在平面直角坐标系中与$x$轴正向夹角的正切值，也就是直线上任意两点纵坐标之差与横坐标之差的比值。

如果直线过点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则它的斜率$k$可以表示为：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$三、两条直线相交时斜率的关系当两条不平行直线相交时，它们一定有一个交点。

在交点处，这两条直线的斜率不同。

为了证明这个结论，我们可以采用反证法。

假设有两条不平行直线$L_1$和$L_2$，它们有一个公共点$(x,y)$且在该点处有相同的斜率$k$。

那么对于任意一点$(x+\Delta x,y+\Delta y)$（其中$\Delta x\neq0,\Delta y\neq0$），我们都可以得到：$$k=\frac{y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$即两条直线在该点处的斜率相同。

这意味着，$L_1$和$L_2$在该点处是平行的，与它们相交的假设矛盾。

因此，我们得出结论：两条不平行直线在交点处的斜率不同。

四、两条直线平行时斜率的关系当两条直线平行时，它们没有交点，也就是说它们在任何一点处的斜率都相同。

为了证明这个结论，我们可以采用反证法。

假设有两条平行直线$L_1$和$L_2$，它们在某一点$(x,y)$处有不同的斜率$k_1$和$k_2$。

那么对于任意一点$(x+\Delta x,y+\Deltay)$（其中$\Delta x\neq0,\Delta y\neq0$），我们都可以得到：$$k_1=\frac{y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\quad k_2=\frac{y+\Delta y-y}{x+\Delta x-x}=\frac{\Deltay}{\Delta x}$$即两条直线在该点处的斜率相同。

切线与割线斜率关系的深度探析

切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。

高中物理图象中的斜率误区

高中物理图象中的斜率误区作者：吕晴霞来源：《中学物理·高中》2015年第05期学生对物理图象的识别与应用是近几年高考热点考查对象之一.而对图象的斜率、截距以及所围面积的物理意义的正确解读是学生弄清图象的涵义、应用图象的过程中非常关键的一个环节.斜率有切线的斜率和割线的斜率之分，它们在物理环境下的意义也大相径庭.但学生在解题中往往把切线的斜率与割线的斜率混为一谈.基于此，本文对高中物理常见图象中的斜率进行近一步分析探讨.1 运动学中的s-t图象与v-t图象在s-t图象中割线的斜率表示平均速度，而切线的斜率则表示瞬时速度.例1 遥控玩具小车在平直路上运动的位移时间s-t图象如图1所示，则A.15 s内车的速度为零B.前10 s内汽车的速度为3 m/sC.前25 s内汽车的速度为1.6 m/sD.20 s末汽车的速度为-l m/s在此题中0～10 s内切线与割线恰好重合，平均速度与瞬时速度恰好相等，而10 s～15 s 内物体静止，切线斜率为零，瞬时速度为零，但割线斜率表示的0～10 s（15 s）内的平均速度不为零.到15 s后切线斜率与割线斜率更不同，所表示的瞬时速度与平均速度更不一样.所以此题选B.同样在v-t图象中，如图2割线的斜率表示平均加速度而切线的斜率则表示瞬时加速度.任何运动都可以存在平均加速度，但不是任何运动任意时刻都存在瞬时加速度.例2 如图3、图4所示的x-t图象和v-t图象中，给出的四条曲线1，2，3，4，代表四个不同物体的运动情况，关于他们的物理意义，下列说法正确的是A.图线1表示物体做曲线运动B.x-t图象中t1时刻v1>v2C.v-t图象中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D.两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动我们知道图象的坐标轴只能反映彼此相反的两个方向，故s-t图和v-t图只能表示直线运动.而v-t图中图象所围面积表示位移，切线斜率表示加速度.故只有B是正确的.2 功能关系中的E-s图象在E-s图象中因F·Δs=ΔE，无论ΔE代表动能还是势能的变化量，其割线和切线的斜率都表示作用力.若力是恒力则表示这个力的大小，若力是变力则表示这一段上的平均作用力，当Δs→0时表示切线的斜率，则反映瞬时作用力.例3 一质量为m的小球以初动能Ek0从地面竖直向上抛出，已知上升过程中受到阻力作用，图5中两条图线分别表示小球在上升过程中动能、重力势能中的某一个与其上升高度之间的关系，（以地面为零势能面，h0表示上升的最大高度，图中坐标数据中的k值为常数且满足0A.①表示的是动能随上升高度变化的图象，②表示的是重力势能随上升高度变化的图象B.上升过程中阻力大小恒定，且f=kmgC.上升高度h=k+1k+2h0时，重力势能和动能相等D.上升高度h=h02时，动能与重力势能之差为kmgh0此题若理解了①图中斜率代表的是合力，②图中斜率代表的是重力结合数学知识很容易得出答案是B、C.3 电场中的φ-x图象在φ-x图象中由E=Ud可知切线的斜率表示场强E.例4 某静电场中的一条电场线与x轴重合，其电势的变化规律如图6所示.在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用.则在-x0～x0区间内A.该静电场是匀强电场B.该静电场是非匀强电场C.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐减小D.电子将沿x轴正方向运动，加速度逐渐增大由于该题中切线的斜率表示场强E，由斜率的变化可知E是先增大后减小，故选B.4 电路中的U-I图象根据R=UI可知用电器的电阻R在U-I图象中是由割线的斜率来表示的，但在电源的U-I 图象中则用切线的斜率反映电源的内电阻.例5 如图7所示，直线Ⅰ、Ⅱ分别是电源1与电源2的路端电压随输出电流的变化的特性图线，曲线Ⅲ是一个小灯泡的伏安特性曲线，如果把该小灯泡分别与电源1、电源2单独连接，则下列说法不正确的是A.电源1与电源2的内阻之比是11∶7B.在这两种连接状态下，小灯泡的电阻之比是3∶5C.在这两种连接状态下，小灯泡的电阻之比是18∶25D.在这两种连接状态下，小灯泡消耗的功率之比是1∶2此题中若对斜率意义理解不准确则会错选成C，其实正确答案是B.5 电磁感应中的Φ-t图象在Φ-t图象中其割线斜率表示ΔΦ/Δt可反映平均感应电动势大小，而切线的斜率则反应瞬时感应电动势大小. 例6 电吉它是利用电磁感应原理工作的一种乐器，如图8甲电吉它的拾音器的原理图，在金属弦的下方放置有一个连接到放大器的螺线管.一条形磁铁固定在管内，当拨动金属弦后，螺线管内就会产生感应电流，经一系列转化后可将电信号转为声音信号.若由于金属弦的振动，螺线管内的磁通量随时间的变化如图8乙所示，则对应感应电流的变化为图9中.理解了斜率的意义就可判出正确的电流图应该是B.在物理过程中物理量之间的关系可以用图象来直观地反映.而图象法也是研究物理问题和学好物理的一种重要方法和手段.但在应用时因对斜率的意义理解不准确而导致解题出错，让人扼腕痛惜.现就归纳总结一些常见的图象易出错问题，以期能减少此类问题的出错率.。

2017版高考复习方案大二轮：专题篇 4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系 Word版含答案

函数图象的割线斜率与切线斜率的关系 (2019高考)数学考点分类解析

函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])：引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )(1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ；(2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解)0(21)(>++='x ax xa x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解：此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞. 题4的简解设xax x x f x g +-='=222)()(，即证1)()(2121>--x x x g x g . 由定理(8)知，只需证明：当0>x 时1)(≥'x g ，即)0(14223>>-+x xax 只需证 )0(14223>>-+x x a x 即 )0(222>>++x a xx x这由均值不等式及题设可证：a xx x ≥>⋅≥++4432232 所以欲证成立.注由以上简解知，把题4中的“4≤a ”改成“343⋅≤a ”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ；解首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列：当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。

物理图象的两个斜率和两个面积

物理图象的两个斜率和两个面积摘要：物理图象在描述物理规律直观形象，解决物理问题中快捷，但对其中斜率、面积等物理意义要辨析清，以便能够正确运用图象。

关键词：斜率、面积、状态量、过程量一、两个斜率关于物理图象的“斜率有两种：其一是曲线上每一点切线的斜率；其二是图线上的点与坐标原点连线的斜率，即图线上对应点的纵坐标与横坐标的比值。

对这两种斜率学生常常感到困惑不已，下面从物理意义上对此加以区分，以有利于学生对物理规律的深化理解。

因为物理图象反映的是两个物理量之间的制约关系，因此要搞清两种图象斜率的区别，需从物理量说起。

物理量分为两类：一类是过程量，象中学涉及到的位移、时间、冲量、功等；另一类是状态量，象中学涉及到的位置、力、速度、动能、动量、电流、电压、电阻、电场强度、压强、体积等。

需注意的是，两个状态量之间的变化是过程量，比如速度的变化、体积的变化、电流的变化等。

而一个过程量可以认为是由无数个状态组成的。

物理图象中的斜率表示的是两个物理量的比值，不同性质的比值用不同的图线斜率表示。

曲线上切线的斜率是割线斜率两点无限逼近得到的，因此它代表的是图象上两点纵坐标的差与两点横坐标的差的比值，也就是说代表的是两过程量的比值，比如速度——时间图象，图象上任意两点连线（曲线的割线）的斜率表示这一段时间速度变化的快慢，即平均加速度，等于速度的变化（过程量）和时间（过程量）的比值，公式为。

而当时间趋于0时两点就重合成一个点，两点之间的割线就变成切线了，切线的斜率表示的是该位置（该时刻）的瞬时加速度a(如图1)。

如果是一条过原点的曲线，曲线上某点与原点连线（即两点间的割线）的斜率表示是从开始计时刻到该时刻加速度的平均值。

如果图象不过原点，则曲线上某点与原点连线的斜率没有物理意义。

曲线上某点与原点连线的斜率，通常表示的是两个状态量的比值。

典型的是电阻，电阻的定义式为，大小等于某状态下加在导体两端电压U（状态量）与通过导体中电流I（状态量）的比值（并不是电压的变化与电流变化的比值），所以在U—I图中，某状态下的电阻为图象曲线上对应点与原点连线的斜率（如图2）。

曲线中切线定理在求解高考压轴题中的应用-2

再谈曲线割线与中切线斜率关系定理在妙解高考压轴题中的应用在函数与导数应用有关的习题中，时常会遇到这样一类题目，即给定某一函数（如图1所示），已知其割线b kx y +=与曲线()y f x =交于两个不同点),(),,(2211y x B y x A ，过AB 中点的铅垂线与曲线交于C 点，根据不同的函数类型，割线AB 的斜率1212)()(x x x f x f k --=与过C 点的切线（姑且称其为中切线）斜率)2('12x x f +之间存在着某种固定关系，即有如下定理（估且称之为曲线的割线和其中切线的斜率关系定理，简称为中切线定理）。

曲线的割线和其中切线斜率关系定理：设函数()y f x =是定义在实数集R 某一子集D 上的连续函数，其一、二阶导函数在D 上均连续且可导，对于2121,,x x D x x <∈∀且：若''()f x 单调递增，则有)2(')()(121212x x f x x x f x f +>--；若''()f x 为常数，则有)2(')()(121212xx f x x x f x f +=--；若''()f x 单调递减，则有)2(')()(121212x x f x x x f x f +<--。

笔者在专著《谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法》。

中给出了证明，但证明过程中用到了拉格朗日中值定理，对一般高中生而言，理解起来有一定困难。

为此，笔者在此再给出一种适合于x高中生的证明方法。

曲线的割线和其中切线斜率关系定理之证明（二）：设()'()''(),g x f x xf x x D=-∈，则'()''()''()'''()'''().g x f x f x xf x xf x =--=-当'''()0,xf x -<即0'''()0x f x >>,时，'()0g x <，故''()f x 在定义域内单调递增，且()g x 在定义域内单调递减。

高中数学精品论文：切线与割线斜率关系的深度探析

切线与割线斜率关系的深度探析
江苏南通高等师范学校
１２２６１００
曹军
问题提出笔者在文［１］得出如下结论：设Ｙ＝火龙）是定义在开区间（ａ，ｂ）上的可导函
ｈ（ｘ）ｌｎｉ。＞０，此时Ｉ
ｈ（ｘ）Ｉ面。＝ｈ（ｘ）ｍｉ。＝一击Ａ３＋，解得０＜Ａ＜３石；，解得＜Ａ＜３石；
数，曲线Ｃ：ｙ＝八菇）上任意不同两点的连线（称为割线）斜率的取值区间为Ｐ，曲线Ｃ上任意一点处的切线斜率的取值区间为Ｑ，则Ｑ２Ｐ，而且Ｑ中元素比Ｐ中元素至多多了区间Ｐ的端点值．并指出，求解ｌ八ｘ。）一以髫：）Ｉ＜Ｉ戈。一菇２Ｉ（或Ｉ八茗１）’一以筇２）Ｉ＞Ｉ菇，一茹２Ｉ）的恒成立问题，可以
在与ｚ平行的割线，也即平行于拐点（茗。以‰））处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点，必要性成立．（４）由（３）的证明易知结论成立．由上述定理可知，对于二阶可导曲线Ｃ：ｙ＝ “菇）有：①当且仅当曲线Ｃ不存在拐点，或对曲线Ｃ的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切线的直线与曲线ｃ至少有两个交点时，Ｐ＝Ｑ；②可导曲线Ｃ：Ｙ＝八菇）的切线斜率的取值区间Ｑ至多比割线斜率的取值区间Ｐ多了区间Ｐ的端点值，这些端点值就是定理的结论（３）条件中的拐点处切线的斜率，即函数在这些拐点处的导数．对于只有一个拐点的二阶可导函数，定理有如下推论：推论设ｙ＝以戈）是定义在连通开区间１（ｔ∈ Ｒ）上的二阶可导函数，其对应曲线Ｃ上任意两点的连线（称为割线）斜率的取值集合为Ｐ，曲线Ｃ上任
ｘｌ一戈２
Ｉ＞１得，１４＋了２一毒Ｉ＞ｌ，以上替换茗，则有Ｉ
戈
２菇，
菇
丑
一Ａ戈２＋４
ｌ＞１对任意的戈＞０恒成立．
（１）当Ａ≤０时，显然符合题意；（２）当Ａ＞０时，令ｈ（ｘ）＝２ｘ３一Ａｘ２＋４（ｘ＞０），显然ｈ（算）的图象经过（０，４），＾’（戈）＝６ｘ２—

切线与割线斜率关系的深度探析

切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值.并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意.例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+.若min ()0h x ≤，则min ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有3341274027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð.引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆.(2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF lEm线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数. 令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围.解 22399232()488xx x y ee e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-.当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞.曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥. (2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点. (1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-.由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。

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