高等数学中两个重要极限

lim s in 5 x 5limsin5x515
x 0 x
x0 5x
sin
推 广 ： 设 为 某 过 程 中 的 无 穷 小 量 ,某li过m程
1
练习1. 求下列极限:
（ 1） lim s in 3 x x 0 x
解 ： limsin3xlim3sin3x 3lim sin 3x 313
x 0 x x 0 3x
x
X -10 -100
(1 1 ) x 2.868 2.732 x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
li( m 11)xe x x
li(m 11)xe (1 )
x x
令t 1,
lim (1
1
)
x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t 0
1
lim(1 t)t e (1 )
例 4 求 lim xsin 1
x
x
解
lim x sin 1
lim
sin
1 x
x
x x 1
1
x
思考题
lim sin x lim 1 s in x
x x
x x
当 x 时 1 0 且 | sin x|1 x
故 limsinx 0 x x
lim six n1 x 0 x
练习3：下列等式正确的是（ B ）
111
这个结果可以作为公式使用 limtanx 1 x0 x
例 2 求 limsin5x x0 x
解： limsin5x lim 5sin 5x 5lim sin 5x
x0 x
x0 5x
x0 5x
令 5 x t,当 x 0 时 ,有 t 0
所以,原式5limsint 515
t0 t
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
f (x) 1sinx ，当 x
x 0
时，
f ( x) 为无穷小量．
练习8. limxsinx___1 ___
x x
练习9. limxsinx__0____
x0 x
❖第二个重要极限 lim (11)x ?
x x
X 10 100 1000 10000 100000 … (1 1 ) x 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827
(3)等 价 形 式 ：limx 1 x 0 sinx
例3
求
sin(x1)
lim
x1
x2 1
解
lxi m 1sin x(2x 11)lxi m 1(xsi n1 ()x(x 1 )1)lxi m1[sinx(x11)
1] x1
lx i1m sixnx 1 (1)lx i1m x1 11111
1 2
.
( 4 )l i m [ c f ( x ) ] c l i m f ( x )
( 5 )lim [f( x ) ] k [ lim f( x ) ] k
❖第一个重要极限 limsinx?
x0 x
X
1
0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
0.1 0.99833
0.01 0.99998
极限limsinx x0 x
极限xl im(11x)x
❖预备知识
1.有关三角函数的知识
tan x sin x cos x
sin00 cos0=1 |sinx|1 |cosx|1
2.有关对数函数的知识
lnxlogex
以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简
记为 y = ln x.
数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8
3.有关指数运算的知识
(ab)nanbn anmanam anm an m
4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称 为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母 a,b,g等 表 示 。 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.
x0
x
练习5. 下列极限计算正确的是（ B ）
x A. lim 1
x0 x
C. limxsin1 1
x0
x
x B. lim 1
x x0
D. limsinx 1 x x
A 练习6. 已知
f (x) x 1 tanx
当（
f (x) 为无穷小量.
）时，
A. x0
C. x
B. x1
D. x
练习7. 已知
A. limsin x 1; x x
1
C. limxsin 1;
wk.baidu.com
x0
x
B. limxsin1 1;
x
x
sin 1
D. lim x 1 ．
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sinx 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C limxsin1 1;
x
x
D
limxsin1 1
5.极限的运算法则
(1 )lim (f(x ) g (x )) lim f(x ) lim g (x )
( 2 ) l i m [ f ( x ) g ( x ) ] l i m f ( x ) l i m g ( x )
(3)若lim g(x)0， lim
f (x) g(x)
limf (x) limg(x)
t0
1
推 广 为 某 过 程 中 的 无 穷 小 量 ,lim (1) e 某过程
使 用lim (11)xe 须 注 意 : x x
(1)类 型 :
1 型
1
(2)推广形式: lim(1) e 某过程
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim six n1 x 0 x
证明 limsinx1. x x0＋
证
即sinxxtanx
各 式 同 除 以 s i n x ( 因 为 s i n x 0 ) ,得
1 x 1 ,
sinx coxs
CD
即coxs sinx1. x
sin x lim 1.
x x0＋
Ox BA
例 1 求 lim tan x x 0 x
解
limtanxlim (sinx1)
x 0 x x 0 cosx x
sinx 1 lim( )
x0 x cosx
limsinxlim 1 x0 x x0 cosx
x0 3x
（ 2） lim sin 5 x x 0 3 x
解 ： limsin5xlim (sin5x)(5) 1 5 5 x 0 3x x 0 5x 3 3 3
使 用lim sinx1时 须 注 意 : x 0 x
(1)类 型 ：
0型
0
(2)推广形式:
lim sin 1 某过程
（ lim0 ） 某过程