2017西城区初三二模数学试卷及答案
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四、解答题（本题共20分，每小题5分）
1 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与 轴交于点A( ,0)，
与 轴交于点B，且与正比例函数 的图象的交点为C( ,4)．
(1)求一次函数 的解析式；
(2)若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的
等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．
20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
13．解：原式= ………………………………………………4分
= ．………………………………………………5分
14．证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC.…………………………1分
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，
即∠ACD=∠BCE.…………………2分
在△ACD和△BCE中，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED=90°.
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED.
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .…………………………………………………………………5分
22．解：(1) = ；……………… ……………………… 1分
(2) = ， = ；………………………………………3分
(3)∵点 经过变换 得到的对应点 与点 重合，
北京市西城区2017年初三二模试卷
数学2017.6
考生须知
1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线 上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 ．点A是直线 上的一个动点，且点A的横坐标为 ．以A为顶点的抛物线 与直线 的另一个交点为点B．
(2)54；……………………………………………………………………3分
(3) ．……………………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：(1)∵点C( ,4)在直线 上，
∴ ，解得 .………………1分
∵点A( ,0)与C(3,4)在直线 上，
∴ ………………2分
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，
∠EC A=∠DCB，∠D=∠E．
求证：AD=BE．
15．已知 ，求代数式 的值．
16．已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 为负整数时，求方程的两个根．
17．列方程（组）解应用题：
调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生共有人；
(2)在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；
(3)统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．
(1)如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2)如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
(3)当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时 ．若EH=4，
直接写出GM的长．
∴点A，B的坐标分别为 ， .…………………3分
∵AO=AB，
由勾股定理得 ， ，
∴ .
解得 或 .……………………………………………4分
∵ ，
∴ .…………………5分
(3)∵OC=4，
∴点A的坐标为 .
∴ .
设点B的坐标为 ，
∵BE⊥ 轴于点E，BD⊥ 轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且 ，
点M的纵坐标为 ，点N的横坐标为 .
∴由勾股定理得BD= = .………2分
(2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E.
∵∠BAD=135°，
∴∠EAD=∠ADE=45°.
∴AE=ED.…………………………………………………………………3分
设AE=ED= x，则AD= x.
∵DE2+BE2=BD2，
∴x2+(x+2)2=( )2.…………………………………………………4分
AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，
则∠FAE的度数为°．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，
点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB
的内切圆，且P1的坐标为(3,1)．
(1)OA的长为，OB的长为；
(2)点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长 为．（用含n的式子表示）
解得
∴一次函数的解析式为 .………………………………………3分
(2)点D的坐标为( , )或( , ).………………………………………5分
阅卷说明：两个点的坐标各1分.
20．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= ，
∴ .
∴CD= .……………………………………1分
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的倒数是
A． B．3C． D．
2．下列运算中正确的是
A． B． C． D ．
3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是
A．5B．6C．7D．8
4．若 ，则 的值为
∵点M，N在函数 的图象上，
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ ，…………………………6分
其中 .
∵ ，而 ，
∴当 时， 的最大值为1.……………………………………7分
24．解：(1)补全图形见图1，………1分
EF与HM的数量关系是EF=HM；………2分
(2)连接MF（如图2）.
(1)当 时，求抛物线 的解析式和AB的长；
(2)当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
(3)过点A作垂直于 轴的直线交直线 于点C．以C为顶点的抛物线 与直线 的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求 的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的 的取值范围．
16．解：(1)∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ .….….…..…..…………..……………………1分
∴ .…..….….…..…………..……………………2分
(2)∵ 为负整数，
∴ ..….……..…..…………..……………………3分
此时方程为 ..…….…..…………………4分
解得x1=3，x2=4..…….…..…………………5分
∴ .
∵点 在直线 上，
∴ .
∴ ………………………………………4分
即
∵ 为任意的实数，
∴ 解得
∴ ， .………………………………… ……5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：(1)AO的长为 ，△BOD的面积为1；…………………………2分
(2)∵A，B两点在函数 的图象上，
A．8B．6C．5D．9
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是
A．中位数是6B．众数是3C．平均数是4D．方差是1.6
7．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG，
EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为
(1)若 =2，则AO的长为，△BOD的面积为；
(2)如图1，若点B的横坐标为 ，且 ，当AO=AB时，求 的值；
(3)如图2，OC=4，BE⊥ 轴于点E，函数 的图象分别与线段BE，
BD交于点M，N，其中 ．将△OMN的面积记为 ，△BMN的面积记为 ，若 ，求 与 的函数关系式以及 的最大值．
24．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
北京市西城区2017年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准2017.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6Βιβλιοθήκη Baidu
7
8
答案
C
C
B
A
B
A
B
D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9
10
11
12
5
2n+3
阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
tan∠BDC= ．
(1)求BD的长；
(2)求 AD的长．
21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，
⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，
过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
(1)求证：DE⊥AC；
(2)连结OC交DE于点F，若 ，求 的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，点 经过变换 得到点 ，该变换记作 ，其中 为常数 ．例如，当 ，且 时， ．
(1)当 ，且 时， =；
(2)若 ，则 =， =；
(3)设点 是直线 上的任意一点，点 经过变换 得到点 ．若点 与点 重合，求 和 的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数 的图象上，
其中 ．AC⊥ 轴于点C，BD⊥ 轴于点D，且AC=1．
A．
B．
C．9
D．
8．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一 个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是
ABCD
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数 中，自变量 的取值范围是．
10．若把代数式 化为 的形式，其中 ， 为常数，则 =．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，
∴DE⊥AC.………………………………………………………………2分
(2)连接AD.
∵OD∥AC，
∴ .……………………………………………………………………3分
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵sin∠ABC= = ，
故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.…………………………………………4分
∴△ACD≌ △BCE.………………………………………………4分
∴AD=BE.………………………………………………5分
15．解：
……………………………………………2分
.……………………………………………………3分
∵ ，即 ，……………………………………………4分
∴原式 .………………………………5分
解得x1=3(舍)，x2=1 .
∴AD= x= .…………………………………………………………5分
21． (1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90°.……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点，.
∴OD∥AC.
∴∠DEC=∠ODE=90°.
17．解：设租用4座游船 条，租用6座游船 条..….…..…..……………………1分
依题意得 ….………..……………………3分
解得 ..…………..……………………4分
答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条..….….…..…..…………………5分
18．解：(1)80；……………………………………………………………………1分
水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一 条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．
18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
1 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与 轴交于点A( ,0)，
与 轴交于点B，且与正比例函数 的图象的交点为C( ,4)．
(1)求一次函数 的解析式；
(2)若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的
等腰直角三角形，直接写出点D的坐标．
20．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，
13．解：原式= ………………………………………………4分
= ．………………………………………………5分
14．证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC.…………………………1分
∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD，
即∠ACD=∠BCE.…………………2分
在△ACD和△BCE中，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED=90°.
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED.
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .…………………………………………………………………5分
22．解：(1) = ；……………… ……………………… 1分
(2) = ， = ；………………………………………3分
(3)∵点 经过变换 得到的对应点 与点 重合，
北京市西城区2017年初三二模试卷
数学2017.6
考生须知
1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线 和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线 上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．
应用上面的结论，解决下列问题：
如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 ．点A是直线 上的一个动点，且点A的横坐标为 ．以A为顶点的抛物线 与直线 的另一个交点为点B．
(2)54；……………………………………………………………………3分
(3) ．……………………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：(1)∵点C( ,4)在直线 上，
∴ ，解得 .………………1分
∵点A( ,0)与C(3,4)在直线 上，
∴ ………………2分
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： ．
14．如图，点C是线段AB的中点，点D，E在直线AB的同侧，
∠EC A=∠DCB，∠D=∠E．
求证：AD=BE．
15．已知 ，求代数式 的值．
16．已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 为负整数时，求方程的两个根．
17．列方程（组）解应用题：
调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生共有人；
(2)在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；
(3)统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．
(1)如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．
①请根据题目要求在图1中补全图形；
②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；
(2)如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；
(3)当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时 ．若EH=4，
直接写出GM的长．
∴点A，B的坐标分别为 ， .…………………3分
∵AO=AB，
由勾股定理得 ， ，
∴ .
解得 或 .……………………………………………4分
∵ ，
∴ .…………………5分
(3)∵OC=4，
∴点A的坐标为 .
∴ .
设点B的坐标为 ，
∵BE⊥ 轴于点E，BD⊥ 轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且 ，
点M的纵坐标为 ，点N的横坐标为 .
∴由勾股定理得BD= = .………2分
(2)如图，过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E.
∵∠BAD=135°，
∴∠EAD=∠ADE=45°.
∴AE=ED.…………………………………………………………………3分
设AE=ED= x，则AD= x.
∵DE2+BE2=BD2，
∴x2+(x+2)2=( )2.…………………………………………………4分
AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，
则∠FAE的度数为°．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，
点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB
的内切圆，且P1的坐标为(3,1)．
(1)OA的长为，OB的长为；
(2)点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长 为．（用含n的式子表示）
解得
∴一次函数的解析式为 .………………………………………3分
(2)点D的坐标为( , )或( , ).………………………………………5分
阅卷说明：两个点的坐标各1分.
20．解：(1)在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= ，
∴ .
∴CD= .……………………………………1分
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1． 的倒数是
A． B．3C． D．
2．下列运算中正确的是
A． B． C． D ．
3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是
A．5B．6C．7D．8
4．若 ，则 的值为
∵点M，N在函数 的图象上，
∴点M的坐标为 ，点N的坐标为 .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ ，…………………………6分
其中 .
∵ ，而 ，
∴当 时， 的最大值为1.……………………………………7分
24．解：(1)补全图形见图1，………1分
EF与HM的数量关系是EF=HM；………2分
(2)连接MF（如图2）.
(1)当 时，求抛物线 的解析式和AB的长；
(2)当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；
(3)过点A作垂直于 轴的直线交直线 于点C．以C为顶点的抛物线 与直线 的另一个交点为点D．
①当AC⊥BD时，求 的值；
②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的 的取值范围．
16．解：(1)∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ .….….…..…..…………..……………………1分
∴ .…..….….…..…………..……………………2分
(2)∵ 为负整数，
∴ ..….……..…..…………..……………………3分
此时方程为 ..…….…..…………………4分
解得x1=3，x2=4..…….…..…………………5分
∴ .
∵点 在直线 上，
∴ .
∴ ………………………………………4分
即
∵ 为任意的实数，
∴ 解得
∴ ， .………………………………… ……5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：(1)AO的长为 ，△BOD的面积为1；…………………………2分
(2)∵A，B两点在函数 的图象上，
A．8B．6C．5D．9
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A B C D
6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误的是
A．中位数是6B．众数是3C．平均数是4D．方差是1.6
7．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG，
EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为
(1)若 =2，则AO的长为，△BOD的面积为；
(2)如图1，若点B的横坐标为 ，且 ，当AO=AB时，求 的值；
(3)如图2，OC=4，BE⊥ 轴于点E，函数 的图象分别与线段BE，
BD交于点M，N，其中 ．将△OMN的面积记为 ，△BMN的面积记为 ，若 ，求 与 的函数关系式以及 的最大值．
24．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．
北京市西城区2017年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准2017.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
6Βιβλιοθήκη Baidu
7
8
答案
C
C
B
A
B
A
B
D
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9
10
11
12
5
2n+3
阅卷说明：第12题第一、第二个空各1分，第三个空2分.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
tan∠BDC= ．
(1)求BD的长；
(2)求 AD的长．
21．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，
⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，
过点D作⊙O的切线交AC边于点E．
(1)求证：DE⊥AC；
(2)连结OC交DE于点F，若 ，求 的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，点 经过变换 得到点 ，该变换记作 ，其中 为常数 ．例如，当 ，且 时， ．
(1)当 ，且 时， =；
(2)若 ，则 =， =；
(3)设点 是直线 上的任意一点，点 经过变换 得到点 ．若点 与点 重合，求 和 的值．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数 的图象上，
其中 ．AC⊥ 轴于点C，BD⊥ 轴于点D，且AC=1．
A．
B．
C．9
D．
8．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一 个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是
ABCD
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数 中，自变量 的取值范围是．
10．若把代数式 化为 的形式，其中 ， 为常数，则 =．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，
∴DE⊥AC.………………………………………………………………2分
(2)连接AD.
∵OD∥AC，
∴ .……………………………………………………………………3分
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵D为BC的中点，
∴AB=AC.
∵sin∠ABC= = ，
故设AD=3x,则AB=AC=4x,OD=2x.…………………………………………4分
∴△ACD≌ △BCE.………………………………………………4分
∴AD=BE.………………………………………………5分
15．解：
……………………………………………2分
.……………………………………………………3分
∵ ，即 ，……………………………………………4分
∴原式 .………………………………5分
解得x1=3(舍)，x2=1 .
∴AD= x= .…………………………………………………………5分
21． (1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90°.……………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点.
又∵D是BC的中点，.
∴OD∥AC.
∴∠DEC=∠ODE=90°.
17．解：设租用4座游船 条，租用6座游船 条..….…..…..……………………1分
依题意得 ….………..……………………3分
解得 ..…………..……………………4分
答：该公司租用4座游船5条，6座游船3条..….….…..…..…………………5分
18．解：(1)80；……………………………………………………………………1分
水上公园的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一 条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．
18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：