小波分析之泛函分析距离空间

Weierstrass定理 定理
p62
• 多项式逼近基本定理： 多项式逼近基本定理： 设 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ,则对任何 ε > 0 ， 总存在某n 总存在某n及n次多项式 P( x) ∈ H n ( x),使
max
x∈[ a ,b ]
f ( x) − p( x) < ε
• 即： C[a,b]上任一函数都可被某一多 C[a,b]上任一函数都可被某一多 项式函数(事先不能限定次数 事先不能限定次数)一致逼近 项式函数 事先不能限定次数 一致逼近 到任意程度。 √ 到任意程度。
完全有界集性质
• 若A是距离空间X中的列紧集，则A必为完 全有界集；反之，当X是完备的距离空间时， 若A是X中的完全有界集，则A必是列紧集。 • 即在完备的距离空间中，列紧集与完全有 界集是等价的。 • 完全有界集必为有界集. • 完全有界集都可分.
C[a,b]在不同距离下的完备与不完备
C[a,b] 在约定的距离
ρ ( f , g ) = max f ( x) − g ( x)
a ≤ x ≤b
下是完备的. • 即闭区间[a,b]上的连续函数序列若一致收 敛于一个函数,则该函数一定也是连续函数.
C[a,b]在不同距离下的完备与不完备
定义在[a,b]上的所有连续函数的集合在 距离
p
∑x
则
∞
i =1
∞
2
i
< +∞,
2
∑y
i =1
∞
2
i
< +∞,
∑ (x + y )
i i i=1
< +∞.
R 为距离空间吗? ∞ 为什么不考虑 R ?
∞
距离空间的邻域概念
在距离空间X中,集合 N ( x0 , ε ) = { x x ∈ X , ρ ( x, x0 ) < ε
称为点 x0的ε − 邻域. • 在集合X中引入距离后，即引入了拓扑 结构,可以开展极限,连续等概念的研究. • 拓扑学即研究一般点集上的极限,连续 等概念,在其上可以没有距离概念,只需给 定邻域系,或开集系,或闭集系即可.
ρ( f , g) =
(∫
[ a ,b ]
f ( x) − g ( x) dx
2
)
12
.
下不完备. • Lp[a,b]是完备距离空间.
C[a,b]在不同距离下的完备与不完备
C[0,2] 在距离
ρ( f , g) =
(∫
[ a ,b ]
f ( x) − g ( x) dx
2
)
12
.
下不完备的例子(作业4:证明该例子在一致距 离下不为Cauchy列)
• 收敛点列必有界,即
xn → x0 ⇒ ∃r > 0, s.t. ∀xn , ρ ( xn , x0 ) ≤ r.
距离空间的Cauchy列
{ 距离空间中,点列 xi } 称为Cauchy列,或基 本列，若 ρ ( xn , xm ) = 0.
lim
n →∞ m →∞
• 问题: Cauchy列会不会不收敛? • 任收敛点列必为Cauchy列.但有的距离空 间中Cauchy列不一定收敛到本空间的点,如: • 有理数空间Q中, 2 的有理逼近数列为 Cauchy列,但其极限 2 不在有理数域中.
k →∞ 收敛点列若为无穷点集,则其极限点必为 聚点!反之,聚点必为极限点!
lim xk = x.
实数列的收敛即依距离收敛
实数列的 ε − N 收敛: lim an = a ⇔
n →∞
∀ε > 0, ∃N , s.t. ∀n > N ⇒ an − a ≤ ε . 即为依欧氏距离收敛,即 lim ρ ( an , a ) = 0 ⇔
距离空间的可完备化
定理 对于每个距离空间X，必存在一个完备 的距离空间X0,使得X等距于X0 中的一个稠密 子空间. 称X0为X的完备化空间.若除去等距不计， 则X0是唯一的。 • 在完备化距离空间时，实际上是把所有原 来的Cauchy点列的极限点都“扩充”进来.
距离空间的完备化
• 有理数空间的完备化空间是实数空间. • C[a,b]按距离
完全有界集
设A,B为距离空间X中的点集,如果存在ε > 0, 使得以B中每一点为中心的ε − 邻域 的全体覆 盖了A，即
A ⊆ U N ( x, ε ) = U { y y ∈ X , ρ ( y , x ) < ε } ,
x∈B x∈B
则称B是A的一个 ε −网. 如果对 ∀ε > 0, 总存在覆盖A的有限的 ε −网, 则称A为完全有界集 .
ρ ( f , g ) = max f ( x) − g ( x) .
a ≤ x ≤b
距离空间的例— Lp[a,b]空间
对于任实数 p ≥ 1, Lp[a,b]表示区间[a,b] 上 绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎 p p 处处相等的函数看成是同一个函数,即< +∞. ∀f ( x) ∈ L [a, b], f ( x) dx
ρ( f , g) =
(∫
[ a ,b ]
f ( x) − g ( x) dx
2
)
12
.
的完备化的空间为 L2[a,b]. • 多项式函数空间P[a, b]不完备. P[a, b]的 完备化为C[a, b].
距离空间的可分性
฀ 设X 是距离空间，如果X 中存在一个可 数 (可列)子集X0，使得X0在X 中稠密，则称X 是 可分的. 例子 • ฀ n维Euclid 空间Rn是可分的. • ฀ 连续函数空间C[a, b]是完备的,可分的. 多 项式函数空间是C[a, b]的可数稠密子集.
n →∞
∀ε > 0, ∃N , s.t. ∀n > N ⇒ ρ (an , a ) ≤ ε .
距离空间的收敛性质
在距离空间中， • 收敛点列的极限是唯一的. • 距离函数ρ ( x, y ) 是二元连续函数,即
xn → x0 , yn → y0 ⇒ ρ ( xn , yn ) → ρ ( x0 , y0 ).
}
距离空间中的内点内部与开集
若x0 ∈ A, 且存在x0的某ε − 邻域U(x0 ,ε )⊆ A, 则称 x0 为A的一个内点 内点. 内点
由A的全体内点所成的集称为A的内部 记 内部, 内部 为 A0 . 若A 中的每个点都是A 的内点, 则称A为开 开 集. (规定空集是开集).
开集及性质
(i).空集∅和全空间Rn是开集. (ii).任意个开集的并集是开集. (iii).有限个开集的交集是开集.
可分与不开分空间的例
• 如C[a,b], L2[a,b]是可分的，因为[a,b]上以 有理数为系数的多项式的全体构成了它们 的可列的稠密子集。 • 有界实数列全体组成的空间在距离
ρ ({xn },{ yn }) = sup xn − yn .
i
下是不可分的.
列紧集,列紧空间,紧集
设A是距离空间X的子集,如果A的任何 点列都有收敛子列在X中收敛,则称A是列紧集. 若X本身是列紧的,则称X为列紧空间. 紧集若还是闭集，则称为紧集. 紧集即任何取自其内的点列都有收敛到其 内的子列的子集. 有界闭集为紧集.
距离空间的例--欧氏空间
实数集 R 的通常意义的欧氏距离为
ρ ( x, y ) = x − y .
n维欧氏空间R 的通常意义的欧氏距离为 n
n
ρ ( x, y ) = ( x1 − y1 ) + ( x2 − y2 ) + L + ( xn − yn )
2 2
2
其中 x = ( x1 , x2 ,L , xn ), y = ( y1 , y2 ,L , yn ) ∈ R .
n
实数集 R 的另一距离
实数集 R 上还有另一距离为
1+ x − y 但约定:在提到实数集 R 上的距离时,仅指通常
的欧氏距离. 作业1: 证明 ( R, ρ1 ) 是距离空间.
ρ1 ( x, y ) =
x− y
.
距离空间的例—C[a,b]
C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数 的集合，约定C[a,b]上的距离仅指
(i). 空集∅和全空间Rn是闭集. (ii). 任意个闭集的交集是闭集. (iii). 有限个闭集的并集是闭集. (ⅳ). A 为闭集当且仅当Ac(即A的余集)为 ⅳ 开集. (ⅴ). A是闭集当且仅当A中的任意收敛 ⅴ 点列的极限必属于A.
距离空间的收敛概念
距离空间 ( X , ρ ) 中的点列{xi } 称为收 敛于点 x, 若 lim ρ ( xk , x) = 0. k →∞ 与其它收敛概念联系起来时,又称为 依距离收敛,或按距离收敛.仍记为
聚点,导集,闭集与闭包
• 若对任意 ε > 0, U ( x0 , ε ) 中包含有A的无限 多个点, 则称 x0 为A的一个聚点. • 由A 的所有聚点形成的集合称为A 的导集, ' 记为 A . ' • 若 A ⊆ A, 则称A 为闭集. • 集 A U A' 称为A 的闭包, 记为 A.
闭集的性质
∫
[ a ,b ]
p Lp[a,b]上的距离为 ρ( f , g) = ∫ f ( x) − g ( x) dx [ a ,b ]
(
)
1 p
.
其特例为L[a,b] , L2[a,b].
距离空间的例— l
l
2 表示满足
2
∑x
i =1
∞
2
i
< +∞
的实数列(即平方可和数列){xi } 的全体，l 2 上 的距离定义为