五年级奥数容斥问题讲座及练习答案
小学奥数教程：容斥原理之数论问题_全国通用(含答案)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43例题精讲【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
小学奥数：容斥原理之数论问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=L 可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=L （）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=L ，100520÷=，10035610÷⨯=L （）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．例题精讲 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=L 知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=L （）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个．所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=L L ，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=L L ，有14个；A B I ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=L L ，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验 【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
五年级数学拔高之包含与排除(容斥原理)含答案
第33周包含与排除（容斥原理）专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
例1 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
练习一1，一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？答案解:(人)答:语文、数学作业都做完的有15人.解析因为每人至少做完一种作业,所以实际52人都参与了写作业,做完数学和语文作业的总人数为:(人),(人),超出了全班人数,超出的部分是两种作业都完成的人数.2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？答案解:(人)答:两门功课都得优的有40人.解析根据“语文得优的有65人,数学得优的有87人”可得两者的总人数:人,这其中把两门功课都得优的人数多计算了一次,所以根据容斥原理可得两门功课都得优的人数是:(人),据3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
2021-2022学年五年级上册奥数培训专题——容斥原理(附答案)
2021-2022学年五年级上册奥数培训专题——容斥原理姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．一个班有小学生55人，订阅小学生数学报的有12人，订阅少年报的有9人，两种报纸都订的有5人，（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都不订的有多少人？2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，这两种语言都不会的有4人，这两种语言都会的有多少人？3．求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？4．艺术节那天，学校画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有23幅不是五年级的，有21幅不是六年级的，五六年级参展的共有8幅，其他年级参展的有多少幅？5．将边长为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少？6．二（2）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？7．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。
两样都会的有多少名?8．某校选出50名学生参加作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖，两项比赛都没获奖的有多少人？9．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么有多少人两个小组都没参加？10．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2题，其中答对第一题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都打错。
问参加这次测验的有多少人？11．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，两种都不会下的有12人，都会下的有30人这个俱乐部里有多少人？12．某班上体育课，全班排成4列（每列人数相等），从前往后数小芳第6个，从后往前数在第7个，这个班共有多少人？13．在1到200之间的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有几个？14．科技节那天，学校的科技室例展出了每个年级学生的作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一二年级参展的作品共32件，其他年级参展的作品有多少件？试题答案1．16人；39人【分析】可将这55人分成4类，即只订阅小学生数学报，只订阅少年报，两种报纸都订阅，两种报纸都没有订阅，分别求出每一类的人数，再求出题目所求。
五年级奥数题及答案-容斥问题-卖水果
五年级奥数题及答案-容斥问题-卖水果
今天为同学们提供一道小学五年级数学题：关于容斥问题的数学题。
同学们，快来动手试一试哦！
李老板：卖出的商品有：糖果、香蕉、苹果、菠萝、萝卜、龙眼.
王老板：卖出的商品有：龙眼、梨、苹果、西瓜、香蕉、草莓、葡萄.
(1)请将他们卖出的商品填在如图的圆圈中.
(2)两人共卖出几种商品?
考点：物体的比较、排列和分类;容斥原理.
分析：(1)根据给出的商品填入表中，其中左边只有李老板卖的商品，右边只有王老板卖的商品，中间的是两人都卖的商品;
(2)他们卖的商品总数应是：李老板卖的商品数加王老板卖的商品数，然后减去共同卖的商品数.
解答：解：(1)填图如下：
(2)6+7-3=10(种);
答：两人共卖出10种商品.
点评：本题需要注意两人共卖出商品的商品数的计算方法，他们各卖的商品数的和，这样共同卖的商品数就算了2遍，再减去共同卖的商品数即可.。
五年级奥数容斥问题讲座及练习答案
五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除包含与排除问题其实也叫容斥问题。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。
如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-ABA AB B （韦恩图）例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。
又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）37 + 42－48=31（人）答：语文、数学作业都完成的有 31 人。
想一想：下面算式有何道理？( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。
语文、数学都优秀的有多少人？解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）答：语文数学都优秀的有30人。
( 2）四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？解：根据两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人）答：订《数学大世界》的有22人。
小五数学第7讲：容斥定理(含答案)全国通用
第七讲容斥定理1两集合容斥定理如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B) 2三集合容斥定理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C教学重点：两集合容斥定理找对A BA∪B A∩B教学难点：三集合容斥定理例1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.答案45 解析：依题意，被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类，懂英语的教师称为“A 类元素”，懂俄语的教师称为“B 类元素”， 设懂俄语的教师为x 人A ∪B = A+B - A ∩B=75+x-20=100X=45例2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.答案 67解析:依题意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称为“A 类元素”，正方形的面积称为“B 类元素”，A ∪B = A+B - A ∩B=6×8+5×5-4×3×1/2=67例3. 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
答案 13解析：依题意，被计数的事物不超过20的正整数中是2的倍数与不超过20的正整数中是3的倍数有两类，不超过20的正整数中是2的倍数称为“A 类元素”，不超过20的正整数中是3的倍数称为“B 类元素”，A=20÷2=10 B=20÷3=6......2 A ∩B=20÷6=3 (2)A ∪B = A+B - A ∩B=10+6-3=13例4. 一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？8 6 5 4 3例7对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
五年级下册数学试题 - 奥数第04讲：容斥定理 人教版(含答案)
第4讲 容斥定理内容概念：有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。
典型问题：兴趣篇：1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。
如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？【分析】“十八景”剩余了18126-=景，所以冬冬去过其中的6+5=11景。
2.在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？【分析】至少看过一部的小朋友有：1221825+-=（人）3、 五年级一班45个学生参加期末考试。
成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。
请问：语文成绩得满分的有多少人？【分析】两科至少有一科得满分的有：452916-=（人），只有数学得满分的有：1037-=人，语文得满分的有：1679-=（人）。
4.某餐馆有27道招牌菜。
小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的。
请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？【分析】两人都吃过的菜有：137218+-=道理，两人都没有吃过的有：27189-=（道）。
5.如图4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。
请问：（1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？【分析】（1）根据题意，有：6D G +=，则2G =,624D =-=;8F G +=,则有：826F =-=;5E G +=,则有：523E =-=;所以：()306321A =-+=;()308319B =-+=所以只被甲或者乙覆盖，却不被丙覆盖的是：2119343++=；（2）()306618C =-+=所以只被这3个圆中的某一个圆覆盖的部分的面积是：21191858++=。
5年级奥数秋季同步课程-08 容斥原理
主讲：五豆
两个对象的容斥原理 三个对象的容斥原理
两个对象的容斥原理
两个对象的容斥原理
������、������总数=������ + ������ − ������、������重叠
两个对象的容斥原理
【例题】五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课 的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、 数学都优秀的有多少人？
三个对象的容斥原理
【例题】三位基金经理投资若干只股票。张经理买过其中的66只，王经 理买过其中40只，李经理买过23只。张经理和王经理都买过的有17只， 王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个 人都买过的有6只。请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？
张经理
王经理
李经理
三．文氏图是解决容斥问题时最重要的方法。
三个对象的容斥原理
三个对象的容斥原理������①④⑥ ⑦② ������
⑤
③
������
������������������总数=������ + ������ + ������ − ������������重叠−������������重叠−������������重叠+������������������重叠
甲
乙
丙
本讲知识点汇总
一．两个对象的容斥原理： ������、������总数=������ + ������ − ������、������重叠
二．三个对象的容斥原理： ������������������总数=������ + ������ + ������ − ������������重叠−������������重叠−������������重叠+������������������重叠
五年级秋奥数 第2讲：容斥问题(二)
第2讲：容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理2：n 个事物，如果采用三种不同的分类标准：按性质a 分类、按性质b 分类与按性质c 分类（如图），那么具有性质a 或b 或c 的事物的个数=abc ca bc ab c b a N N N N N N N +++++)()－（ 学习例题：例1、 五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：求全班人数。
例2、 某班有学生42人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。
已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组都参加的学生有多少人？例3、 一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。
结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。
既参加篮球队又参加足球队的有多少人？例4、松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。
有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？（3）只参加美术竞赛的有多少人？思考与练习：1、有30名运动员，其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。
既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2、操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。
小学奥数精讲：容斥原理习题及答案
⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案年级班姓名得分⼀、填空题1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈.2.有长8厘⽶,宽6厘⽶的长⽅形与边长为5厘⽶的正⽅形,如图,放在桌⾯上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌⾯的⾯积是平⽅厘⽶.3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈.5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈.6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个.8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈.69.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.⼆、解答题11.某进修班有50⼈,开甲、⼄、丙三门进修课、选修甲这门课的有38⼈,选修⼄这门课有的35⼈,选修丙这门课的有31⼈,兼选甲、⼄两门课的有29⼈,兼选甲、丙两门课的有28⼈,兼选⼄、丙两门课的有26⼈,甲、⼄、丙三科均选的有24⼈.问三科均未选的⼈数?12.求⼩于1001且与1001互质的所有⾃然数的和.13.如图所⽰,A、B、C分别代表⾯积为8、9、11的三张不同形状的纸⽚,它们重叠放在⼀起盖住的⾯积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的⾯积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的⾯积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45⼈,借语⽂或数学课外读物的共39+32=71(⼈),超过全班⼈数71-45=26(⼈),这26⼈都借了语⽂、数学两种课外书。
五年级奥数(仁华版)第十二讲 容斥原理
课堂小结
• 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四 个 • 2、在容斥原理（二）公式∣A∪B∪C∣ • ＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－ ∣A∩C∣－∣B∩C∣＋∣A∩B∩C∣应用于 公式（一）类似，当问题较复杂时，可以 考虑列方程来解答
都采 集的 16人
25 人
花草 标本 的
容斥原理的意义
• 像上面那样 • 要计算种事物的总量时，可以把总量分成 两类分量计算，先把每个分量加起来，然 后减去重复计算的部分。像这样的数学原 理，我们称之为“包含于排除”原理，也 叫容斥原理。 • 用字母表示可以是：
容斥原理（一）
• 原理一：如果把一组事物按两种不同的性 质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数 是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有 ∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 • ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ • 在这个式子里共有四个量，知道任意三个， 都可以求第四个
所以，能被2、3、5中任何一个整除的数有 个
500＋333＋200－166－100－66＋33=734 （个）
巩固练习
• 1、有三个面积都是20平方厘米的圆纸片放在桌 子上，三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三 个圆纸片覆盖住桌面的总面积是36平方厘米。 • 问：图中阴影部分的面积之和是多少？ • 分析：可以先求出每两个圆的重叠部分 • 36=20×3－两圆重叠×3＋8 • 再减去三个三圆重叠的部分 • 即：（20×3＋8－36）－8×3 • =32－24=8
• 例9、六（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组， 其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文有10人参 加；既参加数学又参加语文的有3人，既参加数学又参加 英语的和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而且三 种都参加的只有1人。 • 求既参加英语又参加数学小组的有多少人？ • 分析：这个问题里数量较多，我们画图来分析 • 如果设既参加英语又参加数学的有x人， • 既参加英语又参加语文的有y人 数学30 • 则可以列方程 • 49=30＋20＋10－x－y－3＋1 • 所以x＋y=9 英语20 人 1语数3 • 因为x、y都是质数 • 所以有x=2，y=7或者x=7，y=2 语文 • 答：既参加英语又参加语文的有2人或者7人 10人
小学奥数教程：容斥原理之重叠问题（二）全国通用（含答案）
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标例题精讲 知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．模块一、三量重叠问题【例 1】 一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。
小学奥数 容斥原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
5、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？不是6的倍数或不是5的倍数的数有几个？
6、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
巩固：刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？
例5、在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？既不能被5整除又不能被7整除的有多少个？
巩固：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？不是5的倍数或不是8的倍数的数有几个？
巩固：某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
例3、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
课后作业
1、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
五年级下册奥数较复杂的容斥原理人教版
加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。
51+48+32-16-11-13+7=98（人）
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参
11+12=23 (人) 答：至少有一门得满分的同学有23人。 答：五年级的学生有98人。 51+48+32-16-11-13+7=98（人）
答：这个班一共有80名学生参加了学习小组。 C：4×4=16﹙cm2﹚
求这个班学生参加了学习小组？ A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC 答：五年级的学生有98人。 A＋B＋C－A又B－A又C－B又C＋A又B又C。
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
第十九页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
即学即练
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米 和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积是多少？
45×45+20×20-15×10=2275（平方厘米）
54-（23+27+18-7-4-5）=2（人）
答：其中三个小组都参加的有2人。
第十四页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
例4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后 ，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达 到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短游 投 跑泳 掷
第六页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
小学五年级奥数 容斥原理(二)
容斥原理（二）【例2】(★★★★)【例1】(★★★)唐僧西天取经共经历了81难，其中单独度过了3难，与孙悟空一起度过了77难，与猪八戒一起度过了65难，与沙和尚一起度过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起度过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起度过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起度过了60难。
请问：师徒四人共同度过的有多少难？某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则：⑴三科都不及格的有几人？⑵至少有一科不及格的有几人？⑶三科都及格的人数有几人？【例3】(★★★★)五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。
其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺.，，也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数。
【例4】(★★★)六年级⑴班有32人参加数学竞赛，有27人参加英语竞赛，有22人参加语文竞赛，其中参加了数学和英语的有12人，参加了英语和语文的有14 人，参加了数学和语文的有10人，那么六年级⑴班全班至少有多少人？【例5】(★★★)甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。
已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。
请问：甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？1【例6】(★★★★★)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？一、本讲重点知识回顾1．基本原理⑴二者容斥⑵三者容斥【例7】(★★★)中国田径队的40名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男运动员有20名，训练长跑的运动员有15名，训练竞走的女运动员有8名，那么训练长跑的男运动员有多少名？C A BCA B C A B B C A CA B C2．口诀：奇层加，偶层减3．解题技巧：画图——文氏图，线段图方程列表高斯记号应用——取整运算答案【例1】59难【例3】21人【例2】⑴9人⑵29人⑶31人【例4】47人二、本讲经典例题容斥原理㈠：例1，例2，例5，例6 【例5】17个【例6】15盆容斥原理㈡：例１，例３，例６，例7【例7】3名2。
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五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除包含与排除问题其实也叫容斥问题。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。
如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-ABA AB B （韦恩图）例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。
又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）37 + 42－48=31（人）答：语文、数学作业都完成的有 31 人。
想一想：下面算式有何道理？( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。
语文、数学都优秀的有多少人？解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）答：语文数学都优秀的有30人。
( 2）四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？解：根据两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人）答：订《数学大世界》的有22人。
( 3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。
这个文艺组一共有多少人？解：24+17-8=33（人）答：这个文艺组一共有33人。
例2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人。
问多少个同学两题都答得不对？【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15＝ 10 （人）。
又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10 + 23 = 33（人）。
所以，两题都答得不对的有 36－33 = 3 （人）。
36－［( 25 －15 ) + 23］=3（人）想一想：下面算式有何道理。
(l) 36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人）(2) 36 －［( 25－ 15 ) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）【疯狂操练】：( l）五（ 1 ）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？解：19人两个小组都参加则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人所以参加小组活动的为4+6+19=29人，两个小组都没参加的为40－29=11人( 2）一个班有 55 名学生，订阅《小学生数学报》的有 32 人，订阅《中国少年报》的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？解：订《小学生数学报》的 32 人，订《中国少年报》的 29 人，两种报纸都订的有25人，实际上订阅的总人数是：29+32－25=36人，那么两种报纸都没订的有55－36=19人。
答：两种报纸都没订的有19人。
( 3 ）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？解：只获作文比赛奖的14-3=11人，只获数学比赛奖的12-3=9人。
获奖人数一共有11+9+3=23人，没获奖的就有50-23=27人。
例3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25 =31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28 + 27 －31 = 24 （人）。
28 + 27－（ 56－ 25 ) = 24 （人）答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。
想一想：下面算式有何道理( l ) 28－（56 －25－27 ）= 24（人） ( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24 （人）【疯狂操练】： ( 1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？解：因为除了两样都不会的4人，有36－4=32人，这32人分为会英语的，会法语的，两样都会的，而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是：24+18=42（人）比32人多的人数就是两样都会的人数，即42－32=10（人）。
综合列式：24＋18－﹙36－4﹚＝10（人）答：两样都会的有10人.( 2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。
问这两种棋都会下的有多少人？解：解法同上题：即：69+52－﹙103－12﹚=30（人）答：这两种棋都会下的有30人.( 3）三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。
这两队都没有参加的有 10 人。
请算一算，这个班共有多少人？解：参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，那么共40+20=60人，其中14个两个队都参加了，所以只有：60－14=46人，再加上两个队都没参加的，一共有46+10=56人。
即：40+20－14+10=56（人）答：这个班共有56人例4：光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法共有多少幅？【思路导航】由题意知， 24 幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数； 22 幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
24 + 22 =46〔幅），这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的 10 幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数．再除以2，即可求出其它年级参展的作品。
(24+22－10)÷2=18（幅）答：其他年级参展的作品共有 18 幅。
练一练( l ）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32 件。
其他年级参展的作品共有多少件？解：由“有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的”可知二年级比一年级多10件，根据“一、二年级参展的作品共有32 件”可得一年级展出科技作品数是（32－10）÷2=11件，则二年级展出作品数是32－11=21件，全校展出作品总数为：11+110=121件或：21+100=121件。
那么除了一二年级的展出作品数外，其它年级展出作品数为：121－32=89件。
答：其他年级参展的作品共有89件.( 2 ）六（ 1 ）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有 8 幅，其他年级参展的画共有多少幅？解：25 幅画不是三年级的，19幅画不是四年级的，那么四年级展出的图画作品比三年级多25－18=6幅.由于三四年级共有8幅，所以三年级的作品有（8－6）÷2=1幅。
那么四年级的有8－1=7幅。
则展出作品总数为：1+25=26，或7+19=26幅，那么其它年级展出作品数为26－8=18幅。
答：其他年级参展的画共有18幅。
( 3 ）实验小学举办学生书法展。
学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的，有 24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅？解：28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅；24幅不是六年级的。
也就是五年级+其他年级=24幅；上述两个式子相加得：(五年级+六年级)+2×其他年级=28+24，因此其他年级的有：(28+24-20)÷2=16幅，又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅，因此一、二年级参展的书法作品共有：(16－4)÷2=6幅。