ch8多元函数微分学习题课——典型例题

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吴第8章多元函数微分学-习题课

3
dz dx

0
,
dy cos x,
dx
可得
dz dx

1

3
(
2
x

1

esin x

cos
x

2
),
故
du dx

f x

cos
x
f y

1
3
(2 x1

esin
x

cos
x2
)
f z
.
【例10】设y f ( x, t ),而t是由F ( x, y, t ) 0所确定的x, y的
x0
y0
fx (0,0)
lim
x0
f ( x,0) x
f (0,0)

lim
x0
x2 sin(1 x
x2)

0
f
y
(0,0)

lim
y0
f ( y,0) y
f (0,0) lim y2 sin(1
y0
y
y2) 0
偏导数存在, 否A .
lim f ( x, y)
x0 y0
函数，其中 f、F具有一阶连续偏导数，试求 dy . dx
【解】方程组确定隐函数［推导法］
F(x, y,t) 0 G( x, y,t) f ( x,t) y 0

y t

y( x) t(x)
两边同时对x求导

Fx

f
x

Fy

高数下课件 ch8习题课

=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0，所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+

多元函数微分法习题课

z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面平面
求上求一点 , 使该点处的法线垂直于并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线的最短距离。的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用
一、基本概念
1. 多元函数的定义、极限、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系连续性方向导数存在偏导数存在可微性

[整理]8多元函数微分法及其应用习题与答案

第八章多元函数微分法及其应用A 题1、填空题1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()[]=2,,y y x g f2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z3）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,04）设()()y ax x x z ++++=ϕ211，若已知：当0=x 时，()2ln ey z =，则=dz 5）设()y x f z ,=，由1345=++yz xz z 所确定，则()=0,0'x f6）设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为 7）曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为8）设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、下列函数的定义域并图示 1)y x y x z -++=112)()221ln y x x x y z --+-=3)22arccosy x z u +=3、求下列各极限1)()()221,0,1limy x xy y x +-→2)()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→3)()()()y xy y x sin lim0,2,→4、问函数xy x y z 2222-+=在何处间断.5、求下列函数的偏导数 1)uvv u s 22+=2)()()xy xy z 2cos sin +=3)yx z tanln =4)z y x u =6、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点()5,4,2处的切线对于x 轴的倾角是多少?7、设()()yx y x y x f arcsin1,-+=，求()1,x f x .8、求下列函数的22x z ∂∂,22y z ∂∂,yx z ∂∂∂2 1)xy z arctan=2)x y z =9、求下列函数的全微分 1)22y x y z +=2)yz x u =10、求函数22y x xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.11、计算()()3393.102.1+的近似值.12、已知边长为cm x 6=与cm y 8=的矩形，如果x 边增加cm 5而y 边减少cm 10，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？13、设v u z ln 2=，而y x u =，y x v 23-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.14、设()y x z -=arcsin ，而t x 3=，34t y =，求dtdz .15、设()12+-=a z y e u ax ，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu .16、求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）1)()xy ey x f u ,22-=2)()xyz xy x f u ,,=17、设()y y x f x z cos ,31-=，求x z ∂∂，yz ∂∂.18、设()22y x f z +=，其中f 就有二阶导数，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂.19、求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数） 1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x x f z ,2)()y x u f z ,,=，其中y xe u =3)()y x ey x f z +=,cos ,sin20、设y z z x ln =，求x z ∂∂及yz ∂∂.21、设()y x z z ,=由方程()0,2=xyz F 确定，求dz .22、设()z y x x ,=，()z x y y ,=，()z x z z ,=都是由方程()0,,=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，求xz z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂.23、设()z y x z y x 3232sin 2-+=-+，计算yz x z ∂∂+∂∂.24、求下列方程组所确定函数的导数或偏导数 1)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x 求dz dx ，dz dy2)设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin 求x u ∂∂，y u ∂∂，x v ∂∂，y v ∂∂25、求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.26、求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x .27、求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.28、求函数22y x z +=在点()2,1处沿从点()2,1到点()32,2+的方向的方向导数.29、求函数222z y x u ++=沿曲线t x =，2t y =，3t z =在点()1,1,1处的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数.30、设()z y x xy z y x z y x f 62332,,222--++++=，求()0,0,0gradf 及()1,1,1gradf .31、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.32、求函数()()y y x ey x f x 2,22++=的极值.33、求函数xy z =在适合条件1=+y x 下的极大值.34、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.35、要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.36、在平面xoy 上求一点，使它到0=x ，0=y 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.B 题1、填空题1) 设()x y y x z -+=22arcsin ，其定义域为2) 设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xy y x y x f ，则()=1,0x f 3) 已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂y z x z 4) 函数()z y x z y x f 1,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则()=1,1,1df 5) ()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的的条件6) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的条件 7) 由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数()y x z z ,=在点()1,0,1-处的全微分为8) 设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点⎪⎭⎫ ⎝⎛π1,2处的值为 9) 设()()y ax y xy f xz ++=ϕ1，f ，ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 10) 由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()2,3,0处的指向外侧的单位法向量为11) 曲面4323232=++z y x 上任一点的切平面在坐标轴上的截距平方和为12) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu 13) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、求函数()()2221ln 4,y x y x y x f ---=的定义域，并求()()y x f y x ,lim0,21,⎪⎭⎫⎝⎛→.3、证明：()()0lim220,0,=+→yx xy y x .4、证明下列极限不存在1) ()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→2) ()()4220,0,limy x xy y x +→5、求下列函数的偏导数1) ()yxy z +=12)nx e z t kn cos 2-=3) ()xyy x ey x z 2222++=6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000,2222222y x y x yx y x y x f ，求()y x f x ,及()y x f y ,.7、设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，验证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂.8、设()u xF xy z +=，而xyu =，()u F 为可导函数，证明：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂.9、设()22yx f y z -=，其中()u f 为可导函数，验证：211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.10、设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xv x u ∂∂⋅∂∂.11、设()()xy x g y x f z ,2+-=，其中函数()t f 二阶可导，()v u g ,具有连续二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.12、设()y x f u ,=的所有二阶偏导数连续，而23ts x -=，23ts y +=，证明：2222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂t u s u y u x u 及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.13、设v e x u cos =，v e y usin =，uv z =，试求x z ∂∂和yz ∂∂.14、在方程02222=∂∂-∂∂y ux u 中，函数u 具有二阶连续偏导数，令⎩⎨⎧+=-=y x y x ηξ，求u 以ξ，η为自变量的新方程.15、设0=-xyz e z，求22xz∂∂.16、设()v u ,Φ具有连续偏导数，证明由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=，满足c yz x z a=∂∂+∂∂. 17、设()()⎩⎨⎧-=+=y v x u g v y v ux f u 2,,，其中f ，g 具有一阶连续偏导数，求x u ∂∂和xv ∂∂.18、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.19、试证曲面a z y x =++()0>a 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为一常数.20、求函数z y x u ++=在球面1222=++z y x 上点()000,,z y x 处沿球面在该点的外法线方向的方向导数.21、设()θθsin ,cos =l ，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1处沿方向l 的方向导数，并分别确定角θ，使这个导数有： a)最大值 b)最小值 c)等于022、证明：曲面()0,=--bz y az x F 上任意点处的切平面与直线z bya x ==平行（a ，b 为常数）.23、求平面1222=++z cwy b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++c w b v a u 之下的最小值.24、经过⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,2的所有的平面中，哪一个平面与坐标面围成的立体体积最小？最小体积是多少？25、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.C 题1、讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性. 2、设yx y z 1tan⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂. 3、设()y x z z ,=由方程()z y f y x z ,2++=所确定，求xz∂∂， y z ∂∂及y x z ∂∂∂2.4、设()y x z z ,=由方程⎰-+=x y zt dt e x z 22所确定，求xz ∂∂， y z ∂∂.5、设()t x f y ,=，而t 是由方程()0,,=t y x F 所确定的x ，y 的函数，其中f ，F 都具有一阶连续偏导数，试证明：tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.6、设()z y x f u ,,=，()0,,2=z e x yϕ，x y sin =，其中f ，ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂x ϕ，求dxdu. 7、设变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y zy x z x z 转化为02=∂∂∂v u z ，求常数a . 8、求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使π过已知直线L ：2121326--=-=-z y x . 9、求函数22y xy x z +-=在区域1≤+y x 的最大值，最小值.10、求旋转椭球面14222=++z y x 在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小.第八章多元函数微分法及其应用习题答案A1、填空题1)422422y y x x +- 2）()22y x y -+ 3）y -4）()()()dy y ax x dx y ax x a y ax x dz +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=2221212ln 21 5）51- 6）111111--=-=-z y x 7)()()()0162812=-++--z y x 8）352、下列函数的定义域并图示1）(){}0,0,>->+y x y x y x 2）(){}1,0,0,22<+≥>-y x x x y y x 3）(){}0,0,,22222≠+≥-+y x z y x z y x3、1）1 2）41-3）2 4、(){}02,2=-x y y x 5、 1）21u v v u s -=∂∂,21vuu v s -=∂∂2）()()[]xy xy y xz2sin cos -=∂∂,()()[]xy xy x y z 2sin cos -=∂∂ 3）y x y x z 2csc 2=∂∂,y x yx y z2csc 22-=∂∂ 4）1-=∂∂z yx z y x u ,x x zy u z y ln 1=∂∂,x x z yz u z yln 2-=∂∂ 6、4π7、()11,=x f x 8、 1）()222222y x xyx z +=∂∂,()222222y x xy y z +-=∂∂,()222222y x x y y x z +-=∂∂∂2）y y x z x 222ln =∂∂,()2221--=∂∂x y x x yz ,()y x y y x z x ln 112+=∂∂∂- 9、1）()()xdy ydx y xxdz -+-=23222）xdz yx xdy zx dx yzx dz yzyz yz ln ln 1++=- 10、02.0=∆z ，03.0=dy 11、95.2 12、cm 5-13、()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223323ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂ 14、()()232431413t t t dt dz ---= 15、x e dx du ax sin =16、1）'2'12f ye xf xuxy +=∂∂,'2'12f xe yf y u xy +-=∂∂ 2）'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf zu=∂∂ 17、()2'1cos ,33x y y x f xf x z --=∂∂,x y f f y zsin '2'1+-=∂∂ 18、'''22224f f x x z +=∂∂，''24xyf y x z =∂∂∂，'''22224f f y yz +=∂∂ 19、1）''222''22''112212f y f y f x z ++=∂∂,'22''22''122211f y f y f yx y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂∂ ''2242'23222f yx f y x y z +=∂∂ 2）()''''''2''22xx y xu ux y uu f e f f e f xz +++=∂∂'''''''''22u y xy xu y yu y uu y f e f f xe f e f xe yx z ++++=∂∂∂ ()'''''''22''22yyy yu u uy y uu f xe f f f e x f yz ++++=∂∂ 3）()''332''13''112'1'322cos 2cos sin f e xf e xf xf f e xz y x y x y x ++++++-=∂∂()''332''32''13''12'32sin cos sin cos f e yf e xf e yf x f e yx z y x y x y x y x +++++-+-=∂∂∂()''332''23''222'2'322sin 2sin cos f e yf e yf yf f e yz y x y x y x ++++-+-=∂∂ 20、z x z x z +=∂∂,()z x y z y z+=∂∂2 21、dy y z dx yf f x dz -'-=122 22、1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z y y x 23、1=∂∂+∂∂y zx z 24、1）y x z y dz dx --=，yx xz dz dy --= 2）()1cos sin sin +-=∂∂v v e v x u u ,()1cos sin cos +--=∂∂v v e v y u u ()[]1cos sin cos +--=∂∂v v e u e v y v u u ,()[]1cos sin sin +-+=∂∂v v e u e v x v u u25、切线方程：000211z z z y m y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x 26、()1,1,11--P 及⎪⎭⎫⎝⎛--271,91,312P 27、切平面方程：2112±=+-z y x28、321+ 29、147630、()→→→--=k j i gradf 6230,0,0，()→→+=j i gradf 361,1,131、→→→+-=k j i gradu 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu32、极小值：21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛- 33、极大值：4121,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛z34、a A y x 3＝＝宽长，aAb a z 32＝高35、当长，宽都是32k ，而高3221k 为时，表面积最小 36、⎪⎭⎫⎝⎛516,58 B 解答及提示 1、填空题1)(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x 2) ()11,0=x f 3)y x 22-4)dy dx - 5)充分，必要 6)必要 7)dy dx dz 2-=8)2⎪⎭⎫⎝⎛e π 9)()()()y x ay y x xy yf y x z ++++=∂∂∂'''''2ϕϕ 10)()3,2,05111)64 12)()2,2,192- 13)35 2、 (){}x y y x y x 4,10,222≤<+<，43ln 2 3、提示：222221y x y x xy +≤+ 4、证明下列极限不存在1)()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x2)1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 5、求下列函数的偏导数1)()121-+=∂∂y xy y x z ,()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂xy xy xy xy y z y 11ln 1 2)nx e kn t z t kn cos 22--=∂∂,nx ne xzt kn sin 2--=∂∂ 3) ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=∂∂+y x y x y y x x ex z xyy x 2222222222 ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=∂∂+2222222222xy y x x y x y eyz xyy x 6、提示：()0,0处的偏导数应按定义求()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002,22222223y x y x y x xy y x f x ,()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=000,2222222222y x y x y x y x x y x f y10、()()'211g y yf f xv x u ++=∂∂⋅∂∂ 11、22212''22xyg g x g f y x z +++-=∂∂∂ 13、提示：由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y ve x uusin cos 解出()()⎩⎨⎧==y x v v y x u u ,,再解或者由⎪⎩⎪⎨⎧==ve y v e x uusin cos 直接分别求对于x ，对于y 的偏导数，通过解关于x u ∂∂，y u ∂∂或x v ∂∂，y v ∂∂的方程组解出x u ∂∂，y u ∂∂ ，x v ∂∂，yv∂∂14、提示：将ξ，η看作中间变量，通过复合函数偏导数运算求得新方程为02=∂∂∂ηξu15、()322322222xy e e z y z xy ze y x z z zz ---=∂∂ 17、()()()'1'2'2'1'1'2'2'11211g f yvg xf g f zyvg uf x u ------=∂∂，()()()'1'2'2'1'1'1'11211g f yvg xf uf xf g y u----+=∂∂ 18、提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x20、()000,,000z y x luz y x ++=∂∂处沿球面在该点的外法线方向的方向导数21、θθsin cos +=∂∂l f ,a)4πθ= b)45πθ=c)43πθ=或47π22、提示：令()()bz y ay x F z y x G --=,,,,已知曲线在任意点处的法向量即为{}''',,z y x G G G =→η 23、提示：考虑()uvw c b a w v u f 222,,=在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值，由拉格朗日乘数法得最小值为abc 3324、提示：设平面方程为0=+++D Cz By Ax ，问题即求：22262361C B A D V =在条件0312=+++D C B A 下的最小值，由拉格朗日乘数法得平面方程为：0662=-++z y x ，最小体积是325、提示：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++++++=z y x u yx z y x u z y x F λλ求得最长距离为：359+，最短距离为：359-C 解答及提示解：1）因为()2222221sin0y x y x yx +≤++≤又 0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 22220=++→→yx y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续 2）根据定义 ()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01s i n lim0,00,0lim0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得 ()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z ∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆ ()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆= 而 ()()[]()()()()01sinlim2222220=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以 ()y x f ,在()0,0处可微分C1、解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln两边对x 求偏导有：x yxy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y x x z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理： xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 2、解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： ()()3'2'1''22''22''21'2''21'12'2'2'1''22''21'2'122222221212f z f f f f f zf f f z f z f f f f z f y x z -++-+--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+-=∂∂∂ 4、解：方程可表示为：⎰⎰-+=-xat xy at dt e dt e x z 222（a 为任意常数）对方程两边求x 的偏导数有：()()x z z e e x x z z x y ∂∂--+=∂∂-21122，所以 ()zx y e z ez z x x z +-=∂∂-2242，同理得 ()zx y ez e z y z +=∂∂-2225、由题意可知：tF x Fdxdt ∂∂∂∂-=，t F y F dy dt ∂∂∂∂-=，由()()y x t x f y ,,=，两边对x 求导有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂=dx dy y t x t t f x f dx dy ，得：yt t f x t t f x f dx dy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 将上面偏导代入即得结果 6、解：dx dz z f dx dy y f x f dx du ∂∂+∂∂+∂∂= ，易见 x dxdy cos = 由()0,,2=z e x yϕ，对方程两边求x 的导数有：0cos 2'3'2'1=++dx dz x e x yϕϕϕ，得'3'2'1cos 2ϕϕϕx e x dx dzy +-= 7、解法一：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂，vza u z x z ∂∂+∂∂-=∂∂222222222v z v u z u z x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂，2222222244v z a v u z a u z x z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂()22222222vza v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂ 将上述结果代入原方程，经整理后可得：()()065102222=∂∂-++∂∂∂+vz a a v u z a 依题意a 应满足：⎩⎨⎧≠+=-+0510062a a a ，3=∴a解法二：将z 视为以x ，y 为中间变量的u ，v 的二元复合函数，由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++=222a v u y a v av x ，从而2+=∂∂a a u x ，2+=∂∂a a v x ，21+-=∂∂a u y ，21+=∂∂a v y yz a x z a a u y y z u x x z u z ∂∂+-∂∂+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂212 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+=∂∂∂v y y z v x y x z a y y y x z v x x z a a v u z 2222222212 ()()()22222222212222yza y x z a a x z a a∂∂+-∂∂∂+-+∂∂+=依题意 0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x z ，即 y x zx z y z ∂∂∂+∂∂=∂∂222226 代入上式得 ()()y x za a x z a a v u z ∂∂∂+-+∂∂+-=∂∂∂22222223262，令 02=∂∂∂v u z ，得：⎩⎨⎧≠+=-0203a a 故 3=a 8、解：令()2132,,222-++=z y x z y x F ，x F x 2'=，y F y 4'=，z F z 6'=椭球面在点()000,,z y x M 处的切平面π的方程为()()()0642000000=-+-+-z z z y y y x x x ，即2132000=++z z y y x x因为平面π过直线L ，故直线L 上任意两点，如点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3,6，⎪⎭⎫ ⎝⎛27,0,0应满足平面π的方程，代入有：212366000=++z y x ()1 20=z ()2 又因为2132202020=++z y x ()3解()1，()2，()3有 30=x ，00=y ，20=z 及 10=x ，20=y ，20=z 故所求切平面方程为：72=+z x 及 2164=++z y x9、解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z yx ⇒ 0==y x 此时 0=z显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且()()[]02122222≥-++=+-=y x y x y xy x z所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1）1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2）1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1）()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1ma x=z对于情形2）()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1ma x=z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0ma x=====--z z z z z10、设所取的点为()z y x M ,,，在点M 处切平面的法向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,2,2z y x ，切平面方程为()()()0222=-+-+-z Z zy Y y x X x ，即14=++Z z yY xX （考虑到14222=++z y x ）此平面在三个坐标轴上的截距分别为：x 1，y 1，z4 问题即为求()z y x ,,，使得函数()2221611,,z y x z y x F ++=在条件⎪⎩⎪⎨⎧>>>=++0,0,014222z y x z y x 下求极值令 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++=141611,,,222222z y x z y x z y x G λλ则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=014022022022222'2'2'2'z y x G z zG y y G x x G z y x λλλλ 解得 λ18222===z y x代入约束条件得 14181812=⎪⎭⎫ ⎝⎛++z 由 0,0,0>>>z y x 知21==y x ，2=z ， ∴所求点为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21,21M。

多元函数微分习题课

x
x
z
y
x
( ) du
dx
=
f1 +
f2 cos x −
1 f3 ϕ3
2 xϕ1 + esin xϕ2 cos x
十.设u = f ( x, y,z),ϕ( ) x2,ey,z = 0, y = sinx,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法二:用微分形式不变性:
(A). f ( x, y) 在 P 点连续; (B). f ( x, y) 在 P 点必可微;
(C). lim x → x0
f
( x,
y0 )
及 lim y→ y0
f
( x0 ,
y)
都存在;
(D). lim f ( x, y) 存在. x → y→ y0
答:(C)
三.求由方程 xyz + x2 + y2 + z2 = 2 所确定的函数 z = z ( x, y) 在点(1,0,−1) 处的全微分dz .
答:dz = dx − 2dy
四.设 z = z ( x , y ) 定义在全平面上 (1).若 ∂z ≡ 0 ,试证 z = f ( y ) ,其中 f ( y )
∂x
是任意待定的函数; (2).若 ∂ 2 z ≡ 0 ,试证 z = f ( x ) + g ( y ) ,其
∂x∂y
中 f ( x ), g ( y ) 是可导的待定函数.
;
有二阶连续偏导数,
解: z y = x4 f1 + x2 f2 , z yy = x5 f11 + 2 x3 f12 + xf22

CH8(7)多元极值

248§8-7 多元函数的极值及其应用同步训练题A ：一、客观题：1、如果点(x 0,y 0)有定义且f(x,y )在(x 0,y 0)的某邻域内有连续二阶偏导，∆=AC-B 2，A =),(00y x f xx''，B =),(00y x f xy ''，C =),(00y x f yy ''，则当（），f(x,y)在(x 0,y 0) 取极大值。

（A ）∆>0,A >0 ; (B)∆<0,A >0 ; （C ）∆<0,A <0 ;（D ）∆>0,A <0. 2、函数z=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值点有（）（A ）（1，0）和（1，2）; （B ）（1，0）和（1，4）; （C ）（1，0）和（-3，2）; （D ）（-3，0）和（-3，2）.3、设函数221yx z ++=，则点(,)00是函数z 的（）（A ）极大值点但非最大值点；（B ）极大值点且是最大值点;（C ）极小值点但非最小值点；（D ）极小值点且是最小值点.二、求由22xy x z +=驻点。

三、求函数x y x z cos )cos(++=的驻点。

四、求函数x y x z 6223-+=的极值。

五、求函数2324312y y x x z ++-=的极值。

六、利用拉格朗日乘数法，试将已知正数9分成3个正数之和，使它们的积为最大。

同步训练题B ：一、客观题：1、设函数z z x y =(,)是 1222=-+z y x 的z >0的部分，则点(,)00是函数z 的（）（A ）极大值点但非最大值点 ; （B ）极大值点且是最大值点; （C ）极小值点但非最小值点 ; （D ）极小值点且是最小值点.2、设函数22y x z -=，则（）（A ）函数z 在点(,)00处取得极大值; （B ）函数z 在点(,)00处取得极小值;（C ）点(,)00非函数z 的极值点;（D ）点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点.3、函数2),,(x z y x f =在x y z 22222--=条件下的极小值是________。

多元函数的微分学典型例题

多元函数的微分学典型例题例 1 设 2 2 y xy x z + - = ．求它在点 ) 1 , 1 ( 处沿方向v = ) sin , cos ( a a 的方向导数，并指出：（1）沿哪个方向的方向导数最大？（2）沿哪个方向的方向导数最小？（3）沿哪个方向的方向导数为零？解 1 ) 1 , 1 ( = x z ， 1 ) 1 , 1 ( = y z ． ) 1 , 1 (v z¶ ¶ a a sin cos + = ．因此（1）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4pa = 取最大值，即沿方向 ) 1 , 1 ( 的方向导数最大．（2）函数 a a a j sin cos ) ( + = 在 4 pa - = 取最小值，即沿方向 ) 1 , 1 ( - - 的方向导数最小．（3） 43pa - = 是函数 a a a j sin cos ) ( + = 的零点，即沿方向 ) 1 , 1 (- 的方向导数为零．例 2 如果函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处可微，且从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 方向的方向导数为2，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 方向的方向导数为 2 - ．求（1）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处的梯度；（2）该函数在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向导数．解（1）设 x f 和 y f 分别表示函数 ) , ( y x f 在点 ) 2 , 1 ( 处关于x 和 y 的偏导数，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 2 , 2 ( 的方向为 1 l ，从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 1 , 1 ( 的方向为 2 l ，则 1 l 和 2 l 的方向余弦分别为 ) 0 , 1 ( 和 ) 1 , 0 ( - ，于是就有x f l f = ¶ ¶ 12 0 1 = × + × y f ，故 2 = x f ； 2 1 0 2 - = × - × = ¶ ¶ y x f f l f ，故 2 = y f ．因此 ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( = gragf ．（2）在点 ) 2 , 1 ( 处从点 ) 2 , 1 ( 到点 ) 6 , 4 ( 方向的方向余弦为 ÷ ø öç è æ 5 4,5 3 ，设该方向为l ，则 l f ¶ ¶ ) 2 , 1 ( 5145 4 2 5 3 2 = ´ + ´ = ．例 3 验证函数) , ( y x f ïî ï í ì = + ¹ + + = . 0 ,0 , 0 , 2 2 22 22 y x y x yx xy 在原点 ) 0 , 0 ( 连续且可偏导，但它在该点不可微．验证注意不等式 | | 2 2 xy y x ³ + ，就有0 | | 0 2 2 22 2 2 22 ® + = + + £ + £y x y x y x y x xy ， ) , ( y x ® ) 0 , 0 ( ．故而 0 ) , ( lim)0 , 0 ( ) , ( = ® y x f y x f = ) 0 , 0 ( ．因此， ) , ( y xf 在原点 ) 0 , 0 ( 连续． x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 )0 , 0 ( ) 0 , ( = - xf x f ，由变量对称性得 y f ) 0 , 0 ( 0 = ．即该函数在原点 ) 0 , 0 ( 可偏导．假如 ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 可微，就应有) , ( y x f = - ) 0 , 0 ( f x f ) 0 , 0 ( + x y f ) 0 , 0 ( ) ( 2 2 y x y + +o ，即 ) , ( y x f = ) ( 2 2 y x + o ．但这是不可能的，因为沿路径 ) 0 ( ¹ = k kx y ，就有= + ® 2 2 )0 , 0 ( ) , ( ), ( limyx y x f kx x = + ® 2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( lim y x xykx x 0 1 lim 2 2 2 2 2 0 ¹ + = + ® k k x k x kx x ．可见， ) , ( y x f ¹ ) ( 2 2 y x + o ．因此， ) , ( y x f 在原点 ) 0 , 0 ( 不可微．例 4 验证函数) , ( y x f ï îï íì = + ¹ + + + = . 0 , 0 , 0 , 1 sin ) ( 2 2 22 22 2 2 y x y x y x y x 的偏导函数 ) , ( y x f x 和 ) , ( y x f y 在原点 ) 0 , 0 ( 不连续，但它却在该点可微．验证x f ) 0 , 0 ( = 0lim® x 0 1sin lim ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 0 = = - ® xx x f x f x ； ) , ( y x ¹ ) 0 , 0 ( 时，) , ( y x f x 22 2222222121 2sin()cos () x x x y x y x y x yæö =++- ç÷ +++ èø 2 2 2 2 2 2 1cos2 1 sin2 y x y x x y x x + + - + = ．因此， ) , ( y x f x ï î ï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x x y x x 由变量对称，得) , ( y x f y ï îï íì= + ¹ + + + - + = . 0 , 0 , 0 , 1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 y x y x y x y x y y x y ) , ( y x f x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．事实上，沿路径 x y = ， ® ) , ( x x ) 0 , 0 ( 时，2 2 2 2 1 cos 2 2 2 1 sin2 ) , ( x x x x x x x f x - = 中，第一项趋于零，而第二项 22 1cos 1 x x - 的极限不存在(比如取 pk x k 2 1=， +¥ ® k 时有 0 ® k x ，而2 2 1cos 1 kk x x -¥ ® )．可见， x y x f ) 0 , 0 ( ) , ( lim ® ) , ( y x 不存在，因此 ) , ( y xf x 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．同理可证 ) , ( y x f y 在点 ) 0 , 0 ( 不连续．但由于0 1sin ) , ( 0 2 2 22 2 2 22 ® + £ + + =+ £y x y x y x y x y x f ，® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，就有 0 ) , ( 22® + yx y x f ，于是就有0 ) , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2222® + =+ - - - yx y x f yx yf x f f y x f y x ， ® ) , ( y x ) 0 , 0 ( ，即 ) ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2 y x y f x f f y x f y x + + + = - o ．可见 f 在点 ) 0 , 0 ( 可微．例 5 证明函数) , ( y x f ï îïí ì = + ¹ + + = . 0 , 0 , 0 , 2 22 22 42 2 y x y x y x xy 在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因此不可微．证设 ) sin , cos ( a a = l 则= - = ¶ ¶ ® tf t t f l f t )0 , 0 ( ) sin , cos ( lim 0 a a 32 2244 0 2cos sin lim ( cos sin )t t t t t a a a a ® = +3 0 , , , 22 2tan sin , , . 22p p a p p a a a ì= ï ï = íï ¹ ï î 可见在原点 ) 0 , 0 ( 处沿各个方向的方向导数都存在．但沿路径 2y x = ，有 = ® ) , ( lim )0 , 0 ( ) , ( 2y x f y y f y y y y y ¹ = + ® 1 2 lim 4 4 22 0 ) 0 , 0 ( 可见 f 在原点 ) 0 , 0 ( 并不连续，因此不可微．例 6 计算下列函数的高阶导数或高阶微分：（1） x yz arctan = ，求 2 2 x z ¶ ¶ ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 22 y z ¶ ¶ ；解 x z ¶ ¶ 2 2 2 2 2 1 y x y x y x y + - = + -= ， y z ¶ ¶ 22 22 1 1 y x x xy x + = + =． 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 2 ) ( 2 y x xy + = ， y x z ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 2 2 ) ( y x x y + - = ， 2 2 y z ¶ ¶ = 22 2 )( 2 y x xy+ - ．（2） xyxe z = ，求 y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 和 23 y x z¶ ¶ ¶ ．解 x z ¶ ¶ = ) 1 ( xy e xye e xyxy xy + = + ， 2 2 x z ¶ ¶ ) 2 ( ) 1 ( xy ye y e xy ye xy xy xy + = + + = ；yx z¶ ¶ ¶ 2 ) 2 ( ) 1 ( xy xe xe xy xe xy xy xy + = + + = ． y x z ¶ ¶ ¶ 2 3 = = ¶ ¶ ¶¶ x y x z 3 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y x z x 2 xyxy xy xy e xy xye xye xy e ) 2 3 ( ) 2 ( + = + + + ；2 3 y x z ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = y x z y 2 ( )= + + xy xy xe xy xe x ) 2 ( xye y x x x ) 3 ( 2 + ．（3） ) ln(xy x z = ，求 z d 2 ；解 x z 1 ) ln( ) ln( + = + = xy xy xy xy， xy z y xy x 1 = = ， x xy y z xx 1= = ；y z y x xy x = = 2 ， yy z 2 yx- = ．2222222 2 12 xx xy yy d z dx dy z z dx z dxdy z dy x y x dx dxdy dy x y yæö¶¶ =+=++ ç÷ ¶¶ èø =+- ．（4） ) ( sin 2 by ax z + = ，求 z d 3 ．解 x z ) ( 2 sin by ax a + = ， xx z ) ( 2 cos 2 2 by ax a + = ， = 3x z ) ( 2 sin 4 3 by ax a + - ，) ( 2 sin 4 2 axby b a z xxy - = ； y z ) ( 2 sin by ax b + = ， ) ( 2 cos 2 2 by ax b z yy + = ，= = yyx xyy z z ) ( 2 sin 4 2 by ax ab + - ． = 3 y z ) ( 2 sin 4 3 by ax b + - ．z d 3 = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ z y dy x dx 33223322333 x x y xy y z dx z dx dy z dxdy z dy +++ ) ( 2 sin 12 ) ( 2 sin 4 2 3 by ax b a by ax a + - + - = ) ( 2 sin 12 2 by ax ab + - 3 4sin 2()b ax by -+ ) ( 2 sin ) ( 4 3 by ax b a + + - = ．例 7 利用链式规则求偏导数：（1） ÷ ÷ øö ç ç è æ = , y x xy f u ．求 x u¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 y u ¶ ¶ ．解设 xy t = ， yxs = ．x u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = x s s f x t t f s f y t f y ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 ， y u ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = y s s f y t t f sfy x t f x ¶ ¶ - ¶ ¶ 2 ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = y s s t f y t t f y t f 2 2 2 22 22 11 f f t f s y s y s t y s y æö¶¶¶¶¶ -++ ç÷ ¶¶¶¶¶¶ èø = ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ s t f y x t f x y t f 2 2 2 2 22 222 11 f f x f x y s y s t y s æö¶¶¶ -+- ç÷ ¶¶¶¶ èø 2 2 t f xy ¶ ¶ = s t f y x ¶ ¶ ¶ - 2 3 s fy t f ¶ ¶ - ¶ ¶ + 2 1 ．2 2 y u ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = y u y 2 f x f x y t y s æö ¶¶¶ =- ç÷ ¶¶¶èø 23 2 2 2 2 y xs f y x y s s t f y t t f x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ = = ÷ ÷ øöç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ y s s f y t t s f 2 2 2 23 2 2 2 2 2 y xs f y x s t f y x tf x x - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ 2 2 2 2 s f y x t sf x s f y x s f y x s t f y x t f x ¶¶ +¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ．（2） ) ( 222z y x f u + + = ．求 x u ¶ ¶ ， y u ¶ ¶ ， z u¶ ¶ ， y x u ¶ ¶ ¶ 2 和 2 2 xu ¶ ¶ ．解设 2 2 2 z y x t + + = ．x u ¶ ¶ ( 2 ) ( f x x tt f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ， y u ¶ ¶ ( 2 ) ( f y yt t f ¢ = ¶ ¶ ¢= ) 2 2 2 z y x + + ， z u ¶ ¶ ( 2 ) ( f z zt t f ¢ = ¶ ¶ ¢ = ) 2 2 2 z y x + + ；y x u ¶ ¶ ¶ 2 = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u y ( )= + + ¢ ¶ ¶) ( 2 2 2 2 z y x f x y 4( xyf ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ； 22 xu ¶ ¶ = ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = x u x ( ) 222 2() xf x y z x ¶¢ ++ ¶ 2( f ¢ = ) 2 2 2 z y x + + 2 4x + ( f ¢¢ ) 2 2 2 z y x + + ．例 8 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续导数．写出 2 2 x z ¶ ¶ 2 2 y z ¶ ¶ + 在坐标变换2 2 y x u - = ， xy v 2 = 下的表达式．解x z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ x u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ x v ¶ ¶ x 2 = u z ¶ ¶ + y 2 vz¶ ¶ ，2 2 x z ¶ ¶ 2 = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + x v v u z x u u z x 2 2 2 2 22 2 2 z u z v y v u x v x æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø 2 2 24 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 222 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ ．y z ¶ ¶ = u z ¶ ¶ y u ¶ ¶ + v z ¶ ¶ y v ¶ ¶ y 2 - = u z ¶ ¶ + x 2 vz¶ ¶ ，2 2 y z ¶ ¶ 2 - = u z¶ ¶ ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ - y v v u z y u u z y 2 2 2 2 22 2 2 z u z v x v u y v y æö ¶¶¶¶ ++ ç÷ ¶¶¶¶¶ èø u z vz x v u z xy u z y ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = 2 4 8 4 222 2 2 2 2．则2 2 x z ¶ ¶ 22 y z ¶ ¶ + 2 2 2 4 u z x ¶ ¶ = v u z xy ¶ ¶ ¶ + 2 8 2 22 4 v z y ¶ ¶ + 2 + u z ¶ ¶ = ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ + u z v z x v u z xy u z y 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶¶ + 2 2 2 22 2 ) ( 4 v z u z y x ．例 9 （1）写出函数 ) , ( y x f 9 8 6 2 23 2 2 3 3 + - - - - + = y x xy y x y x 在点 ) 2 , 1 ( 的Taylor 展开式．解= ) 2 , 1 ( f 16 - ， = ) 2 , 1 ( x f 13 - ， = ) 2 , 1 ( y f 6 - ； = ) 2 , 1 ( xx f 10， = ) 2 , 1 ( xy f 12 - ， = ) 2 , 1 ( yy f 8；= ) 2 , 1 ( 3 x f 18， = ) 2 , 1 ( xxy f 4 - ， 4 ) 2 , 1 ( - = xyy f ， 6 ) 2 , 1 ( 3 = y f ．更高阶的导数全为零．因此， ) , ( y x f = + ) 2 , 1 ( f + - ) 1 )( 2 , 1 ( x f x ( 1 , 2 )(2)y f y - + - + 2 ) 1 )( 2 , 1 ( x f xx + - - ) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( 2 y x f xy 2( 1 , 2 )(2) yy f y - 3 3 ( 1 , 2 )(1) x f x +- 3 ) 2 ( ) 1 )( 2 , 1 ( 3 2 + - - + y x f xxy 2) 2 )( 1 )( 2 , 1 ( - - y x f xyy 3 3 ( 1 , 2 )(2)y f y +- 22 1613(1)6(2)5(1)12(1)(2)4(2)x y x x y y =-----+----+- 3 2 2 3 ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 - + - - - - - - - + y y x y x x ．（2）求函数 ) , ( y x f y x e + = 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式，并写出余项．解x f ¶ ¶ y x e + = ， y f ¶ ¶ yx e + = ，一般地，有 k h k h yx f ¶ ¶ ¶ + y x e + = ，则 1 ) 0 , 0 ( 00 = = ¶ ¶ ¶ + + e yx f kh k h ．因此， ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 的n 阶Taylor 展开式为) , ( y x f å = + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = n k kf y y x x k 0 ) 0 , 0 ( ! 1 )! 1 ( 1 + n 1( , )n x y f x y x y q q + æö ¶¶ + ç÷ ¶¶ èø å = + + = nk k y x k 0 ) ( ! 1 )! 1 ( 1 + n yx n e y y x x 1q q + + ÷ ÷ øö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ ， ) 1 0 ( < <q ．例 10 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） 0 arctan = - + a y a y x ，求 dx dy 和 2 2 dxy d ；解 0 1 1 2 = ¢ - ÷ øöç è æ + + ¢+ a y a y x a y ，即 a y y x a y a ¢ = + + ¢ + 2 2 ) ( ) 1 ( ，即 dx dy 22 ) ( y x a + = ．由 2 2 ) ( y x y a + ¢ = ，再求导 0 ) 1 )( ( 2 ) ( 2 = ¢ + + ¢ + + ¢ ¢ y y x y y x y ，解得 2 ) ( ) 1 )( ( 2 y x y y x y y + ¢ + + ¢ - = ¢ ¢ ，代入 = ¢ y 22)( y x a + ，得 2 2 dx y d 22 23 () () x y a a x y ++ = + ．（2） 0 = -xyz e z，求 x z ¶ ¶ 、 y z ¶ ¶、 2 2 xz ¶ ¶ 和 y x z ¶ ¶ ¶ 2 ；解方程 0 = -xyz e z 两端对x 求导，得 0 = - - x z x xyz yz e z ， x z ¶ ¶ xye yzz - = ；方程 0 = -xyz e z 两端对y 求导，得 0 = - - z z y xyz xz e z ， y z ¶ ¶ xye xzz - = ．0 = - - x z x xyz yz e z 再对x 求导，得 0 2 = - - - - + xx x x zx z xx xyz yz xz z e z e z ，解得2 2 x z ¶ ¶ xy e e z z y x z z zx x - - + + = 2 ) ( 32 2 2 2 ) ( ) ( xy e e z y xy e z y ze zzz z - - - + = ．同理得y x z ¶ ¶ ¶ 2 32 2 2 2 )( ) ( xy e e z x xy e z x ze zzz z - - - + = ．（3） 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f ，求 x z ¶ ¶ 和 yz ¶ ¶．解设 y x u + = ， z y v + = ， x z w + = ，方程 0 ) , , ( = + + + x z z y y x f 两端对x 求导，得 = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x w w f x v v f x u u f 0 1 = ÷ ø ö ç è æ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ x z w f x z v f u f，解得 x z¶ ¶ w v u w f f f f + + - = ；同理得 y z ¶ ¶ wv v u f f f f + + - = ．例 11 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：（1） ï î ï í ì = + + = - - . 4 32 ,0 22 2 2 22 a z y x y x z 求 dx dy ， dx dz ， 2 2 dx y d 和 2 2 dx z d ；解方程对x 求导，注意 y 和z 是x 的函数，就有 î íì = ¢ + ¢ + = ¢ - - ¢ . 0 6 4 2 , 0 2 2 z z y y x y yx z *) 解得 dx dy ) 3 1 ( 2 6 z y xz x + + - = ， dx dzzx z y xy 3 1 ) 3 1 ( 2 2 + = + = ．方程 *)在对x 求导，有 ï î ï íì = ¢ + ¢ ¢ + ¢ + ¢ ¢ + = ¢ - ¢ ¢ - - ¢ ¢ . 0 6 6 4 4 , 0 2 2 2 2 2 2 z z z y y yx y y y z 解得 2 2 dx yd ) 3 1 ( 4 12 6 ) 3 1 ( 4 2 2 z y z z z y x + + ¢ + + ¢ + - = ， 2 2 dxz d ) 3 1 ( 2 6 ) 1 ( 4 4 2 2 z y z y xy y y y + ¢ - - + ¢ + = ；代入 dx dy 和 dxdz的表达式，即得2 2 dx y d 2 22 3 ) 3 1 ( 2 3 ) 3 1 ( 4 ) 6 1 ( 4 ) 3 1 ( 4 12 z y x z y z x z y z x + -+ + - + + - = ， 2 2 dx z d 222 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 2 ) 6 )( 1 ( ) 4 (2 1 z x z y xz x y x + - + + + + - = ．（2） î í ì - = + = . ) , (, ) , , ( 2y v x u g v y v x u f u 求 x u ¶ ¶ 和 y v ¶ ¶ ．解设 y v s + = ， x u t - = ， y v r 2 = ，方程对x 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有î íì + = + + = . ) , ( ) , (, ) , , ( ) , , ( ) , , (2 x r x t x x s x x u x r r t g t y v t g v s s x u f s x u f u s x u f u 即î íì + - = + + = . 2 ) , ( ) 1 )( , (, ) , , ( ) , , ( ) , , ( x r x t x x s x x u x yvv r t g u r t g v v s x u f s x u f u s x uf u 解得x u¶ ¶ ), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f r t yvg s x u f t s r u t s r x - - - + - - = ；方程对 y 求导，注意u 和v 是x 的函数，就有ï îï í ì + + = + + = . ) 2 )( , ( ) , ( , 1) )( , , ( ) , , ( 2 v yvv r t g u r t g v v s x u f u s x u f u y r y t y y s y u y 解得y v ¶ ¶), ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 ][ 1 ) , , ( [ ) , ( ) , , ( ] 1 ) , ( 2 )[ , , ( 2 r t g s x u f r t yvg s x u f r t g s x u f v r t yvg s x u f t s r u r s r s - - - - - -= ．例 12 设函数 ) , ( y x f z = 具有二阶连续偏导数．在极坐标 q cos r x = ， q sin r y = 变换下，求 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf¶ ¶ 关于极坐标的表达式．解2 2 y x r + = ， xy arctan = q ．所以= ¶ ¶ x f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ x f x r r f q q 2 2 2 2 y x y f y x x r f + ¶ ¶ - + ¶ ¶ q qq q ¶ ¶ - ¶ ¶ = f r r f sin cos ， = ¶ ¶ y f = ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ y f y r r f q q 2 2 2 2 y x x f y x y r f + ¶ ¶ + + ¶ ¶ q q q q ¶ ¶ + ¶ ¶ = f r r f cos sin ； 2 2 x f ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶¶ = q q q f r r f x sin cos r ¶ ¶ = q cos sin cos f f r r q q q ¶¶ æö - ç÷ ¶¶ èø q q ¶ ¶ -r sin sin cos f f r r q q q ¶¶ æö- ç÷¶¶ èør fr f rf r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 22 2 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2 sin sin 2 cos ；类似有22 yf ¶ ¶ r f r f r f r r f r csos r f ¶ ¶ + ¶ ¶ - ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ = q q q q q q q q q q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin 2 cos sin 2 sin ．于是得 + ¶ ¶ 2 2 x f 2 2 yf ¶ ¶ = r fr f r r f ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 1 1 2 2 2 2 2 q ．例 13 证明：通过线性变换 y x u l + = ， y x v m + = ，可以北将方程A 2 2 x f ¶ ¶B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf，( 0 2 < - B AC )化简为 0 2 = ¶ ¶ ¶ v u f．并说明此时l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根．证由 y x u l + = 和 y x v m + = 得x f ¶ ¶ v f u f ¶ ¶ + ¶ ¶ = ， y u ¶ ¶ vfu f ¶ ¶ + ¶ ¶ = m l ． 2 2 x f ¶ ¶ + ¶ ¶ = 2 2 u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 2 v f ¶ ¶ ， 2 2 y f ¶ ¶ lm l 2 2 2 2 + ¶ ¶ = u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 222 v f ¶ ¶ m ， = ¶ ¶ ¶ v u f 2 ) ( 2 2 m l l + + ¶ ¶ u f + ¶ ¶ ¶ v u f 2 2 22 vf ¶ ¶ m ．代入A 2 2 x f ¶ ¶ B 2 + y x f ¶ ¶ ¶ 2 C + 0 2 2 = ¶ ¶ yf ，化简得) 2 ( 2l l C B A + + 2 2 u f ¶ ¶ + ) 2 ( 2 m m C B A + + 2 2 vf ¶ ¶] 2 ) ( 2 2 [ lm m l C B A + + + + 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．可见，当且仅当l 和m 为一元二次方程 0 2 2 = + + Ct Bt A 的两个相异实根时，方程就化成 0 2 = ¶ ¶ ¶ vu f．例 14 求椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 的平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面．解所求切平面的法向量为 ) 6 , 4 , 2 ( z y x ，应有 56 3 4 1 2 z y x = = k 令== ，就有 2 k x = ， k y 4 3 = ， k z 6 5 = ，代入方程 498 3 2 2 2 2 = + + z y x ，有 498 2483 2 = k ，得12 ± = k ．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 和N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的切平面与平面 7 5 3 = + + z y x 平行．在点M ) 10 , 9 , 6 ( 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = - + + z y x ；在点N ) 10 , 9 , 6 ( - - - 的法向量为 ) 60 , 36 , 12 ( - - - ，切平面为0 ) 10 ( 60 ) 9 ( 36 ) 6 ( 12 = + - + - + - z y x ，即 0 83 5 3 = + + + z y x ．综上，椭球面 498 3 2 2 2 2 = + + z y x 上，平行于平面 7 5 3 = + + z y x 的切平面有两块，它们是 0 83 5 3 = ± + + z y x ．例15 证明曲面 a z y x = + + ) 0 ( > a 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a ．证设M ) , , ( 0 0 0 z y x 为曲面 a z y x = + + 上任的一点，曲面在该点的切面为0 2 2 2 00 00 00 = - + - + - z z z y y y x x x ，即0 ) ( 0 0 0 0 00 = + + - + + z y x z z y y x x ，亦即0 0 0 0 = - + + a z z y y x x ．化为截距式即为 1 0 0 0= + + az zay y ax x ．可见在各坐标轴上的截距之和为a az ay ax = + + 0 0 0 = + + ) ( 0 0 0 z y x a ．例 16 在 ] 1 , 0 [ 上用怎样的直线 b ax + = x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分 = ) , ( b a J ò - 10 2 ) ( dx y x 为极小意义下的最佳近似．解 = ) , ( b a J = - - ò 10 22) ( dx b ax x 51 32 23 2 2 + - - + + b a ab b a ．现求其中极小值．ï ï îï ï íì- + = - + = .3 2 2 ,2 1 3 2 a b J b a J b a 解得有唯一驻点M ÷ ø ö ç èæ- 6 1 , 1 ．0 3 1 1 2 3 2 | ) ( > = - ´ = - M ab bb aa J J J ，又 0 32| > = Maa J ，因此， ) , ( b a J 在点 M ÷ ø ö ç è æ- 6 1 , 1 取极小值．因为 ) , ( b a J 在R 2 中仅有唯一的极小值，可见该极小值还是最小值．因此，在 ] 1 , 0 [ 上用直线 61- = x x 来代替曲线 2 x y = ，才能使它在平方误差的积分为极小的意义下是最佳的近似．例 17 要做一圆柱形帐篷，并给它加一个圆锥形的顶．问在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H 及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？解设体积为定值V ，则 ÷ ø ö ç èæ+ = h H R V 3 1 2 p ，得 h R V H 3 1 2 - = p ．帐篷的全面积为2 2 2 2 322 2 ) , ( h R R Rh R V h R R RH h R S + + - =+ + = p p p p ， 0 > R ， 0 > H ． R S 0 3 2 2 2 2 2 22 2 = + + + + - - = hR R h R h R V p p p ，(*)0 3 2 2 2 = + + - = hR RhR S h p p ．(**)由(**)式的得 h h R 232 2 = + ，代入(*)式，有R S 0 6 4 5 12 242 2 = + + - = h R R h R Vh p p ，由 0 6 2 > h R ，应有 0 12 5 4 2 2 2 = - + Vh h R R p p ．这就是驻点出应满足的关系式．由于该问题在于有最小值，这也是帐篷的全面积 ) , ( h R S 取最小值时，圆柱的半径R 与圆锥的高h 所应满足的关系式．例 18 抛物面 2 2 y x z + = 被平面 1 = + + z y x 截成一椭圆．求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离．解这是求函数 2 2 2 ) , , ( z y x z y x d + + = 在约束条件 0 2 2 = - - y x z 与0 1= - + + z y x 之下的条件极值问题．构造 Lagrange 函数= ) , , , , ( m l z y x L l - + + 2 2 2 z y x m + - - ) ( 2 2 y x z ) 1 ( - + + z y x ．(5) . 0 1 (4) , 0 (3) , 0 2) 2 ( , 0 2 2 ) 1 ( , 0 2 2 2 2 ï ï ï î ïï ïí ì = - + + = = - + = = + - = = + + = = + + = z y x Lz y x L z L y y Lx x L z y x m l m l m l m l 由（1）和（2）有 0 ) 1 )( ( 2 = + - l y x ，由于 1 - ¹ l (否则由（1）得 0 = m ，据（3）得 2 1 - = z ，代入（4），导致 0 212 2 = + + y x 无解)，得 y x = ．把 y x = 代入（4）和（5），解得 2 3 1 2 , 1 ± - =x ， 231 2, 1 ± - = y ， 3 2 2 1 m = - = x z ．即得两个驻点A ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 和B ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 ．而该问题必有最大值和最小值，因此，点A 和B 就是最大和最小值点．由于d ÷ ÷ ø öç ç è æ - + - + - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9- = ； d ÷ ÷ øöç ç è æ + - - - - 3 2 , 2 3 1 , 2 3 1 3 5 9+ = ．可见点A 和B 分别是最小和最大值点．即原点到这个椭圆的最长距离为 3 5 9+ ，最短距离为 3 5 9- ．例 19 求椭圆 12 3 2 2 = + y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大．解所指内接等腰三角形的一半(如图) 是 ABC D ，设C 的坐标为(,) x y ，则三角(0,2)A yx(0,)B y o(,)C x y形 ABC D 面积为 ) 2 ( y x - 之半，于是所求内接等腰三角形的面积为 ) 2 ( y x - ．问题是求函数 ) 2 ( ) , ( y x y x S - = 在约束条件 12 3 2 2 = + y x 之下的条件极值．设Lagrange 函数为) 12 3 ( ) 2 ( ) , , ( 2 2 - + + - = y x y x y x L l l ，( 0 > x ， 2 2 < < - y )，则ï î ïí ì = - + = = + -= = + - = (3) . 0 12 3 (2) , 0 6 ) 1 ( , 0 22 2 2 y x L y x L x y L y x ll l 从方程（1）和（2）中消去l ，得 y y x 6 3 2 2 - = ，代入（3），得 0 2 2 = - - y y ，解得 231± = y ． 2 = y 时， 0 ) 2 , ( = x S ．因此，得唯一的驻点 ) 1 , 3 ( - ．该问题有最大值，当底边右端点的坐标为 ) 1 , 3 ( - 时，所得内接等腰三角形的面积最大．。

多元函数微分法习题课2

T ( xt , yt , zt ), 再求出切点，即可得切线及法平面方程。
t 解：因 xt 1 cos t , yt sin t , zt 2cos 2 故在点 ( 1, 1, 2 2) 处的切向量为 2 T ( xt , yt , zt ) ( 1,1,2 2 ) (1, 1, 2)
处的切线及法平面方程。分析：此曲线可视 x 为参数, 则求出切向量为
dy dz T (1, , ), 即可得切线及法平面方程。 dx dx
dy m 由 y 2mx 得 , dx y
2
dy dz 解：视 x 为参数, 则切向量为T (1, , ); dx dx
m 1 , ). 故在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T (1, y0 2 z0 x x 0 y y0 z z 0 所求切线方程为 m 1 1 y0 2 z0
2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
三式相加得 3 xyz 2
a b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
无条件极值多元函数的极值条件极值
(1) 无条件极值求法步骤：
①求 f x ( x, y) 0 , f y ( x, y) 0 得全部驻点. ②求 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ③由判别驻点为极值点的条件，验证 AC B 的符号,

多元函数微分法及其应用典型例题

的向径 r0 的方向导数，问 a, b, c 具有什么关系时
此方向导数等于梯度的模 ?
解
r0 x0 , y0 , z0 ,
r0
x2 0
y2 0
z2 0
,
cos x0 , cos y0 , cos z0 .
r0
r0
r0
在点 M 处的方向导数为
u r0
M
u x
M
cos
u y
M
cos
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f22(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4
yf11
yf
22
.
例4 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数)，且 0, 求 du .
z
dx
解 du f f dy f dz , dx x y dx z dx
(2)
hx
hz
dz dx
0.
(3)
由(3)得 dz hx , 代入(2)得 dy gz hx gx ,
dx hz
dx gy hz gy
代入(1)得
du dx
fx
fy gx gy
f y gz hx . gy hz
例7 求旋转抛物面 z x2 y2 与平面 x y 2z 2 之间的最短距离．解设 P( x, y, z) 为抛物面 z x2 y2 上任一点,则
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2

多元函数微分学例题

第九章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的基本概念1、求下列各函数的定义域，并作出其草图.(1) 2211y x z -+-=；解: 定义域{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D ,图略． (2) )1ln(4222y x y x z ---=；解: 由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-11010422222y x y x y x 得:定义域{}x y y x y x D 4,10),(222≤<+<=,图略．(3) ）（12arcsin 22-+=y x z ．解: 由112122≤-+≤-y x 得:定义域{}22),(22≤+=y x y x D ,图略．２．设22),(y x xyy x f -=-，求),(y x f ．解:令⎪⎩⎪⎨⎧==-s xy t y x ,得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=s ts y s t x 11代入得ss t s t f -+=1)1(),(2故yy x y x f -+=1)1(),(2．3、求下列极限：(1) 32210)(1limyx e xy xy x ++-→→；解: (直接代入)原式=210101=++- ．(2) 11)(cos 1lim220-+-→→y x xy y x ；解:原式=()1)11(2lim2222200=++→→yx y x xy y x ．(3)y y xy)(y xy 12x 1)sin(lim+→→；解:原式= 21221sin lim e xy)(xy (xy)x x xyy x =+⋅⋅→→．4、判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值．(1) yyx y x -→→20lim；解:当0→x 时，令2kx y =，则k k kx kx x y y x kxy x y x -=-=-=→→→1lim lim 22202002，其值与k 有关，故极限不存在．(2) 2265limyx yx y x +-∞→∞→；解:当∞→∞→,y x 时，有0656565022222222→+≤+++≤+-≤yyx x y x y y x x y x y x ，故065lim22=+-∞→∞→yx yx y x ． 5、设yx yx y x f +-=),(，求)],(lim [lim 00y x f y x →→和)],(lim [lim 00y x f x y →→．试问：极限),(lim 0y x f y x →→是否存在？为什么？解: 1)],(lim [lim 00=→→y x f y x ，1)],(lim [lim 00-=→→y x f x y极限),(lim 0y x f y x →→不存在，因为当0→x 时，令kx y =，其值与k 有关．6、研究函数⎩⎨⎧=+≠+=0,00,1),(2222y x y x y x f 的连续性（在哪些点连续，哪些点不连续）．解:),f(f(x,y)y x 0001lim 0=≠=→→，故函数在)0,0(处不连续，其它处均连续．第二节偏导数１．填空题：(1) y x f f ,在),(00y x 处均存在是),(y x f 在该点连续的既非充分也非必要条件；(2)曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122x y x z 在点)3,1,1(处的切线与y 轴正向所成的角是6π；(3)设x y z ln=，则=∂∂x z x 1-，=∂∂y z y1； (4)设xy ze f(x,y,z)=，则=),,(f x 1000，=),,(f y 1000，=),,(f 100z 1．2．求下列函数的一阶偏导数：(1)yx xyz += ；解: 22y)(x y x z +=∂∂ ，22y)(x x y z +=∂∂．(2) x xy)(z +=1解:]xy xy xy)([xy)(x z x ++++=∂∂11ln 1 ，121-+=∂∂x xy)(x yz ． (3) zy x u = ；解:1z z -=∂∂y x y x u ，x x zy yuz y z ln 1-=∂∂，x x y y z u z y z ln ln ⋅=∂∂．3．求下列函数的二阶偏导数：(1)y)(x x z +=ln解:y x x y)(x x z +++=∂∂ln ，yx x y z +=∂∂， 2222y)(x y x x z ++=∂∂，22y)(x yy x z +=∂∂∂， 222y)(x x y z +-=∂∂，22y)(x y x y z +=∂∂∂ (2)yx z arcsin = ；解:221x y xz-=∂∂ ，22x y y xy z --=∂∂，232222--=∂∂)x x(y x z ，23222---=∂∂∂)x y(y yx z ， 23222122222---+-=∂∂)x x(y )x (y yx y z ，][12322221222---+--=∂∂∂)x (y x )x (y yx y z ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,y x ,,y x ,yx y f(x,y)0001cos 222222判断其在点),(00处的连续性和偏导数是否存在．解: 1）),f(y x y f(x,y)y x y x 0001coslim lim 22000==+=→→→→故函数在点),(00处连续； 2）Δx),f()Δx,f(),(f Δx x 0000lim000-+=→000lim 0=-=→Δx Δx Δy),f(Δy),f(),(f Δy y 0000lim000-+=→()ΔyΔy Δy Δy 01cos lim2-=→()21coslim Δy Δy →=，极限不存在，故此点处关于y的偏导数不存在．第三节全微分１．填空选择题：(1)二元函数f(x,y)z =在点),(y x 处可微的充分必要条件是0lim=-→ρdzΔz ρ，其中=Δz ()f(x,y)Δy Δx,y x f -++, dz 为表达式(x,y)Δx f (x,y)Δx f y x +,=ρ()()22Δy Δx +．(2) 在点),(y x 处),(y x df 存在的充分条件为C ．A ．f 的全部二阶偏导数均存在；B ．f 连续；C ．f 的全部一阶偏导数均连续；D ．f 连续且y x f f ,均存在．2．求函数xy z =当2=x ，1=y ，1.0=∆x ，2.0-=∆y 时的全增量和全微分．解:320128012...Δz -=⨯-⨯=30202101.).(.Δy yz Δx x z dz -=-⨯+⨯=∂∂+∂∂=3．求下列函数的全微分：(1) 23y x z =解:223y x x z =∂∂ ，y x yz 32=∂∂ ydy x dx y x dy yzdx x z dz 32223+=∂∂+∂∂=(2) yxz =解:xy x z 21=∂∂ ，2yxy y z-=∂∂dy y xy dx xydy y z dx x z dz 221-=∂∂+∂∂=(3) )ln(222z y x u ++=解:2222z y x x x u ++=∂∂ ，2222z y x yy u ++=∂∂， 2222zy x zz u ++=∂∂dz zy x zdy z y x y dx z y x x du 222222222222++++++++=4．讨论函数xy z =在点)0,0(处的可导性与可微性．解:000lim 000=-⋅=∂∂→ΔxΔx x zΔx ),(, 000lim00=-⋅=∂∂→ΔyΔy y z Δx ),(,故函数xy z =在点)0,0(处的偏导数存在；但()()2200lim lim Δy Δx ΔxΔyρdz Δz ρρ+=-→→，其中=ρ()()22Δy Δx +易知当()Δx ,Δy沿直线x y =趋于)0,0(时此极限不存在。

8,多元函数的微分学-习题课

y x

y x
cos
y x
,
微
zy

y

x sin
y x

cos
y x
,
积
分
曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为
n { sin y0 y0 cos y0 , cos y0 , 1 }
x0 x0 x0
x0
－理学院工科数学教学中心－
n
{ sin
y0 x0
x4
f1 x

( x2 )
f2

x2
f2 x

滨工程

4 x3
f1

x4
[
f1 u

u x

f1 v

v x
]

大
学
u
xy,
v
y x
;

2 xf2

x2
[ f2 u

u x

f 2 v

v x
微
u x

f s

s x

f t

t x
,

v
x

g

x

g

x
.
u x

f1 (u
x
u x
)

f
2

v x
,

v
x

g1

(
u x
1)
g2
2 yv

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

高等数学：多元函数微分法习题课

3 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆
x2 y2 1 (x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最小.
yA
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
B
则
C
O
Ex
i 3
j 1
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
lim
x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
y y0
称函数f (x, y)在点P0(x0,y0)处连续。
2. 几个基本概念的关系
函数连续
函数偏导数存在
函数可微
偏导数连续
思考与练习
1. 讨论二重极限
时, 下列算法是否正确?
解法1 原式 lim 1 0 x0 1 1
y0 y x
4( x 2x2 1) 16x( x 2x2 1) 0
( x 2x2 1)(1 4x) 0
x 1 y. 4
z1 8
2. 设
均可微, 且
已知 (x0, y0) 是 f (x, y)
在约束条件(x, y) 0下的一个极值点, 下列选项正确的是( D )
提示: 设
(2006考研) () 代入()得
f1
u z
f 2
v x x z
f
2
v z
x f1 1 z
f11
f 2
yz
x z
f2 xy
f
uv
xy yz
z xy z
yz
x z
1 f1 xy f2 f1 yz f2
4. 设
有连续的一阶偏导数 , 又函数

多元函数微分学习题课(高数课件)超经典

唯一驻点
b2 b2 y Fy = −2( ) 2 + 2λ 2 = 0 y y b
c2 c2 z Fz = −2( ) 2 + 2λ 2 = 0 z z c
由实际意义可知为所求切点 .
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例5. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 之间的最短距离则解：设上任一点，为抛物面 z = x2 + y2 上任一点， P 到平面 x + y − 2z − 2 = 0 的距离为问题归结为
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而
∆f
(0,0)
=
(∆x)2(∆ y)2 [(∆x) + (∆ y) ]
2 2 3 2
, 当∆x → 0， y → 0时 ∆
∆f
(0,0)
(∆x)2 + (∆ y)2
(∆x)2(∆ y)2 = [(∆x)2 + (∆ y)2 ]2
0
在点(0,0)不可微 ! 所以 f 在点不可微
2. 同济下) P73 题12 同济(下
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解答提示: 解答提示第 1 题
y2 (1) z = x f ( ) : x
= 2y f ′
y2 2y3 2 y f ′′ ⋅ (− 2 ) = − 2 f ′′ x x
y2 (2) z = f ( x + ) : x
2y 2y y2 f ′′ (1 − 2 ) − 2 f′+ ⋅ x x x
求
∂z ∂u ∂v =v +u ∂x ∂x ∂x ∂z ∂u ∂v =v +u ∂y ∂y ∂y
u u

多元函数微分学习题课

2 2
平行的切平面方程为：
.
答案：x + 4 y − z = 0 2
15 二元函数f ( x , y )在点(0, 0)可微的充分条件为[ ]. A. lim [ f ( x , y ) − f (0, 0)] = 0;
( x , y )→ (0,0)
f ( x , 0) − f (0, 0) f (0, y ) − f (0, 0) B .lim = 0, 且 lim = 0; x→0 y→0 x y C.
1 设u = f ( x , y , z ), z = ϕ ( y , t ), t = ψ ( y , x ),
∂u ∂u 其中f , ϕ ,ψ 均可微，求 , . ∂x ∂y
y 2 验证：z = , f ( u)可微， 2 2 f (x − y )
则 1 ∂z 1 ∂z z + = 2. x ∂x y ∂y y
Ans : ( −5, −5, 5),(1,1,1).
27 设z = z ( x , y )是由x 2 − 6 xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 +18=0确定的函数，求z = z ( x , y )的极值点和极值. [2004考研]
x+ y x− y
ψ ( t )dt
其中ϕ 具有二阶导数，ψ 有一阶导数，则必有[ ].
[2005考研]
Ans : B.
22 设f ( x , y ), ϕ ( x , y )均为可微函数，且ϕ y ( x , y ) ≠ 0. 设( x0 , y0 )为f ( x , y )在约束条件ϕ ( x , y )下的一个极值点则必有[ ]. A.若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; B .若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0; C .若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; D.若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0. [2006考研]

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dx
卩解法1方程两边对x求导，得
f = f + f (1 + )
dx
dx
也， F1+ F2
+F
手d =z0
-x f f F2 f + xf f -F1
， d x 2 d x d x 1
经济数学——微积分
-xf F2 F
可丫子 -
+ =f+x
dxdx
扌 F2^+F' = -F1
dx dx
xF f-xF2 f-fF2 -xf F' -
经济数学
微积分
典型例题
典型例题3
例3 设 u = f (x,y,z),(p(x2,ey,z) = 0, y = sinx, (f ,(p具
有一阶连续偏导数)，且磬。0,求du. oz dx
解 du = of+f. dy +0f d^ dx Ox Oy dx Oz dx
显然型=cos x, dx
求d,z对(p(x2,ey,z) = 0两边求x的导数,得 dx
的最短距离.
解设P(x,y,z)为抛物面z = x2 + y2上任一点,则 P到平面x + y - 2z - 2 = 0的距离为d,
产 — — d =一 x + y 2 z 2.
V6 分析：本题变为求一点P(x,y,z)，使得x,y,z
1
— 满足 x + y2 — z = 0且使 d = —^= x + y
微积分
— 一一 — 1
令 F(x, y, z) = (x + y
2z
2
y2),得
2)2
一 — + 2F(z； = ~x(x + y — 2 z — 2)
⑴ 22x = 0,
— — 6
Fy= (x + y 2 z
2) - 2/y =
(2)
0,
一 3
F； =
(x + y — 2 z —
⑶
— 解2)此( 方程2)组+得2x==40,,y=z=1
dz 由hx⑶+得hz手- =
0n h-x，代入⑵得孚=件-全，⑶
dx
hz
dx gy - hz gy
代入⑴得柴=f
* f f ,gx
y gz ・ hx
gy
gy - hz
经济数学
微积分
o
典型例题
典型例题5
例5设z = xf (x + y) , F(x,y,z) = 0,其中f与F分别具有一
阶导数或偏导数，求dz.
⑷
22
z=x+y,
经济数学--微积分
&
111 即得唯一驻点S'"'
根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一
111 驻点,故必在（4'4'8）处取得最小值•
1 111
7
min 64*4"4"2=
4优
经济数学
微积分
典型例题
典型例题8
经济数学
例8 已知平面上两定点A( 1,3 ), B( 4,2 ),
x
x
=x f + 2 x 3f + f,
经济数学--微积分
o
z = X 3f (xy,-) X
— =
(X4 X2 f2)
、
CC AC A
J 1 «/ 2 z
、： dxdy dydx ox
=4 x
+
x
4[
fl
1y
+
fl22(x-f2
七)]+ x
+
x 2[ f1y + f22( )]
x
=4 x 3/1'+ 2 xf：+x 4 yfll - y£；.
•疽孚 p； 2x + P；
+ P；^= 0,
dx dx
经济数学
微积分
__ d z 1
于是可得一 =---(2[+ esin x - cos xp；),
dx
4^ du df df 1 f sin x ，、可
— ( 故 ——=--F cos x ---- (2 x fi + e - cos x p2) 一
h( x, z) = 0.
dg 八 dh du
所确定，且:主0,丰0,试求.
oy oz dx
解将方程组的变元u以及y,z都看成是x的函数.
方程组各方程两边对x求导，得
经济数学--微积分
o
du dy
=fx + fy ，
(1)
dx dx
八 dy dz
(2)
gx + gy - dx + & - dx = °，
典型例题
第八章多元函数微分学
习题课
主讲韩华
典型例题
典型例题1
经济数学
例1求极wJ号-
解令 x = pcosO, y = psinO, (p > 0) 则(x, y) T (0,0)等价于 p T 0.
0 < (y - x) x
一 p2 (sinOP cosO)cosO
=p(sinO - cosO)cosO < 2p,
一故lim XT0
J(Xy2 + y 2 x)=x0.
yT0
微积分
典型例题
典型例题2
例2设乙=®f(xy, yf具有二阶连续偏导数＞
22
求 dz d z d z
、毋， ,dy 2 dxdy 解孚=x 3( fix + f21) = xT/+ xf
空 dy
x
=x 4( fix + f 1) + x 2( fx + f2 1) dy
22
试在椭圆子+土 =1 (x > 0, y > 0)上求一点 C,
dz 消去dy即可得了.
dx
经济数学
微积分
典型例题
典型例题6
例6 求二元函数z = f(X,y)=x2(2 + y2) + yIny的极值.
解 fx = 2 x (2 + y2) = 0, fy = 2 x2 y + In y +1 = 0
故x = 0, y =—. fxx = 2(2 + ey2), fyy = 2 x2 + y1, fxy = 4 xy
F2
(xffF' + F2 莉)
z = xf (x + y), F(x, y, z) = 0
解法2方程两边求微分，得
刑 z = f dx + xf' <dx + dy)
x + F2 d y + F3d z = 0 化简
1r
J (f + xf f)dx + x f'dy - d z - 0 1 F dx + F2 dy + F，d z = 0
dx dx dy p3
dz
经济数学
微积分
例3 设 u = f (x,y,z),(p(x2,ey,z) = 0, y = sinx, (f ,(p具
有一阶连续偏导数)，且磬主0,求丝 dz dx
又解
经济数学
微积分
WWW
典型例题
典型例题4
u = f ( X, y ), 例4设函数u(x)由方程组v g(x,y,z) = 0,
则 = A fxx1Fra bibliotek叩1 = 2(2 + m C = fyy
(
e yy
(o,e)=e, B
e
因A > 0, AC - B2 > 0, 故二元函数存
在极小值/ (0,1) = -1. ee
0 = (0,1)
e
多元函数微分学习题课一典型例题
典型例题7
经济数学
例7求旋转抛物面z = x2 + y2与平面x + y - 2z = 2 之间