ch8多元函数微分学习题课——典型例题

⑷
22
z=x+y,
经济数学--微积分
&
111 即得唯一驻点S'"'
根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一
111 驻点,故必在（4'4'8）处取得最小值•
1 111
7
min 64*4"4"2=
4优
经济数学
微积分
典型例题
典型例题8
经济数学
例8 已知平面上两定点A( 1,3 ), B( 4,2 ),
dz 消去dy即可得了.
dx
经济数学
微积分
典型例题
典型例题6
例6 求二元函数z = f(X,y)=x2(2 + y2) + yIny的极值.
解 fx = 2 x (2 + y2) = 0, fy = 2 x2 y + In y +1 = 0
故x = 0, y =—. fxx = 2(2 + ey2), fyy = 2 x2 + y1, fxy = 4 xy
F2
(xffF' + F2 莉)
z = xf (x + y), F(x, y, z) = 0
解法2方程两边求微分，得
刑 z = f dx + xf' <dx + dy)
x + F2 d y + F3d z = 0 化简
1r
J (f + xf f)dx + x f'dy - d z - 0 1 F dx + F2 dy + F，d z = 0
典型例题
第八章多元函数微分学
习题课
主讲 韩华
典型例题
典型例题1
Байду номын сангаас
经济数学
例1求极wJ号-
解 令 x = pcosO, y = psinO, (p > 0) 则(x, y) T (0,0)等价于 p T 0.
0 < (y - x) x
一 p2 (sinOP cosO)cosO
=p(sinO - cosO)cosO < 2p,
h( x, z) = 0.
dg 八 dh du
所确定，且:主0,丰0,试求.
oy oz dx
解 将方程组的变元u以及y,z都看成是x的函数.
方程组各方程两边对x求导，得
经济数学--微积分
o
du dy
=fx + fy ，
(1)
dx dx
八 dy dz
(2)
gx + gy - dx + & - dx = °，
dz 由hx⑶+得hz手- =
0n h-x，代入⑵得孚=件-全，⑶
dx
hz
dx gy - hz gy
代入⑴得柴=f
* f f ,gx
y gz ・ hx
gy
gy - hz
经济数学
微积分
o
典型例题
典型例题5
例5设z = xf (x + y) , F(x,y,z) = 0,其中f与F分别具 有一
阶导数或偏导数，求dz.
dx
卩 解法1方程两边对x求导，得
f = f + f (1 + )
dx
dx
也 ， F1+ F2
+F
手d =z0
-x f f F2 f + xf f -F1
， d x 2 d x d x 1
经济数学——微积分
-xf F2 F
可 丫 子 -
+ =f+x
dxdx
扌 F2^+F' = -F1
dx dx
xF f-xF2 f-fF2 -xf F' -
微积分
— 一 一 — 1
令 F(x, y, z) = (x + y
2z
2
y2),得
2)2
一 — + 2F(z； = ~x(x + y — 2 z — 2)
⑴ 22x = 0,
— — 6
Fy= (x + y 2 z
2) - 2/y =
(2)
0,
一 3
F； =
(x + y — 2 z —
⑶
— 解2)此( 方程2)组+得2x==40,,y=z=1
的最短距离.
解 设P(x,y,z)为抛物面z = x2 + y2上任一点,则 P到平面x + y - 2z - 2 = 0的距离为d,
产 — — d =一 x + y 2 z 2.
V6 分析：本题变为求一点P(x,y,z)，使得x,y,z
1
— 满足 x + y2 — z = 0且使 d = —^= x + y
•疽孚 p； 2x + P；
+ P；^= 0,
dx dx
经济数学
微积分
__ d z 1
于是可得 一 =---(2[+ esin x - cos xp；),
dx
4^ du df df 1 f sin x ，、可
— ( 故 ——=--F cos x ---- (2 x fi + e - cos x p2) 一
则 = A fxx
1
叩1 = 2(2 + m C = fyy
(
e yy
(o,e)=e, B
e
因A > 0, AC - B2 > 0, 故二元函数存
在极小值/ (0,1) = -1. ee
0 = (0,1)
e
多元函数微分学习题课一典型例题
典型例题7
经济数学
例7求旋转抛物面z = x2 + y2与平面x + y - 2z = 2 之间
一 故lim XT0
J(Xy2 + y 2 x)=x0.
yT0
微积分
典型例题
典型例题2
例2设乙=®f(xy, yf具有二阶连续偏导数＞
22
求 dz d z d z
、毋 ， ,dy 2 dxdy 解孚=x 3( fix + f21) = xT/+ xf
空 dy
x
=x 4( fix + f 1) + x 2( fx + f2 1) dy
dx dx dy p3
dz
经济数学
微积分
例3 设 u = f (x,y,z),(p(x2,ey,z) = 0, y = sinx, (f ,(p具
有一阶连续偏导数)，且磬主0,求丝 dz dx
又解
经济数学
微积分
WWW
典型例题
典型例题4
u = f ( X, y ), 例4设函数u(x)由方程组v g(x,y,z) = 0,
22
试在椭圆子+土 =1 (x > 0, y > 0)上求一点 C,
经济数学
微积分
典型例题
典型例题3
例3 设 u = f (x,y,z),(p(x2,ey,z) = 0, y = sinx, (f ,(p具
有一阶连续偏导数)，且磬。0,求du. oz dx
解 du = of+f. dy +0f d^ dx Ox Oy dx Oz dx
显然型=cos x, dx
求d,z对(p(x2,ey,z) = 0两边求x的导数,得 dx
x
x
=x f + 2 x 3f + f,
经济数学--微积分
o
z = X 3f (xy,-) X
— =
(X4 X2 f2)
、
CC AC A
J 1 «/ 2 z
、： dxdy dydx ox
=4 x
+
x
4[
fl
1y
+
fl22(x-f2
七)]+ x
+
x 2[ f1y + f22( )]
x
=4 x 3/1'+ 2 xf：+x 4 yfll - y£；.