哈工大概率论与数理统计课后习题答案二

习 题 二

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =， 所求概率为

13133()

(|)()

P A A P A A P A =，

因为 312

A A A =+ 所以 312()()()0.6

0.30.9

P A P A P A =+=+= 131()()0.

6P A A P A == 故

1362

(|)93

P A A =

=. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’

i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则

12A B B =+

112

464

122

21010

()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为

2

242112

464()1

(|)()5

P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.

解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为

33

6113333

611511/()()2

(|)()()//3

C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.

解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则

345A B B B =++， 所求概率为

555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++5

1332415

133********

1686

C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -. 解 ()()()() 1.1()(|) 1.10

P A B P A P B P A B P A P B A =+

-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.

6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

解 设A =‘从乙袋中取出的是白球’，i B =‘从甲袋中取出的两球恰有i 个白球’

0,1,2i =.

由全概公式

001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++

1122

3

23222

2555416131021025

C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=. 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。

解 设A =‘第二次取出的均为新球’，

i B =‘第一次取出的3个球恰有i 个新球’0,1,2,3.i = 由全概公式

00112

233()()(|)

()(|)()(|)()(|)

P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B =++

+ 3312321333

6996896796

333

333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅ 528

0.0895915

=

≈. 8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。 解 设A =‘收到‘·’’，B =‘发出‘·’’， 由贝叶斯公式

53

()(|)385(|)5331()(|)()(|)4

8583

P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⋅

===+⋅+⋅.

9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.

解 事件如第6题所设，所求概率为

1123251111

/()(|)

152(|)13

()

26

25

C C C P B P A B P B A P A ⨯

=

=

=

10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解 设A =‘任取一产品，经检查是合格品’， B =‘任取一产品确是合格品’， 则

A BA BA =+

()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.960.980.040.050.9428=⨯+⨯=， 所求概率为

()(|)0.960.98

(|)0.998()0.9428

P B P A B P B A P A ⨯=

==.

11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率.

解 设i A =‘第i 次取出的零件是一等品’，1,2i =. i B =‘取到第i 箱’，1,2i =. 则

（1）1111212()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+1132

()2555

=+=. （2）121211222111()()(|)()()P A A P A A B A A B P A A P A P A +==

112121221()(|)()(|)

()

P B P A A B P B P A A B P A +=

22

10

182250

301295140.4856249295

C C C C ⎡⎤+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=

=+= ⎪⎝⎭. 12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率α；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β. 解 设A =‘顾客买下该箱’，

B =‘箱中恰有i 件残次品’，0,1,2i =，

（1）001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++

44

1918

442020

0.80.10.10.94C C C C =+⨯+⨯≈；