高等数学 (上)

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高等数学(上册)重要知识点

{ xn}
lim f ( x)
x
x0
0
＝Ａ．如果
是一个在该去心领域取值的数列， xn
0

x （ｎ＝１,2,....)
且
lim x
n
n
则有
lim f ( x ) ＝Ａ．
n
５．如果
lim f ( x) A lim g ( x)
x
x0
，
x
x0
＝Ｂ，并且存在常数δ＞０，
使得当０＜｜ｘ－ x0 ｜＜δ，有 f ( x) g ( x) ，那么ＡＢ。
lim g ( x) u
x
x0
0
，而函数 f 在点 u 0 连续则有
0
lim f [ g ( x)] f (u )
x
x0
。
6.5 三个等价无穷小(当 x 0 时)
ln( 1 x) ~ x
e
x
-1 ~ x
(1 x)

- 1 ~ x
6.6 基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义域内都是连续的。 6.7 闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小值。 6.8 介值定理设函数 y f ( x) 在闭区间[a,b]上连续，在该区间的两端点处分别取值 A,B（A≠B,那么,对 A,B 之间的任意一个数 C，在该区间（a,b)内至少存在一点§使得
f ( x x) f ( x0) x

存在，称该单侧极限为 y f ( x) 在 x0 点的
f ( x ) ；类似地，称右导数，记作
0
/
lim
x
f ( x x) f ( x0) x

高等数学上册教材目录

高等数学上册教材目录1. 微积分导论1.1. 实数与数集1.1.1. 实数的概念与性质1.1.2. 数集的分类与运算1.1.3. 上确界与下确界1.2. 极限与连续性1.2.1. 函数极限的定义1.2.2. 极限的性质1.2.3. 无穷小量与无穷大量1.2.4. 连续性的定义与性质2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.1.1. 函数的定义与表示2.1.2. 函数的图像与性质2.2. 函数的极限2.2.1. 函数极限的计算方法2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响2.3. 极限存在与连续性2.3.1. 极限存在的条件2.3.2. 连续函数与间断点3. 导数与微分3.1. 导数的概念与性质3.1.1. 导数的定义3.1.2. 导数的运算法则3.1.3. 高阶导数与导数的应用3.2. 微分的概念与应用3.2.1. 微分的定义与计算3.2.2. 微分中值定理与导数的应用3.3. 函数的凸性与最值3.3.1. 函数的单调性与凸性3.3.2. 最值问题与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2. 柯西中值定理与洛必达法则4.3. 震荡定理与不等式的应用4.4. 张贴问题与曲线追踪5. 积分与不定积分5.1. 积分的概念与性质5.1.1. 不定积分的定义5.1.2. 积分运算法则5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分 5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用 5.2.2. 变限积分的计算5.3. 定积分的概念与性质5.3.1. 定积分的定义5.3.2. 定积分的计算方法5.4. 积分中值定理与上积分5.4.1. 积分中值定理的应用5.4.2. 上积分的概念与计算6. 积分应用与定积分计算6.1. 曲线的长度与平面图形的面积6.1.1. 曲线长度的计算6.1.2. 平面图形面积的计算6.2. 旋转体的体积与平面曲线的求弧长6.2.1. 旋转体的体积计算6.2.2. 平面曲线弧长的计算6.3. 曲线的参数方程与极坐标方程6.3.1. 参数方程与极坐标方程的基本概念6.3.2. 参数方程与极坐标方程的应用7. 微分方程初步7.1. 微分方程的基本概念与解的存在唯一性 7.2. 一阶微分方程的解法7.2.1. 可分离变量的微分方程7.2.2. 齐次与一阶线性微分方程7.2.3. 可降阶的高阶微分方程7.3. 二阶线性齐次微分方程7.3.1. 齐次线性微分方程的基本概念7.3.2. 常系数齐次线性微分方程的解法 7.4. 可降阶的高阶线性微分方程7.4.1. 高阶线性微分方程的基本概念7.4.2. 可降阶的高阶线性微分方程的解法8. 多元函数微分学8.1. 二元函数与偏导数8.1.1. 二元函数的概念与性质8.1.2. 偏导数的定义与计算8.2. 多元函数的微分8.2.1. 多元函数的全微分8.2.2. 隐函数与反函数的微分8.2.3. 多元函数的全微分与偏导数8.3. 多元函数的极值与条件极值8.3.1. 多元函数的极值及其判定条件8.3.2. 多元函数的条件极值及其求解9. 重积分9.1. 二重积分的概念与性质9.1.1. 二重积分的定义9.1.2. 二重积分的计算方法9.2. 二重积分的应用9.2.1. 平面图形的质心与重心 9.2.2. 轴对称曲面的体积计算 9.3. 三重积分的概念与性质9.3.1. 三重积分的定义9.3.2. 三重积分的计算方法9.4. 三重积分的应用9.4.1. 空间图形的体积计算9.4.2. 质量和质心的计算10. 曲线积分与曲面积分10.1. 曲线积分的概念与计算10.1.1. 第一类曲线积分10.1.2. 第二类曲线积分10.2. Green公式与环流量10.2.1. Green公式的推导与应用10.2.2. 曲线的环流量计算10.3. 曲面积分的概念与计算10.3.1. 第一类曲面积分10.3.2. 第二类曲面积分10.4. Stokes公式与散度定理10.4.1. Stokes公式的应用10.4.2. 散度定理的应用11. 序列与级数11.1. 数列的极限与收敛性11.1.1. 数列极限的概念与性质11.1.2. 数列收敛性的判定准则11.2. 函数项级数11.2.1. 函数项级数的收敛性判定11.2.2. 常见函数项级数的性质11.3. 幂级数与Taylor展开11.3.1. 幂级数的概念与收敛半径11.3.2. Taylor级数与Maclaurin级数11.4. 函数的一致收敛性11.4.1. 函数列的逐点收敛与一致收敛11.4.2. 一致收敛的判定条件以上为《高等数学上册》教材目录的简要内容概述，各章节内容详细，适合根据教材目录迅速定位所需知识点并展开学习。

(完整版)高等数学上册知识点

高等数学上册第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

高数上知识点总结

高数上知识点总结(zǒngjié)高数上知识点总结(zǒngjié)高等数学(shùxué)是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比拟(bǐnǐ)多。

主要包括8方面(fāngmiàn)内容。

1、函数、极限与连续。

主要考查分段函数极限或极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比拟;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数微分学。

主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法那么求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

3、一元函数积分学。

主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4、向量代数和空间解析几何。

主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。

5、多元函数微分学。

主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

6、多元函数的积分学。

这局部是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

7、无穷级数。

高等数学(上)五套题

《高等数学（上）》试卷（一）一．计算题（每题5分，共40分） ①．求极限30tan sin lim.sin x x x x-→ ②．指出()f x 的间断点及其类型（可去、跳跃、无穷、振荡？）.已知 110110x e x f x x x ,()ln(),-⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ ③．设11arctan,xy x+=-求,.y y '''④．设函数()y y x =由方程 y e xy e +=确定，求0().y ''⑤．设210020()tan ,x f x t tdt =⎰求0()()lim.h f x f x h h→--⑥．求极限22130cot lim (tan ).x x x +→ ⑦．求不定积分1sin .cos x x I dx x +=+⎰⑧．求曲线23y x =- 与直线2y x =所围图形面积.二．证明题（任选两题，每题5分，共10分） 1．证明，当4x >时，22x x >. 2．设0()f x ''存在，证明000022()()()lim().h f x h f x h f x f x h→++--''= 3．证明222114lim .nn k n k nπ→∞=-=∑三．应用题（每题10分，共50分）1．确定函数3226187y x x x =---的单调区间和极值. 2．证明方程3520x x --=有且只有一正根.3．用半径为R 的圆铁片挖去一扇形做成一个漏斗，问留下的扇形中心角φ为多大时漏斗容积最大？ 4．求曲线2y x =与2x y =所围图形绕x 轴旋转生成旋转体体积.5．求曲线ln y x =从3x =到8x =这一段的弧长.《高等数学（上）》试卷（二）一．选择题（每题2分，共12分） 1．设极限21lim (),k xe x x+=→∞则k =（） A ．14B. 12C ．1 D. 22．下列命题中结论正确的是（）A ．()f x 在 (,)a b 中的极值点处，必定能使 0()f x '= B. 使0()f x '=的点必定是()f x 的极值点C. ()f x 在(,)a b 内取得极值的点处，其倒数()f x '必不存在D. 使0()f x '=的点是()f x 可能取得极值的点 3设22()cos ,x f x x =+-则当0x →时（）A ()f x 和x 是等价无穷小 B. ()f x 和x 是同价但非等价无穷小. C. ()f x 是比x 高阶无穷小 D. ()f x 是比x 低阶无穷小 4．设()f x 满足201()ln(),xf t dt x =+⎰则()f x =（）A.211x + B. 21x x + C. 221xx+ D. 2x 5．已知()f x 的一个原函数为3x ，则2()()fx df x =⎰（）A. 69x . B. 93x C +. C. 69x C + D. 9x C + 6．曲线24y x =-与y 轴所围图形面积的积分表达式为( )A.44xdx -⎰B.224()y dy -⎰ C.2224()y dy --⎰D.444xdx --⎰二．填空题（每题2分，共14分）1．3111limx x x e x -→=-. 2．方程32310x x +-=在区间01(,)内的实根个数有___个. 3．设函数()f x 在点0x 处有二阶导数，且0000(),()f x f x '''=<则()f x 在0x 处取得_____值. 4．拉格朗日中值定理的条件和结论是_______________________________________________.5．若33sec tan (_________)x xdx d ⋅=.6．设()f x 的一个原函数为 2ln x +，则()f x '=___. 7．定积分21______x dx -=⎰三. 计算下列各题（每题6分，共54分） 1．设432521ln ,xy x +=+求().y x '2．已知2201220()(),(),x xty x f dt x x=+>⎰其中()f x 可导，且1212(),()ln ,f f '==求1'().y3．求极限01tan lim()xx x→+ 4．求极限235253limsin x x x x→∞++ 5．求不定积分321d x x x-⎰6．求不定积分211d ln x x x-⎰7．求50121()x dx -⎰8．求1arctan xdx ⎰ 9．求41xdx x +∞+⎰ 四，应用题1. (6分)求由4014,,xy y x ≤≥≤≤所围图形绕x 轴旋转所产生的旋转体体积.2.(9分) 求函数21()x y x =-的单调区间，极值以及该函数所表示的曲线的凹、凸区间，拐点. 五，证明题(5分) 设2,e a b e <<<证明 2224ln ln ()b a b a e->-《高等数学（上）》试卷（三）一、填空题（每题3分，共18分）1、函数f x x x ()12arcsin =-+的定义区间是2、设()f x 在1x =处可导且 2)1('=f ，则xx f f x )1()1(lim 0+-→＝_____3、曲线 x y =在 1 =x 处的法线斜率为_______________4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=________5、42 416 x dx --⎰=____________6、设向量a与}2,1,2{-=b平行，18-=⋅b a，则a＝二、简单计算题（每题4分，共24分）1、若 2(1)sin f x x x +=-，求函数()f x2、设函数x x x f x xa x x ln(2)cos 0 () 20sin ++<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ 在 0 x =处连续，求 a 。

高等数学上册试题及参考答案3篇

高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。

由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。

《高等数学(上)-理工类课件PPT》

幂级数
探究幂级数的性质和求和方法，研究幂级数的收敛范围。
泰勒级数
了解泰勒级数的定义和展开过程，应用泰勒级数求解函数逼近问题。
应用举例
举例说明幂级数和泰勒级数在物理、工程和计算机科学等领域的应用。
参数方程与极坐标曲线
参数方程
学习参数方程的定义和性质，掌握参数方程表示的曲线的几何特征。
极坐标曲线
空间曲线
参数方程表示
学习参数方程表示空间曲线，研究空间曲线的几何特征。
切线和法平面
探究空间曲线的切线和法平面的概念与性质，解决与曲线相关的问题。
曲面方程
研究曲面的点集表示和方程，了解常见曲面如球面和圆柱面的几何特征。
研究极坐标系及其曲线的性质和方程，应用于描述圆锥曲线和天文物理问题。
特殊曲线
了解特殊曲线如双纽线、心形线的极坐标方程及几何特征。
二维与三维向量
1
向量的概念
学习向量的定义与运算，掌握向量的几何和
平面向量
2
物理意义。
研究平面向量的坐标运算和数量积、向量积
的性质及应用。
3
空间向量
了解空间向量的坐标运算和数量积、向量积的性质及应用。
3
常见级数
研究调和级数、几何级数等特殊级数的性质和应用。
级数的收敛与发散
1 Cauchy收敛准则
2 正项级数
3 幂级数
掌握Cauchy收敛准则的理论和应用，判断级数的收敛性。
研究正项级数的收敛判断和估值，应用于函数逼近等问题。
学习幂级数的收敛半径和展开式，理解幂级数在实分析中的应用。
幂级数与泰勒级数
《高等数学（上）-理工类课件PPT》

高等数学第二版上册课后答案

高等数学第二版上册课后答案【篇一：《高等数学》详细上册答案(一--七)】lass=txt>《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1. 函数的概念及表示方法；2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4. 基本初等函数的性质及其图形；5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6. 极限的性质及四则运算法则；7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.学习任务巩固练习阶段：（本阶段是复习能力提升的关键阶段，高钻学员一定要有认真吃透本章节内所有习题）第二单、元函数微分学计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版本单元中我们应当学习——1. 导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2. 导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3. 高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4. 会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5. 罗尔(rolle)定理、拉格朗日(lagrange)中值定理、泰勒(taylor)定理、柯西(cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6. 会用洛必达法则求未定式的极限；7. 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9. 曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．【篇二：高数第二册习题及答案】class=txt>系班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设l是连接a(?1,0)，b(0,1)，c(1,0)的折线，则?l(x?y)ds? [ b]（a）0 （b）2 （c）22 （d）2x2y2d ] ?l43（a）s（b）6s（c）12s（d）24s二．填空题1．设平面曲线l为下半圆周y???x2，则曲线积分?l(x2?y2)ds?2．设l是由点o(0,0)经过点a(1,0) 到点b(0,1)的折线，则曲线积分三．计算题 1．?l(x?y)ds? 1?22??l(x2?y2)nds，其中l为圆周x?acost，y?asint（0?t?2?）.解：原式??2?a2?a2n?1?2?dt?2??a 2．2n?1??l，其中l为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线y?x的交点分别为a和b，于是原式???oa????abbo?在直线oa上y?0,ds?dx得?oa??exdx0aa?e?1在圆周ab上令x?acos?,y?asin?,0????4得?ab??4ea?a?ea??4在直线bo上y?x,ds?2dx得?bo?adx?e?1所以原式?(2?3．a?)ea?2 4?ly2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)（0?t?2?）. 2解：原式?2a??(1?cost)3???(1?cost)dt52256a3?15或原式?a2?2?03(1?cost)????2?02?(1?cost)dt (1?cost)dt5252333?2?t(2sin)2dt222?ttttdt??16a3?(1?2cos2?cos4)dcos022425?8a?2?sin5256a3?15高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设l以(1,1)，(?1,1)，(?1,?1)，(1,?1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则?lx2dy?y2dx?[ d ]（a）1（b）2（c）4（d）0 2．设l是抛物线y?x2(?1?x?1),x增加的方向为正向，则（a）0,?lxds和?xdy?ydx?[ a ]l2525（b）0,0 （c）,（d）,0 3838二．填空题1．设设l是由原点o沿y?x2到点a(1,1)，则曲线积分?l(x?y)dy? 16232．设l是由点a(1,?1)到b(1,1)的线段，则三．计算题?l(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy= 1．设l为取正向圆周x2?y2?a2，求曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy.解：将圆周写成参数形式x?acos?,y?asin?,(0???2?)，于是原式??{(2a2cos?sin??2asin?)?(?asin?)?(a2cos2??4acos?)?acos? }d?2???2?{(?2a3cos?sin2??2a2sin2?)?(a3cos3??4a2cos2?)}d???2a2?22．设l是由原点o沿y?x到点a(1,1)，再由点a沿直线y?x到原点的闭曲线，求??larctanydy?dx x解：i1??arctan?dx ?oax?(2xarctanx?1)dx1?[x2arctanx?x?arctanx?x]10?i2???2?2yarctan?dx ?aox?1(arctan1?1)dx?1?? 4所以原式?i1?i2? ? 3．计算?24?2?1??1?4??l(x?y)dx?(y?x)dy，其中l是：2（1）抛物线y?x上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式? ? ??2121{(y2?y)?2y?(y?y2)}dy(2y3?y2?y)dy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为x?3y?2,dx?3dy 所以原式? ??21{3(4y?2)?(2?2y)}dy?21(10y?4)dy?11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为x?1,dx?0,1?y?2所以 i1??21(y?1)dy?1 2（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为y?2,dy?0,1?x?4所以 i2??41(x?2)dx?272于是原式?i1?i2?14 4．求?l(y2?z2)dx?2yzdyxdz?2,其中l为曲线x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)按参数增加的方向进行.解：由题意，原式? ? ?高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分?{(t01014?t6)?4t6?3t4}dt?(3t6?2t4)dt1 35?l(x4?4xyp)dx?(6xp?1y2?5y4)dy与路径无关，则p? [ c]（a）1 （b）2 （c）3（d）4 2．已知(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a?[ d] 2(x?y)（a）?1 （b）0（c）1 （d）212xx223．设l为从a(1,)沿曲线2y?x到点b(2,2)的弧段，则曲线积分?dx?2dy= [ d]ly2y（a）?3 （b）3（c）3（d）0 2【篇三：高等数学(上)第二章练习题】txt>一. 填空题1．设f(x)在x?x0处可导，且x0?0，则limx?x?02．设f(x)在x处可导，则limf2(x?h)?f2(x?2h) h?02h?______________3．设f(x)???axx?0ex?1x?0在x?0处可导，则常数a?______?4．已知f?(x)?sinxx?5．曲线y?x?lnxx上横坐标为x?1的点的切线方程是 6．设y?xxsinx ，则y??7．设y?e?2x，则dyx??x0?0.1?8．若f(x)为可导的偶函数，且f?(x0)?5，则f?(?x0)?二. 单项选择题9．函数f(x)在x?x0处可微是f(x)在x?x0处连续的【】a．必要非充分条件b．充分非必要条件c．充分必要条件 d．无关条件10. 设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l，其中l为有限值，则在f(x)在x?a处【】a．可导且f?(a)?0 b．可导且f?(a)?0c．不一定可导d．一定不可导11．若f(x)?max(2x,x2)，x?(0,4)，且f?(a)不存在，a?(0,4)，则必有【a．a?1 b.a?2 c．a?3 d． a?1212．函数f(x)?x在x?0处【】a．不连续b．连续但不可导c．可导且导数为零 d．可导但导数不为零?2213．设f(x)???3xx?1，则f(x)在x?1处【】??x2x?1a．左、右导数都存在b．左导数存在但右导数不存在c．右导数存在但左导数不存在 d．左、右导数都不存在14．设f(x)?3x3?x2|x|，使f(n)(0)存在的最高阶数n为【】a．0 b. 1 c．2 d． 315．设f(u)可导，而y?f(ex)ef(x)，则y??【】a．ef(x)[f?(x)f(ex)?exf?(ex)]b． ef(x)[f?(x)f(ex)?f?(ex)]c．ef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex) d． exef(x)f?(ex)?ef?(x)f(ex)16．函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是【】a．3 b. 2 c．1 d． 0】17．设f(x)可导，f(x)?f(x)(1?|sinx|)，要使f(x)在x?0处可导，则必有【】a．f(0)?0b．f?(0)?0c．f(0)?f?(0)?0 d．f(0)?f?(0)?018．已知直线y?x与y?logax相切，则a?【】a．e b． e c．ee d．e19．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f?(a)?2?(98)!，则a?【】 a．0 b．1 c．2 d．3 ?1?1e1，则当?x?0时，在x?x0处dy是【】 3a．比?x高阶的无穷小b．比?x低阶的无穷小c．与?x等价的无穷小d．与?x同阶但非等价的无穷小221．质点作曲线运动，其位置与时间t的关系为x?t?t?2，y?3t2?2t?1，则当t?1时，质点的速度大小等于【】 20．已知f?(x0)?a．3 b．4 c．7 d．5三. 解答下列各题22．设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a连续，求f?(a)23．y?esin24．y?2(1?2x) ，求dy x2arcsin，求y?? 2d2y325．若f(u)二阶可导，y?f(x)，求2 dx?1??，求y?(1) ?x??x?ln(1?t2)dyd2y27．若? ，求与2 dxdx?y?t?arctant28．y?(x2?1)e?x，求y(24)29．y?arctanx，求y(n)(0) 26．设y??1?1x?x2?xx?0?30．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d0?x?1_在(??,??)内连续且可导，?2x?xx?1?求a，b，c，d的值xy31．求曲线e?2x?y?3上纵坐标为y?0的点处的切线方程?x?t(1?t)?032．求曲线?y 上对应t?0处的法线方程 ?te?y?1?0233．过原点o向抛物线y?x?1作切线，求切线方程?34．顶角为60底圆半径为a的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b（b?a）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某个邻域内满足关系式f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中，?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程习题答案及提示5. y?x x 6．x[(1?lnx)sinx?cosx]7. ?0.2 8. ?5 一． 1．?(x0) 2. 3f(x)f?(x) 3. 1 4二. 9. b 10. a 11. b 12. c 13. b 14. c 15. a16. b 17. a 18. c 19. c 20. d 21. d三. 22. 提示：用导数定义 f?(a)??(a) 23.dy??2esin2(1?2x)sin(2?4x)dxd2y343 24. y??? 25. 2?6xf?(x)?9xf(x) dxdytd2y1? ，2?(t?t?1) 26. y?(1)?1?2ln2 27. dx2dx428. y(24)?e?x[x2?48x?551]12x??y??29．由y?(x)? 1?x2(1?x2)2由(1?x2)y?(x)?1 两边求n阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入x?0，得递推公式，y(n?1)(0)??n(n?1)y(n?1)(0)__利用y?(0)?1和y??(0)?0 ?(?1)k(2k)!n?2k?1 k?0,1,2,? y(0)??0n?2k?2?30. 提示：讨论分段点x?0与x?1处连续性与可导性a?2， b??3， c?1 ， d?031. x?y?1?032. ex?y?1?0(n)33.y??2x35. 提示：关系式两边取x?0的极限，得f(1)?0limx?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?(x)sinx??lim???8 ?x?0sinxxx? ?sinx而 f(1?sinx)?3f(1?sinx)f(1?t)?3f(1?t)?limx?0t?0sinxtf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)???lim??3?4f?(1)?t?0t?t??得f?(1)?2，由周期性f(6)?f(1)?0f(x)?f(6)f?(6)?lim 令x?5?t 由周期性得 x?6x?6f(t)?f(1)?lim?2 t?1t?1切线方程y?2(x?6) lim。

《高等数学》第一章(上)

25
1 005
5
超过 35 000 元至 55 000 元的部分
30
2 755
6
超过 55 000 元至 80 000 元的部分
35
5 505
7
超过 80 000 元的部分
45
13 505
第一节函数的概念
个人所得税=(工资-五险一金-个税起征点)×税率-速算扣除数，用分段函数可表示为
3%x ，
y0 y |xx0 f (x0 ) ．
函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应法则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应法则 f 所确定的．通常称函数的定义域 D 和对应法则 f 为函数的两要素．只要函数的定义域相同，对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．
第一节函数的概念
三、函数的概念
函数的记号通常记作 y f (x) ，在后续内容或后续课程中可能有下列记号，也表示函数．例如
y F(x)，y g(x) ，y G(x) ，y (x) ， s s(t)，v v(t) ，a a(t) ，r r( ) ．
又如，经济学中的成本函数就是表示企业总成本与产量之间关系的公式，它分为短期成本函数和长期成本函数，其中，短期成本函数 C C(q) 可分为固定成本 b 与可变成本 f (q) ，即 C b f (q) ．经济学中除了成本函数外，还有收入函数 R R(q) 和利润函数 L L(q) ，其中， L R C ，这里 q 表示产品的数量．
y f (x) ，x D ．其中，变量 x 称为自变量，变量 y 称为因变量，集合 D 称为函数的定义域， f 称为函数的对应法则．

高等数学(上册) 第一章教案

第一章：函数、极限与连续教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题）第一节：集合与函数一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结

...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。

高等数学上册教材答案详解

高等数学上册教材答案详解在高等数学这门学科中，上册教材的学习内容涵盖了多个重要的数学知识点和概念。

为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识，以下将对上册教材中的部分题目进行详细的答案解析。

第一章：函数与极限第一节：函数与映射1.（1）解：函数 f(x) = 2x - 3 是一个一次函数，其图象是一条直线。

2.（2）解：函数 f(x) = x² + 1 是一个二次函数，其图象是一个开口向上的抛物线。

第二节：极限的概念1.（1）解：当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) = (x - 1) / (x² - 1) 的极限是1/2。

2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = sinx / x 的极限是 1。

第三节：极限的性质1.（1）解：若两个函数 f(x) 和 g(x) 在点 x = a 处的极限存在，那么它们的和函数 f(x) + g(x) 在同一点的极限也存在，并且等于两个函数极限的和。

2.（2）解：若函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且不为零，那么对于任意的常数 c，函数 c·f(x) 在该点的极限也存在，并且等于 c 乘以原函数在该点的极限值。

第四节：无穷小与无穷大1.（1）解：当 x 趋近于正无穷时，函数 f(x) = sin(1/x) 是一个无界函数。

2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = 1/x 是一个无穷大函数。

第五节：极限存在准则1.（1）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 和 h(x) 在点 x = a 处的极限都存在且相等于 L，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。

2.（2）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 在点 x = a 处的极限为 L，h(x) 在点 x = a 处的极限为 M，并且对于任意的 x，有f(x) ≥ g(x) ≥ h(x)，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。

高等数学上册课件

结 F ( x ) A cos(x B ) C 的周期为 T 2 , 果
若 F ( x ) f i ( x ) ，而 Ti 是 f i ( x )的周期 , 则
i 1
n
T1 , T2 ,, Tn 的最小公倍数是 F ( x ) 的周期, T
但 T 不一定是 F ( x ) 的最小正周期!
常用
f ( x ) sin x, cos x 的周期为 T 2 , f ( x ) tan x, cot x 的周期为 T , F ( x ) A sin(x B ) C 的周期为 T 2 ,
F ( x ) A tan( x B ) C 的周期为 T , F ( x ) A cot(x B ) C 的周期为 T ,
则函称数 f ( x )在间 D 上单不 ( 增 ) . 区是调减
y
y f (x )
f ( x2 )
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
D
x
o
D
x
3．函数的奇偶性设 f ( x ) 在 D 上定义，且 D 关于原点对称 ,
. (2) 若x D, f ( x ) f ( x ), 则称 f ( x ) 为奇函数
f ( x2 )
f ( x1 )
o
f ( x2 )
x o
D
D
x
则称 f ( x ) 当 f ( x )在 D 上单调递增或单调递减时，在 D 上是单调的; f ( x ) 为D 上的单调函数 .
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,