高等数学 (上)

3
1 cos 3 2

y x3 在 M 的切线方程和法线方程： 例 9 求曲线
（1） M (1,1) ； （2） M (0, 0) . 解 y ( x3 ) 3x2 是曲线 上任意点 ( x, y ) 处的切线斜率 （1）在点 M (1,1) 处，因为 x 1 ，所以切线斜率为
线方程为 y 0 ，即 x 轴；法线方程为 x 0 即 y 轴.
第二节
求导法则和基本求导公式
一、函数四则运算的求导法则 设 u u( x), v v( x) 都是x 的可导函数，则 1. 2. 3.
u v u v u v u v uv
上的平均变化率；而 y x x0 则是函数 f ( x) 在点 x0 的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.
lim （2） 如果极限 x 0 y x
不存在，则称 f ( x) 在点
y x
x0 不可导；如果不可导的原因是当 x 0 时
所引起的，则称函数 f ( x ) 在点 x0 的导数为无穷大.
2 k= y x 1 3 1 3
根据直线方程的点斜式，得 y 1 3( x 1)
整理得切线方程为 y 3x 2 1 法线方程为 y 1 ( x 1) 3 1 4 整理得 y x 3 3
（2）在点 M (0, 0) 处，切线斜率为 k 0 ，所以切
M
M0
T
图 2-2
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切线斜率的求法 第一步：求 y
y f ( x0 x) f ( x0 )
第二步：求
kM M
0
y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
y lim x 0 x
y x
第三步：求
k lim k M M
x 0
0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
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二、导数的定义
设函数 f (x) 在点 x0及其近旁有定义，当自变量 有增量 x 时，函数有相应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
所以
f (1)
不存在.
七、导数的物理意义与几何意义
物理意义
几何意义
变速直线运动的瞬时速度 曲线在某点处的切线斜率
曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 的切线斜率k f ( x0 )
则曲线在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为：
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 法线方程为 y f ( x ) 1 ( x x ) 0 0 f ( x0 )
结论：
f x0 A f x0 f x0 A
例
x2 已知f ( x) x
x 1 ， 判断f (1)是否存在？ x 1
解： f (1) lim y lim x 0 x x 0
f 1 x f 1 x
x x x
x
的导数.
x
y e e x e 1 e x x x
et 1 1 ，得 利用极限 lim t 0 t
y e x1 y lim lim e x ex x 0 x x 0 x
由此得到
e
x
ex
推广：对于一般的指数函数,有导数公式：
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主要内容
导数的概念 求导法则和基本求导公式
函数的微分
隐函数和由参数方程所确定函数的导数 高阶导数
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第一节 导数的概念
一、两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度 1 2 自由落体运动: s f (t ) gt 2 第一步：求 s 1 s f (t0 t ) f (t0 ) gt0 t g t 2 2 s s 1 v gt0 g t 第二步： 求 t t 2
例8 的速度 v ( t )
一物体做直线运动， 其运动
t
规律为 s sin t ，求该物体在任意时刻 及
t

3
时的瞬时速度.
解： s (sin t ) cos t 所以，该物体在任意时刻的速度 v(t ) cos t 在 t 3 时的瞬时速度为
v(

3
) s t
1 2
1 1 1 2 x x 2 x x

例5 求正弦函数
y sin x 的导数.
解 (1) 计算函数增量
x sin y x 2 cos x y lim lim cos x lim x 0 x x 0 2 x0 x 2
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三、函数的可导性与连续性的关系 定理 如果函数 f (x) 在点 x0 处可导,
则它一定在点 x0 处连续.
注意：一个函数在某点连续， 但在该点函数不一定可导.
例如：函数 f ( x) x 在点 x 0 处连续但不可导， 又如 y
3
x 2 在点 x 0 处连续但不可导.
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书名：高等数学 （上） ISBN： 978-7-111-30309-1 作者：陶金瑞 出版社：机械工业出版社 本书配有电子课件
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第二章
导数与微分
学习目标：
1、理解导数与微分概念的意义； 2、能熟练计算初等函数的导数与微分。
x x y sin( x x) sin x 2 cos( x ) sin 2 2 (2)算比值 x x x sin y 2 cos( x 2 ) sin 2 x 2 cos x x x 2 x 2 （3）取极限
由此可得 (sin x) cos x 同理
x x0
例2
y x 2 ，求 y 与 y 已知
2 2
x 2
.
解：y x x x 2 2 xx x
y = 2x x x y lim lim 2 x x 2 x x 0 x x 0
所以： y x 2 x;
2


y x 2 2 2 4
说明 导函数也简称导数. 求一个函数的导数运算称为微分法.
五、 求导数举例
例3 求常值函数 y C 的导数.
y 0 解： y C C 0, x
所以
y lim
y lim 0 0. x 0 x x 0
也就是说，常数的导数等于零，即
四、函数在区间内可导的概念
如果函数 y f ( x)在区间 (a, b) 内的每一点都可导， 则称函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导.这时，对于区间
( a, b) 内的每一个确定的 x 值，都有唯一的导数值 f ( x )
与之对应，即 f ( x) lim f ( x x) f ( x) 所以


uv uv u v v2 u1 u2 un u1 u2 un (n Z ) ； 1．
推 论
Cv 2．

Cv （C 为常数） ；
3． uvw u vw uvw uvw ；
y x
当 x 0 时，若
的极限存在，则极限值就称为函数
f (x) 在点 x0
f (x) 在点 x0 的导数，并称函数
可导（或有
导数），记为
y x x
d f ( x) dx
，即
x x0
0
f ( x0 x) f ( x0 ) y = lim lim x 0 x 0 x x
也可记为
y x x
0
dy 或 dx
x x0
或 f ( x0 )
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例1
求 y f ( x) x 2 在点
x2
处的导数
解 （1）求函数改变量
y f (2 x) f (2) (2 x)2 22
4x (x)2
C Cv 2 4． v v
(C ) 0
y xn (n Z ) 的导数.(过程略) 例4 求幂函数
可以推广到 n
( x n ) nx n 1
R 的情形，即有以下公式
x


x 1 R
幂函数求导举例
( x) 1
1 1 1 2 ( x ) ( x ) x 2 2 x
f ( x ) 也是
x 0
x 的函数，称作 f ( x) 在 ( a, b) 内的
f ( x) , dy 或 df ( x) .
x
导函数，记作 y ,
说明
dx dx f (x)在点 x0 的导数值 f ( x0 ) 就是导函数 f (x) 在点 x0 的函数值，即：( x0 ) f ( x) f
2
lim
x 0
1 x
12
x
2
f 1 x f 1 y f (1) lim lim x 0 x x 0 x
lim
x 0
1 x 2 12
x
lim 1 1
x 0
因为
f ( x) f(1) ，
y 4x x 2 4 x （2） 求 x x
（3） 当 x 0 时，求
y lim (4 x) 4 x 0 x x 0 lim
y x
的极限：
所以， f (2) 4
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注意: （1）
y x
是函数 y f ( x) 在区间 [ x0 , x0 x] 或 [ x0 x, x0 ]
a
x

a x ln a
a 0, a 1
六、左导数和右导数
f x0 x f x0 y 左导数：f x0 lim x lim x 0 x 0 x
f x0 x f x0 y 右导数：f x0 lim lim x 0 x x 0 x
(cos x) sin x
例6 求对数函数 y loga x(a 0, a 1) 的导数. 解
y loga ( x x) loga x log a x x log a 1 x
x x log a 1 y x x x 1 log a 1 x x x x
x x
y lim
y 1 x lim log1 x 0 x x 0 x x
x x
1 1 log a e x x ln a
由此得到 log a x 特别地
1 x ln a
ln x

1 x
例7 求指数函数 y e 解 y e xx e x
s 第三步： 求 lim t 0 t
O
s0
s
M0
s
M
图 2-1
v(t0 ) lim
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s 1 lim gt0 g t gt0 t 0 t t 0 2
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曲线切线的定义
在曲线上任取不同于M0点的一点M，作割线M0M.当 点M沿着曲线移动并趋于M0点时，割线就以点M0为 轴转动，割线M0M的极限位置M0T就叫做曲线在点M0 处的切线，点M0叫做切点。