参数方程的概念优秀课件

可以使其准确落在指定地点.
2．参数的意义 _参__数___是联系变数 x，y 的桥梁，可以是有 物理 意义或 _几__何__意义的变数，也可以是 没有明显实际意义 的变数．
1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某
个变数 t(θ，φ，…)的函数：xy＝＝gftt ①，并且对于每一个 t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y) 都在这条曲线上 ，那 么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ，联系变数 x，y 的 变数 t 叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接 给出坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．
解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t， 解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由 于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数， 或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，
则 Rt△OAB≌Rt△QBP.取 OB＝t，t 为参
数(0＜t＜a)．∵|OA|＝ a2－t2，∴|BQ|＝ a2－t2.
∴点
P
在第一象限的轨迹的参数方程为x＝t＋ y＝t
a2－t2，
(0＜t＜a)．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1.
答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画 图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出 方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选 旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
分析：
500
如图建立直角坐标系
物资投出机舱后，它的运
动由下列两种运动合成：
(1)沿Ox方向作匀速直线运动；
o
(x2)沿Oy反方向作自由落体运
动。
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
分析：
500
设物资投出机舱时时刻 为0,在t时刻时物资的位置为
百度文库
M(x,y) 点M(x,y),则
x 100t,
o
x
y
500
1 2
gt
2.
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．取 ∠QBP＝θ，θ 为参数0＜θ＜π2，则∠ABO ＝π2－θ.在 Rt△OAB 中，|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ.在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.∴点 P 在第一象限的轨迹的参数 方程为xy＝＝aasisninθθ. ＋cos θ， θ为参数，0＜θ＜π2
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
3．设飞机以 v＝150 m/s 作水平匀速飞行，若在飞行高度 h＝ 490 m 处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初 速度等于飞机的速度)．(g＝9.8 m/s 2)
解：如图，A 为投弹点，坐标为(0,490)，B 为 目标．记炸弹飞行的时间为 t，在 A 点 t＝0， 设 M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时 刻 t，炸弹初速度 v0＝150 m/s，用物理学知识，