参数方程的概念优秀课件
合集下载
高二数学选修4-42参数方程的概念优选课堂.ppt
7
选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
简易辅导
8
y
M(x,y)
r
o
M0 x
简易辅导
9
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是
M (x, y)，那么＝t，设OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cost x ,sin t y 即{x r cost (t为参数)
r
r y r sin t
简易辅导
12
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
简易辅导
13
例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
简易辅导
17
选修4-4 坐标系与参数方程
信宜第二中学 高二数学1、2班
简易辅导
18
由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
参数方程优秀课件
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
例4、将下列参数方程化为普通方程：
(1)
x 2 3cos y 3sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
r
P 1(x 1, y 1)
5
o
x1 r cos 又 y1 r sin
x a r cos 所以 y b r sin
-5
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
２、圆的参数方程
x a r cos y b r sin
1.圆的参数方程
（1）圆心在原点的圆参数方程
（2）圆心不在原点的圆的参数方程
2.参数方程与普通方程的概念 3.参数方程与普通方程的互化
4.应用 5. 小结
（1）轨迹问题 （2）求最值
思考1：圆心为原点，半径为r 观察1 的圆的参数方程是什么呢？ 如果点 P 的坐标为 ( x ,y ), 圆半径为 r , P OP 0 ,根据三角函数定义 ,点 P 的横坐标 x 、 纵坐标 y 都是 的函数 ,即 r o x r cos ① y r sin
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y的最值， （3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
参数方程的概念PPT课件
联系变量 x，y 的 变数t 叫做参变数，简称参数．
2．普通方程
相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做
普通方程．
[小问题·大思维]
1．参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？ 提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
2021/3/7
CHENLI
8
(1)把点 M1 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1， 得0－＝12＝t 3t2－1 ，∴t＝0. 即点 M1 在曲线 C 上． 把点 M2 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1，
2021/3/7
CHENLI
[研一题] [例2] 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰 长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动， 求点P在第一象限的轨迹的参数方程． [精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需 要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.
2021/3/7
CHENLI
16
法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴
9
得41＝ 0＝2t3t2－1 ，方程组无解．
即点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上，
∴2a＝＝23tt，2－1.
∴t＝1，a＝3×12－1＝2.
即 a 的值为 2.
2021/3/7
CHENLI
10
[悟一法] 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点 的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如 果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
2．普通方程
相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做
普通方程．
[小问题·大思维]
1．参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？ 提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．
2021/3/7
CHENLI
8
(1)把点 M1 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1， 得0－＝12＝t 3t2－1 ，∴t＝0. 即点 M1 在曲线 C 上． 把点 M2 的坐标代入参数方程xy＝＝32tt2，－1，
2021/3/7
CHENLI
[研一题] [例2] 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰 长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动， 求点P在第一象限的轨迹的参数方程． [精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需 要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.
2021/3/7
CHENLI
16
法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴
9
得41＝ 0＝2t3t2－1 ，方程组无解．
即点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M(2，a)在曲线 C 上，
∴2a＝＝23tt，2－1.
∴t＝1，a＝3×12－1＝2.
即 a 的值为 2.
2021/3/7
CHENLI
10
[悟一法] 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点 的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如 果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．
数学：4.4.1《参数方程的概念》课件(新人教选修4-4)PPT教学课件
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
10
（2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
2020/12/12
6
练习1
1、曲线
x1t2
,(t为参数）与x轴的交点坐标是(
B
)
y4t3
A、（1，பைடு நூலகம்）；B、( 12
5 6
, 0 );
C、(1, 3);
D、 ( 25 , 0); 16
2、方程 yxcsions,(为参数）所表示的曲线上一点的坐标是
可 以 20使 20/1其 2/12准 确 落 在 指 定 位 置 .
4
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t ),
y
g
(t).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
y
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
500
o 2020/12/12
x
3
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
参数方程ppt课件
考虑多种情况
注意单位的统一
在求解参数方程时，需要注意单位的 统一，避免出现单位不匹配的情况。
对于某些参数方程，可能需要考虑多 种情况，分别进行讨论和求解。
03 参数方程的应用实例
物理中的参数方程应用
总结词
描述物理中参数方程的应用，如行星运动、电磁波传播等。
详细描述
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述各种现象，如行星运动轨迹、电磁波 传播路径等。这些参数方程通过引入一些变化的参数，能够精确地描述物理量 之间的关系，帮助我们更好地理解物理规律。
参数方程在其他领域的应用将有助于 推动相关领域的技术进步和理论发展 。
随着科技的发展，参数方程在数据科 学、机器学习等领域的应用也将逐渐 增多，为解决实际问题提供更多思路 和方法。
如何提高参数方程的应用水平
加强数学教育和普及工作，提高公众对参数方程的认识和理解，培养更多的数学人才和应用 型人才。
加强学科交叉和合作，促进参数方程与其他学科的融合和应用，共同推动相关领域的发展。
理解。
参数方程与线性代数的关联
参数方程可以用于描述线性代 数中的向量和矩阵的变化规律 。
通过参数方程，可以理解线性 变换的概念，以及矩阵的运算 和性质。
参数方程在解决线性代数问题 中也有一定的应用，例如求解 线性方程组、矩阵的逆和行列 式等。
参数参数方程与复变函数的关系
复变函数是一种描述复数域上的函数的方法，而参数方程可以用于描述复数域上的 函数的变化规律。
参数方程ppt课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 参数方程的基本概念 • 参数方程的求解方法 • 参数方程的应用实例 • 参数方程与其他数学知识的关联 • 参数方程的未来发展与展望
01 参数方程的基本概念
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
|PQ|的最大值是____________.
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程 ．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始 位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)， 点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个． 【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合， 判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普 通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的 一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参 数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的 普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上， 否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】 如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ， 过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝ ＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ， 即xy＝ ＝aassiinnθθ＋ ＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是 否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
《参数方程的概念》-最全资料PPT
建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
练习1
1、曲线
x
1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
25
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.
A、（1，4）；B、( , 0 ) ; C、(1, 3); 茅台高级中学数学组 韦亚玉
x 100t,
y
500
1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t 10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
作业：教材P26 第4题
1 6 即求飞行员在离救援点的水平距离
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
D、 ( 2 5 , 0 。
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
重点：理解参数方程的概念
那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，
B、
C、
D、
点M(5,4)在该 曲线上.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: y=t2
由第一个方程得: t x 1
代入第二个方程得:
y
2 (
x
1)2
,
(x1)24y为 所 求 .
练习1
1、曲线
x
1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
25
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.
A、（1，4）；B、( , 0 ) ; C、(1, 3); 茅台高级中学数学组 韦亚玉
x 100t,
y
500
1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t 10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
作业：教材P26 第4题
1 6 即求飞行员在离救援点的水平距离
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
D、 ( 2 5 , 0 。
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
重点：理解参数方程的概念
那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，
B、
C、
D、
点M(5,4)在该 曲线上.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: y=t2
由第一个方程得: t x 1
代入第二个方程得:
y
2 (
x
1)2
,
(x1)24y为 所 求 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t， 解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由 于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数， 或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．取 ∠QBP＝θ，θ 为参数0＜θ＜π2，则∠ABO ＝π2－θ.在 Rt△OAB 中，|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ.在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.∴点 P 在第一象限的轨迹的参数 方程为xy＝＝aasisninθθ. ＋cos θ， θ为参数，0＜θ＜π2
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1.
答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
可以使其准确落在指定地点.
2．参数的意义 _参__数___是联系变数 x，y 的桥梁，可以是有 物理 意义或 _几__何__意义的变数，也可以是 没有明显实际意义 的变数．
1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某
个变数 t(θ，φ，…)的函数：xy＝＝gftt ①，并且对于每一个 t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y) 都在这条曲线上 ，那 么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ，联系变数 x，y 的 变数 t 叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接 给出坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．
3．设飞机以 v＝150 m/s 作水平匀速飞行，若在飞行高度 h＝ 490 m 处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初 速度等于飞机的速度)．(g＝9.8 m/s 2)
解：如图，A 为投弹点，坐标为(0,490)，B 为 目标．记炸弹飞行的时间为 t，在 A 点 t＝0， 设 M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时 刻 t，炸弹初速度 v0＝150 m/s，用物理学知识，
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
分析：
500
如图建立直角坐标系
物资投出机舱后，它的运
动由下列两种运动合成：
(1)沿Ox方向作匀速直线运动；
o
(x2)沿Oy反方向作自由落体运
动。
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
分析：
500
设物资投出机舱时时刻 为0,在t时刻时物资的位置为
M(x,y) 点M(x,y),则
x 100t,
o
x
y
500Biblioteka 1 2gt2.
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画 图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出 方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选 旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，
则 Rt△OAB≌Rt△QBP.取 OB＝t，t 为参
数(0＜t＜a)．∵|OA|＝ a2－t2，∴|BQ|＝ a2－t2.
∴点
P
在第一象限的轨迹的参数方程为x＝t＋ y＝t
a2－t2，
(0＜t＜a)．
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
投放点
分析： 即求飞行员在离救援点
的水平距离多远时，开始投 放物资？
？ 救援点
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
x 100t,
500
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2.
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,
以点 B(5,4)也在曲线上．把点 E(3,2)的坐标代入方程组，得到
3＝t2＋1， 2＝2t，
即tt＝ ＝±1. 2，
故方程组无解，所以点 E 不在曲线上．
(2)因为点 F(10，a)在曲线 C 上，
所以1a＝ 0＝2tt2，＋1， 解得ta＝＝36， 或at＝＝－－36，， 所以 a＝±6.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲 线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方 法是一致的．
参数方程表示的曲线上的点
[例 1] 已知曲线 C 的参数方程为xy＝＝2t2t＋1， (t 为参数)． (1)判断点 A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)与曲线 C 的位置关系； (2)若点 F(10，a)在曲线 C 上，求实数 a 的值．
[解] (1)把点 A(1,0)的坐标代入方程组，解得 t＝0，所以点 A(1,0)在曲线上．把点 B(5,4)的坐标代入方程组，解得 t＝2，所
解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t， 解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由 于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数， 或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．取 ∠QBP＝θ，θ 为参数0＜θ＜π2，则∠ABO ＝π2－θ.在 Rt△OAB 中，|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ.在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.∴点 P 在第一象限的轨迹的参数 方程为xy＝＝aasisninθθ. ＋cos θ， θ为参数，0＜θ＜π2
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1.
答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
可以使其准确落在指定地点.
2．参数的意义 _参__数___是联系变数 x，y 的桥梁，可以是有 物理 意义或 _几__何__意义的变数，也可以是 没有明显实际意义 的变数．
1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某
个变数 t(θ，φ，…)的函数：xy＝＝gftt ①，并且对于每一个 t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y) 都在这条曲线上 ，那 么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ，联系变数 x，y 的 变数 t 叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接 给出坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．
3．设飞机以 v＝150 m/s 作水平匀速飞行，若在飞行高度 h＝ 490 m 处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初 速度等于飞机的速度)．(g＝9.8 m/s 2)
解：如图，A 为投弹点，坐标为(0,490)，B 为 目标．记炸弹飞行的时间为 t，在 A 点 t＝0， 设 M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时 刻 t，炸弹初速度 v0＝150 m/s，用物理学知识，
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
分析：
500
如图建立直角坐标系
物资投出机舱后，它的运
动由下列两种运动合成：
(1)沿Ox方向作匀速直线运动；
o
(x2)沿Oy反方向作自由落体运
动。
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
以100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救 援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻 力),飞行员应如何确定投放时机呢？
y
分析：
500
设物资投出机舱时时刻 为0,在t时刻时物资的位置为
M(x,y) 点M(x,y),则
x 100t,
o
x
y
500Biblioteka 1 2gt2.
探究: 如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处
求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画 图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出 方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选 旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，
则 Rt△OAB≌Rt△QBP.取 OB＝t，t 为参
数(0＜t＜a)．∵|OA|＝ a2－t2，∴|BQ|＝ a2－t2.
∴点
P
在第一象限的轨迹的参数方程为x＝t＋ y＝t
a2－t2，
(0＜t＜a)．