集合、充分必要条件、逻辑连接词

第1讲集合的概念和运算

抓住3个考点（考点梳理）

1．集合的基本概念

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N+ (或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．

(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．

(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．

(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

3．集合的基本运算及其性质

(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．

(4)集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；

③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.

常用一条性质

若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．

关注两个“易错点”

(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B 中A＝∅的情况需特别注意；

(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．

考点自测

1．(2012·)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()．

A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{1} D．{0}

2．(2012·)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1 B．2 C．3 D．4

3．(2012·皖南八校三模)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中

的阴影部分表示的集合为( )．

A ．{5}

B ．{4}

C ．{1,2}

D ．{3,5}

4．(2012·南昌一模)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )

A ．{1,4}

B ．{1,5}

C ．{2,5}

D ．{2,4}

5．(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B

＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.

考向一 集合的基本概念

【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.

【训练1】 (2012·东北四校一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪

12x ∈Z 中含有的元素个数为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12

考向二 集合间的基本关系

【例2】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

范围．

【训练2】 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，

＋∞)，其中c ＝________.

考向三 集合的基本运算

【例3】►(1)(2012·)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则

A ∩

B ＝( )．

A ．(1,2)

B ．[1,2]

C ．[1,2)

D ．(1,2]

(2)(2012·)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )．

A ．{1,2,4}

B ．{2,3,4}

C ．{0,2,4}

D ．{0,2,3,4}

【训练3】 集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

热点突破1：集合问题的求解策略

【命题研究】高考对集合的考查有两种形式：一是考查集合间的包含关系或交、并、补的基

本运算；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．

一、集合与不等式交汇问题的解题策略

【真题探究1】► (2012·)已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B

＝( )． A ．(－∞，－1) B.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－1，－23 C.⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 【试一试1】 已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪

y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝( )． A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，13 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭

⎫13，＋∞ 二、集合中新定义问题的求解策略

【真题探究2】► (2012·新课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y

∈A }，则B 中所含元素的个数为( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．10

【试一试2】 定义集合运算：A B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{－2 014,0,20 14}，B

＝{ln a ，e a }，则集合A B 的所有元素之和为( )．

A ．2 014

B ．0

C ．－2 014

D ．ln 2 014＋e 2 014

限时训练A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·新课标全国)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1

A ．A

B B ．B A

C ．A ＝B

D ．A ∩B ＝∅

2．(2012·)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝

A ．{1,2, 3,4,6}

B ．{1,2,3,4,5}

C ．{1,2,5}

D ．{1,2}

3．(2012·渭南质检)设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( )．

A ．{1,4}

B ．{1,5}

C ．{2,3}

D ．{3,4}

4．(2012·长春名校联考)若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R}，则(∁R A )∩B

A ．{x |－1≤x ≤1}

B ．{x |x ≥0}

C ．{x |0≤x ≤1}

D ．∅

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2013·榆林模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝

6．(2012·天津)集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________

．

三、解答题(共25分)

7．(12分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .