集合、充分必要条件、逻辑连接词
集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语一、集合1、特定集合的表示①自然数集：N ②正整数集：+N③整数集：Z ④有理数集：Q⑤实数集：R ⑥正实数集：+R2、集合之间的关系①子集：A⊆B⇔ x∈A⇒x∈B。
真子集：A B⇔A⊆B且A≠B。
集合相等：A=B⇔A⊆B且B⊆A。
②空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。
③n个元素的集合有n2个子集；n个元素的集合有12-n个真子集。
3、集合的运算关系①交集：A∩B⇔x∈A且x∈B。
并集：A∪B⇔x∈A或x∈B。
补集：ACU⇔x∈U且x∉A。
②基本性质：A∩∅=∅；A∪∅=A；A∩B=A⇔A⊆B；A∪B=A⇔B⊆A。
③容斥原理：Card(A)+Card(B)=Card(A∩B)+Card(A∪B)；Card(A)+Card(B)+Card(C)=Card(A∪B∪C)+Card(A∩B)+Card(B∩C) +Card(C∩A)-Card(A∩B∩C)。
④德摩根定律：(ACU )∩(BCU)=)(BACU⋃；(ACU)∪(BCU)=)(BACU⋂。
⑤其它性质：若{a1,a2…a m}⊆A⊆{a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合A的个数为m n-2。
若{a1,a2…a m}∪B={a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合B的个数为m2。
二、常用逻辑用语1、量词①全称量词：∀。
含有全称量词的命题为全称命题：∀x ∈M ，p(x)。
②存在量词：∃。
含有存在量词的命题为存在性命题：∃x ∈M ，p(x)。
2、基本逻辑连结词①∧(且)：若p 、q 全真，则p ∧q 为真；若p 、q 一真一假，则p ∧q 为假。
②∨(或)：若p 、q 至少一真，则p ∧q 为真；若p 、q 全假，则p ∧q 为假。
③⌝(非)：若p 真则p ⌝假；若p 假则p ⌝真。
㈠正面叙述的否定：都是→不都是；任意的→某个；任意n 个→某n 个；所有的→某些； 至多有n 个→至少有n+1个；至少有n 个→至多有n-1个；至少有一个→一个也没有。
高中数学知识点集 合与逻辑用语知识点推荐
高中数学知识点集合与逻辑用语知识点推荐高中数学知识点：集合与逻辑用语知识点推荐在高中数学的学习中，集合与逻辑用语是非常基础且重要的部分。
它们不仅是数学知识体系中的基石，也对我们培养逻辑思维和解决问题的能力起着关键作用。
接下来，就让我们一起深入了解这些知识点。
一、集合的概念集合，简单来说，就是把一些确定的、不同的对象放在一起组成的一个整体。
这些对象被称为集合的元素。
比如，一个班级里的所有学生就可以组成一个集合，每个学生就是这个集合中的一个元素。
集合通常用大写字母表示，如 A、B、C 等，元素则用小写字母表示，如 a、b、c 等。
如果一个元素 a 属于集合 A，我们记作 a∈A；如果元素 b 不属于集合 A，就记作 b∉A。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
确定性指的是对于一个元素，要么它属于这个集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况；互异性就是说集合中的元素不能重复；无序性表示集合中的元素排列顺序不影响集合本身。
二、集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
2、描述法用集合中元素的共同特征来描述集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 的整数}。
3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），通过图形直观地表示集合之间的关系。
三、集合的分类1、有限集集合中的元素个数是有限的。
2、无限集集合中的元素个数是无限的。
3、空集不含任何元素的集合，记作∅。
四、集合的运算1、交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A∩B。
例如，A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，则A∩B ＝｛2, 3}。
2、并集由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作 A∪B。
继续以上面的例子，A∪B ＝｛1, 2, 3, 4}。
3、补集设全集为 U，集合 A 是 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 在 U 中的补集，记作∁UA。
高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件【考点梳理】1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．(3)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．4．集合与充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件．(2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B ⊂≠A ，则p 是q 的必要不充分条件．(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．【考点突破】考点一、四种命题的关系及其真假判断【例1】(1) 命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( ) A.若4πα≠，则tan 1α≠ B.若4πα=，则tan 1α≠C.若tan 1α≠，则4πα≠ D.若tan 1α≠，则4πα=(2) 给出下列命题：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 [答案] (1)C (2)C[解析] (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若⌝q ，则⌝p ”，显然⌝q ：tan 1α≠，⌝p ：4πα≠，所以该命题的逆否命题是“若tan 1α≠，则4πα≠”. (2) ①的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴x ≤2成立，②正确；③由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，③错误.综上可知，真命题是①，②.【类题通法】1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．【对点训练】1. 命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c[答案] A[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.2. 原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个[答案] C[解析] 原命题：若c ＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a ，b ，c ∈R ，若“ac 2>bc 2”，则“a >b ”.由ac 2>bc 2知c 2>0，∴由不等式的基本性质得a >b ，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.考点二、充分条件与必要条件的判断【例2】(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥－1，ln （－x ），x <－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2) 设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] (1)B (2)B[解析] (1)若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件.(2)由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤2⇒0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．【类题通法】充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【对点训练】1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 因为由“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，反过来，由A ⊆B 可以得到“a ＝3或a ＝2”，不一定推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．2．已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立.考点三、充分条件、必要条件的应用【例3】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【变式1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【变式2】本例条件不变，若⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.[解析] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵⌝P 是⌝S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2，10]⊂≠[1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).【类题通法】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【对点训练】已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[答案] [9，＋∞)[解析] 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴⌝p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴⌝q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴B ⊂≠A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N ⊂≠M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。
集合与常用逻辑用语知识点
集合与常用逻辑用语一、知识总结1、集合（1）元素与集合：①集合元素的特征性： 、 、 ；②元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号分别为 和 ；③常见集合的符号表示：自然数集 、正整数集 、整数集 、有理数集 、实数集（R ）；④集合的表示方法 、 、 。
（2）集合与集合间的关系：①如果集合A 中 元素都是集合B 的元素，则A 叫做B 的子集；空集φ，它是任何非空集合的 ；②若B A ⊆，且A B ⊆，则 。
（3）集合的运算：设A 、B 是两个集合，全集为U ，则{}B x A x x B A ∈∈=且I ，{}B x A x x B A ∈∈=或Y ，{}A x U x x A C U ∉∈=且。
若B A ⊆，则A B A =I ，B B A =Y 。
2、命题及其关系、充分条件与必要条件 （1）命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中的语句叫真命题， 的语句叫假命题。
（2)四中命题及其关系：用q p 和分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，是等价关系。
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
（3）充分条件与必要条件：①如果q p ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；若q p ⇔，则p 是q 的 。
②若p 不能推出q ，且q 不能推出p ，则p 是q 的 . 3、逻辑连接词与量词（1）逻辑连接词：①用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作 ，读作“p 且q ”。
②用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作 读作“p 或q ”。
③对一个命题p 全盘否定记作 读作“非p ”或“p 的否定”。
（2）全称量词与存在量词：①全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示。
存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示。
②含有全称量词的命题，叫做 ；“对M 中任意一个x ，有()x p 成立”可用符号简记为： 。
集合、充分必要条件、逻辑连接词
第1讲集合的概念和运算抓住3个考点（考点梳理）1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N+(或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.常用一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．关注两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝∅的情况需特别注意；(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．考点自测1．(2012·)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝( )．A．{－1,0,1}B．{0,1} C．{1}D．{0}2．(2012·)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012·皖南八校三模)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C ．{1,2}D ．{3,5}4．(2012·XX 一模)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}5．(2012·XX)已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】(2012·东北四校一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12考向二 集合间的基本关系【例2】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，XX 数m 的取值X 围．【训练2】 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )．A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【训练3】 集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．4热点突破1：集合问题的求解策略【命题研究】高考对集合的考查有两种形式：一是考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．一、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】►(2012·)已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，－1) B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3D ．(3，＋∞) 【试一试1】 已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】►(2012·新课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )．A ．3 B ．6 C ．8 D ．10【试一试2】 定义集合运算：A B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{－2 014,0,20 14}，B ＝{ln a ，e a }，则集合A B 的所有元素之和为( )．A ．2 014B ．0C ．－2 014D ．ln 2 014＋e 2 014限时训练A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·新课标全国)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅2．(2012·)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3．(2012·XX 质检)设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}4．(2012·XX 名校联考)若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R}，则(∁R A )∩BA ．{x |－1≤x ≤1} B．{x |x ≥0}C．{x |0≤x ≤1}D．∅二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·XX 模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝6．(2012·XX)集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________．三、解答题(共25分)7．(12分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，XX 数a ，b .8．(13分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·XX 一模)已知全集U ＝R ，函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )．A ．[－2,1)B ．[－2,2]C ．(－∞，－2)∪[3，＋∞) D．(－∞，2) 2．(2012·潍坊二模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]C ．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________． 4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．三、解答题(共25分)5．(12分)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B＝∅，则XX数m的值．6．(13分)(2013·XX模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，XX数a的取值X围．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件抓住2个考点（考点梳理）1．四种命题及其关系(1)命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．(2)四种命题间的相互关系(3)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p则q”命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．一个等价关系互为逆否命题的两个命题的真假相同，对于难于判断的命题转化为其等价命题来判断． 两种方法充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)集合法：记A ＝{x |x ∈p }，B ＝{x |x ∈q }．若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．考点自测1．(2012·)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )． A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．(2012·XX)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(课本习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )．A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝35．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的必要条件； ③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．考向一 四种命题及其关系【例1】►(2012·XX 模拟)下列有关命题的说法正确的是( )．A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“∃x ∈R ，使得2x 2－1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有2x 2－1<0”D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题【训练1】 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．考向二 充分条件与必要条件的判断【例2】►(2013·XX 省九校联考)已知a ，b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【训练2】(2012·东北三校联合模拟)“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考向三 充要条件的探求【例3】►(2011·)设n ∈N *，二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n （ ）【训练3】(2012·)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝－12B ．x ＝1C ．x ＝5D ．x ＝0a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【试一试】 若a ，b 为实数，则“ab <1”是“0<a <1b”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )．A ．若q ，则pB ．若非p ，则非qC ．若非q ，则非pD ．若p ，则非q2．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数3．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1 B．a <1C ．a ≤1 D．0<a ≤1或a <04．A ＝{x |x －2>0}，B ＝{x |x <0}，C ＝{x |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·XX 质检)“m <14”是“二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 6．(2013·XX 模考)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④原命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．三、解答题(共25分)7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零．8．(13分)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，XX 数a 的取值X 围．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·潍坊二模)下列说法中正确的是( )．A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．若函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3 C ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件2．(2013·潍坊一模)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )．A ．a ≥4 B．a ≤4 C．a ≥5 D ．a ≤5二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·XX 模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是________． 三、解答题(共25分)5．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.6．(13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －2x －3a ＋1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，XX 数a 的取值X 围．第3讲全称量词与存在量词、逻辑联结词“且、或、非”考点梳理）1．简单的逻辑联结词命题中的“或”、“且”、“非”叫作逻辑联结词．2．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．(3)全称命题与特称命题①含有全称量词的命题叫全称命题．②含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.一个逆用p∧q为真，p，q都为真．p∨q为真，p，q至少有一个为真．p∨q为假，两个都假．两点提醒(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．考点自测1．若p是真命题，q是假命题，则( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题D．非q是真命题2．(2012·)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )．A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤13．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值X围是________．4．下列四个命题中，其中为真命题的是( )．A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C．∃x ∈Z ，使x 5<1 D ．∃x ∈Q ，x 2＝35．p ，q 是两个简单命题，那么“p ∧q 是假命题”是“p ∨q 是假命题”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】►已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧非q ”是假命题；③命题“非p ∨q ”是真命题；④命题“非p ∨非q ”是假命题．其中正确的是( )．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【训练1】 已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“ 非p ”形式的命题中，真命题有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个考向二 含有一个量词的命题的否定【例2】►(2012·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )．A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【训练2】(2012·长安一中模拟)命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．【例3】►下列命题中，真命题是( )．A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R)是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R)是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数【训练3】(2012·XX 模拟)下列命题中的假命题是( )．A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝3C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )． A ．p 为真 B ．非q 为假C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真【试一试】 已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )．A ．p ∧qB ．p ∨非qC ．非p ∧非qD ．p ∨q级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·XX 二模)如果命题“p 且q ”是假命题，“綈q ”也是假命题，则( )．A ．命题“非p 或q ”是假命题B ．命题“p 或q ”是假命题C ．命题“非p 且q ”是真命题D ．命题“p 且非q ”是真命题2．(2013·XX 模拟)已知命题p ：有的三角形是等边三角形，则( )．A ．非p ：有的三角形不是等边三角形B ．非p ：有的三角形是不等边三角形C ．非p ：所有的三角形都是等边三角形D ．非p ：所有的三角形都不是等边三角形 3．(2012·XX 质检)下列命题中的真命题是( )．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．(2013·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x |3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且非q ”是假命题；③命题“非p 或q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．其中正确的是( )．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________．6．(2012·XX 调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值X 围是________．三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·XX 二模)给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x<2”； ③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2. 其中正确的为( )．A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④2．(2012·XX 六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)二、填空题(每小题5分，共10分)3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．4．(2013·XX 调研)下列结论：①p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则“p ∧非q ”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．三、解答题(共25分)5．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值X 围．.6．(13分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，XX 数m 的取值X 围．小题专项集训（一）集合与常用逻辑用语一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2012·XX 调研)设全集U ＝{1,3,5,6,8}，A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则(∁U A )∩B ＝( )．A ．{6}B ．{5,8}C ．{6,8}D ．{5,6,8}2．(2012·)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q”的否定是( )．A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q3．(2012·)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )．A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}4．(2013·XX 重点中学联考)已知集合A ＝{圆}，B ＝{直线}，则A ∩B 为( )．A．∅B．单元素集C．两个元素的集合D．以上情况均有可能5．(2012·)设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值X围是( )．A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－1)7．(2013·“江南十校”联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )．A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．非p为假命题D．非q为假命题8．(2012·XX模拟)若函数f(x)＝1－x的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B等于( )．A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[0,1] D．[0,1)9．(2012·哈师大附中模拟)设x，y是两个实数，则命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )．A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>110．(2013·XX四校联考)下列有关命题的说法正确的是( )．A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2012·XX调研)已知全集U＝R，集合A＝(－∞，0)，B＝{－1，－3，a}，若(∁A)∩B≠∅，则实数a的取值X围是________．U12．(2013·XX模拟)已知集合A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝________.13．(2012·苏北四市三调)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．14．(2013·XX质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－3)x＋4<0”为假命题，则实数a的取值X围是________．15．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．真命题的序号是________． 易失分点1 集合中元素的特征认识不明【示例1】► 已知集合M ＝{x |y ＝－x 2＋3x }，N ＝{x ||x |>2}，则M ∩N ＝( )．A ．{x |1<x <3}B ．{x |0<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |2<x ≤3}易失分点2 遗忘空集【示例2】► 设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R}，若B ⊆A ，XX 数a 的取值X 围．易失分点3 忽视集合中元素的互异性【示例3】► 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，XX 数a 的取值集合．易失分点4 充分必要条件颠倒致误【示例4】► 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 易失分点5 对含有量词的命题的否定不当【示例5】► 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )．A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0第一章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2010·)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A 等于( )A ．(－∞，0]∪(22，＋∞)B．(22，＋∞)C．(－∞，0]∪[22，＋∞)D．[22，＋∞) 2．(2010·)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件3．(2010·XX 一中期中)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则( )A ．非p ：∃x ∈R ，x <sin xB ．非p ：∀x ∈R ，x ≤sin xC ．非p ：∃x ∈R ，x ≤sin xD ．非p ：∀x ∈R ，x <sin x4．(2010·华南师大附中期中)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1,2,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．(2010·XX 一中期中)设集合M ＝{x |2x 2－2x <1}，N ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则( )A ．M ∪N ＝MB ．(∁R M )∩N ＝RC ．(∁R M )∩N ＝∅D ．M ∩N ＝M6．(2010·XX 交大附中月考)下列命题错误的是( )A ．命题“若m ≤0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m >0”B．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中必有一真一假D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥07．(2011·威海模拟)已知命题p ：无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等差数列，则点列{(n ，S n )}在一条抛物线上；命题q ：若实数m >1，则mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是( )A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1x2>m 的解集为{x |x ≠0，x ∈R}；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)9．(2011·XX 月考)已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值X 围是( )A ．t ≤0 B．t ≥0C．t ≤－3 D ．t ≥－311．(2011·XX 模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．(2010·XX 实验中学高三月考)已知f (x )＝(12)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，( ) A ．p 是假命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1B ．p 是假命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1C ．p 是真命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1D ．p 是真命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2010·XX 一中期中)“lg x >lg y ”是“10x >10y ”的________条件．14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．16．(2010·XX苏北三市高三联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值X围为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．18．(12分)(2011·XX月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的X围．19．(12分)(2011·XX模拟)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，XX数a的取值X围．20．(12分)已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值X 围．21．(14分)(2011·XX模拟)已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足B A，A∪C＝A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理纠错集训1．设集合A ＝错误!，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．12．设集合A ＝{x ||x －2|≤2，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝( )．A ．RB ．{x |x ∈R ，x ≠0}C．{0} D ．∅3．若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2<5x －6，则非p 是非q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2,3，…)”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列命题的否定中真命题的个数是( )．①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R)无实根；②q ：存在 一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数； ③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．36．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }＝B ，则x ＋y ＝________.7．已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a －b ＝________.8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ x ＋2≥05－x ≥0，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，XX 数p 的取值X 围．9．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．。
逻辑学的符号大全
逻辑学使用一系列符号来表示不同的逻辑关系和操作。
以下是逻辑学中常用的符号大全：命题逻辑符号：
逻辑连接词：¬（非）、∧（合取）、∨（析取）、→（蕴含）、↔（等价）
括号：( )
真值：T（真）、F（假）
等同符号：≡
谓词逻辑符号：
量词：∀（全称量词）、∃（存在量词）
唯一性量词：∃!（存在唯一）
谓词：P, Q, R, ...
关系运算符：=（相等）、≠（不等）、<（小于）、>（大于）、≤（小于等于）、≥（大于等于）
集合论符号：
集合：A, B, C, ...
元素关系：∈（属于）、∉（不属于）、⊆（包含于）、⊇（包含）
推理规则和符号：
蕴含关系：⊢（可推导）、⊨（语义蕴含）
推理规则：Modus Ponens（分离规则）、Modus Tollens（否定规则）、Hypothetical Syllogism （假言三段论）等
这些符号用于描述和表示命题逻辑、谓词逻辑、集合论和推理规则等不同领域的逻辑关系。
需要注意的是，不同的逻辑学派和教材可能会稍有差异，因此符号的具体用法和解释可能会有所不同。
高中数学知识点大全
高中数学知识大全
高中数学知识大全
一、集合与逻辑
1.集合的概念与表示
2.集合的运算
3.命题与逻辑连接词
4.充分条件与必要条件
5.全称量词与存在量词
二、函数与方程
1.函数的定义与性质
2.初等函数
3.函数的零点与方程的根
4.二次函数与一元二次方程
5.函数图象的变换与对称
6.抽象函数与分段函数
7.函数的导数与极值
8.函数的单调性与最值
9.函数图象的拟合与插值
三、不等式与数列
1.不等式的概念与性质
2.一元二次不等式及其解法
3.均值不等式及其应用
4.等差数列与等比数列的概念与性质
5.数列的通项公式与求和公式
6.数列的递推公式与迭代公式
7.数列的极限及其应用
8.裂项相消法与倒序相加法
9.数学归纳法及其应用
四、三角函数与平面向量
1.三角函数的概念与性质
2.三角恒等变换及其应用
3.正弦定理与余弦定理及其应用
4.平面向量的概念与运算
5.向量的数量积与向量夹角及其应用
6.向量的应用及其综合题解题思路
7.正弦定理与余弦定理的综合运用
8.平面向量的数量积及其应用
9.解三角形的方法及其应用
10.三角函数的图象变换及其应用
11.正切函数及其应用
12.三角恒等变换的综合运用
13.向量的应用题解题思路与方法探讨
14.解三角形中的范围问题及其求解方法
15.正弦定理与余弦定理中的边角转换关系及其应用
16.平面向量的坐标运算及其应用题解题思路探索。
《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语
《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语汇报人：日期:•集合与常用逻辑用语概述•充分条件•必要条件•充分条件与必要条件的联系与区别•集合与充分条件、必要条件的应用目录01集合与常用逻辑用语概述由具有某种特定性质的元素组成的整体，称为集合。
集合元素子集集合中的每一个成员称为元素。
如果一个集合中的每一个元素都是另一个集合中的元素，那么称这个集合为另一个集合的子集。
03集合的基本概念0201集合的基本概念如果一个集合是另一个集合的子集，但并非等于另一个集合，则称这个集合为真子集。
真子集并集交集补集将两个或多个集合中的所有元素组合在一起，形成一个新的集合，称为并集。
在两个或多个集合中共有的元素组成的集合，称为交集。
在全集中去掉一个或多个集合的所有元素后，剩余的元素组成的集合，称为补集。
常用逻辑用语简介01命题用语言表述一个事实或观点，称为命题。
02真命题如果一个命题符合实际情况，称为真命题。
03假命题如果一个命题不符合实际情况，称为假命题。
04充分条件如果一个条件成立，可以导致另一个条件成立，则称这个条件为充分条件。
05必要条件如果一个条件的成立必须依赖于另一个条件，则称这个条件为必要条件。
06充分必要条件如果一个条件既是充分条件又是必要条件，则称这个条件为充分必要条件。
02充分条件在计算机科学中，充分条件通常指一个程序的输入能够完全确定程序的输出，而不依赖于其他任何输入或程序的状态。
充分条件的定义充分条件又称“充分条件”或“充足条件”，指的是在逻辑推理中，只要有这个条件就足以推导出结论，无需考虑其他条件。
在数学中，充分条件指的是如果有一个集合A，使得集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的充分条件。
充分条件的分类充分条件的分类主要有以下几种充分条件归纳判断：指的是在某个时间点或某个事件发生之前，如果有多个事件发生，则可以推导出另一个事件一定会发生。
充分条件假言判断：指的是在某个时间点或某个事件发生之前，如果有某个事件发生，则可以推导出另一个事件一定会发生。
常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断⇒/.1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”实战练习：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、．已知集合,集合,,则（ ）2、（2013年高考浙江卷（文））设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（）A．[-4,+∞)B．(-2, +∞)C．[-4,1] D．(-2,1]3、设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则（）A．B．C． D．4、设全集则下图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．5、若全集为实数集，集合=A．B．C．D．6.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为21世纪教育网A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数7、已知集合，,则（）（A）｛1，4｝（B）｛2，3｝（C）{9，16} （D）｛1，2}8、设, 则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件9、设点,则“且”是“点在直线上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10、给出下列四个命题：（1）命题“若，则”的逆否命题为假命题；（2）命题．则，使；（3）“”是“函数为偶函数”的充要条件；（4）命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）．．．．11、设z是复数, 则下列命题中的假命题是（）A．若, 则z是实数B．若, 则z是虚数C．若z是虚数, 则 D．若z是纯虚数, 则12．给定两个命题,的必要而不充分条件,则（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13、已知集合,则_____14.已知P：|x－a|＜4；q：（x－2）（3－x）>0，若p是q的充分不必要条件，则a 的取值范围为．15．已知，，则________________．16、设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足;(i);(ii)对任意,当时,恒有.①;②;③.其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.18、已知集合A={x| | x–a | < 2，x∈R }，B={x|<1，x∈R }．(1) 求A、B；(2) 若，求实数a的取值范围．19．已知；不等式恒成立，若是的必要条件，求实数的取值范围.20、设命题：实数满足，其中；命题：实数满足且的必要不充分条件，求实数的取值范围.21．设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.22．已知全集U=R，非空集合＜，＜.（1）当时，求；（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.。
数学逻辑连接词
数学逻辑连接词数学逻辑连接词: 因果关系、充分条件、必要条件、等价、充分充要、充分非必要、必要非充分、充分非必要非、充分充要非、等价非、充分非必要非充分、必要非充分、充分充要非必要、等价非充分、充分非必要非充分非、必要非充分非、充分充要非必要非、等价非充分非、充分非必要非充分非必要非、必要非充分非必要非、等价非充分非必要非充分非必要非因果关系是数学逻辑中常见的一种连接词。
它表示两个事件或者两个命题之间的因果关系。
例如，如果A发生，那么B也会发生。
在数学推理中，我们经常使用因果关系来推导结论。
充分条件是另一种常见的逻辑连接词。
它表示如果A成立，那么B 也一定成立。
充分条件是一个充分推理的条件，它能够帮助我们得出结论。
必要条件是与充分条件相对应的逻辑连接词。
它表示如果B成立，那么A一定成立。
必要条件是一个必要推理的条件，它能够帮助我们确定前提。
等价是逻辑中常见的一种关系。
它表示两个命题具有相同的真值。
如果两个命题互为真或者互为假，那么它们是等价的。
等价关系可以帮助我们简化复杂的逻辑推理。
充分充要是充分条件与必要条件的合并。
它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。
充分充要是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分非必要是充分条件的否定。
它表示如果A成立，那么B不一定成立。
充分非必要是一个只包含充分条件的逻辑连接词。
必要非充分是必要条件的否定。
它表示如果B成立，那么A不一定成立。
必要非充分是一个只包含必要条件的逻辑连接词。
充分非必要非是充分条件和必要条件的否定。
它表示如果A成立，那么B不一定成立，并且如果B成立，那么A也不一定成立。
充分非必要非是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分充要非是充分条件、必要条件和否定的合并。
它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。
充分充要非是一个同时包含充分条件、必要条件和否定的逻辑连接词。
等价非是等价关系的否定。
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。
2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。
3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。
【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。
（1）小李是老师，小赵也是老师。
（2）1是合数或质数。
（3）他是运动员兼教练员。
（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。
解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。
（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。
（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。
（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。
小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。
应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。
例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。
若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。
解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<3。
即q ：1<m<3。
因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。
∴或或m m m m m >≤≥⎧⎨⎩≤<<⎧⎨⎩213213解得：或。
m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。
反过来，由复合命题的真假也应能准确断定构成此复合命 题的简单命题的真假情况，简单命题的真假也应由真值表来判断。
集合与常用逻辑用语知识点{知识点)
集合与常用逻辑用语知识点考向：这部分属于高考必考和热点内容。
主要以选择题和填空题的形式出现，属于简单题。
分值5分。
第1节：集合的概念与运算一．概念1.集合与元素的关系：∉∈,二者必居其一。
2.集合的分类：有限集，无限集，空集。
3.元素的特征：互异性，无序性，确定性。
4.集合的表示：描述法，列举法，venn 图，区间法（只用于表示实数）。
5.子集:}|{B x A x x B A ∈∈∀⇔⊆有 真子集:}|{00A x B x B x A x x B A ∉∈∃∈∈∀⇔⊂≠但且有集合A 中有n 个元素，则A 的子集有n 2个，非空子集有n 2-1个，真子集有n 2-1个，非空真子集有n 2-2个.6.常见的数集: C Q R Z N N ,,,,,*7. ,A ⊆∅)(非空A A ≠⊂∅二．运算交：}|{B x A x x B A ∈∈=且 并：}|{B x A x x B A ∈∈=或 补：}|{A x U x x A C U ∉∈=且三．运算法则 交换律：,,A B B A A B B A == 结合律：),()(),()(C B A C B A C B A C B A ==分配率：),()()(),()()(C A B A C B A C A B A C B A ==吸收率：A B A B A =⊂ ,摩根定律：)()()(B C A C B A C U U U =,)()()(B C A C B A C U U U =第2节：命题及其关系、充分条件与必要条件一．命题1．命题：可以判断真假的语句叫做命题。
判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
真命题为真，假命题一定为假，真命题为假，假命题一定为真。
2.四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题：逆命题若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则p ⌝结论：（1）互为逆否的命题，同真同假； （2）原命题与逆命题，原命题与否命题，它们的真假性没有关系。
高一数学条件知识点
高一数学条件知识点数学条件知识点是高中数学学习中的基础内容，对于高一学生来说尤为重要。
本文将介绍高一数学条件知识点的相关内容，帮助学生们全面了解并掌握这些知识。
一、集合与命题1. 集合的基本概念：包括元素、空集、全集、子集等。
2. 集合的运算：交集、并集、差集和补集等。
3. 命题与命题的连接词：包括合取、析取、否定等。
二、命题的真值与等值关系1. 命题的真值表：通过真值表可以确定命题的真假。
2. 命题的等值：等值命题在逻辑上等同于另一个命题。
三、充分必要条件1. 充分条件：如果A发生，则B一定发生。
2. 必要条件：如果B发生，则A一定发生。
3. 充要条件：充分条件和必要条件同时满足。
四、特殊的条件语句1. 等价命题：具有相同真值的命题。
2. 反命题：与原命题的真值完全相反的命题。
3. 逆命题：将原命题的条件和结论互换的命题。
4. 逆否命题：先对原命题取反，再将条件和结论互换的命题。
五、假设与条件证明1. 假设：在数学证明中所作的暂时性假设。
2. 条件证明：根据给定条件进行的推理与论证。
六、数学定理与条件1. 逻辑运算定理：包括交换律、结合律、分配律等。
2. 数与集合的关系：包括全等关系、包含关系等。
3. 条件命题与某一条件成立的关系：若条件成立，则命题成立。
七、条件的应用1. 数学问题中的条件转化：将问题中的条件转化为数学命题进行求解。
2. 条件的约束：利用条件对问题中的变量进行限制，缩小问题的解空间。
以上是关于高一数学条件知识点的简要介绍，通过学习和掌握这些知识，学生们将能够更好地理解数学问题中的条件关系，提高解题能力和论证能力。
希望本文对高一数学学习有所帮助。
第2讲 充分条件与必要条件(共43张PPT)
角度 2 集合法判断充分、必要条件
例 2 (2020·济南市高三上学期期末)设 x∈R，则“2x＞4”是“lg (|x|
－1)＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 设 p：2x＞4，即 p：2x＞22，整理得 p：x＞2；设 q：lg (|x|－1)
“a·b＝0”是“a⊥b”的充要条件．故选 C．
解析 答案
3．若集合 A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 当 m＝2 时，有 A∩B＝{4}；若 A∩B＝{4}，则 m2＝4，解得 m
() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
解析 若 ln m<ln n，根据对数函数的定义域及单调性可知 0<m<n，可 得 m2<n2，因而具有充分性；若 m2<n2，则|m|<|n|，当 m<0，n<0 时对数函数 无意义，因而不具有必要性，综上可知，“ln m<ln n”是“m2<n2”的充分不必 要条件．故选 A．
淆．
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合 之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利 用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决 定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
充分必要条件和集合的关系
充分必要条件和集合的关系在数学中，充分必要条件是一种逻辑关系，用来描述引导某个结论的前提或条件。
而集合则是由一些确定的元素所构成的整体。
本文将探讨充分必要条件与集合之间的关系。
一、充分必要条件的定义充分必要条件是指一个命题或陈述如果成立，则另一个命题或陈述也必然成立。
换言之，两个命题之间的充分必要条件是相互依存的，缺一不可。
通常用“如果且仅如果”来表达这种关系。
二、集合的定义集合是由一些确定的元素组成的整体。
集合中的元素可以是任意事物，如数字、字母、图形等。
例如，自然数的集合可以表示为N={1, 2, 3, 4, ...}，表示集合N包含了所有的自然数。
三、充分必要条件与集合的关系充分必要条件与集合之间存在着密切的关系。
在数学中，我们常常使用充分必要条件来定义集合。
例如，假设A和B是两个集合，我们可以通过充分必要条件来定义A和B之间的关系。
1. A是B的充分必要条件：如果A是B的充分必要条件，那么只有当A成立时，B才能成立。
换言之，A是B的一个必要条件，同时也是B成立的充分条件。
这种关系可以用符号“A⟺B”来表示，表示A是B的充分必要条件。
2. A是B的充分条件：如果A是B的充分条件，那么只要A成立，B就一定成立，但是即使A不成立，B仍然可能成立。
这种关系可以用符号“A⇒B”来表示，表示A是B的充分条件。
3. A是B的必要条件：如果A是B的必要条件，那么只有当B成立时，A才能成立。
换言之，A是B成立的一个必要条件，但不一定是B成立的充分条件。
这种关系可以用符号“A⇐B”来表示，表示A是B的必要条件。
通过以上的关系可以看出，充分必要条件与集合之间存在着相互联系。
在数学中，我们常常使用充分必要条件来定义集合，从而使得集合的定义更加准确和严谨。
四、充分必要条件和集合的应用举例充分必要条件和集合的关系在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 奇数和偶数的关系：奇数可以定义为一个整数加上1的结果，而偶数可以定义为一个整数加上2的结果。
数学逻辑连接词
数学逻辑连接词数学逻辑连接词：因为、所以、当且仅当、若、或者、不然、只要、除非、无论、即使因为数学逻辑连接词的存在，我们能够清晰地表达数学推理中的关系、条件和结论。
这些逻辑连接词不仅能帮助我们建立论证的逻辑链条，还能使我们的数学论述更加准确和严谨。
因为是一个常用的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用因为时，通常是为了引述已知条件或前提。
例如，在证明一个几何问题时，我们可以说：“因为三角形ABC是等边三角形，所以它的三条边相等。
”所以是一个表示推理结果的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用所以时，通常是为了得出结论或推理的结果。
例如，在证明一个数学定理时，我们可以说：“已知a=b且b=c，所以a=c。
”当且仅当是一个表示充分必要条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用当且仅当时，通常是为了表达两个条件是等价的。
例如，在判断一个数是偶数的充分必要条件时，我们可以说：“一个整数是偶数当且仅当它能被2整除。
”若是一个用于表示条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用若时，通常是为了表达一个条件或假设。
例如，在证明一个数学命题时，我们可以说：“若n是一个质数，则n不能被任何小于n的正整数整除。
”或者是一个表示选择关系的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用或者时，通常是为了表达两个或多个条件中的至少一个成立。
例如，在判断一个方程有解时，我们可以说：“方程x^2-3x+2=0有解，或者方程x^2-5x+6=0有解。
”不然是一个表示否定关系的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用不然时，通常是为了表达一个条件的否定。
例如，在证明一个数学猜想时，我们可以说：“如果存在一个正整数n，使得n^2+1是一个完全平方数，那么这个猜想是错误的。
”只要是一个表示充分条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用只要时，通常是为了表达一个条件的充分性。
例如，在判断一个数是质数的充分条件时，我们可以说：“只要一个整数n不能被任何小于n的正整数整除，那么n是一个质数。
常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。
在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。
下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。
一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。
它表示的是一种条件关系。
2. 假言命题的充分条件和必要条件。
充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。
3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。
4. 示例：如果下雨，地面就会湿。
这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。
5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。
二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。
它表示的是多个条件同时成立的关系。
2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。
3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。
这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。
4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。
三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。
它表示的是两个条件相互排斥的关系。
2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。
3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。
这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。
4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。
四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。
2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。
3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。
这就是一个复言命题，由假言命题构成。
5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。
逻辑联结词与充要条件
第2讲 逻辑联结词与充要条件【考点解读】1、 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，会判断简单复合命题的真假。
2.理解全称量词与存在量词的意义。
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，会判断含有量词的命题的真假。
4.理解命题的概念。
5.了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
6.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
【知识扫描】1.简单的逻辑联结词（1）“或”“且”“非”等词叫做逻辑联结词。
逻辑联结词与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关。
① {}|,B AB x x A x =∈∈或，集合中的并集是用“或”来定义的。
是指至少满足“x A ∈”与“x B ∈”中的一个，即：x A ∈，且x B ∉；也可以是x A ∉，且x B ∈；还可以是x A ∈，且x B ∈.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致.②{}|,B A B x x A x =∈∈且，集合中的交集是用“且”来定义的。
它是指“x A ∈”与“x B ∈”都要满足的意思，即：x 既属于A ，同时又属于B.③{},u C A x x U xA =蜗且，集合中的“补集”与“非”密切相关。
（2）复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。
（3）复合命题的三种形式与真假判断： p 或q 记为p q Ú，一真即真； p 且q 记为p q Ù，一假即假；非p 记为p Ø，p 与 p Ø一真一假。
对于复合命题的真假判断可以借助下列表格进行记忆.2.全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.(3)全称命题与特称命题的否定：①对于全称命题p ：)(,x p M x ∈∀，其否定为p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃；②对于特称命题q ：)(,x q M x ∈∃，其否定为q ⌝：)(,x q M x ⌝∈∀.常见的正面叙述的和它的否定词语如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定或一个也没有至多有n -1个至少有两个存在一个x 不成立3.命题的定义及真假判断(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一般地来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；对于含有变量的语句，要注意根据变量的范围，看能否判断真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题；还有一些语句，尽管目前无法判断其真假，但从事物的本质而论，语句是可辨别真假的，尤其是在科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题.(2)命题的常见形式是：若p ，则q.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.判断其真假时，首先要搞清楚该命题的结构，分清条件和结论，再和其他的相关知识联系起来，加以判断.4.命题的四种形式及其相互关系 (1)命题的四种形式:原命题:若q 则p; 逆命题: 若q 则p;否命题:若p Ø则q Ø；逆否命题：若q Ø则p Ø。
逻辑的力量知识点总结初中
逻辑的力量知识点总结初中逻辑是一种重要的思维工具，它帮助我们思考问题、分析观点、做出决定，是科学、数学、哲学等学科的基础。
初中阶段，学生开始接触逻辑学的基本概念和原理，建立起逻辑思维的基础。
以下是逻辑的力量知识点总结。
一、命题逻辑1. 命题的定义：能够陈述真假的陈述句称为命题。
2. 命题的连接词：命题用连接词“与”、“或”、“非”等进行连接，构成复合命题。
3. 命题的真值表：通过真值表可以确定复合命题在不同情况下的真值。
4. 命题公式：用符号表示命题，例如p、q、r等字母可以代表不同的命题。
二、逻辑推理1. 充分条件和必要条件：如果A是B的充分条件，那么B就是A的必要条件。
2. 排中律和矛盾律：排中律认为任何陈述都是真或者假；矛盾律认为一个陈述与其否定语永远不能同时为真。
3. 假言推理和析取推理：假设前提条件，从前提推导出结论，称为假言推理；通过排除假设的否定，得出结论为真，称为析取推理。
三、真理函数和合取范式1. 真理函数：用符号构建公式来描述命题的真值。
2. 合取范式：将命题用合取式（and）连接，求出合取范式，揭示命题的逻辑结构。
四、基本逻辑常识1. 逻辑的三大定理：排中律、矛盾律、排中律。
2. 逻辑推理的规则：假言推理、拒取规则、析取假设。
五、逻辑论证1. 论证结构：论点、论据、论证结论。
2. 论证的有效性：论据必须有说服力，结论必须符合逻辑规律。
3. 论证方法：归纳法、演绎法等。
以上是逻辑的力量知识点总结，希望能帮助初中生了解逻辑学的基本原理和方法。
逻辑的力量可以帮助我们在日常生活中清晰分辨事实和谬误，做出明智的选择和决定。
逻辑思维不仅在学术研究中有着重要的作用，也在我们的日常生活中发挥着巨大的作用。
希望大家能够运用逻辑的力量来提升自己的思维能力。
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第1讲集合的概念和运算抓住3个考点（考点梳理）1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N+ (或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.常用一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．关注两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B 中A＝∅的情况需特别注意；(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．考点自测1．(2012·)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()．A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{1} D．{0}2．(2012·)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．43．(2012·皖南八校三模)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C ．{1,2}D ．{3,5}4．(2012·南昌一模)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}5．(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】 (2012·东北四校一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12考向二 集合间的基本关系【例2】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【训练2】 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )．A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【训练3】 集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．4热点突破1：集合问题的求解策略【命题研究】高考对集合的考查有两种形式：一是考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．一、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】► (2012·)已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B＝( )． A ．(－∞，－1) B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－23 C.⎝⎛⎭⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 【试一试1】 已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝( )． A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，13 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】► (2012·新课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y∈A }，则B 中所含元素的个数为( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．10【试一试2】 定义集合运算：A B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{－2 014,0,20 14}，B＝{ln a ，e a }，则集合A B 的所有元素之和为( )．A ．2 014B ．0C ．－2 014D ．ln 2 014＋e 2 014限时训练A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·新课标全国)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅2．(2012·)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝A ．{1,2, 3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3．(2012·渭南质检)设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}4．(2012·长春名校联考)若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R}，则(∁R A )∩BA ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·榆林模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝6．(2012·天津)集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________．三、解答题(共25分)7．(12分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .8．(13分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·南昌一模)已知全集U ＝R ，函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )．A ．[－2,1)B ．[－2,2]C ．(－∞，－2)∪[3，＋∞)D ．(－∞，2) 2．(2012·潍坊二模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[0，＋∞) D ．{(－1,1)，(1,1)}二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．三、解答题(共25分)5．(12分)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则求实数m 的值．6．(13分)(2013·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ； (2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R}，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件抓住2个考点（考点梳理）1．四种命题及其关系(1)命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．(2)四种命题间的相互关系(3)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p则q”命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．一个等价关系互为逆否命题的两个命题的真假相同，对于难于判断的命题转化为其等价命题来判断．两种方法充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)集合法：记A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}．若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．考点自测1．(2012·)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π42．(2012·天津)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(课本习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )．A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝35．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件； ②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的必要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．考向一 四种命题及其关系【例1】►(2012·济南模拟)下列有关命题的说法正确的是( )．A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“∃x ∈R ，使得2x 2－1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有2x 2－1<0”D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题【训练1】 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．考向二 充分条件与必要条件的判断【例2】►(2013·江西省九校联考)已知a ，b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【训练2】 (2012·东北三校联合模拟)“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考向三 充要条件的探求【例3】►(2011·)设n ∈N *，二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n （ ）【训练3】 (2012·)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝－12B ．x ＝1C ．x ＝5D ．x ＝0► (2012·)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【试一试】 若a ，b 为实数，则“ab <1”是“0<a <1b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )．A ．若q ，则pB ．若非p ，则非qC ．若非q ，则非pD ．若p ，则非q2．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数3．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <04．A ＝{x |x －2>0}，B ＝{x |x <0}，C ＝{x |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·宝鸡质检)“m <14”是“二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 6．(2013·赣州模考)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④原命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．三、解答题(共25分)7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零．8．(13分)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·潍坊二模)下列说法中正确的是( )．A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．若函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3 C ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件2．(2013·潍坊一模)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )． A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·长沙模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(共25分)5．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.6．(13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且、或、非”考点梳理）1．简单的逻辑联结词命题中的“或”、“且”、“非”叫作逻辑联结词．2．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．(3)全称命题与特称命题①含有全称量词的命题叫全称命题． ②含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p 或q 的否定为：非p 且非q ； p 且q 的否定为：非p 或非q .一个逆用p ∧q 为真，p ，q 都为真．p ∨q 为真， p ，q 至少有一个为真．p ∨q 为假，两个都假．两点提醒(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．考点自测1．若p 是真命题，q 是假命题，则( )．A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．(2012·)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( )．A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13．若命题“∃x ∈R ，有x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．4．下列四个命题中，其中为真命题的是( )．A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝35．p ，q 是两个简单命题，那么“p ∧q 是假命题”是“p ∨q 是假命题”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】►已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧非q ”是假命题；③命题“非p ∨q ”是真命题；④命题“非p ∨非q ”是假命题．其中正确的是( )．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【训练1】 已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“ 非p ”形式的命题中，真命题有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个考向二 含有一个量词的命题的否定【例2】►(2012·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )．A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【训练2】 (2012·长安一中模拟)命题“∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．【例3】►下列命题中，真命题是( )．A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R)是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R)是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数【训练3】 (2012·太原模拟)下列命题中的假命题是( )．A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝3C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0► (2012·)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )．A ．p 为真B ． 非q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真【试一试】已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－12；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是()．A．p∧q B．p∨非q C．非p∧非q D．p∨q级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·北京朝阳二模)如果命题“p且q”是假命题，“綈q”也是假命题，则()．A．命题“非p或q”是假命题B．命题“p或q”是假命题C．命题“非p且q”是真命题D．命题“p且非q”是真命题2．(2013·延安模拟)已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()．A．非p：有的三角形不是等边三角形B．非p：有的三角形是不等边三角形C．非p：所有的三角形都是等边三角形D．非p：所有的三角形都不是等边三角形3．(2012·宝鸡质检)下列命题中的真命题是()．A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝32B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x4．(2013·潍坊模拟)已知命题p：∃a0∈R，曲线x2＋y2a0＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且非q”是假命题；③命题“非p或q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．其中正确的是()．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．6．(2012·南通调研)存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·广州二模)给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x<2”； ③对于∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x ＋1tan x≥2；④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2. 其中正确的为( )．A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④2．(2012·江西六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)二、填空题(每小题5分，共10分)3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．4．(2013·长沙调研)下列结论：①p ：∃x ∈R ，tan x ＝33； q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则 “p ∧非q ”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．三、解答题(共25分)5．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．.6．(13分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m－2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．小题专项集训（一）集合与常用逻辑用语一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2012·深圳调研)设全集U ＝{1,3,5,6,8}，A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则(∁U A )∩B ＝( )．A ．{6}B ．{5,8}C ．{6,8}D ．{5,6,8}2．(2012·)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )．A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q3．(2012·)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )．A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}4．(2013·河南重点中学联考)已知集合A ＝{圆}，B ＝{直线}，则A ∩B 为( )．A ．∅B ．单元素集C ．两个元素的集合D ．以上情况均有可能5．(2012·)设a ，b ∈R ，则“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－1)7．(2013·“江南十校”联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()．A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．非p为假命题D．非q为假命题8．(2012·济南模拟)若函数f(x)＝1－x的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B等于()．A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[0,1] D．[0,1)9．(2012·哈师大附中模拟)设x，y是两个实数，则命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()．A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>110．(2013·山西四校联考)下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2012·镇江调研)已知全集U＝R，集合A＝(－∞，0)，B＝{－1，－3，a}，若(∁U A)∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．12．(2013·孝感模拟)已知集合A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝________.13．(2012·苏北四市三调)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．14．(2013·龙岩质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－3)x＋4<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．15．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“綈p∧綈q”为真命题；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．真命题的序号是________．易失分点1集合中元素的特征认识不明【示例1】►已知集合M＝{x|y＝－x2＋3x}，N＝{x||x|>2}，则M∩N＝()．A．{x|1<x<3} B．{x|0<x<3} C．{x|2<x<3} D．{x|2<x≤3}易失分点2遗忘空集【示例2】►设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．易失分点3 忽视集合中元素的互异性【示例3】► 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的取值集合．易失分点4 充分必要条件颠倒致误【示例4】► 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 易失分点5 对含有量词的命题的否定不当【示例5】► 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )．A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0第一章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2010·)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A 等于( ) A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B ．(22，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 2．(2010·)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件3．(2010·南平一中期中)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则( )A ．非p ：∃x ∈R ，x <sin xB ．非p ：∀x ∈R ，x ≤sin xC ．非p ：∃x ∈R ，x ≤sin xD ．非p ：∀x ∈R ，x <sin x4．(2010·华南师大附中期中)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1,2,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．(2010·合肥一中期中)设集合M ＝{x |2x 2－2x <1}，N ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则( )A ．M ∪N ＝MB ．(∁R M )∩N ＝RC ．(∁R M )∩N ＝∅D ．M ∩N ＝M6．(2010·西安交大附中月考)下列命题错误的是( )A ．命题“若m ≤0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m >0”B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中必有一真一假D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥07．(2011·威海模拟)已知命题p ：无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等差数列，则点列{(n ，S n )}在一条抛物线上；命题q ：若实数m >1，则mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是( )A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1x 2>m 的解集为{x |x ≠0，x ∈R}；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)9．(2011·淮南月考)已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤0 B ．t ≥0 C ．t ≤－3 D ．t ≥－311．(2011·昆明模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．(2010·吉林实验中学高三月考)已知f (x )＝(12)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，( ) A ．p 是假命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1 B ．p 是假命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1C ．p 是真命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1D ．p 是真命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2010·济南一中期中)“lg x >lg y ”是“10x >10y ”的________条件．14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件．16．(2010·江苏苏北三市高三联考)若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，若3∈A ，求a 的值．18．(12分)(2011·铁岭月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围．19．(12分)(2011·温州模拟)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．(12分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．21．(14分)(2011·沈阳模拟)已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时满足BA ，A ∪C ＝A 的实数a 、b 是否存在？若存在，求出a 、b ；若不存在，请说明理纠错集训1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．设集合A ＝{x ||x －2|≤2，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝( )．A ．RB ．{x |x ∈R ，x ≠0}C ．{0}D ．∅3．若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2<5x －6，则非p 是非q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2,3，…)”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列命题的否定中真命题的个数是( )．①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R)无实根；②q ：存在 一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数；③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．36．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }＝B ，则x ＋y ＝________.7．已知集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a －b ＝________.8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥05－x ≥0，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，求实数p 的取值范围．9．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．。