平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高

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坐标轴中点坐标公式

坐标轴中点坐标公式

坐标轴中点坐标公式在二维平面上,我们经常会遇到需要确定某一点的坐标的情况。

坐标轴中点坐标公式就是一种用来确定坐标点的公式,它可以帮助我们准确地确定任意一点的坐标。

在直角坐标系中,我们通常用两条垂直的直线(坐标轴)来表示平面上的点。

其中一条直线称为x轴,另一条直线称为y轴。

两条直线的交点称为原点,坐标为(0,0)。

为了确定任意一点的坐标,我们需要用到坐标轴中点坐标公式。

该公式可以通过给定的一些条件计算出点的坐标。

对于一条线段AB,我们可以通过求线段的中点来确定该线段的中点坐标。

设A(x1, y1)和B(x2, y2)为线段的两个端点,其中x1、y1、x2、y2为已知的值。

线段AB的中点坐标为M(x, y)。

那么,根据坐标轴中点坐标公式,我们可以得到中点坐标M的计算公式如下:x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2这个公式的含义是将线段AB在x轴和y轴上的坐标分别相加,再除以2,得到线段中点M的坐标。

除了线段外,我们还可以通过给定的一些条件来确定其他几何图形的中点坐标。

例如,对于一个矩形ABCD,可以通过求矩形的对角线的交点来确定矩形的中点坐标。

设A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)、D(x4, y4)为矩形的四个顶点,其中x1、y1、x2、y2、x3、y3、x4、y4为已知的值。

矩形的对角线AC和BD交于点O,点O的坐标为(x, y)。

那么,根据坐标轴中点坐标公式,我们可以得到点O的计算公式如下:x = (x1 + x3) / 2y = (y1 + y3) / 2同样地,我们可以通过给定的一些条件来确定其他几何图形的中点坐标。

在实际应用中,坐标轴中点坐标公式可以用于解决各种问题。

例如,如果我们知道一个矩形的两个对角顶点的坐标,我们可以利用坐标轴中点坐标公式求出矩形的中心点坐标。

这个中心点坐标可以帮助我们确定矩形的位置和大小。

又如,如果我们知道一个三角形的三个顶点的坐标,我们可以利用坐标轴中点坐标公式求出三角形的重心坐标。

平面直角坐标系两点的中点坐标

平面直角坐标系两点的中点坐标

平面直角坐标系两点的中点坐标1. 引言大家好,今天咱们来聊聊一个有趣的话题,听起来可能有点学术,但其实很简单!我们要讨论的就是在平面直角坐标系里,两个点的中点坐标。

你可能会问,这有啥好聊的?我跟你说,挺有意思的!想象一下,假如你和朋友约好在某个地方见面,你们分别从不同的地方出发,怎么才能找到最中间的那一点呢?这就是我们要解决的问题啦。

2. 坐标系的基本概念2.1 什么是坐标系?首先,咱得明白什么是平面直角坐标系。

它就像一张大网,横着和竖着各有一条线,形成了一个个小格子。

横的线叫X轴,竖的线叫Y轴。

想象一下,你在一张地图上,坐标就是你找到某个地方的地址。

比如,你的家在(2, 3),那么你只需要先走2步横着,再走3步竖着,就能找到你的小窝啦。

2.2 点的表示而在这个坐标系里,每个点都用一对数字表示,第一个数字表示横坐标,第二个数字表示纵坐标。

就像给点起名字一样,简单明了。

比如,A点在(2, 3),B点在(4, 7),这两个点就像是两位朋友在街上等着,咱们的任务就是找到它们中间的地方。

3. 如何计算中点3.1 中点的公式好了,话不多说,咱们进入正题,如何找到这两个点的中点呢?其实,方法很简单!中点的坐标可以用以下的公式计算:如果A点的坐标是(x1, y1),B点的坐标是(x2, y2),那么中点M的坐标就是:Mleft(frac{x1+x2{2, frac{y1+y2{2right) 。

看吧,难不倒你吧?这就像在做一道简单的加法题,先把横坐标相加,再把纵坐标相加,最后各除以2,嘿,搞定!3.2 举个例子为了让大家更明白,我们来举个具体的例子。

假设A点在(2, 3),B点在(4, 7)。

根据刚才的公式,咱们先算横坐标:2 + 4 = 6,然后再除以2,得3。

接着算纵坐标:3 + 7 = 10,除以2,得5。

最后得出中点M的坐标就是(3, 5)。

是不是很简单?就像吃西瓜一样,爽快又带劲!4. 中点的意义4.1 实际应用那么,找到中点有什么用呢?你可能会想,除了找朋友,咱们还可以用这个知识做啥?其实,很多地方都能派上用场!比如,设计一条跑道,确保两端的跑者能够公平起跑;或者,在建筑设计中,找到两个角落的中心点,方便施工。

平面直角坐标系线段中点坐标公式

平面直角坐标系线段中点坐标公式

平面直角坐标系线段中点坐标公式1. 中点的魅力大家好,今天咱们聊聊一个看似简单但又挺重要的概念——中点!你说,中点是什么?其实,它就是连接两点之间的一条线段的“中间人”。

想象一下,你在公园里和朋友散步,走着走着,突然发现那条长长的走道把你俩给分开了,别担心,中点就像是那道美丽的彩虹,把你俩连接起来。

它的坐标就是线段两端坐标的平均数,就像两个朋友一块分享冰淇淋,甜甜的,一点也不争!2. 中点坐标公式2.1 公式的来历要说到中点的坐标公式,我们得先弄明白两个点。

假设你有两个点,A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。

那么,中点M的坐标就是用公式 M(x, y) 来表示的。

它的计算方法非常简单,x坐标是x₁和x₂的平均值,y坐标也是y₁和y₂的平均值。

换句话说,M的坐标就是:。

M(x, y) = (left(frac{x₁ + x₂{2, frac{y₁ + y₂{2right))。

简单吧?就像小孩子分享玩具一样,大家一起开心最重要。

2.2 公式的实际应用这个公式的用处可大了,生活中到处都能碰上它的身影!比如说,假设你在校园里和同学约好在操场见面,你们的位置分别在(2, 3)和(4, 5)。

用我们的中点公式一算,中点M的坐标就是:。

M(3, 4)这下,你俩就能在这个地方碰面,不用再东找西找,真是省时省力嘛!想象一下,你的生活就像一场大戏,中点就是那位调皮的小丑,负责让一切变得有趣和轻松。

3. 中点的趣味3.1 中点的几何意义中点不仅仅是数字的游戏,它还有深厚的几何背景。

想想看,一个线段的中点,实际上就是这个线段的“平衡点”。

在一个小朋友的天平上,如果一边放着苹果,另一边放着香蕉,只有在中间的那个点上,它们才能完美平衡。

这就是中点的魅力所在。

数学在我们身边,总是用最简单的方式告诉我们生活的真理。

3.2 生活中的应用而且,中点的概念在生活中还有很多实际应用!比如在建筑设计中,设计师常常需要找出某个结构的中心点,以确保一切都建得稳稳当当。

初中数学知识点学习课件PPT之平面直角坐标系中点的坐标知识点学习PPT

初中数学知识点学习课件PPT之平面直角坐标系中点的坐标知识点学习PPT
图(2)
【分步分析】①连接 <m></m> ,则 <m></m> ____ <m></m> , <m></m> ____ <m></m> ,在 <m></m> 中利用三角函数,可求得 <m></m> _____.②根据 <m></m> ,可求得点 <m></m> 的坐标为_____________.
30
30
2
(2) 如图(2),将 <m></m> 绕点 <m></m> 顺时针旋转得到 <m></m> ,当点 <m></m> 的对应点 <m></m> 落在线段 <m></m> 上时, <m></m> 的延长线经过点 <m></m> ,则点 <m></m> 的坐标为_ ____________.
0
0
象限角平分线上点的坐标特征
相反数
续表
到坐标轴距离相等的点的坐标特征
与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
相等
相等ห้องสมุดไป่ตู้


续表
3.点 到坐标轴及原点的距离(如图)
(1) 点 <m></m> 到 <m></m> 轴的距离是⑫____;
例 [2021河南中考改编] 的顶点 ( , ), ,点 在 轴的正半轴上,延长 交 轴于点 .

坐标系中中点公式

坐标系中中点公式

坐标系中中点公式
中点公式是初中数学中的一个重要公式,它可以用来求解坐标系中两点的中点坐标。

在坐标系中,每个点都有一个唯一的坐标,由横坐标和纵坐标组成。

两点的中点就是它们横坐标和纵坐标的平均值。

中点公式的表达式为:M(x,y)=(x1+x2÷2,y1+y2÷2),其中M 表示两点的中点,x和y分别表示中点的横坐标和纵坐标,x1和y1表示第一个点的横坐标和纵坐标,x2和y2表示第二个点的横坐标和纵坐标。

中点公式的应用非常广泛,它可以用来求解各种几何问题。

例如,在平面直角坐标系中,如果已知两个点的坐标,可以用中点公式求出它们的中点坐标。

如果已知一个点的坐标和它与另一个点的中点坐标,也可以用中点公式求出另一个点的坐标。

中点公式还可以用来求解线段的长度。

线段的长度就是它两个端点的距离,而两个点的距离可以用勾股定理求解。

因此,如果已知线段的两个端点的坐标,可以用中点公式求出它们的中点坐标,然后再用勾股定理求解线段的长度。

除了在几何问题中的应用,中点公式还可以用来求解物理问题。

例如,在匀速直线运动中,如果已知物体的起始位置和终止位置,可以用中点公式求出物体的中间位置。

这样就可以计算出物体在运动过程中的平均速度。

中点公式是一个非常实用的公式,它可以用来求解各种几何和物理问题。

在学习中点公式时,我们需要掌握它的表达式和应用方法,并且要多做练习,加深对它的理解和掌握。

平面直角坐标系中点的坐标计算

平面直角坐标系中点的坐标计算
点的坐标还可以用来解决一些物理问题,例如求物体的运动距离、 速度和加速度等。
点的坐标在信息科
06
学中的应用
数据可视化
数据可视化利用点 的坐标在平面直角 坐标系中展示数据, 帮助人们更好地理 解和分析数据。
数据可视化广泛应 用于信息科学领域, 如统计学、数据分 析、机器学习等。
数据可视化通过图 形、图表等形式展 示数据,使得数据 更加直观易懂,提 高数据分析和决策 的效率。
点的坐标在角度计算中 的应用:通过平面直角 坐标系中两直线的斜率, 可以计算两直线之间的 夹角。
点的坐标在定位问题 中的应用:在地理学、 航海学等领域中,点 的坐标常被用于确定 物体的位置。
点的坐标在几何图形中 的应用:在几何学中, 点的坐标常被用于描述 和计算几何图形的形状、 大小和位置。
面积和周长计算
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20XX.XX.XX
平面直角坐标系中点的坐标计 算
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汇报人:XX
目 录
01 平 面 直 角 坐 标 系 的 基 本 概 念
02 点 的 坐 标 计 算 方 法
03 点 的 坐 标 在 实 际 问 题 中 的 应 用

地理信息系统
定义:地理信息系统是一种用于处理、分析和显示地理数据的计算机系统。
应用领域:在地图制作、城市规划、资源管理、环境监测等领域广泛应用。
坐标系:地理信息系统采用平面直角坐标系,点的坐标计算是基础。 重要性:地理信息系统在现代社会中发挥着越来越重要的作用,为决策提 供科学依据。
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点的坐标在几 何图形面积计
算中的应用
点的坐标在多 边形周长计算

平面直角坐标系中的中点公式

平面直角坐标系中的中点公式

中点公式 的变式
在坐标平面内,两点 A(x1,y1),B(x2,y2) 与中点 M(x,y) 的坐标之间满足:
x1 2x x2, y1 2y y2
x2 2x x1 y2 2y y1
例2: 已知点M(-4,-5) 是线段AB的中点且点A(1,-2)求端点B 的坐标。
解:设B(x2,y2), 则 x2=2x-x1=2×(-4)-1=-9 y2=2y-y1=2×(-5)-(-2)=-8
-1),C(-2,5),求BC边上的中线AD 的长度。
1.直角坐标系的中点公式. 2.直角坐标系的中点公式变式.
x x1 x2 2
y y1 y2 . 2
x1 2x x2 y1 2y y2 x2 2x x1 y2 2y y1
3.公式的综合运用. (1)中点公式与变式公式的综合运用. (2)中点公式与距离公式的综合运用.
数轴上的中点公式一般地在数轴上ax1bx2的中点坐标mx满足关系式xx012341234ax1bx2mxxybaa1a2b2b1o过abm分别向x轴作垂线aa1bb1mm1垂足分别为a1b1m1
8.1.2平面直角坐标系中的
中点公式
直线


直线
2014.10.30
1、平面上两点间的距离公式
y
设点 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则
y
B2(y2)
(1)在x轴上,M1是A1B1的中点吗? B 它们的坐标有怎样的关系?
M2(y)
M
A2(y1)
A
(2)在y轴上,M2是A2B2的中点吗? 它们的坐标有怎样的关系?
(3)你能写出点 M 的坐标吗?
x
A1(x1) M1(x) B1(x2)
中点公式

平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高

平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高

坐标的应用(讲义)知识点睛平面直角坐标系知识回顾:1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线,当我们把两条数轴如图放置,就能构成平面直角坐标系;它们有共同的原点,水平方向的数轴我们叫x轴或横轴,铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴;2、我们用有序实数对(a,b)来表示平面直角坐标系内的坐标;数轴把平面直角坐标系分成四个部分,分别是第一象限,第二象限,第三象限,第四象限。

每一个象限内的符号:(﹢,﹢),(﹣,﹢),(﹣,﹣),(﹢,﹣);3、每一个点(a,b)的坐标由两部分组成:A、它的符号,由它在坐标系中的位置决定;B、它的长度,a的绝对值表示点到纵轴的距离,b的绝对值表示点到横轴的距离,一般需做横平竖直的垂线;4、关于x轴对称的两个点,x相同,y相反;关于y轴对称的两个点,x相反,y相同;关于原点对称的两个点,x、y都相反;于x轴平行的直线,y相同,x不同,可表示为y=b;于y轴平行的直线,x相同,y 不同;可表示为x=a;坐标系中求线段长的方法:如果两个点的连线平行于x轴或y轴,则其线段长等于大坐标-小坐标;如果不平行,则运用两点之间的距离公式:;5、牢记中点坐标公式:121222,x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭6、平面直角坐标系中坐标的处理原则:A、过点做平行于x轴、y轴的垂线;B、坐标转线段长,线段长转坐标;4)点的存在性问题:3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标:;4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标:.精讲精练1. 如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A(-1,0),B(0,4),顶点C,D在第二象限内,则C,D两点的坐标分别是_______,_______.(分别过C、D两点构造双垂直模型,正方形四边均相等,因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。

)在平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(-2,-3),B (5,-2),C(2,4),D(-2,2),求四边形ABCD的周长和面积.(构造直角三角形,将坐标转化为线段长,利用勾股定理求出各边长即可;将此四边形补成正方形,通过“补形以做差”,利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

练习
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距 离相等.
y
B (0,b)
a b M( , ) 2 2
o C (0,0)
x A(a,0)
本节课总结:
1.两点间的距离公式 一、知识点: 2.中点坐标公式 1.求两点间的距离 二、题型: 2.应用距离关系研究几何性质 3.中点公式与中心对称
{ {
三、数学思想方法:

1.特殊到一般 2.方程与化归的思想 3.坐标法(几何与代数的转化)
x 2 35 2 2 y2 02M
C(5,2)
A(-3,0)
O
解得
x=0
x B(2,-2)
∴D(0,4)
y=4
【例3】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标.
变式:
已知□的三个顶点(-3,0),(2,-2),(5,2),
的最小值为 13
例5.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条 对角线的平方和. 证明:以A为原点,AB为x轴 第一步 :建立坐 y (a+b,c) D (b,c) C 建立直角坐标系. 标系,用坐标表 则四个顶点坐标分别为 示有关的量. A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 2 2 x | AB | a | CD |2 a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | (b a关代数运算 ) c | AC | (a b) c
求第四个顶点的坐标.
(0,4),
(-6,-4),
(10,0)

中点坐标公式是什么

中点坐标公式是什么

中点坐标公式是什么要求中点坐标公式,可以利用两点的坐标分别与中点的坐标进行关系的推导和计算。

推导过程如下:设M是线段AB的中点,则AM的长度等于BM的长度,即AM=BM。

利用坐标的距离公式可以表示为:√[(x-x1)²+(y-y1)²]=√[(x-x2)²+(y-y2)²]为了简化计算,可以对上式两边进行平方运算,得到:[(x-x1)²+(y-y1)²]=[(x-x2)²+(y-y2)²展开、整理后得到:(x-x1)²+(y-y1)²=(x-x2)²+(y-y2)²进一步展开可得:x²-2x1x+x1²+y²-2y1y+y1²=x²-2x2x+x2²+y²-2y2y+y2²将变量项移项,并合并同类项,可得:-2x1x+x1²-2y1y+y1²=-2x2x+x2²-2y2y+y2²整理得到:x1²-x2²-2x1x+2x2x+y1²-y2²-2y1y+2y2y=0对于x的项,进行合并整理得到:x1²-x2²-2x1x+2x2x=0-2x1x+2x2x=x2²-x1²2x(x2-x1)=x2²-x1²x=(x2²-x1²)/(2(x2-x1))对于y的项,进行合并整理得到:y1²-y2²-2y1y+2y2y=0-2y1y+2y2y=y2²-y1²2y(y2-y1)=y2²-y1²y=(y2²-y1²)/(2(y2-y1))综合得到中点坐标公式为:x=(x2²-x1²)/(2(x2-x1))y=(y2²-y1²)/(2(y2-y1))这个公式可以用于求解任意两点之间的中点坐标。

平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高.doc

平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高.doc

平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高..坐标的应用(讲义)知识点睛平面直角坐标系知识回顾:1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线,当我们把两条数轴如图放置,就能构成平面直角坐标系;它们有共同的原点,水平方向的数轴我们叫x轴或横轴,铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴;2、我们用有序实数对(a,b)来表示平面直角坐标系内的坐标;数轴把平面直角坐标系分成四个部分,分别是第一象限,第二象限,第三象限,第四象限。

每一个象限内的符号:(﹢,﹢),(﹣,﹢),(﹣,﹣),(﹢,﹣);3、每一个点(a,b)的坐标由两部分组成:A、它的符号,由它在坐标系中的位置决定;B、它的长度,a的绝对值表示点到纵轴的距离,b的绝对值表示点到横轴的距离,一般需做横平竖直的垂线;4、关于x轴对称的两个点,x相同,y相反;关于y轴对称的两个点,x相反,y相同;关于原点对称的两个点,x、y都相反;于x轴平行的直线,y相同,x不同,可表示为y=b;于y轴平行的直线,x相同,y不同;可表示为x=a;坐标系中求线段长的方法:如果两个点的连线平行于x轴或y轴,则其线段长等于大坐标-小坐标;如果不平行,则运用两点之间的距离公式:L=;5、牢记中点坐标公式:6、平面直角坐标系中坐标的处理原则:A、过点做平行于x轴、y轴的垂线;B、坐标转线段长,线段长转坐标;4) 点的存在性问题:3 平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标:;4 等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标:.精讲精练 1. 如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A(-1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线,当我们把两条数轴如图放置,就能构成平面直角坐标系;它们有共同的原点,水平方向的数轴我们叫x轴或横轴,铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴;2、我们用有序实数对(a,b)来表示平面直角坐标系内的坐标;数轴把平面直角坐标系分成四个部分,分别是第一象限,第二象限,第三象限,第四象限。

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式在平面直角坐标系中,有两个常用的公式,分别是距离公式和中点公式。

这些公式用于计算平面上两点之间的距离和两点的中点坐标。

1.距离公式:在平面直角坐标系中,两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。

假设有平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2),则两点之间的距离为:d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过将两点的坐标差值平方相加,再开平方来计算出两点之间的距离。

例如,有两个点A(2,3)和B(5,7),我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离:d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此,点A和点B之间的距离为5个单位。

2.中点公式:在平面直角坐标系中,给定两个点A(x1,y1)和B(x2,y2),可以使用中点公式来计算这两点的中点坐标。

中点是连接两个点的线段的中心点,它的坐标可以通过坐标平均值来计算。

中点坐标的x坐标为两个点的x坐标之和的一半;中点坐标的y坐标为两个点的y坐标之和的一半。

中点的x坐标:x=(x1+x2)/2中点的y坐标:y=(y1+y2)/2例如,给定两个点A(2,3)和B(5,7),我们可以使用中点公式来计算它们之间的中点坐标:x=(2+5)/2=7/2=3.5y=(3+7)/2=10/2=5因此,点A和点B之间的中点坐标为P(3.5,5)。

中点公式可以用于计算线段的中点坐标,并且在几何学和数学中经常被使用。

距离公式和中点公式在平面直角坐标系中具有广泛的应用。

它们可以用于解决几何问题,例如计算两点之间的距离或线段的中点。

另外,它们也可以扩展到三维坐标系中,并用于计算空间中两点之间的距离和中点坐标。

除了在数学和几何学中的应用,距离公式和中点公式在计算机图形学和计算机视觉等领域也有重要的应用。

在这些领域中,这些公式用于计算物体之间的距离、图像边界的中点等。

坐标系中的中点公式

坐标系中的中点公式

坐标系中的中点公式在我们学习数学的旅程中,坐标系可是个超级重要的“小伙伴”。

而在坐标系里,有一个非常实用的小工具,那就是中点公式。

还记得我当年读高中的时候,有一次数学考试,就碰到了一道和中点公式有关的难题。

那道题是这样的:在平面直角坐标系中,已知点A(2, 5)和点 B(6, 9),求线段 AB 的中点坐标。

当时我心里就想:“嘿,这可难不倒我!”我赶紧拿起笔,按照中点公式开始计算。

中点公式其实特别简单,就是横坐标相加除以 2,纵坐标相加除以 2 。

所以这道题中,中点的横坐标就是 (2 + 6)÷ 2 = 4,纵坐标就是 (5 + 9)÷ 2 = 7 ,所以中点坐标就是 (4, 7) 。

做完这道题,我心里那叫一个美,感觉自己像是掌握了数学世界的一把小钥匙。

咱们来说说中点公式到底是啥。

比如说,在平面直角坐标系中,有两个点 M(x₁, y₁) 和 N(x₂, y₂) ,那么它们连线的中点坐标 P 就是((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2) 。

这个公式看起来好像有点复杂,但其实用起来特别顺手。

假设我们有两个点 A(1, 2) 和 B(3, 4) ,按照中点公式,中点的横坐标就是 (1 + 3)÷ 2 = 2 ,纵坐标就是 (2 + 4)÷ 2 = 3 ,所以中点就是 (2, 3) 。

再比如说,有两个点 C(-1, -2) 和 D(5, 6) ,那中点的横坐标就是 (-1+ 5)÷ 2 = 2 ,纵坐标就是 (-2 + 6)÷ 2 = 2 ,中点就是 (2, 2) 。

中点公式在很多地方都能派上用场呢!比如在几何图形中,如果要找一个三角形的中线的中点,或者平行四边形对角线的交点,中点公式就能大显身手啦。

还有一次,我们在做一个数学小组作业,要研究一个四边形的性质。

其中就需要找到相邻两边的中点,然后连线观察特点。

这时候,中点公式就帮了大忙。

平面直角坐标系中点与坐标的计算方法教案

平面直角坐标系中点与坐标的计算方法教案

平面直角坐标系中点与坐标的计算方法教案。

一、直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中,假设有两个垂直的坐标轴,分别标记为x 轴和y轴。

x轴和y轴的交点被称为原点,用(0,0)表示。

我们可以通过在x轴和y轴上的标记确定其他点的位置。

一个点的坐标由其x轴和y轴的距离决定。

在坐标系中,我们通常用有序对(x, y)表示点的位置,其中,x表示x轴上的坐标,y表示y轴上的坐标。

二、点的中点的计算方法在平面直角坐标系中,两个点之间的中点可以用以下公式来计算:M = ((x1 + x2)/2,(y1 + y2)/2)其中,M表示两点之间的中点,(x1, y1)表示第一个点的坐标,(x2, y2)表示第二个点的坐标。

教案:1.导入(5分钟)a.引入知识点:平面直角坐标系中点的计算方法b.说明教学目标:学生能够掌握平面直角坐标系中点的计算方法2. 讲解(25分钟)a.介绍直角坐标系的概念,包括坐标轴、原点、点的坐标等b.详细讲解点的中点的计算方法,说明公式的含义和意义,并通过示范让学生掌握公式的应用3. 练习(20分钟)a.让学生自己通过给出的点的坐标,来计算它们之间的中点b.老师逐一检查学生的计算结果,并指出错误之处,帮助学生理解4. 拓展(10分钟)a.扩充知识点,介绍点的对称轴的概念以及计算方法b.演示实例,巩固学生对点的对称轴的理解5. 总结(5分钟)a.对本节课所学知识点进行概括b.帮助学生能够掌握平面直角坐标系中点与坐标的计算方法以上为平面直角坐标系中点与坐标的计算方法的教案内容,教学过程中,需要根据学生的实际情况进行调整。

同时,老师在上课时需要注意及时对学生的问题进行解答和指导,确保学生掌握了相关知识点。

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坐标的应用(讲义)知识点睛平面直角坐标系知识回顾:1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线,当我们把两条数轴如图放置,就能构成平面直角坐标系;它们有共同的原点,水平方向的数轴我们叫x轴或横轴,铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴;2、我们用有序实数对(a,b)来表示平面直角坐标系内的坐标;数轴把平面直角坐标系分成四个部分,分别是第一象限,第二象限,第三象限,第四象限。

每一个象限内的符号:(﹢,﹢),(﹣,﹢),(﹣,﹣),(﹢,﹣);3、每一个点(a,b)的坐标由两部分组成:A、它的符号,由它在坐标系中的位置决定;B、它的长度,a的绝对值表示点到纵轴的距离,b 的绝对值表示点到横轴的距离,一般需做横平竖直的垂线;4、关于x轴对称的两个点,x相同,y相反;关于y轴对称的两个点,x相反,y相同;关于原点对称的两个点,x、y都相反;于x轴平行的直线,y相同,x不同,可表示为y=b;于y轴平行的直线,x相同,y 不同;可表示为x=a;坐标系中求线段长的方法:如果两个点的连线平行于x轴或y轴,则其线段长等于大坐标-小坐标;如果不平行,则运用两点之间的距离公式:5、牢记中点坐标公式:121222,x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭6、平面直角坐标系中坐标的处理原则:A、过点做平行于x轴、y轴的垂线;B、坐标转线段长,线段长转坐标;4)点的存在性问题:3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标:;4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标:.精讲精练1. 如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A(-1,0),B(0,4),顶点C,D在第二象限内,则C,D两点的坐标分别是_______,_______.(分别过C、D两点构造双垂直模型,正方形四边均相等,因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。

)在平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(-2,-3),B (5,-2),C(2,4),D(-2,2),求四边形ABCD的周长和面积.(构造直角三角形,将坐标转化为线段长,利用勾股定理求出各边长即可;将此四边形补成正方形,通过“补形以做差”,利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。

)9. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(3,0),C(3,4)三点.(1)求△ABC 的面积. (2)如果在第二象限内有一点P (m ,12),是否存在点P ,使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.总结提升:1、此题需将坐标转化为线段长,方法是:如果两个点的连线平行于x 轴或y 轴,则其线段长等于大坐标-小坐标;如果不平行,则运用两点之间的距离公式:L=;2、平面直角坐标系中,我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。

比如此题就可以OA 为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。

18. 如图,在平面直角坐标系中,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),取线段AB的中点M ,分别作A ,B 到x 轴的垂线段AE ,BF ,取EF 的中点N ,则MN 是梯形AEFB 的中位线,故MN ⊥x 轴,利用梯形中位线的知识,我们可以得到点M 的坐标是____________(用x 1,y 1,x 2,y 2表示).(牢记中点坐标公式)已知点M (-4,2),将坐标系向下平移3个单位长度,再向左平移3个单位长度,则点M 在新坐标系内的坐标为______.(总结提升:牢记点的平移和坐标系的平移不同;坐标系的平移相当于把点向反方向平移;)34. 如图,35. 将△ABC 绕点C (0,36. -1)旋转180°得到△A ′B ′C ,37. 设点A 的坐标38. 为(a ,39. b ),40. 则点A ′的坐标41. 为( )A .(-a ,-b )B .(-a ,-b -1)C .(-a ,-b +1)D .(-a ,-b -2)(总结提升:由于旋转180°,根据旋转的性质,对应点到旋转中心的距离相等,且又在一条直线上,所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。

)42. 如图,已知A (0),B (0,2),把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO ′B ′,则点B ′的坐标是( ) A .(4,B .(4)C .3) D .(+2,(总结提升:首先把坐标转化为线段长,可以得出三角形AOB 是一个含有30°角的直角三角形,又由于旋转角是60°,所以A B ′垂直于横轴,再把线段长转化为坐标即可。

)50. 如图,在平面直角坐标系中,已知A (4,1),B (0,3),请在x 轴上找一点P ,使得点P 到点A ,B 两点距离之和最小,则点P 的坐标是_________.(总结提升:这是一个典型的奶站问题,做点B 关于横轴的对称点,连接此对称点和A 点,于横轴的交点就是所求的点。

求出直线的表达式,然后求出和横轴的交点即可。

)62. 如图,把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,其中A (2,0),B (2,,连接OB ,将纸片OABC 沿OB 折叠,使点A 落在A ′的位置上,则点A ′的坐标为________.总结提升:欲求点A′的坐标,我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点;根据折叠的轴对称性质,折叠是一种全等变换,则∠BOA=∠BO A′=60°,则∠A′OG也=60°,则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形,根据三边关系比,可求出相应线段的长,然后转化为点的坐标即可。

74. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,A点坐标为(0,2),E是线段BC上一点,且∠AEB=60°,沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________.(总结提升:此题道理同上,我们过F点做横轴的平行线,与BC相交与点H;根据折叠的轴对称性质,∠BEA=∠AEF=60°,则角FEH=60°,我们构造的是一个含有30°角的直角三角形,根据其三边关系比,分别求出三边的长度,然后用2-BH即是F的纵坐标,2-HF的相反数就是F的横坐标。

)86. 已知A(-2,0),B(3,0),C(0,-1),以A,B,C三点为顶点作平行四边形,则第四个顶点的坐标为:_____________________.总结提升:1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。

常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线,以便不重不漏,由于在平面直角坐标系中,我们选择横轴或纵轴上的线段,以方便计算;2、若以AB为边,根据平行四边形的对边平行且相等,我们过点C做AB的平行线,则有两种情况,分别过两个D点做此平行线的垂线,则可以构造两个小直角三角形,与相应的三角形对应全等,借助于其三边的关系即可求出点D的坐标;3、若以AB为对角线,根据平行四边形的对边平行且相等,分别做两边的平行线相交与D点即可,然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。

97. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,-2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P坐标为:_____________________.(总结提升:这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。

我们常用的处理模式是:“一条线,两个圆”,也就是先做定线段OA的垂直平分线,与纵轴的交点即是其中的一个点,然后分别以两个定点为圆心,定长线段为半径画圆,与纵轴的交点即是其他的点。

当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。

)如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(6,0),C(0,2),点M是OA的中点,点P在线段BC上运动,当△OMP是腰长为3的等腰三角形时,则P点的坐标为:_____________________.总结提升:1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型,我们先判断谁是定点,谁是动点,然后按照“一条线、两个圆”的模型解题;2、由于此题的特殊性,一条线不再使用,我们只考虑分别以两个定点为圆心,定长线段为半径做圆,然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线,构造直角三角形,运用勾股定理解题即可。

总共三个点。

113. 如图,方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置分别用(2,2),(4,3)来表示,请在小方格的顶点上确定一点C,连接AB,AC,BC,使△ABC的面积为2个平方单位,则点C的位置有__个.总结提升:1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置;2、由于A、B两点是定点,而C是动点,我们先随意确定一个C点的位置,使得由此构成的三角形的面积是2;3、根据平行线间的距离处处相等,为此我们过确定的C的位置做线段AB 的平行线,这条平行线上的格点即是我们所求的点;4、同时在线段AB的另一侧,也一定存在着另一条等距离的平行线,我们再看看有几个格点,两项相加,即是全部的点。

三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1.①坐标转线段长,线段长转坐标;②过点作横平竖直的线.2.①平移线段②一线两圆二、精讲精练1.(-4,5),(-5,1)2.5,65 23.(1)6;(2)存在,(-3,1 2)4.121222,x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭5.(-1,5)6.D7.B 8.(3,0)9.(-110.(-1,2)11.(1,1),(5,-1),(-5,-1)12.(0,,(0,-2),(0,-,(0,-4)13.2),(2),(2)14.7坐标的应用(随堂测试)1.如图,平面直角坐标系中有一矩形OABC,其中A(0),C(0,4),若将△AOB沿OB所在直线翻折,点A落在点D处,则D点的坐标是________.2.如图,在平面直角坐标系中,其中A(2,0),∠ABO=30°,在y轴上取一点P,使△PAB是等腰三角形,则符合条件的点P坐标为_______________.【参考答案】1.(6)2.(0,4+),(0,),(0,4-+,(0,-坐标的应用(作业)4.在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为(2,3),(5,-2),(-2,0),求△ABC的周长和面积.(分割以求和,补形以作差)10.如图,已知A(0,4),B(2,0),把线段AB绕点A逆时针旋转90°,点B落在点B′处,则点B′的坐标是()A.(6,4) B.(4,6) C.(6,5) D.(5,6)(构造双垂直模型解题即可)15.如图,图形关于点D(0,-2)成中心对称,若点A的坐标是(2,3),则点M的坐标为.(运用中点坐标公式解题即可)4),点P为线段BC上动点,当△POA为等腰三角形时,点P的坐标.为:47.把△ABC放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,则点D的坐标为:_____________________.(总结提升:由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB,因此此题实质上是一个轴对称性质的题;由于AB平行于横轴,所以我们以AB 为折痕,把原三角形翻折过去,对应的点就是D点的一个位置;再做出线段AB的垂直平分线,以之为折痕,把原三角形再翻折过去,对应点则是另一个D点的位置。

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