04-2.抛物面PPT

g = Zi
与平面z = Z1 (z1 v 0)不相
交.
+ 2q =z
二、椭圆抛物面
(2 )用坐标面xoz (y = 0)与曲面相截 截得抛物线［X2 = 2P' I y = o
与平面y =凹的交线为抛物线.
[2 ( y2)
X2 = 2 p z
一丄
I 2q
丿
它的轴平行于z轴
顶点(。，诚)
22
xy
+ =z
x2 — y2 = z 2 x2 — 3 y2 = z
2 p 2q
用截痕法讨论：
设>
p 0
>
0, q
图形如下：
y
截痕法研究抛物面:
用平行于坐标面的平面去截抛物面，观察截痕 的形状 大小，然后综合考察曲面的形状特征。
常见的抛物面方程： z = x 2 + 2 y 2 z = —2 x2 — 3 y2
z = x 2 + y 2 2 — z = 2 x 2 + 3 y2
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之. 相应地 平面被称为一次曲面.
讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,
考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合, 从而了解曲面的全貌.
椭圆抛物面
x2 y 2 每+ 2q =」「与q同号）
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设p > 0, q > 0
2 p 2q
二、椭圆抛物面
(3 )用坐标面 yoz (x = 0), X = X］与曲面相
截 均可得抛物线.
同理当p V 0, q V 0时可类似讨论.
22
xy
+ =z
2 p 2q
椭圆抛物面的图形如下:
例如:
p > 0, q > 0 z = 2 x1 + 3 y1
特殊地：当p=0时，方程变为
如：z=x2+y2
22
xy +-
=z (P >0)旋转抛物面
2p 2p
(由xo面上的抛物线z = x2绕它的轴旋转而成的)
= > 与平x 面+ zy = 2 zPZ11 (当Z1Zi变动0)的时交，线这为种圆圆.的中心都在z轴上. < [z = zi
三■双曲抛物面（马鞍面）
Байду номын сангаас
-:+2 y2 =七（p与q同号）例如：X2 - y2 =七
22
J = 例如：「+ z z x2+2y 2 z=2 x2+3 y 2
(1 )用坐标面xoy (z = 0)与曲面相截
截得一点，即坐标原点。(0,0,0) 原点
也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面z = Z1 (z1 > 0)的交线为椭圆. 22
S
X-
2pz1
+八=1
2qz1
当Zi变动时，这种椭圆的 中心都在Z轴上.