第9章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系．(最重要) d r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式

Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧

>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离

2．圆与圆的位置关系

设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)

概念方法微思考

1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．

2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？

提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．

1．（2020•新课标Ⅱ）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) A B C D 【答案】B

【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(,)a a ，则半径为a ，0a >． 故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1)代入，求得5a =或1， 故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．

故圆心到直线230x y --=

的距离d =

或d ==；

故选B ．

2．（2020•新课标Ⅰ）已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B

【解析】由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =；

设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D

的直线与圆的相交弦长||AB =，

当d 最大时弦长||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d

最大，这时||d CD ==，

所以最小的弦长||2AB ==， 故选B ．

3．（2020•新课标Ⅰ）已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB 最小时，直线AB 的方程为( ) A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=

【答案】D

【解析】化圆M 为22(1)(1)4x y -+-=， 圆心(1,1)M ，半径2r =．

1

222

PAM PAMB S PM AB S PA AM PA ∆=

⋅==⋅==四边形 ∴要使||||PM AB 最小，则需||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直．

直线PM 的方程为11(1)2y x -=-，即11

22

y x =+，

联立1122220

y x x y ⎧

=+⎪⎨⎪++=⎩，解得(1,0)P -．

则以PM 为直径的圆的方程为2215()24

x y +-=．

联立2222

2220

10x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩

，相减可得直线AB 的方程为210x y ++=． 故选D ．

4．（2019•全国）若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则(a = ) A ．13 B ．5

C ．5-

D ．13-

【解析】根据题意，圆2260x y x a +-+=即22(3)9x y a -+=-，

其圆心为(3,0)，半径r =

若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则圆的半径532r =-=，

2， 解可得：5a =； 故选B ．

5．（2018•新课标Ⅲ）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )

A ．[2，6]

B ．[4，8]

C ．

D ．

【答案】A

【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，

∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，

(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||AB =，

点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴设(2P θ+)θ，

∴点P 到直线20x y ++=的距离：

|2sin()4|

d π

θ++==，

sin()[1

4

π

θ+∈-，1]，|2sin()4|

d π

θ+

+∴=

，

ABP ∴∆面积的取值范围是：

1

[2⨯，1

[22

⨯=，6]． 故选A ．

6．（2020•天津）已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点．若||6AB =，则r 的值为__________． 【答案】5

【解析】根据题意，圆222x y r +=的圆心为(0,0)，半径为r ；

则圆心到直线80x +=的距离4

d =，

若||6AB =，则有222

||()169252

AB r d =+=+=，