一元函数的积分学及其应用 习题课

一般规律如下：当被积函数中含有
(1) a2 x2 可令x a sin t;
(2) a2 x2 (3) x2 a2
可令x a tant; 可令x a sec t.
常用的基本公式表
(14) tan xdx ln cosx C; (15) cotxdx ln sin x C;
(16) sec xdx ln sec x tan x C;
12） sec x tan xdx sec x C ；
13） csc x cot xdx csc x C ．
直接积分法 利用不定积分的运算性质和积分基本公式，
直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数 进行恒等变形
例
求不定积分
1 x
x2 x
dx
．
解
1 x2
dx
(1
x2
)x
上述公式称为第二类换元积分公式．
例1 求
1 dx (a 0). x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t
2
,
2
x
1 2
a
2
dx
a
1 sec
t
a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x a
说明 三角代换的目的是化掉根式.
（ 3 ） 当 分 母 Q(x) 含 有 质 因 式 x2 px q
（
p2
4q
0 ）时，这时分解式中相应有一项
Ax B x2 px
q
．
3）部分分式的四种形式
二、定积分
1.定积分的概念和性质
1）定积分问题举例
•曲边梯形 设函数yf(x)在
区间[a, b]上非负、连 续. 由直线xa、xb、 y0及曲线yf (x)所围 成的图形称为曲边梯 形, 其中曲线弧称为 曲边.
7） cos xdx sin x C ；
8）
sec2 xdx
1 c os2
x
dx
tan
x
C
；
9）
csc2
xdx
1 sin 2
dx x
cot
x
C
；
10）
1 dx arcsin x C arccos x C
1 x2
；
1
11） 1 x 2 dx arctanx C arc cot x C ；
2. 牛顿-莱布尼茨公式
1）变限积分函数
(x)
f (t)dt f ((x))(x) f ((x))(x)
(x)
3. 定积分的积分方法
1）定积分的换元积分法
“换元必换限，上限对上限， 下限对下限，配元不换限”
“偶倍奇零”
2）定积分的分部积分法
设函数 u(x),v(x) 在[a, b] 上有连续导数，则
2
d
(
x a
)
1 arctan a
x a
C
．
常见的凑微分形式有：
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax b)d (ax
b)
x n f (x n1 )dx 1 n 1
f ( x n1 )dx n1 ；
f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x
e x f (e x )dx f (e x )dex ；
(22)
a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C;
2
a2
4. 不定积分的分部积分法
分部积分公式
1. uvdx uv vudx 2. udv uv vdu
“反对幂指三，前u后dv”
1)有理函数的积分法
通过三个步骤将有理函数化为多项式和简单分式
之和，再进行积分：
(17) cscxdx ln cscx cot x C;
(18)
1 dx 1 arctan x C;
a2 x2 a
a
(19)
x2
1
a
2
dx
1 2a
ln
xa xa
C;
(20)
1 dx arcsin x C; (21)
a2 x2
a
1 dx ln x x2 a2 C. x2 a2
用待定系数法将有理真分式 Q(x) 化为简单分式
之和．
（1）当分母Q(x) 含有单因式 x a 时，这时分解
式中对应有一项
x
A a
，其中
A
是待定系数．
（2）当分母Q(x) 含有重因式 (x a)n 时，这时分解
式中对应有 n 个项的和为
x
A1 a
(x
A2 a)2
L
(x
An a)n
，其中 Ai 是待定系数．
(x)dx
0
(ab).
•推论 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
•性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及 最小值, 则
•性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 , 使下式成立
——积分中值公式.
（1）若 Px 是假分式，用综合除法把它表示为
Qx
P Q
x x
=W
(x)
P1 Q
x x
，
其中W (x) 是多项式， P1 x 是真分式．
Q x
（2）把分母 Q(x) 分解为一次和二次质因子式乘积； （3）把真分式化为简单分式之和，用待定系数法 求出各待定常数．
2)化有理真分式为部分分式
P(x)
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2 设函数 f (x) 的原函数存在， k 为非零常数，则
kf ( x)dx k f ( x)dx
性质3 [ f (x)dx] f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx .
性质4 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C .
b
u(x)v(x)dx
a
u(x)v(x)
|ba
b
v(x)u(x)dx
a
b
u(x)dv(x)
a
u(x)v(x)
|ba
b
a v(x)du(x) ．
以上两式称为定积分的分部积分公式．
例 计算 ln 2 xex dx ． 0
解
ln 2 xex dx
0
ln 2 xd (ex )
0
xe x
3 2
dx
3
x 2 dx
1
x 2 dx
xx
1
1 3
x 2
3
1 1
1 1
x2
C
．
1
1
2
2
1
2x 2
2
3
x2
C
3
3. 不定积分的换元积分法
1)第一类换元积分法（凑微分法） 定理 设函数 f (u) 存在原函数 F(u) ，u (x) 可
导，则有公式
f [(x)](x)dx f (u)du F[(x)] C
y 误差 f (x)
s1 s2
s3
O 1 x1 2 x2 3
x
S S1 S2 S3
分割越细 误差越小
y
f (x)
s1 s2 s3 s4 s5 s6
O x1 x2 x3 x4 x5
x
S S1 S2 L S6
2）定积分的概念 设 y = f (x) 在 [a, b] 上有界，若
（1）对 [a, b] 任一种分划
1 x2
f
(arctanx)d
arctanx
．
2)第二类换元积分法（变量代换法） 定 理 设 函 数 x (t) 单 调 可 导 ， 并 且 (t) 0 ， 且
f [ (t )] (t 存) 在原函数 F(t) ，则有公式：
f (x)dx f [(t)](t)dt F[1(x)] C
上述公式称为不定积分的第一类换元积分公式．
例 1 求下列积分
（1）
dx
a 2 x2 (a 0) ；
dx
(2) x2 a2 ．
解
dx
11
1
x
x
(1)
dx
d ( ) arcsin C
a2 x2
1 ( x)2 a
1 ( x)2 a
a
a
a
（2）
dx x2 a2
1 a
1
1 x a
2. 不定积分直接积分法
不定积分的基本公式
1） kdx kx C （ k 是常数）；
2）
x dx x 1 C
1
（ 1是常数）；
3）
1dx x
ln
|
x
|
C
；
4）
a x dx
ax ln a
C
(a
0,
a
1) ；
5) e x dx e x C ；
6） sin xdx cos x C ；
令
（2） 任取
,若
存在,
则称此极限为函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分,
记作
[a, b] —积分区间 —积分上限
—积分和
Biblioteka Baidu
—积分下限
b
f (x)d x
a
n
= lim 0
f ( i )Δ xi
i1
—被积函数 —积分变量 —被积表达式
定积分的几何意义:
b
f ( x) 0, a f ( x) dx S ——曲边梯形面积
一元函数的积分
一、不定积分 二、定积分 三、广义积分
一、不定积分
1. 不定积分的概念和性质
1)原函数与不定积分的概念
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
2)不定积分的性质
性质1 设函数 f ( x)及 g(x)的原函数存在，则
b
f ( x) 0, a f ( x) dx S ——曲边梯形面积的负值
y
A1
a
O A2
y f (x)
A3
A4
A5 bx
b
a f ( x) dx A1 A2 A3 A4 A5
1）定积分性质
•性质1 •性质2
•性质3
•性质4
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
b
a
f
|ln 2 0
ln 2 e x dx
0
xe x
|
ln 0
2
e x
|l0n 2
ln 2 e ln 2 e ln 2 1 1 ln 2 1 1 1 (1 ln 2)
2
2
2
1 ln e ．
22
三、反常积分
1.无穷积分
2.瑕积分
1）平面域的面积：
2）旋转体的体积
3）弧长的计算
1 x
f
(ln
x)dx
f
(ln
x)d
ln
x
1
f
(tan x)
c os2
dx x
f
(tan x)d
tan
x；
f
(c ot x)
1 sin 2
dx x
f
(c ot x)d
cot x
；
f (arcsin x)
1 dx
1 x2
f (arcsin x)d arcsin x ；
f
1 (arctanx) dx