材料力学 第七章 弯曲应力

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秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力

秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力
危险点发 生在什么 位置?
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
14
7.1 弯曲正应力
弯曲正应力公式
各种型钢的Iz、Wz值均可以从附录的型钢规格表中查到。
常用截面:矩形截面
bh 3 Iz 12
y max
h 2
bh 2 Wz 6
h
b
对于直径为D的实心圆形截面
πD Iz 64
4
ymax
C

z
M
z
C

拉 y y
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 8
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
(2)静力平衡关系 由平面假设,横截面上只有正应力σ。纯弯曲情况下,梁横 截面上的内力只有Mz=M,轴力和 My等其他内力均为零,则
dA 0
A
中性轴
z dA 0
A
由这3个静力平衡方

y

与y成正比,沿截面高
度线性变化。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
ρ为中性层曲率半径
10
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
(4)物性关系
y 将 代入物性关系,得: y E E
可见,梁横截面上的弯曲正应力 (normal stress in bending) 与y成正比, 即 (1)沿截面高度线性分布; (2)在中性层处为零,在上、下表面 处最大。

My Iz
—弯曲正应力公式
此公式适用于所有横截面具有纵向对称轴的梁,如圆形截 面、工字形截面和T形截面。 由公式: 正比于y。 沿高度线性分布。 中性轴处=0。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 13

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

无论是强度分析还是刚度分析,都需要求出应力的极值, 无论是强度分析还是刚度分析,都需要求出应力的极值,为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向, 到构件内最大应力的位置和方向,需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合,称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合,称为一点的 研究一点的应力状态时, 应力状态 。研究一点的应力状态时,往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定: 主应力符号按代数值的大小规定:
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =

σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0

材料力学——弯曲应力

材料力学——弯曲应力

公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看: 点离开中性轴越远,该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比; 沿截面高度 线性分布; b、沿截面宽度 均匀分布; c、正弯矩作用下, 上压下拉; d、危险点的位置, 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa,C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面: max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
(5)结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ,空心圆截面 的内外径之比 一倍,比值不变,则载荷 q 可增加到多大? q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式

材料力学课件第七章变曲应力(土木专业)

材料力学课件第七章变曲应力(土木专业)
3
46470 10 8 m 4
a
y
z
138.6 106 Pa =138.6 MPa
第七章
弯曲应力
[例2] 试求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知
Iz = 7.64×106 mm4、 y1 = 52 mm、y2 = 88 mm。
解: 1)画弯矩图
梁的最大正弯矩发生
在截面 C 上,最大负弯 矩发生在截面 B 上,分
对称弯曲
对称截面梁,在纵向对称面承受横向 外力时的受力与变形形式-对称弯曲
第七章
弯曲应力
弯 曲 试 验
第七章
试验现象
弯曲应力
(纯弯与正弯矩作用)
横线为直线, 仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵 线伸长 纵线伸长区,截面宽度减小 纵线缩短区, 截面宽度增大 弯曲假设 横截面变形后保持平面,仍与纵线正交-弯曲平面假设 各纵向“纤维”处于单向受力状态-单向受力假设
第七章
7.1 概 述
弯曲应力
F
C
a
F
D
a
B
弯曲正应力只与弯矩有关,故 通过纯弯曲梁来研究弯曲正应力.
FS
A
纯弯曲: 梁的剪力恒为零, 弯矩为常量。
F
x
F
x
M
Fa
第七章
弯曲应力
纯弯曲
第七章
弯曲应力
.2 弯曲应力
弯曲正应力
弯曲应力
梁弯曲时横截面上的
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的
A ydA M
yC ydA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)

材料力学第七章弯曲剪应力

材料力学第七章弯曲剪应力
腹板负担了截面上的绝大部分剪力,翼缘负担了 截面上的大部分弯矩。
对于标准工字钢梁:
t max
*
F SS zmax Izb
FS
b
Iz
/
S* Z max
在翼板上:
FN I
A* sⅠdA
My dA
I A* z
FN
M Iz
ydA
A*
M Iz
Sz*
FN II
A* (s Ⅱ)dA
(M dM )
即:M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论:
t
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS
h2 (
y2)
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
用剪应力为[τ],求螺栓的最小直径?
解:叠梁承载时,每
F
梁都有自己的中性层
L
FS
F
-FL
M
h 2
1.梁的最大正应力:
h 2
b
s max
1 2
M
max
W
其中:
W
b( h )2 2
bh2
6 24
s max
M max 2W
12FL bh2

材料力学第七章 应力状态

材料力学第七章 应力状态

主平面的方位:
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系: max 与切应力的交点同象限
例题:一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa, xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求(1)a 斜面上的应力; (2)主应力、主平面; (3)绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解:(1)a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下,任意两个垂直面上,其σ的和为一常数。
在二向应力状态下,任意两个垂直面上,其σ 的和为
一常数。
证明: a
x y

材料力学-7-应力状态分析

材料力学-7-应力状态分析

7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法

第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p=- 2 τ
xy
x y
主平面(principal plane):切应力q=0的方向面,用 qp表示。 主应力(principal stress):主平面上的正应力。 主方向(principal directions):主平面法线方向,用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是:
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力; 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力,并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力:危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力,或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件

弯曲应力-材料力学

弯曲应力-材料力学

弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理,弯曲应力 的计算公式为:σ=M/Wz,其中σ为 弯曲应力,M为弯曲力矩,Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外,根据不同的弯曲形式和受力情 况,还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力,如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理,弯曲应力 的计算公式为:σ=M/Wz,其中σ为 弯曲应力,M为弯曲力矩,Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形,影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响,材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中,剪切应力会在材料截面的边缘产 生,它与弯曲应力相互作用,影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力,而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量,从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大,向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用,影响梁的承载能 力和稳定性,在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中,剪切应力会在材料截面的边缘产 生,它与弯曲应力相互作用,影响梁的承载能力 和稳定性。

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)分析

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)分析
A
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
A
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积( y为对称轴)
A
M z y dA M
A
Байду номын сангаас
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
2)中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3)最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形:
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆:
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
1.正应力
My

第七章-弯曲应力(1) (2)

第七章-弯曲应力(1) (2)
y
M
z

Q
横截面上内力 横截面上切应力

横截面上正应力
Q dA
A
M y dA
A
切应力和正应力的分布函数不知道,2个方程确定不了
切应力无穷个未知数、正应力无穷个未知数,实质是 超静定问题 解决之前,先简化受力状态 —— 理想模型方法
8
横力弯曲与纯弯曲 横力弯曲 ——
剪力Q不为零 ( Bending by transverse force ) 例如AC, DB段
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
拉应力
a
e
压应力
y1
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点:
a, b, d
33
(3)计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa (拉) M B y1 b Iz
70 MPa (压)
压应力 B截面
b
d
强度问题 弯曲问题的整个分析过程: 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形 刚度问题
5
本章主要内容
7.1 弯曲正应力 7.2 弯曲正应力强度条件 7.3 弯曲切应力及强度条件 7.4 弯曲中心 7.5 提高弯曲强度的一些措施
这一堂课先效仿前人,探求出来弯曲正应力
公式,然后解决弯曲正应力强度问题
6
知道公式会用,不知推导,行不行?不行。
2
解:1 画 M 图求有关弯矩
qLx qx M1 ( ) 2 2
2
2
x 1
60kNm
M max qL / 8 67.5kNm

材料力学第七章知识点总结

材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的:找出一点处沿不同方向应力的变化
规律,确定出最大应力,从而全面考虑构件破坏的原因,建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态,可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力;
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致; 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x

−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos

0
⎤ ⎥

=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面,分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D

材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算

材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算

(1)矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用,工字形截
z
面更合理。
(2)为降低重量,可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择:
为了比较各种截面的合理性,以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z, A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下,可由平衡直接确定横截面上的 切应力,而无须应用“平衡,变形协调和物性 关系”。
(一)矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法(截面法):ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开,
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长,必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度,这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
(一)变形几何关系:
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前:l bb dx d
变形后:l1 bb
( y)d
伸长量:ll1l (y)d dx
线应变: l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7.1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS

材料力学 第七章 应力状态与强度理论

材料力学 第七章 应力状态与强度理论

取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2

cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2

x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
(1)求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下(只就主应力状态说明) 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为:
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析

材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析

M
1.平面假设: 梁各个横截面变形后仍保持为平面,并仍垂直于变形 后的轴线,横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设: 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时,凹面部分纵向纤维缩短,凸面 部分纵向纤维伸长,必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度,这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见:压应力强度条件由B截面控制,拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B :
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注:强度校核(选截面、荷载) ( 1) ( 2)
[ ]t [ ]c (等截面)只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c (等截面)
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况,具体分析,一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%,可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图,已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa,许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求,确定T字形梁 横截面的尺寸d ,并校核梁的强度 。

第七章弯曲应力(讲稿)材料力学同济

第七章弯曲应力(讲稿)材料力学同济

第七章弯曲应力一、教学目标和教学内容一、教学目标⑴把握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导进程,明白得推导中所作的大体假设。

⑵明白得横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。

⑶把握中性层、中性轴和翘曲等大体概念和含义。

⑷把握各类形状截面梁(矩形、圆形、圆环形、工字形)横截面上切应力的散布和计算。

⑸熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的成立和相应的计算。

⑹了解什么情形下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。

⑺从弯曲强度条件动身,把握提高弯曲强度的假设干方法。

⑻明白得等强度梁的概念。

⑼确信薄壁杆件切应力流的方向。

⑽明白得弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性,把握确信弯曲中心的方式。

二、教学内容⑴梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力⑵梁横力弯曲时横截面上的切应力⑶提高弯曲强度的假设干方法、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。

二、重点难点⑴重点:纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。

横力弯曲横截面上正应力的计算,最大拉应力和最大压应力的计算。

弯曲的强度计算。

弯曲横截面上的剪应力。

重点处置:从弯曲变形的特点动身,让学生了解两个应力的散布规律,并对两个应力的散布进行对照,增强学生明白得和经历。

分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方式,结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练。

难点:弯曲正应力、剪应力推导进程和弯曲中心的概念。

难点处置: 结合梁弯曲变形的特点,推导两个应力公式,在推导中,充分利用前面的知识,发挥学生的主动性,让学生自己选择解决方式,增强学生对内容的把握。

对照A N=σ,pt I M =τ的推导消化难点,以学生明白得这一推导思路。

结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲明白得弯曲中心。

三、教学方式采纳启发式教学,通过提问,引导学生试探,让学生回答下列问题。

四、建议学时 8学时 五、实施学时 六、讲课提纲一、几个大体概念 ⑴平面弯曲和弯曲中心变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情形,称为平面弯曲。

材料力学-07-应力分析和强度理论

材料力学-07-应力分析和强度理论

§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法: 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法: 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面, 由上式可以确定出两个相互垂直的平面,分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以,最大和最小正应力分别为: 所以,最大和最小正应力分别为:
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物, 单元体——构件内的点的代表物,是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上,应力均布; 单元体的性质——1) 平行面上,应力均布; —— 2) 平行面上,应力相等。 平行面上,应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2

材料力学07弯曲应力ppt课件

材料力学07弯曲应力ppt课件
分离部分 ——平衡分析……
x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解: M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述

-F
Q
Fa

M
CD段:只有弯矩没有剪力- 纯弯曲
AC和BD段:既有弯矩又有剪力- 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ,
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例 题
例 6-1 已知:梁用№18 工字钢制成, Me=20 kN•m, E=200 GPa。计算:最大弯曲正应力smax, 梁轴曲率半径 r
解:1. 工字钢 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 (GB 706-88) №18 工字钢:
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 10 m
3. 最大弯曲正应力
s t,max
s c,max
M B yC 30.5 MPa Iz M B ( b d yC ) 64.5 MPa Iz
例 3 已知:钢带厚d=2mm, 宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算:带内的 smax 与 M 解:1. 问题分析
纯弯曲
F
F
A B
横力弯曲
D C
剪力图
弯矩图
几个基本概念
s
内力的起因 t • 弯矩——横截面上正应力的合力偶,此时, 正应力称为弯曲正应力 • 剪力——横截面上切应力的合力,此时,切 应力称为弯曲切应力 梁弯曲的应力特征 ■ 纯弯曲——横截面上仅存在正应力 ■ 横力弯曲——横截面上不仅有正应力,而 且还存在切应力
r
ymax
s max
1.0 10 3 m 2 y E max 285 MPa r
EI z
d
max
ymax
r
0.0014 10-6
3. 弯矩计算
M r EI z 1 E bd 3 1.141 N m M r 12 r
4. 讨论 若带厚 d=10 mm,
例题1
例 对图示的阶梯形变截面圆直梁校核强度
已知 d1=100mm,d2=120mm,P =30 kN, l1=600mm,l2=800mm,[s ]=100 Mpa。
解 支座反力: FAy=FDy=P/2 =15 kN
P
d1 E d2
FAy
FDy
A
l1
B
l2
C
l1
D
画出弯矩图:关于荷 载P对称,且为折线。 AB(CD)段上的最大 弯矩MB =MC =9 kN· m, 位于截面B和C。 BC段上的最大弯矩 Mmax=ME=15 kN· m,位 于截面E
2 0.045 m
bd 3 d I z1 bd ( yC ) 2 3.02 10-6 m4 12 2
db 3 b Iz2 db(d - y c ) 2 5.82 10-6 m 4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.84 106 m4
横截面上的正应力
研究梁横截面上应力的分布,必须从 几何(变形)、物理(本构)和静力学( 平衡)三方面进行综合分析 下面依次分析梁纯弯曲时,这三个方 面的特征
变形几何关系
横截面上的正应力
变形几何关系 纯弯曲试验及变形观察(表)
– 纵向线aa,oo ,bb变为弧线a´a´ , o´o´ , b´b´ – a´a´ < aa , oo = o´o´, bb<b´b´ – 横向线mm, nn 仍然为直线,并且 垂直于a´a´ , o´o´,b´b´ – 矩形截面上部变宽,下部变窄
例 题
例 6-2 已知:F=15kN, l=400mm, b=120mm, d=20mm 计算:截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
解:1. 弯矩计算
M B Fl 6000 N m
2. 惯性矩计算 d b bd db(d )
yC 2 bd db
惯性矩、极惯性矩
y
z
I y z dA
2 A
dA
I z y dA
2 A
A
O
r
y
z
I P r dA
2 A
IP I y Iz
惯性矩、惯性半径
y
z
iy
dA
y
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
O
z
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
已知:圆截面直径d 求:Iy, Iz, IP
I yz 0
ydA 0,
A
yz dA 0,
A
E
r
2 y dA M A
中性轴z的确定
S z y dA 0
A
横截面关于z轴的静矩为零, 即z 轴为截面的形心轴
I yz yzdA 0
A
横截面关于y、z 轴的惯性 积为零。 y、z 轴为主轴 中性轴通过横截面形心,并垂 直于纵向对称轴y
4
3
I z 1.66 105 m4
Wz 1.85 104 m3
Me=20 kN•m,E=200 GPa,求 smax 与 r
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m
s max
M 108.1 MPa Wz
3. 变形计算
M r EI z
1
EI z r 166 m M
第七章 弯曲应力
重庆大学生物工程学院
回顾
s
Fs M
t
上一章任务:合力 横截面上整体情况
本章任务:分力
横截面上每一点情况
几个基本概念
• 横力弯曲——横截面上 既存在弯矩,又存在横 向剪力的梁的弯曲,称为 横力弯曲 • 纯弯曲——横截面上仅 存在弯矩的梁的弯曲 图示简直梁中 BC 段为纯弯曲 AB,CD段为横力弯曲
y
dA
dr
解:取圆环微元面积
r
C
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y Iz r 2 dA 2 2 A
4 1 d π d 2 2 r 2πr dr 2 0 64
d
d I p 2I y 32
4
组合图形的惯性矩
(1)选参考坐标系oyz,确定形心 y轴肯定是形心主轴 y是对称轴 o’ o z zc
b b bb ( r y )dq dx ( r y )dq rdq y dx rd q r bb
' '
横截面上的正应力
2、物理关系 由于纵向纤维 仅受拉伸或压缩, 于是在正应力不超 过比例极限时,根 据胡克定理,有
即对给定的横截面,其上 任一点的正应力与该点到 中性轴的距离成正比
s E E
y
r
横截面上的正 应力
3、静力学关系
FN s dA 0,
A
代入
M y zs dA 0,
A
s E E
y
r
目前未解决问题:
M z ys dA M
A
得到
①z轴-中性轴where?
ydA 0,
A
yz dA 0,
A
E
r
2 ②r?与弯矩有何关系? y d A M A
横截面上的正应力
• 变形假设
1、弯曲变形的平面假设 变形后,横截面仍保持 为平面,并且仍与弯曲 后的纵向线正交,各截 面间作相对转动。
横截面上的正应力
2、弯曲变形的单向受力假定 所有与轴线平行的纵向纤 维处于轴向拉伸或轴向压 缩,纤维之间不受力 梁中纵向纤维长度不变 的过渡层称为中性层。 中性层和横截面的交线 称为中性轴
z
S y zdA, S z ydA
A A
y
dA z
A
形心公式
Sz yc , zc A A S z yc A, S y zc A
坐标原点过形心C
Sy
y
S z 0, S y 0
附录:截面图形的几何性质

惯性积
z
y
dA
z
A
I yz yzdA,
A
y
若图形有对称轴,则坐标轴含对称轴时
已知钢带变形,求 钢带应力与内力 应力~变形关系:
s E
y
r
s max E
ymax
r
内力~变形关系:
M r EI z
1
带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa,求 smax 与 M 2. 应力计算
s max E
ymax
r
D d 0.701 m 2 2
从而确定形心坐标为
yc=Sz/A, zc= Sy/A=0
组合图形的静矩 Sz=SAiyi , Sy=SAi zi y =yc
(yi , zi)每个图形形心在参考坐标系下oyz坐标
组合图形的惯性矩
(2)组合图形的惯性矩 o z1
Iyc=SIyci= Iy
Izc=? 平行轴公式
o’
Izc=SIzci+di2Ai)
M s y Iz
s max
My max Iz
I 令 Wz z ——抗弯截面系数,则 ymax M 抗弯截面系数综合反映了横 s max 截面形状和尺寸对弯曲正应 Wz
力的影响。
附录:截面图形的几何性质
• 惯性矩
I y z dA,
2 A
I z y dA,
2 A
z
y
dA
My I z max
正应力强度条件
• 对于塑性材料,由于其抗拉和抗压许用 应力相同,梁的弯曲正应力强度条件为 smax [s ] 对于脆性材料,由于其抗拉和抗压许用应 力不相同,梁的弯曲正应力强度条件为 s max [s ] s max [s ]
2
zc
惯性矩平行轴定理:
I z y dA ( y0 a ) dA
2Hale Waihona Puke A Ay z z0 y a b y0 dA z0 z A y0 y
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