二元一次方程组难题技巧整理版

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解二元一次方程组的常见方法与技巧

解二元一次方程组的常见方法与技巧解二元一次方程组是代数学中的基本概念之一。

在学习代数学的过程中，我们常常会遇到需要解决二元一次方程组的问题。

本文将介绍解二元一次方程组的常见方法与技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

1. 直接代入法直接代入法是解二元一次方程组最简单直接的方法之一。

当方程组中的一元系数非常容易消除时，我们可以使用直接代入法解决方程组。

以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：```2x + y = 5x - y = 1```我们可以将第二个方程中的 x 表达式替换到第一个方程中，即将 x - y 的 x 表达式替换为 1 - y，得到：```2(1 - y) + y = 5```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。

2. 消元法消元法是解二元一次方程组最常用的方法之一。

当方程组中的一元系数相等或相差一个常数时，我们可以使用消元法求解方程组。

以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：```2x + 3y = 74x - y = -3```我们可以通过将两个方程相加或相减，消去一个变量的系数。

若我们将第一个方程乘以 2 后与第二个方程相减，则可以消去 x 的系数，得到：```6y = 17```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。

3. 代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。

当方程组中的一元系数不易消去时，我们可以使用代入法求解方程组。

以方程组为例，假设我们需要解决以下方程组：x + 2y = 43x - 2y = 1```我们可以通过将一个方程中的一个变量表达式替换到另一个方程中，得到一个只包含一个变量的方程。

例如，我们将第一个方程中的 x 表达式替换到第二个方程中，即将 x 的表达式替换为 4 - 2y，得到：```3(4 - 2y) - 2y = 1```通过简化方程，我们可以得到 y 的值，并将其代入到另一个方程中求解 x 的值。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、知识点归纳在代数学中，二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的。

通常表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。

1. 方程组解的类型二元一次方程组的解可以分为以下三种类型：a) 有唯一解：方程组中的两个方程可以通过消元法或代入法得到唯一解。

b) 无解：方程组中的两个方程无法通过消元法或代入法得到一致的解，此时方程组为矛盾方程组。

c) 无穷解：方程组中的两个方程可以通过消元法或代入法得到多个解，此时方程组为同解方程组。

2. 消元法消元法是求解二元一次方程组的常用方法，它的基本思路是通过变换方程式，将两个方程中的一个未知数消去，从而得到只含有一个未知数的方程，再通过代入法求解。

以下是消元法的步骤：a) 将两个方程中的同一未知数系数相等，若系数不等，则可通过乘法变换，使其相等；b) 将两个方程式相减，将其中一个未知数消去，得到只含有另一个未知数的方程；c) 求解得到该未知数的值；d) 将求得的未知数的值带入其中一个方程，求解得到另一个未知数的值。

3. 代入法代入法也是求解二元一次方程组的有效方法，它的基本思路是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，再将其代入另一个方程进行求解。

以下是代入法的步骤：a) 选择一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，比如设x = g(y)；b) 将该式子代入另一个方程，得到只含有一个未知数的方程；c) 求解得到该未知数的值；d) 将求得的未知数的值带入其中一个方程，求解得到另一个未知数的值。

二、解题技巧1. 观察方程组特征：通过观察方程组的系数和常数项，判断方程组的解类型。

当系数和常数项满足某种特定条件时，可以直接判断方程组的解类型，避免不必要的计算。

例如，当两个方程的系数比例相同，而常数项不同时，方程组无解；当两个方程的系数和常数项都相等，方程组有无穷解。

二元一次方程实际问题(难题)

二元一次方程实际问题(难题)二元一次方程是数学中常见的一种形式，也是很多实际问题中的重要数学工具之一。

本文将讨论几个二元一次方程实际问题难题，并通过解决问题的方法来加深对这种方程的理解。

难题1：两人捐款的问题问题描述：小明和小张一起为一所学校捐款。

小明捐了300元，小张捐了150元。

他们的捐款总数是450元。

如果另外一个人也和他们一起捐款，那么这个人至少要捐多少钱？解决办法：假设第三个人捐x元钱，则根据题目描述，我们可以列出如下的二元一次方程：300 + 150 + x = 450将其简化为标准形式：x = 450 - 300 - 150计算可得第三个人至少要捐100元。

难题2：两条直线的交点问题问题描述：已知两条直线的方程分别为y = 3x - 1和y = -2x + 5，请问它们在哪个点相交？解决办法：将两条直线的方程转化为标准形式：y - 3x = -1y + 2x = 5将其表示成增广矩阵形式并进行初等行变换，可得：[ 1 -3 | -1 ][ 1 2 | 5 ]再进行高斯消元，得到：[ 1 0 | 2 ][ 0 1 | 1 ]因此，两条直线在点(2, 1)相交。

难题3：矩形的面积问题问题描述：一个矩形的长和宽分别为x和y，它的面积为42平方米。

如果把长和宽都增加3米，它的面积就会增加27平方米。

请问这个矩形的长和宽各是多少？解决办法：根据题目描述，可以列出如下的二元一次方程组：xy = 42(x + 3)(y + 3) = 42 + 27将后一个方程式展开可得：xy + 3x + 3y + 9 = 69xy + 3x + 3y - 27 = 0将第二个式子变形并代入第一个式子，可得：xy + 3(x + y - 9) = 0因为xy不为0，所以可以除掉，得到：x + y - 9 = 0将其代入第一个方程，可得：x(9 - x) = 42解这个方程可得：x = 6y = 3所以这个矩形的长和宽分别为6米和3米。

二元一次方程组--难题技巧(整理版)

二元一次方程组技巧攻略典型例题分析(1）（2）（3）（4）361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩ (5）()1232111x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩ （6)()()9185232032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩（7)7231x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩ （7）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+504060z x z y y x (9）1. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+，则当a = 时，方程为一元一次方程；当a = 时，方程为二元一次方程.2。

求二元一次方程3220x y +=的:⑴所有正整数解；⑵一组分数解;⑶一组负数解.3。

如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是（）A 。

49a c += B. 29a c += C. 49a c -= D 。

29a c -=4。

已知方程组由于甲看错方程①中的a 得方程组解31x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错方程②中b 得方程组解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a b 、计算,求原方程组的解。

5、已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ) A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩6。

如果()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等，则k 的值是（） A 。

1 B.0 C 。

2 D. 2-7、如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = 。

8、若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= 。

9、已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则()()a b a b +-的值是 .10、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数，a 是正整数，求a 的值.11、足球比赛记分规则：胜一场得三分，平一场得一分,负一场得零分。

总结解二元一次方程组的方法与技巧

总结解二元一次方程组的方法与技巧解二元一次方程组是初中数学课程中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。

在学习解二元一次方程组的过程中，我们需要熟练掌握一系列的解题方法和技巧。

本文将总结解二元一次方程组的方法与技巧，并带你深入了解解题过程。

一、方法一：代入法代入法是解二元一次方程组中最常用的方法之一。

其基本思路是将一个方程中的一个变量表示出来，然后带入另一个方程中进行求解。

以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x + y = 7{ x - y = 1解法：首先，将第二个方程稍微变形，得到x = y + 1。

然后，将这一表达式代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 7。

化简后得到3y = 5，进而解得y = 5/3。

将y的值代入x = y + 1中，可求得x = 8/3。

因此，方程组的解为{x = 8/3，y = 5/3}。

二、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。

它的核心思想是通过加减乘除操作，将方程组化成较简单的形式，进而求解未知数。

以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x - 3y = 8{ 3x + 2y = 17解法：首先，将两个方程的系数对应乘上合适的常数，使得两个方程的x的系数相等或者y的系数相等。

这里我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到如下方程组：{ 4x - 6y = 16{ 9x + 6y = 51然后，将第二个方程减去第一个方程，得到13x = 35。

进而解得x = 35/13。

将x的值代入第一个方程中，可求得y = -4/13。

因此，方程组的解为{x = 35/13，y = -4/13}。

三、技巧一：消元法的选择在应用消元法解题时，我们可以通过合理的选择消元顺序，简化计算过程。

一般来说，我们应选择将系数较小的方程乘以合适的常数，使其与系数较大的方程的系数相等。

这样可以避免出现过大的计算结果，提高解题效率。

四、技巧二：检验解的合理性在解二元一次方程组后，我们需要检验解的合理性，以验证求得的解是否正确。

精品-二元一次方程组难题集

二元一次方程组
1．已知：方程组⎩⎨⎧=+=+11
35y x m y x 的解是正整数，试求整数m 的值。

2．试问当a 为何值时，关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-++=+3
)1(2212y a x a y ax 无解.
3．三个质因数（均为正数）的积恰好等于它们的和的11倍，试求这三个因数的和。

4．若⎪⎩⎪⎨⎧-=-==312z y x ，是方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=--=--k z y x mz y nx z ny mx 52327，的解，试计算k n m 372+-的值.
5．两个凸多边形的边数之和为12,它们的对角线的条数之和为19,试确定这两个多边形的边数.
6．已知:关于x 、y 的方程组⎩
⎨⎧=+=-7462y x ay x 的解是整数，试求所有满足条件的整数a 的和.
7．已知：取值在60-到30-之间的整数m ，使得关于x 、y 的方程组 ⎩⎨⎧=---=-m
y x y x 73532有整数解，试求m 的取值及y x +2的值。

8．已知正整数a 、b 使得b a 2940420+为完全平方数，试求b a +的最小值。

9．已知关于x ，y 的方程组
分别求出当a 为何值时,方程组(1)有唯一一组解；(2）无解;(3)有无穷多组解．
10．将式子5232-+x x 写成c 1)b(x 1)a(x 2++++的形式，试求
11．解下列方程组：
（1）
（2）
(3）
（4）。

二元一次方程组求解题技巧

二元一次方程组求解题技巧解二元一次方程组的方法有多种，可以通过代入法、消元法、等价变形法等进行求解。

下面我将简要介绍一些解二元一次方程组的基本技巧。

1. 代入法：代入法是最直观也最简单的一种求解二元一次方程组的方法。

具体做法是将其中一个方程中的一个变量用另一个方程中的一个变量表示出来，然后将代入到另一个方程中进行求解。

例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)选取第一个方程中的x或y作为参数，将其代入到第二个方程中可以得到：4x - (7-2x)/3 = 1解方程得到x的值，然后将x的值代入到第一个方程中即可得到y的值。

2. 消元法：消元法是通过消去一个变量，将二元一次方程组化成只含有一个变量的一元一次方程，从而求解出另一个变量的值。

具体做法是通过适当的加减或乘除运算使得两个方程的系数相等或相差一个常数倍，然后两个方程相减或相加消去一个变量。

例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)将第二个方程乘以2，得到：8x - 2y = 2 ----(3)将(1)与(3)相减，即可消去变量x，然后求解y的值。

将y的值代入到任一方程中，即可求解出x的值。

3. 等价变形法：等价变形法是通过对方程组进行合理的变形，使得方程形式更简化或更容易代入相互消去，从而得到方程组的解。

具体做法是通过合并同类项，移项以及对方程进行等号互换等方式使方程组求解更方便。

例如，给定方程组：2x + 3y = 7 ----(1)4x - y = 1 ----(2)将方程(1)乘以2，得到：4x + 6y = 14 ----(4)将(4)和(2)相加，得到：10y = 15解方程可以得到y的值，然后将y的值代入到方程(1)或(2)中求解出x的值。

总结：解二元一次方程组可以灵活运用代入法、消元法和等价变形法等多种方法。

在运用时需要根据具体的方程组形式和求解的需要选择合适的方法。

二元一次方程组的解法

二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。

解决二元一次方程组的问题是解决两个未知数之间关系的常见数学问题之一。

本文将介绍几种常用的解法。

方法一：代入法代入法是解决二元一次方程组的常用方法之一。

假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用代入法解决该方程组：1. 将方程一解出其中一个未知数，例如将方程一解出 x：x = (c - by) / a2. 将 x 的值代入方程二，得到：d * ((c - by) / a) + ey = f3. 将方程二化简，整理未知数 y 的项：(bc - b^2y) / a + ey = f4. 合并同类项，整理为关于 y 的一元一次方程：(be + a) * y = af - bc5. 解一元一次方程得到 y 的值。

6. 将 y 的值代入方程一中，解出 x 的值。

这样，我们就得到了方程组的解。

方法二：消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。

假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用消元法解决该方程组：1. 将方程一的两边乘以 e，方程二的两边乘以 b，得到：aex + bey = cebdx + bey = bf2. 将以上两个方程相减，消去未知数 y：(aex - bdx) + bey - bey = ce - bf3. 合并同类项，化简为关于 x 的一元一次方程：(ae - bd) * x = ce - bf4. 解一元一次方程得到 x 的值。

5. 将 x 的值代入方程一或方程二中，解出 y 的值。

这样，我们也得到了方程组的解。

方法三：克拉默法则克拉默法则是解决二元一次方程组的另一种解法。

假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用克拉默法则解决该方程组：1. 计算方程组的系数行列式 D：D = |a b||d e|2. 计算 x 的系数行列式 Dx：Dx = |c b||f e|3. 计算 y 的系数行列式 Dy：Dy = |a c||d f|4. 计算 x 和 y 的值：x = Dx / Dy = Dy / D这样，我们也得到了方程组的解。

二元一次方程组(难点、考点、易错点)

DSE 金牌数学专题系列二元一次方程组(难点、考点、易错点)一、导入:讲个故事：“从前有个太监…………………………”有人耐不住问：“下面呢？”继续讲故事：“下面？没了啊……”一、知识点回顾（一）二元一次方程组1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. （二）二元一次方程组的实际应用列方程组解应用题的常见类型主要有：１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.二、专题讲解专题一错题分析【误解】A或D．【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．【正解】C．把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有无数组解．【正解】由式②得x=8-3y③把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，解得x=-103. 所以【例3】解方程组【错解】方程①- ②得：－3y=0，所以y=0，把y=0，代入②得x=－2，所以原方程组的解为【分析】在①- ②时出错.【正解】①- ②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）x－2y－x＋y＝4－y=4 y=－4把y=－4代入②得x=－6，所以原方程组的解为【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？错解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.所以答:晚会上男生3人，女生5人.【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把③代入④,得x=［2（x-1）－1－1］，解得x=12.把x=12代入④，得y=21.所以答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.【例5】解方程组【错解】方程①＋②得：2x=4，原方程组的解是：x=2【错因分析】错解只求出了一个未知数x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.【正解】（接上）将x=2带入②得：y=0.所以原方程组的解为【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.【例6】解方程组【错解】由式①得y=2x-19 ③把式③代入式②得2（2x－19－【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误．【正解一】化简原方程组得【正解二】化简原方程组得①×6+②得17x=114，【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．专题二思维点拨【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额. 所需６角邮票的总票额等于单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积. 同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系.第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.由图可知最主要的数量关系是：所需邮资=所需邮票的总票额.第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目. 第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8. 第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.【思考与解】第一步：找数量关系. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数. Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.第二步：找出最主要的数量关系，构建等式. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.第三步：找出未知量和已知量. 已知量是：胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.第四步：设元，列方程组. 设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，根据题中数量关系可列出方程组：第五步：答：Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.【例３】用加减法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.解：①＋②，得４x=8.解得x=2.把x=2代入①，得2+2y=3.解得y=.所以，原方程组的解为：【思考与分析】经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程①×2再与方程②作差消去x较好.解：①×２，得4x-6y=16. ③②－③，得11y=-22.解得y=-2.把y=-2代入①，得２x-3×（-2）＝８. 解得x=1.所以原方程组的解为【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.本题中，方程②的系数比较简单，应该将方程②进行变形.如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去x比较简单.只要将方程②两边乘以2 ，然后将两方程相减即可消去x.解法1：由②得x=8-2y.③把③代入①得2（8-2y）+5y=21，解得y=5.把y=5代入③得x=-2.所以原方程组的解为：解法2：②×2得2x+4y=16. ③①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.把y=5代入②得x=-2.所以原方程组的解为【小结】我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题，原则上要以计算简便为依据.【例6】用代入法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现方程①为用y表示x的形式，故将①代入②，消去x.解：把①代入②，得３（y+3）-8y=14.解得y=-1.把y=-1代入①，得x=2.所以原方程组的解为【例7】用代入法解方程组【思考与分析】经观察比较，我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择①变形，消去y.解：由①，得y=2x-5. ③把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得x=2.把x=2代入③，得y=-1.所以原方程组的解为：【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.解法一：直接设法.设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了100－90＝10（台），而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台.根据题意，得答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.解法二：间接设法.设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.根据题意，得所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，y×（110％-1）＝40×10％＝4.答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得化简得从起点到终点所用的时间为所以出发时间为：17－10＝7.即早晨7点出发.答：要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发.【例10】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）【思考与分析】设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.专题三竞赛数学【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k 的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式. 然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解：设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数. 依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是０或５，所以2x个位上数应为３或８.又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：由得x+y=12；由得x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少.答：付款方式有３种，分别是：付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【例3】解方程组【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由①，得y=4－mx，③把③代入②，得2x+5（4－mx）=8，解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，即m＝时，方程无解，则原方程组无解.当2－5m≠0，即m≠时，方程解为将代入③，得故当m≠时，原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则①时，原方程组有惟一解；②时，原方程组有无穷多组解；③时，原方程组无解.【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0<x<25．①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得②当0<x≤20，y>40时，由题意，得（与0<x≤20，y≤40相矛盾，不合题意，舍去）．③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264（不合题意，舍去）.综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.【例6】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数= 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+ 每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数= 长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个. 根据题意，得①×4-②，得５y=2000，解得y=400.把y=400代入①，得x+800=1000，解得x=200.所以方程组的解为因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.答：竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.三、巩固练习：一）精心选一选（每题7分，共35分）1. 方程组的解是（）.2. 在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人.问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为y，根据题意，可列方程组（）.3. 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶、乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（）.4. 一个两位数被9除余2，如果把它的十位与个位交换位置，则所得的两位数被9除余5，设个位数字为x，十位数字为y，则下面正确的是（）.（以下选项中k1、k2都为整数）5. 用面值l元的纸币换成面值为l角或5角的硬币，则换法共有（）种.A. 4B. 3C. 2D. 1二）用心填一填（每题7分，共35分）1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______.2. 一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件. 则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为______件.3. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时相向而行，1小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为x千米/时、y千米/时，则x＝______，y＝______.4. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果乙让甲先跑2秒钟，那么乙跑6秒钟落后于甲28米，甲每秒钟跑______，乙每秒钟跑______.5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元.三）耐心做一做（每题10分，共30分）1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.2. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？3. 《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？答案一、精心选一选1. B2. C3. B4. C5. B二、用心填一填1.18千米/时，2千米/时.2. 25，155.3. 4，6.4. 8米，6米.5. 4.三、耐心做一做1. 【解题思路】由于甲地到乙地的距离不知道是多少，从甲地到乙地规定的时间也不知道，所以不能直接求速度.我们可以设甲地到乙地的路程和规定的时间为未知数，列方程求解，最后用速度＝路程÷时间得到标准速度.解：设甲、乙两地的之间距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间为t小时.根据题意，得解得经检验，符合题意.则＝60（千米/小时）.答：他以每小时60千米/小时的速度行驶可准时到达.2. 【解题思路】由甲乙混做的时间和钱数我们可求出甲乙各自单独做需要的时间和费用，然后再进行比较.解：设甲组单独完成需x天，乙组单独完成需y天，则根据题意，得。

列二元一次方程组解应用题的技巧

列二元一次方程组解应用题的技巧列方程组解应用题的常见题型．（1）和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量．例1第一个容器有49L 水，第二个容器有56L 水，如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是这个容器么第二个容器剩下的水是这个容器容量容量的；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一那么第一个容器剩下的水是这个容器容量的个容器剩下的水是这个容器容量的，求这两个容器的容量．，求这两个容器的容量．解：设第一个容器的容量为xL xL，第二个容器的容量为，第二个容器的容量为y L y L，那么第二个容器倒给第一个容器，那么第二个容器倒给第一个容器（x －4949））L ，剩下5656－（－（－（x x －4949））L 水，第一个容器倒给第二个容器（水，第一个容器倒给第二个容器（y y －5656））L ，剩下4949－（－（－（y y －5656））L 水，于是根据题意，得水，于是根据题意，得答：第一个容器的容量为63L 63L，第二个容器的容量为，第二个容器的容量为84L 84L．．（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系式是：加工总量成比例．例2某车间有28名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个，个，一个螺丝一个螺丝一个螺丝装配装配两个螺母，两个螺母，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，才能使每天的才能使每天的产品正好配套？产品正好配套？解设每天安排x 人生产螺丝，人生产螺丝，y y 人生产螺母，那么每天能生产螺丝12x 个，螺母18y 个，于是根据题意，得根据题意，得答：应安排12人生产螺丝，人生产螺丝，1616人生产螺母．人生产螺母．（3）速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程＝速度×时间．一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题，现列表归纳如下：例3 3 某人从甲地骑车出发，先以某人从甲地骑车出发，先以12km/h 的速度下山坡，后以9km 9km／／h 的速度过公路到达乙地，共用55min 55min；返回时，按原路先以；返回时，按原路先以8km 8km／／h 的速度过公路，后以4km 4km／／h 的速度上山坡回到甲地，共用1h30min 1h30min，问甲地到乙地共多少千米？，问甲地到乙地共多少千米？，问甲地到乙地共多少千米？解设甲地到乙地山坡路为x km x km，公路为，公路为y km y km．根据题意，得．根据题意，得．根据题意，得答：甲地到乙地共9km 9km．．例4 4 一列快车长一列快车长70m 70m，一列慢车长，一列慢车长80m 80m，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，需要1min 1min；若两车相向而行，快车从与慢车；若两车相向而行，快车从与慢车；若两车相向而行，快车从与慢车相遇相遇到离开慢车，只需要12s 12s，问快车和慢车的，问快车和慢车的，问快车和慢车的速速度各是多少？各是多少？解设快车的速度是x m x m／／s ，慢车的速度是y m y m／／s ，根据题意，得，根据题意，得答：快车的速度是7.5m 7.5m／／s ，慢车的速度是5m 5m／／s ．例5 5 甲、乙两人在甲、乙两人在200m 的环形跑道上练习竞走，乙的速度比甲快，当他们都从某地同时背向行走时，每隔30s 种相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，求甲、乙两人的竞走速度．解设甲的速度为xm xm／／min min，乙的速度为，乙的速度为ym ym／／min min，根据题意，得，根据题意，得，根据题意，得答：甲的速度为175m 175m／／min min，乙的速度为，乙的速度为225m/min 225m/min．．（4）航速问题：此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速例6 6 甲轮从甲轮从A 码头顺流而下，乙轮从B 码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于中点中点，而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的2倍，已知水流速度是4km 4km／／h ，求两轮在静水中的速度．速度．解设甲轮在静水中的速度为x km/h x km/h，乙轮在静水中的速度为，乙轮在静水中的速度为y km y km／／h ，根据题意，得，根据题意，得答：甲轮在静水中的速度为20km 20km／／h ，乙轮在静水中的速度为28km 28km／／h ．（5）工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题．例7 7 一批机器一批机器一批机器零件零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？解设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件，根据题意，得个机器零件，根据题意，得答：甲、乙两人每天做机器答：甲、乙两人每天做机器零件零件分别为50个、个、3030个．个．例8 .一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务．问甲、乙两队合做了多少天？丙队加入后又做了多少天？队加入后又做了多少天？解设甲、乙两队先合做了x 天，丙队加入后又做了y 天，根据题意，得天，根据题意，得答：甲、乙两队先合做了4天，丙队加入后又做了2天．天．（6）增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×（1＋增长率）＝增长后的量，原量×（1－减少率）＝减少后的量．例9 9 某学校办工厂今年总某学校办工厂今年总某学校办工厂今年总收入收入比总支出多30000元，计划明年总收入比总支出多69600元，已知计划明年总收入比今年增加2020％，总支出比今年减少％，总支出比今年减少8％，求今年的总收入和总支出．％，求今年的总收入和总支出．解设今年的总收入为x 元，总支出为y 元，根据题意，得元，根据题意，得答：今年的总收入为150000元，总支出为120000元．元．（7）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量．例10为了迎接新学期开学，为了迎接新学期开学，某服装厂赶制一批校服，某服装厂赶制一批校服，某服装厂赶制一批校服，要求必须在规定时间内完成，要求必须在规定时间内完成，要求必须在规定时间内完成，在生产过程在生产过程中，如果每天生产50套，这将还差100套不能如期完成任务；如果每天生产56套，就可以超额完成80套，问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成？解设原计划生产x 套校服，原计划规定生产y 天，根据题意，得天，根据题意，得答：原计划生产1600套校服，原计划规定生产30天．天．（8）数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示．如当n 为整数时，奇数可表示为2n ＋1（或2n －1），偶数可表示为2n 等．有关两位数的基本等量关系式为：两位数＝十位数字×10＋个位数字．例11 11 一个两位数的个位数字比十位数字大一个两位数的个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对换，如果把个位数字与十位数字对换，所得的新两位所得的新两位数与原两位数相加的和为143143，求这个两位数．，求这个两位数．，求这个两位数．解设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，根据题意，得，根据题意，得答：这个两位数为4949．．（9）几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．例12 12 有两个有两个有两个长方形长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm 112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm 6cm，求这两个长方形的面积．，求这两个长方形的面积．，求这两个长方形的面积．解设第一个长方形的长与宽分别为5xcm 和4xcm 4xcm，，第二个长方形的长与宽分别为3ycm 和2ycm 2ycm，，根据题意，得根据题意，得答：这两个长方形的答：这两个长方形的面积分面积分别为别为．（10）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等，两人的年龄差是永远不会变的．例13 13 师傅对徒弟说：师傅对徒弟说：“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？解设现在师傅x 岁，徒弟y 岁，根据题意，得岁，根据题意，得答：现在师傅36岁，徒弟20岁．岁．。

二元一次方程组解决问题知识点

二元一次方程组解决问题知识点一、知识概述《二元一次方程组解决问题知识点》①基本定义：二元一次方程组呢，就是有两个方程，每个方程里都有两个未知数，像x和y，而且每个未知数的次数都是1次的方程组。

比如说，\(x + y = 5\) 和\(2x - y = 1\) 这两个方程放一起就是二元一次方程组。

②重要程度：在数学学科里可相当重要呢。

它是我们解决一些含有两个相关的未知量问题的有力武器。

很多实际生活中的问题，只要有两个互相影响的因素，就可能用它来搞定。

③前置知识：你得先知道一元一次方程的解法，因为二元一次方程组的解法很多时候会用到一元一次方程的知识。

还得有点代数的基本概念，像什么是未知数，什么是方程的解之类的。

④应用价值：比如说在分配资源的时候，像计算两种不同价格的苹果各买多少个，总共花多少钱这种。

再比如说，计算两种不同速度的车走多远，多长时间这种涉及两个变量的情况。

二、知识体系①知识图谱：在代数知识这一块里，它是在一元一次方程之后更复杂一点的内容，是学习更多元的方程之前的一个过渡，而且它为后面的函数学习也打下一定基础。

②关联知识：和一元一次方程联系非常紧密，它上面提到了，解二元一次方程组很多时候得先转化成一元一次方程。

还和不等式之类的有些联系，有些方法类比着用。

③重难点分析：掌握的难点在于怎么把两个方程结合起来消去一个未知数，这个过程得根据方程的特点来灵活选择方法。

关键的点在于要理解每个未知数在两个方程里的相互关系。

④考点分析：在考试里比较重要，经常出现在应用题里，考查方式就是给个实际的问题情境，让你列出方程组并且求解。

有时候也会单独考查方程组的解法准确性。

三、详细讲解【方法技能类】①基本步骤：首先得设未知数，比如设一个东西是x，另一个是y。

然后根据题目里的条件列出方程组。

接下来就是想办法消去一个未知数。

消元有两种主要方法，一种是代入消元法，就是把一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元。

七年级下册数学二元一次方程组应用难题汇总

七年级下册数学二元一次方程组应用难题汇总二元一次方程组的8个类型专治各种不会做的应用题二元一次方程大战应用题一实际问题与二元一次方程组的思路 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。

一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等。

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。

3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。

二八大典型例题详解01和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系求这两个数各是多少。

典型例题思路点拨由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。

变式拓展思路点拨由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。

02产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。

典型例题思路点拨本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。

变式拓展思路点拨根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

有几个方程组成的一组方程叫做方程组。

如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。

加减消元法例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2∴x=7 y=-2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。

二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

七年级二元一次方程组重点难点

方程思想4、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.5、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.7、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.8、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.9、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对分析：一个方程是‎是二元一‎次方程，是‎ 或使‎ 三个‎条件：①含有两个未‎知数；②未知数的‎次数为1；③整式方程．解答：（1）方程①③不是整式方‎程，不是二‎元一次方程‎．mn的次数‎为2，方程④不是二元一‎次方程．方程②⑤ 二元一‎次方程的三‎个条件，方程②⑤是二元一次‎方程．此题选‎择B．（2）方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一‎次方程，条‎件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的‎解使方程‎ 两边的‎值相等，所以只将‎代入方程中‎，解关于a的‎一次方程即‎可．解答：是方程3x‎－ay=0的一个解‎，3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将确的解‎代入方程组‎中可求‎出c的值，但不能求a‎、b的值．错解有 ‎么作用呢？方程组的解‎ 一‎个方程，因此确解‎ax＋by=2，错的解同‎ 能方‎程a x＋by=2，那么就可以‎建立a、b的方程组‎，于是a、b、c的值均可‎求出．解答：都是方程①的解．又是方程②的解， c＋3=－2， c=－5．a、b、c的值分别‎为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14， b=2.将b=2代入③，得a=2.原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。

初一数学二元一次方程的列方程解题的难点

初一数学二元一次方程的列方程解题的难点1、经历列出二元一次方程组解决有关多个未知量的实际问题，理解二元一次方程组及其解的基本概念，体会二元一次方程组是解决这类问题的一种有效的数学模型。

2、会用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，并能根据方程组的特点，灵活选用适当的解法。

3、通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想，以及化“求知”为“已知”，化复杂问题为简单问题的化归思想。

4、会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解，能检验所得结果是否符合实际意义。

1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。

2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

3．通过引例的教学，进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。

重点、难点1．重点：了解二元一次方程。

二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。

2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。

教学过程二、新授1．让学生在教科书中表格中填人数字或式子：2．那么根据填表结果可知 x十y=7 ① 3x+y=17 ②思考问题：这两个方程有什么共同的特点?(都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1)这里的x、y要同时满足两个条件：一个是胜与平的场数和是7场；另一个是这些场次的得分一共是17分，也就是说，两个未知数x、y 必须同时满足方程①、②。

因此，把两个方程合在一起，并写成x+y＝7 ①3x+y=17 ②上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。

把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。