习题课振动与波动

向位移的端点。
(1) 求第二个振子的振动表达式和二者的相差；
(2) 若 t =0 时，x1= –A/2，并向 x 负方向运动，画出二
者的 x-t 曲线及相量图。
解：(1) 由已知条件画出相量图，可见 x
第二个振子比第一个振子相位落后 /2，
A2
故 = 2 –1 = –/2，
A1 O
第二个振子的振动函数为
振动与波动
姜越 L 325
振动与波动要点
机械振动
简谐振动
旋
特征判断 转
物理描述 矢
合成法则 量
法
阻尼振动
受迫振动
机械波
波的产生 物理描述 一维简谐行波 能量的传播 介质中的波 波的干涉、驻波 多普勒效应
主要题目分类：
振动：
1. 简谐振动判定（动力学） 2. 求振动方程 3. 简谐振动的合成 波动：
源间最小相位差。
d
O
S1
x1 x2
S2
○
1
○
1
在 x2处两波引起的振动相位相差
○
2
○1 得
，
由○1 ：
李萨如图 Lissajous Figure
22 2
k 2 4
1. 水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k = 24N/m，重物质量 m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物体 (不计摩擦), 使之由平衡位置向左 运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远 位置时开始计时，求物体的运动方程。
F s 1 k s 2 1 m v 2 1 k A 2 ,A 2 F s 2 1 0 0 .0 5 0 .2 0 4 m
解：(1) O 处质元的振动函数 O
y A c o s2 v t /2
u 波疏 波密
3 / 4
x
所以入射波的波函数为
反射面
y A c o s 2 v t 2 x 2 A c o s 2 v t 2 u v x 2
(2) 有半波损失，即相位突变 ，所以反射波波函数为
补：如右图，圆柱形物体质量为 m，横 截面积为 s，下半部浸入密度为 ρ 的液体中，由进度系数为 k 的弹簧 吊起。现由起初静止不动处将该物
体向下压入液面距离 A 后放手，求 柱体的运动方程（忽略摩擦力）。
4. 已知 t = 2s 时一列简谐波的波形如图，求波函数及
O 点的振动函数。
解：波函数标准方程
tg A2 3
A1 4
0.21
0.21 0.12
3
x 0.5cos(3t 0.12 ) (m)
A1
A
/3
O /6
x
A2
(2) 当 3 = = 0.12 时， Amax A A3 1.0m 当 3 = = -0.88 时， Amin A A3 0
作业 5.16 在一平板上放一质量为 m=2 kg 的物体，平板在 竖直方向上做简谐振动，其振动周期为 T =1/2 s， 振幅 A = 4 cm，求
ππ O 点的振动函数为 yO=0.5co2st+2(m)
5. 平面简谐波沿 x 轴正向传播，振幅为 A，频率为 v， 传播速度为 u。(1) t = 0 时，在原点 O 处的质元由平衡 位置向 x 轴正向运动，写出波函数；(2) 若经反射面反 射的波的振幅和入射波振幅相等，写出反射波波函数, 并求在 x 轴上因两波叠加而静止的各点的位置。
物对板的压力为 F=-N =- m-1 gπ 6 2m A co 4 π ts
2
=- 1.6 9 -1 .2π 8 2co 4 π ts(S)I ○
(2) 物体脱离平板必须 N=0，由○2 式
3
得
m + 1 g π 2 6 m A c4 o π t= s 0( S )I
cos4πt =-16πg2A
x2= Acos(t + + ) = Acos(t + –/2)
2. 两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振
子的振动表达式为 x1= Acos(t + )，当第一个振子从
振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方
向位移的端点。
(2) 若 t =0 时，x1= –A/2，并向 x 负方向运动，画出二 者的 x-t 曲线及相量图。
(2) 由 t = 0 时，x1= A/2 且 v < 0，可知 = 2/3，所以
x1=
Acos(t
x
+
2/3)， x
A2
A
x2= Acos(t + /6)
x1 x2
π
3π
2π 3
O
O
2π
t
A1
-A
3. 一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动
规律为 x1= 0.4cos(3t + /3)，x2= 0.3cos(3t - /6) (SI)。 求：(1) 合振动的振动函数；
22 2
k 2 4
角频率 k 242rad/s
m6
物体运动到 –A 位置时计时，初相为 =
所以物体的运动方程为 x = 0.204cos(2 t + ) (m)
2. 两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振
子的振动表达式为 x1= Acos(t + )，当第一个振子从
振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方
位置时开始计时，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为
x = Acos(t + )
k
mF
恒外力所做的功等于弹簧获 得的机械能，当物体运动到
–A –s O
x
最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能
F s 1 k s 2 1 m v 2 1 k A 2 ,A 2 F s 2 1 0 0 .0 5 0 .2 0 4 m
(2) 另有一同方向同频率的谐振动 x3 = 0.5cos(3t + 3) (SI) 当 3 等于多少时，x1, x2, x3 的合振幅最大？最小？
解：(1) 解析法 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
Leabharlann Baidu
0.42 0.32 2 0.4 0.3cos( ) 0.5 (m)
1. 求波函数（波动方程） 2. 波的干涉、驻波 3. 波的能量的求法 4. 多普勒效应
1. 水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k = 24N/m，重物质量
m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F =
10N 向左作用于物体 (不计摩擦), 使之由平衡位置向左
运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远
y A c o s 2 v t 2 u v 3 4 2 2 u v 3 4 x
Acos2vt2 uvx2 O
入射波和反射波叠加，此题
反射点肯定是波节，另一波
u 波疏 波密
3 / 4
x
反射面
节与反射点相距 /2，即 x = /4= 处。
作业 6. 4
补：如图所示，两相干波源在 x 轴上的位置分别为 S1 和 S2，其间距为 d = 30 m， S1 位于坐标原点 O。设波只沿 x 轴正负方向传播，单独传播时强 度保持不变。x1 = 9 m 和 x2 = 12 m 处的两点是相 邻两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波
63
tg1( A1 sin 1 A2 sin 2 ) A1 cos1 A2 cos2
0.4sin
tg1[
3
0.4 cos
0.3sin( )
0.3 cos(
6
)
]
0.12
3
6
振动函数 x 0.5cos(3t 0.12 ) (m)
另法：相量图法
A1 A2
A A12 A22 0.5m
(1) 物体对平板的压力的表达式. (2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
解：选平板位于正最大位移处开始计时，平板的振动方程为
x=A co 4πts(S)I
x = - 1 π 2 A 6 c4 o π t( S s ) I
○
(1) 对物体有
m - N g = m x
1
N = m - m x = m g + 1 π 2 m A g c 6 4 π t o ( S )s I ○
y(m) 0.5
u = 0.5m/s
yAco2sT tx
O1
23
x(m)
已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s
由得所以0 23.5 波 函y 数( t 为22 ,y x 即 0 0 .. 5 5 c ) 2o 0 .2 5 为stc 什 么2 o x 不 2 4 2 取s (m y0 (2 .)t5 = 2 , x= 0) 求？