高等数学练习题附答案
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第一章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. ()
3lim
sin tan ln 12x x x
x →=-+ . 2. 2
1
31lim
2
x x x
x x →--+=+- . 3.已知212lim 31
x x ax b
x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1
,0,0ax x x f x x
a x ⎧+-≠⎪
=⎨⎪=⎩
在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2
1
()43
x f x x x -=
-+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线()
121e x
y x =-的斜渐近线方程为 .
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列
{}n x 收敛于a 的 .
A. 充分条件但非必要条件
B. 必要条件但非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
2. 设()2,0
2,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0
,
x x f x x x ⎧<=⎨
-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦ . A. 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C. 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D. 22,0
2,0
x x x x ⎧+<⎨+≥⎩
3. 下列各式中正确的是 .
A ．01lim 1e x x x +
→⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
B.01lim 1e x
x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ C.1lim 1e x x x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D. -11lim 1e x
x x -→∞
⎛⎫+= ⎪⎝⎭
4. 设0→x 时，tan e
1x
-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 曲线2
2
1e 1e
x x y --+=
- .
A. 没有渐近线
B. 仅有水平渐近线
C. 仅有铅直渐近线
D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.
1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1
sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1
sin ,(0,)x x x
∈+∞
三、求下列极限（每小题5分，共35分）
1.222lim 413
x x x x →--+-
2．(
)
120
lim e
x x
x x -→+
3.(
)
1lim 123
n
n n
n →∞
++
4．221sin
lim
21
x x x x →+∞
-
5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()2
1lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦.
6．1
402e sin lim 1e x x x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪
+⎝⎭
7．0
1cos lim 1cos x x
x
+
→--
四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）
1.22
12lim 22
x ax x b
x x →-+=-+-
2．()
2lim 21x x ax bx →-∞
++-=
五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x x
a b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪
=>>≠≠⎨⎪=⎩
在0x =处的连续性，
若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）
六、设sin sin sin ()lim sin x t x
t x t f x x -→⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）
七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，使得
1()2f f ξξ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.（本题6分）
第二章 自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞
⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
. 2.设2
1cos f x x ⎛⎫=
⎪⎝⎭，则()f x '= . 3.2d d 1x x x
=- . 4.设sin (e )x
y f =，其中()f x 可导，则d y = .
5.设arccos y x =，则12y ⎛⎫
'=
⎪⎝⎭
. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.下列函数中，在0x =处可导的是 .
A.||y x =
B.|sin |y x =
C.ln y x =
D.|cos |y x =