向量法求空间点到平面的距离
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EF (2, 2, 0), EG ( 2, 4, 2), BE (2, 0, 0)
F
E B
A 设平面 EFG 的一个法向量 为 n ( x, y, z )
y
n EF， n EG 2 x 2 y 0 2 x 4 y 2 0 1 1 n ( , ,1) 3 3
量的方向，可以得到点 B到平面的距离为 BO
。
3、因此要求一个点到平 面的距离，可以分为以 下三个步骤：（ 1）找 出从该点出发的平面的 任一条斜线段对应的向 量；（2）求出该平 面的一个法向量；（ 3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积 的绝对值再除以法向量 的模，即可求出点到平 面距离。
2、向量数量积公式 a b a b cos (为a与b的夹角）
二、新课 向量法求点到平面的距 离
B
n
A O
1、剖析：如图， BO 平面，垂足为O, 则点B到平面的距离就是 线段BO的长度。
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在 RtBOA中， BO BA cosABO BA BA BO BA BO BA BO BO , 如果令平面的法向量为n, 考虑到法向 AB n n
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
ห้องสมุดไป่ตู้
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
| n BE| 2 11 d n 11
点评：斜线段也可以选 择BF或者BG都行，
练习1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA= AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2) 3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d=
2 2
课下作业、在三棱锥 B ACD中, 平面ABD 平面ACD，若棱长 AC CD AD AB 1，且BAD 300，求点D到平面ABC 的距离。（答案 d 39 ） 13
小结：向量法求点到平 面的距离 要求一个点到平面的距 离，可以分为以下三个 步骤： （ 1）找出从该点出发的平 面的任一条斜线段对应 的向量； （2）求出该平面的一个法 向量； （3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积的 绝对值 再除以法向量的模，即 可求出点到平面距离。
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、 AD 的中点， GC⊥平面 ABCD， 且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， D C F(4,2,0)，G(0,0,2)． x
AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
n CB 0 则 n CP 0
z
y
x 0 ( x, y, z) ( 2,0,0) 0 ∴ y z ( x, y, z) (0, 1,1) 0
F
E B
A 设平面 EFG 的一个法向量 为 n ( x, y, z )
y
n EF， n EG 2 x 2 y 0 2 x 4 y 2 0 1 1 n ( , ,1) 3 3
量的方向，可以得到点 B到平面的距离为 BO
。
3、因此要求一个点到平 面的距离，可以分为以 下三个步骤：（ 1）找 出从该点出发的平面的 任一条斜线段对应的向 量；（2）求出该平 面的一个法向量；（ 3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积 的绝对值再除以法向量 的模，即可求出点到平 面距离。
2、向量数量积公式 a b a b cos (为a与b的夹角）
二、新课 向量法求点到平面的距 离
B
n
A O
1、剖析：如图， BO 平面，垂足为O, 则点B到平面的距离就是 线段BO的长度。
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在 RtBOA中， BO BA cosABO BA BA BO BA BO BA BO BO , 如果令平面的法向量为n, 考虑到法向 AB n n
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
ห้องสมุดไป่ตู้
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
| n BE| 2 11 d n 11
点评：斜线段也可以选 择BF或者BG都行，
练习1
练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA= AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2) 3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d=
2 2
课下作业、在三棱锥 B ACD中, 平面ABD 平面ACD，若棱长 AC CD AD AB 1，且BAD 300，求点D到平面ABC 的距离。（答案 d 39 ） 13
小结：向量法求点到平 面的距离 要求一个点到平面的距 离，可以分为以下三个 步骤： （ 1）找出从该点出发的平 面的任一条斜线段对应 的向量； （2）求出该平面的一个法 向量； （3）求出法向量与斜线段 对应的向量的数量积的 绝对值 再除以法向量的模，即 可求出点到平面距离。
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、 AD 的中点， GC⊥平面 ABCD， 且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， D C F(4,2,0)，G(0,0,2)． x
AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
n CB 0 则 n CP 0
z
y
x 0 ( x, y, z) ( 2,0,0) 0 ∴ y z ( x, y, z) (0, 1,1) 0