理论力学平面任意力系_1简化与平衡

q
A
M
F
FAx
B
q
A
ql
M
F
a
l
MA
y
O
B
FAy
x
3）选取坐标轴，列平衡方程
Fi x 0, Fi y 0,
M A (Fi ) 0,
4）求解未知量
FAx 0
FAy ql F 0
l M A ql Fl M 0 2
解得固定端 A 处的约束力
FAx 0
y
y
F2
30
(2,3)
F1
O
(3, 3)
O
(5, 2)
x
FR

60
45
MO
x
F4
F3
解： 力系向坐标原点 O 简化，结果为 1 个主矢和 1 个主矩
在 x 、y 轴上的投影分别为 其中，力系主矢 FR
x Fix F1 F2 cos30 F3 cos60 F4 cos 45 3.304 N FR

M1 O

M n M O Fn Fn Fn
平面任意力系向其作用面内任一点 O 简化，结果一般为一个力和 一个力偶。 该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主 矢； 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 O 的矩的代数和， 称为原力系的主矩。 主矢： 主矩：
Байду номын сангаас
Fi FR MO MO Fi
75.0 N cm
注意符号的判断！！！

FR
O
MO
x
20.46 N FR
M O 75.0 N cm
0 且 MO ≠ 0 ，故此力系可合成为一个合力 由于主矢 FR ，其作用线离坐标原点 O 的距离 合力矢 FR FR
M O 75.02 d 3.667 cm FR 20.46
F
解得三杆所受的力分别为
M
B
F1 5.33 kN (压)
F2 7.07 kN (拉)
杆1 杆2 杆3
F1
x
F2
F3
F3 8.33 kN (压)
D
说明：还可利用平衡方程∑MD ( Fi ) = 0 校核上述计算结果
[例6] 图示塔式起重机，已知机架自重为 G，作用线距右轨 B为 e ； 满载时荷重为 P ，距右轨 B 为 l ；平衡块重为 W ，距左轨 A 为 a ； 轨道 A、B 的间距为 b 。要保证起重机在空载和满载时都不翻倒， 试问平衡块重 W 应为多少？ 解： （1）选取起重机整体为研究对象 （2）受力分析 1）确定空载时平衡块的重量 当空载时，P = 0。为使起重机不 绕点 A 翻倒，必须满足FB ≥ 0 列平衡方程
第四章
平面任意力系
平面任意力系： 力系中各力的作用线在同一平面内任意分布
本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的平移定理 作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩
F
F
B d
A
F
B d
F
B
2. （一投影两矩式 ）
F 0 M F 0 M F 0
ix
A
i
B
i
其中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. （三矩式）
M F 0 M F 0 M F 0
A i B i C i
所受的力大小为 0.85 kN，是拉力。
[例5] 横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。已知 F = 10 kN， M = 50 kN· m，若不计构件自重，试求三杆 所受的力。
F
2m 3m
30
2m
3m
30
F
M
B
A
1
45
B
A
45
2
3
M
F1
F2
F3
解： 1）选取横梁 AB 为研究对象 2）受力分析
3）选取坐标轴，列平衡方程
Fiy F2 sin30 F3 sin 60 F4 sin 45 20.20 N FRy
x 3.304 N FR
的大小 主矢 FR
20.20 N FRy
2 2 FR x y FR FR 20.46 N
y
F2
30
(2,3)
F1
[例4] 一重 P = 1.8 kN 的物块悬挂在图示构架上。已知 = 45°，若 不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及杆 BC 所受的力。
解： 1）选取滑轮、杆 AB 与物块组成的系统为研究对象 2）受力分析
3）选取坐标轴，列平衡方程
M A (Fi ) 0,
FB sin 45 6 P 3 FT 1 0
MC (Fi ) 0,
F3 7 F sin 30 2 F cos30 5 M 0
Fix 0,
Fiy 0,
F2 cos 45 F sin 30 0
F1 F2 sin 45 F cos30 F3 0
y
C
A
45
30
4）求解未知量
合力作用线的位置如图所示
y
y
d

FR
O
MO
x

FR
O
x
思考：最终得到的力的作用点是不是唯一的？
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程
1. 基本形式 （两投影一矩式）
F 0 F 0 M F 0
ix
iy
O
i
说明： 1）可解 3 个未知量 2）投影轴与矩心位置均可任意选择
M B (Fi ) 0,
FAy 6 P 3 FT 1 0
Fix 0,
FAx FT FB cos 45 0
4）求解未知量 解得
FAx 2.4 kN
FAy 1.2 kN
FB 0.85 kN
杆 BC 所受的力与 FB 是作用力与反作用力的关系，即杆 BC
FAy ql F
ql 2 MA Fl M 2
[例3] 外伸梁 AB 如图所示，沿全长有均布载荷 q = 8 kN/m 作用，两 支座中间有一集中力 F = 8 kN 作用。已知 a = 1 m ，若不计梁自重， 试求铰支座 C、B 的约束力。
q
F
解： 1）选取外伸梁 AB 为研究对 象 2）受力分析
说明： 1）可解 2 个未知量
2）矩心位置可任意选择
[例2] 如图，悬臂梁 AB 上作用有矩为 M 的力偶和集度为 q 的均 布载荷，在梁的自由端还受一集中力 F 的作用，梁长为 l ，试求 固定端 A 处的约束力。
q
A
M
F
FAx
B
q
A
M
F
a
l
MA
B
FAy
解： 1）选取梁 AB 为研究对象 2）受力分析
M A (Fi ) 0,
FB b G e b W a 0
FB 1 G e b W a b
解得
将其代入条件 FB ≥ 0，即得空载时平衡块的重量应满足
G e b W≤ a
2）确定满载时平衡块的重量 当满载时，为使起重机不绕点 B 翻 倒，必须满足 FA ≥ 0
O
(3, 3)
主矢指向第三象限，与 x 轴所夹的锐角为
arctan
y FR x FR
60
45
(5, 2)
x
F4
arctan 6.113 80.8
F3
力系对原点 O 的主矩
MO MO (Fi )
y
F2 cos30 3 F2 sin30 2 F3 cos60 3 F3 sin 60 3 F4 cos 45 2 F4 sin 45 5
列平衡方程
M B Fi 0,
FA b W a b G e P l 0
1 FA W a b G e P l 解得 b 将其代入条件 FA ≥ 0，即得空载时平衡块的重量应满足
1 W≥ G e P l ab
3）选取坐标轴，列平衡方程
MC (Fi ) 0,
a FB 2a F a 3qa 0 2
A
C
B
a
y
a
3qa
a
F
q
A
Fiy 0,
FC FB 3qa F 0
C
FC
B
FB
4）求解未知量
解得铰支座 C、B 的约束力分别为 FB 10kN
FC 22kN
F F
A
M
F
A
M Fd M B F
结论：同一平面内的一个力和一个力偶可以合成为一个力
二、平面任意力系向一点的简化
F1 F2 F1
F2 F2 M 2 M O F2
M2 Mn
FR
MO
O
F2
Fn
O
Fn
M1 M O F1 F1 F1
O 的合力
四、若干重要结论
1. 平面固定端的约束力


平面固定端的约束力可表达为一对正交约束力和一个约束力偶
2. 分布载荷的合成结果
Fq ql /2
q
A
Fq ql
l
B
2l /3
l /2
均布载荷
线性分布载荷
[例1] 如图，已知 F1 = 10 N、F2 = 20 N、F3 = 25 N、 F4 = 12 N，各力 作用点的坐标如图，单位为 cm 。试向坐标原点 O 简化此力系并求其 合成结果。
说明： 1）主矢与简化中心无关 2）主矩与简化中心有关
F1
F2
FR

Fn
MO
O
三、平面任意力系简化结果的讨论
0 且 MO = 0 ： 原力系平衡 1） FR 0 但 MO ≠ 0 ： 原力系合成为一个合力偶 2） FR 0 但 MO = 0 ： 原力系合成为一个作用线通过简化中心 O 3） FR 的合力 0 且 MO ≠ 0 ： 原力系合成为一个作用线不通过简化中心 4） FR
其中，A、B、C 三点不共线
二、平面平行力系的平衡方程 1. 基本形式 （一投影一矩式）
y
F2
F 0 M F 0
iy O i
F1
Fi
Fn
O
x
2. （两矩式)
M F 0 M F 0
A i B i
其中，A、B 两点连线不平行于 y 轴
G e b W≤ a
1 W≥ G e P l ab
所以，要保证起重机在空载和 满载时都不翻倒，平衡块重应 满足不等式
G e b 1 G e P l ≤W ≤ ab a