人教版数学高二-人教A版选修4-5练习 第二讲 复 习 课

复习课

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[警示·易错提醒]

1．比较法的一个易错点．

忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论．

2．分析法和综合法的易错点．

对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误．

3．反证法与放缩法的注意点．

(1)反证法中对结论否定不全．

(2)应用放缩法时放缩不恰当．

专题一比较法证明不等式

比较法证明不等式的大致步骤是：作差(或商)—恒等变形—判断差的符号(或商与1的大小)，其中，恒等变形是关键，目的在于判断差的符号或商与1的大小．

[例1]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

证明：因为2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2

－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又因为a≥b>0，所以a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，

所以(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，

所以2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0，

所以2a3－b3≥2ab2－a2b.

归纳升华

变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方、因式分解，可运用一切恒等变形的方法．

[变式训练]已知a＞0，b＞0，a≠b，求证：a6＋b6＞a4b2＋a2b4.

证明：因为a6＋b6－(a4b2＋a2b4)＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2)＝(a2－b2)(a4－b4)＝(a2－b2)(a2－b2)(a2＋b2)＝(a＋b)2(a－b)2(a2＋b2)．因为a＞0，b＞0，a≠b，

所以(a＋b)2＞0，(a－b)2＞0，a2＋b2＞0，

所以(a6＋b6)－(a4b2＋a2b4)＞0，

所以a6＋b6＞a4b2＋a2b4.

专题二综合法证明不等式

综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．

证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，

避免错误． [例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：

a 2

b ＋b 2

c ＋c 2

a

≥1. 证明：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2

a

＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a

≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a

≥1. 归纳升华

用综合法证明不等式，可利用已经证过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．

[变式训练] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab

≥8. 证明：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，

所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12

，所以1ab ≥4. 所以1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab

＋4＝8， 所以1a ＋1b ＋1ab

≥8， 当且仅当a ＝b ＝12

时，等号成立． 专题三 用分析法证明不等式

分析法证明不等式的思维方法是“逆推”，即由待证的不等式出

发，逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．

当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效．

[例3]求证：3＋6＜4＋ 5.

证明：欲证3＋6＜4＋5，

只需证(3＋6)2＜(4＋5)2，

只需证9＋62＜9＋45，

即证62＜4 5.

只需证(62)2＜(45)2，即证72＜80.

上式明显成立，所以原不等式成立．

归纳升华

1．分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．

2．分析法是“执果索因”，逐步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．

[变式训练]已知a＞b＞0，求证：a－b＜a－b.

证明：要证a－b＜a－b，

即证a＜b＋a－b，

只需证a＜b＋2（a－b）b＋a－b，

只需证0＜2（a－b）b.

由a＞b＞0知最后一个不等式成立，

故原不等式成立．

专题四用反证法证明不等式

反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题．

[例4]若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.

证明：法一：假设a＋b＞2，则a＞2－b，

故2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，

即2＞8－12b＋6b2，即(b－1)2＜0，

这不可能，假设不成立，从而a＋b≤2.

法二：假设a＋b＞2，

则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)＞8.

由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)＞6.

故ab(a＋b)＞2.

又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，

所以ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2)，

所以a2－ab＋b2＜ab，即(a－b)2＜0，这不可能，