2018年 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题与解析(含一试与加试)
2018年全国高中数学联赛试题
D和 J分 别为 Δ/BCr的 外接 阈 姒町 和 BC∶ 的中点 ,F为 乙犭 BC的 内 ,则 DF⊥ JC.(笞 饿时泔将 国画在笛 卷纸上 冫
J与 BCJ的 交点 ,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满 足 ⅣB⊥ 彳 L的 切点 ,σ 为 彳 B。 切I囚 在 /B边 ˇ
证 明 :希 BⅣ 哀 E″
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过点FG,O的 弦,扭 oB的 外接圆 交抛物线于点P(不 同 于点o,/,B)。 若PF 伊B,求 丨 PFl的 所有可能值。 平分乙
(本 趑满分 ⒛ 分)在 平面直角坐标系豸 勿 中,设 /B是 抛物线
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2018年 全国高中数学联合竞赛加试试题 《 A卷 冫
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⒛18年 全 国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、 填空题 :本 大题共
1。
8小 题 ,每 小题 8分 ,满 分 “ 分 。
设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫 豸 u∈
/l,c=伽 |2丌 ∈彳 B∩ C的 元 刂 卜贝
素个数为_⊥____・ 2.设点 平 面 α的距离为 雨 ,点 g在 平面 α上 ,使 得 直 线 Pg与 α所成角
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2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
2018年全国高中数学联赛试题
-、 填空题 :本大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,满 分 “ 分。
1。 设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫 豸u∈ /l,c=伽 |2丌 ∈彳卜 贝刂B∩ C的 元
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不小2于.设30°点且`不到大平于面ωα°的,则距 离这为样雨的点,点口所g在构成平的面区α域上
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设曰,D,ε 是三个互不相同的实数,满足/@)=/(D)=/(c),求 汕c的 取值范围。
切I囚 在 /B边 ˇL的 切点,σ 为 彳J与 BCJ的 交点,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满 足 ⅣB⊥ 彳B。
证明:希 BⅣ 哀E″ ,则 DF⊥ JC.(笞 饿时泔将 国画在笛卷纸上 冫
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二 、(本预满分 +0分 冫如图,AHBC∶ 为锐角Ι角彤 ,/B《 彳(J,〃 为 B(Γ 边
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。
全国高中数学联合竞赛一试 含答案
得：2���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� − ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗���
记 OB=4，则 AC=2 则 cos∠AOB = cos∠CAO =
不妨令������������ = ������������+1 − ������������, (������ = 1,2, … ,9)，且������������ = ������或 2，
由������2 + ������8 = 2������5得������5 − ������2 = ������8 − ������5 即：������2 + ������3 + ������4 = ������5 + ������6 + ������7
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
分析：令������ = ������ + ������������，则������̅ = ������ − ������������ (������2 + ������2 = 1)
5. 设������(������)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，在区间 [0，1]上严格递减，且满足������(������) = 1, ������(2������) = 2,则不
等式组{11
≤ ≤
������ ≤ 2 ������(������) ≤
2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试)
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ， 故原不等式组成立当且仅当xE［肯 － 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ， 使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根 ， 则这样
＝
的复数z的和为 答案：
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别 －＇￥· 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己 知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ， 则 MF., 凡的朋积为 答案： -Jl5. 解： 由对称性 ， 不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第 一 象限，则由条件知
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 ＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为 答案： 解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇一 ｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。 ， b,c 为l, 3, 5 的排列 ， 避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一． 数的概率为I－一 ' 6 720 JO
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗 ， 则B门C的元
最新-2018年全国高中数学联赛一 精品
2018年全国高中数学联合竞赛试题（一）及参考答案说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 （ ）A ．36-B ．3C ．36+D ．6解：令63,63≤≤-+-=x x x y ，则)6)(3(2)6()3(2x x x x y --+-+-=∴≤<∴=-+-≤,60.6)]6()3[(2y x x 实数k 的最大值为.6选D.2．空间四点A 、B 、C 、D 满足BD AC DA CD BC AB ⋅====则,9||,11||,7||,3||的取值 （ ） A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个解：注意到32+112=130=72+92，由于0=+++DA CD BC AB ，则DA 2=22)(CD BC AB DA ++==AB 2+BC 2+CD 2+2（2222(2)(BC CD BC AB AB CD CD BC BC AB ++-=⋅+⋅+⋅+)AB CD CD BC BC AB ⋅+⋅+⋅=)()(2222CD BC BC AB CD BC AB +⋅+++-，即 022222==-+=⋅CD AB BC AD BD AC ，BD AC ⋅∴只有一个值0，故选A.3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延 长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8解：如图，连BA 1，则AA 1=2sin(B+)22cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A -=-+++= )2cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA -=-++-+=-=∴π,sin sin )2cos(B C B +=-+π同理,sin sin 2cos 1C A B BB +=,sin sin 2cos 1B A C CC +=),sin sin (sin 22cos 2cos 2cos111C B A CCC B BB A AA ++=++∴ 原式=.2sin sin sin )sin sin (sin 2=++++CB AC B A 选A. 4．如图，ABCD —D C B A ''''为正方体，任作平面a 与对角线AC ′垂直，使得a 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A —A ′BD 与C ′—C B D '''后，得到一个以平行平面A ′BD 与C B D ''为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个 11A B B A ''，而多边形W 的周界 展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '）， 显然11A A E E '='，故l 为定值.当E ′位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E ′移至A ′处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为22363243l l 与，故S 不为定值.选B. 5．方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解：)23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ ， 即3sin 2sin >，又03c o s2c o s,03c o s,02c o s ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ，方程表示的曲线是椭圆.4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin π++-=--- ）……（*） .423243,432322,0232sin ,02322ππππππ<++<∴<+<<-∴<-<-.0(*),0)4232sin(<∴>++∴式π即3cos 2cos 3sin 2sin -<-.∴曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C.6．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=}4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++i T a a a a a i ，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2018个数是（ ）A ．43273767575+++B ．43272767575+++ C ．43274707171+++D ．43273707171+++解：用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以74，得}4,3,2,1,|]{[}4,3,2,1,|777{74321432231=∈==∈+⋅+⋅+⋅='i T a a a a a i T a a a a a M i i ，M ′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2018个数是2400－2018=396，而[396]10=[1104]7将此数除以74，便得M 中的数43274707171+++.故选C. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7．将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式202019192210)(y a y a y a y a a y g ++++= ，其中4-=x y ，则615212010+=+++a a a .解：由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f令51)4()(,421+++=+=y y y g y x 得，取,1=y 有615)1(2120210+==++++g a a a a8．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是.51310<<<<a a 或 解：∵)(x f 在（0，+∞）上定义，又)1)(13(143;087)41(212222--=+->++=++a a a a a a a ，仅当1>a 或31<a 时， .(*)01432>+-a a)(x f 在（0，+∞）上是减函数，1431222+->++∴a a a a 50,052<<∴<-⇒a a a结合（*）知51310<<<<a a 或. 9．设α、β、γ满足πγβα20<<<<， 若对于任意0)cos()cos()cos(,=+++++∈γβαx x x R x ，则.34παγ=- 解：设0)(,0)(,),cos()cos()cos()(=-=∈+++++=αγβαf x f R x x x x x f 知由，,0)(,0)(=-=-βγf f即,1)cos()cos(,1)cos()cos(-=-+--=-+-βγβααγαβ.21)cos()cos()cos(,1)cos()cos(-=-=-=-∴-=-+-αγβγαβγβγα∵πγβα20<<<<，]34,32[,,ππβγαγαβ∈--- ， 又.34.32.,παγπβγαβαγβγαγαβ=-∴=-=--<--<-只有 另一方面，当32πβγαβ=-=-，有R x ∈∀+=+=,34,32παγπαβ， 记θα=+x ，由于三点))34sin(),34(cos(),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθπθθθ++++构成单位圆122=+y x 上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos =++++πθπθθ即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x 10．如图，四面体DABC 的体积为61，且满足∠ACB=45°， AD+BC+32=AC ，则CD=3.解：61)45sin 21(31=≥︒⋅⋅⋅⋅DABC V AC BC AD，即.12≥⋅⋅AC BC AD 又323≥++=AC BC AD 323≥⋅⋅AC BC AD ，等号当且仅当AD=BC=12=AC 时成立，这时AB=1，AD ⊥面ABC ，∴DC=3.11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标C（11,y x ）、D （22,y x ），则CD 所在直线l 的方程b x y +=2，将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为a ，则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ①在172-=x y 上任取一点（6，－5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=②①、②联立解得.80.1280,80.63,32min 2221=∴==∴==a a a b b 或12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”，将所有“吉祥数”从小到大排成一列.52000,2005,,,,5321==m m a a a a a 则若解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为,1m k m C -+而使2(0,11≥≥≥i x x i ）的整数解个数为,12--+m k m C 现取m=7，可知，k 位“吉祥数”的个数为P （k ）=65+k C .∵2018是形如2abc 的数中最小的一个“吉祥数”，且P （1）=66C =1，P （2）=67C =7，P （3）=68C =28，对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数， 即6136++C =28个.∵2018是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即.200565=a 从而n=65，5n=325. 又P （4）=210)5(,8461069===CP C ，而.330)(51=∑=k k P∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52018.∴第325个“吉祥数”是52018，即.520005=m a三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．数列{}n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意m a N n ,∈为正整数；（2）对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数.证明：（1）由题设得,51=a 且{}n a 严格单调递增，将条件式变形得36457221-=-+m m m a a a ，两边平方整理得0972121=++=++n n n n a a a a ①0972112=++-∴--n n n n a a a a ②①－②得⇒=-+∴>=-+--++-++07,,0)7)((111111m n n n n n n n n n a a a a a a a a a a.711-+-=n n n a a a ③由③式及5,110==a a 可知，对任意m a N n ,∈为正整数.……………………10分（2）将①两边配方，得211121)3(1),1(9)(n n n n n n n n a a a a a a a a +=-∴-=+++++。
2016-2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析
12018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 设集合 A = {1, 2, 3,, 99}, B = {}2x x A ∈, C ={}2x x A ∈，则 B C 的元素个数为 ．答案： 24 ．解：由条件知，B C = {2, 4, 6,, 198} {12, 1, 32 ,2,, 992}= {2, 4, 6,, 48} ，故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 α 3 Q 在平面 α 上，使得直线 PQ 与 α 所成 角不小于 30︒ 且不大于 60︒ ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8π ．解：设点 P 在平面α上的射影为O ．由条件知，3tan [3]OP OPQ OQ =∠∈即OQ ∈ [1, 3] ，故所求的区域面积为 π ⋅ 32 - π ⋅12 = 8π ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的概率为 答案：910解：先考虑 a bc + def 为奇数的情况，此时 a bc , def 一奇一偶，若 abc 为奇数， 则 a , b , c 为1, 3, 5 的排列，进而 d , e , f 为 2, 4, 6 的排列，这样有 3! × 3! = 36 种情况， 由对称性可知，使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 = 72 种．从而 abc + def 为偶 数的概率为72729116!72010-=-= 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则∆PF 1F 2 的面积为 ．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x =1()2PT PS -= 2, y =1()2PV PU -= 1即 P (2, 1) ．进而由 x P =PU = 1, PS = 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b⋅+⋅=⋅+=，解得a 2= 20, b 2 = 5 ．从而121212PF F P P S F F y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减， 且满足 f (π) = 1 f (2π) = 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩p p 的解集为 ．答案：[π - 2, 8 - 2π] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[-1, 0] 上严格递增， 再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间． 注意到f (π - 2) = f (π) = 1, f (8 - 2π) = f (-2π) = f (2π) = 2 ，所以1 ≤ f ( x ) ≤2 ⇔ f (π - 2) ≤ f ( x ) ≤ f (8 - 2π) ，而1 < π - 2 < 8 - 2π < 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π - 2, 8 - 2π] ．6. 设复数 z 满足z = 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 + 2 zx + 2 = 0 有实根，则这样 的复数 z 的和为 ．答案：32-解：设 z = a + b i (a , b ∈ R , a2 + b 2 = 1) ．将原方程改为 (a + b i) x 2 + 2(a - b i) x + 2 = 0 ，分离实部与虚部后等价于ax 2 + 2ax + 2 = 0 ， ①bx 2 - 2bx = 0 ．②若b = 0 ，则 a 2 = 1 ，但当 a = 1 时，①无实数解，从而 a = -1 ，此时存在实 数 x = -1±3满足①、②，故 z = -1满足条件． 若 b ≠ 0 ，则由②知 x ∈ {0, 2} ，但显然 x = 0 不满足①，故只能是 x = 2 ，代入①解得 a 14=-，进而 b =154±，相应有 z =1154i -± 综上，满足条件的所有复数 z 之和为-1+1154i -++1154i --=32- 7. 设O 为∆ABC 的外心，若AO u u u r = AB u u u r + 2 AC u u u r，则sin ∠BAC 的值为．答案：104解：不失一般性，设∆ABC 的外接圆半径 R = 2 ．由条件知， 2 AC u u u r =AO u u u r AB -u u u r ① 故 AC =12BO = 1 ． 取 AC 的中点 M ，则 O M ⊥ AC ，结合①知 O M ⊥ BO ，且 B 与 A 位于直线OM 的同侧．于是 c os ∠BOC = cos (90︒ + ∠MOC ) = -sin ∠MOC =-MOOC14=-在∆BOC 中，由余弦定理得BC =222cos OB OC OB OC BOC +-⋅∠10=进而在∆ABC 中，由正弦定理得sin ∠BAC =1024BC R = 8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 = 3a 1 , a 2 + a 8 = 2a 5 ，且a i +1 ∈ {1+ a i ,2 + a i }, i = 1, 2, , 9 ，则这样的数列的个数为 ．答案：80 ．解：设b i = a i +1 - a i ∈ {1, 2}(i = 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 = a 10 - a 1 = b 1 + b 2 ++ b 9 ， ①b 2 + b 3 + b 4 = a 5 - a 2 = a 8 - a 5 = b 5 + b 6 + b 7 ． ②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数， 其中t ∈ {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2+ (13C ) 2+ (23C ) 2+ (33C )2= 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22= 4 种方式． 最后由①知，应取 b 1 ∈ {1, 2} 使得b 1 + b 2 ++ b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条 件的 数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20⨯4 = 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R+上的函数 f ( x ) 为3log 109()49x x f x xx ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩p f设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求 abc 的取值围． 解：不妨假设 a < b < c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增， 在[9, +∞) 上严格递减，且 f (3) = 0, f (9) = 1，故结合图像可知a ∈ (0, 3) ，b ∈ (3, 9) ，c ∈ (9, + ∞) ，并且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ∈ (0, 1) ． …………………4 分 由 f (a ) = f (b ) 得 1- log 3 a = log 3 b -1， 即 l og 3 a + log 3 b = 2 ，因此 a b = 32= 9 ．于是 abc = 9c ． …………………8 分又0 < f (c ) = 4 c1， …………………12 分 故 c ∈ (9, 16) ．进而 abc = 9c ∈ (81, 144) ．所以， a bc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分 注：对任意的 r ∈ (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过 点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a ∈ (0, 3), b ∈ (3, 9) ），满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，并且 ab = 9 ，从 而 a bc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有a n (2S n - a n ) = 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n <n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n +1 < 1 ．证明： (1) 约定 S 0 = 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有 1 = a n (2S n -a n ) = (S n - S n -1)(S n + S n -1) = S n 2 - S n -12 ， S n = n + S 0 = n ，即 S n =n n = 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n = S n - S n -1 n 1n -n 10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n +1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n +均为正（否则 将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n +1 > S n > S n -1 >n 此时从而a n a n +1 <n 1n -1n +n ) <1n +n 1n +n )= 1． …………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 = 4 x 的 过点 F (1, 0) 的弦，∆AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平 分∠APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零．设直线 AB 的方程为 x = ty +1 ，与抛物线方程联立可得 y 2- 4ty - 4 = 0 ，故 y 1 y 2 = -4 ． ①注意到∆AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey = 0 ，与x =24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y = y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 + y 2 + y 3 + 0 = 0 ，从而y 3 =- ( y 1 + y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分∠APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 + 64 y 2 y 2 -192 y 2 = y 6 + 64 y 2 y 2 -192y 2，故 ( y 2 - y 2 )( y 4 + y 2 y 2 + y 4 -192) = 0 ．当 y 1 2 = y 2 2 时， y 1 =- y 2，故 y = 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符．当 y 1 4 + y 1 2 y 22 + y 24 -192 = 0 时，注意到①，有 (y 1 2 + y 2 2 )2=192+(y 1 y 2) 2=208y 1 2 + y 2 2 =8 = 212y y ，故满足①以及 y 1 + y 2 =的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥，，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其体积平分，则棱与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3，则AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
2018年全国高中数学联合竞赛加试参考答案(A卷)
4
(∗) 情形 1．若存在 i (1 ≤ i ≤ k − 1) ，使得 pi | S n ，因 (an+1 , S n ) = 1 ，故 pi an+1 ，从而 ． …………………30 分 an +1 ≠ M （因 pi | M ） 情形 2．若对每个 i (1 ≤ i ≤ k − 1) ，均有 pi S n ，则由 (∗) 知必有 pk | S n ．于是 pk an +1 ，进而 pk S n + an+1 ，即 pk S n+1 ．故由 (∗) 知，存在 i0 (1 ≤ i0 ≤ k − 1) ，使得 pi0 | S n+1 ，再由 S n+ = S n + an+1 及前面的假设 pi S n (1 ≤ i ≤ k − 1) ，可知 pi0 an+1 ，故 1
…………………40 分
1≤i ≤ N ′
an +1 ≠ M ．
因此对 n ≥ N ′ + 1 ， 均有 an ≠ M ， 而 M > max an ， 故 M 不在 {an } 中出现， 这与 归纳假设矛盾．因此，若 m 有 k 个不同素因子，则 m 一定在 {an } 中出现． 由数学归纳法知，所有正整数均在 {an } 中出现． …………………50 分
αk α1 α 2 且结论对 k − 1 成立． 设 m 的标准分解为 m = p1 ． 假设 m 假设 k ≥ 2 ， p2 pk 不在 {an } 中出现，于是存在正整数 N ′ ，当 n ≥ N ′ 时，都有 an > m ．取充分大的正 整数 β1 ,, β k −1 ，使得
k −1 = M p1β1 pkβ− 1 > max an ．
2018年全国高中数学联合竞赛A卷填空题解析
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
1.设集合{}{}{}1,2,3,99,2,2,A B x x A C x x A ==∈=∈ ,则B ∩C 的元素个数为.
2.设点P 到平面α的距离为,点Q 在平面α上,使得直线PQ 与α不小于30°且不大60°,则这样的点Q 所构成的区域的面积为.
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,,a b c d e f 则abc def +是偶数的概率为.
4.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:221(0)22x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12F F 、,椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴,且相交于点P.已知线段PU,PS,PV,PT 的长分别为1,2,3,6,则△12PF F 的面积为.
5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上严格递减,且满足()()1,22f f ππ==,则不等式组{121()2x f x ≤≤≤≤,的解集为.
6.设复数z 满足1z =,使得关于x 的方程2
220zx zx ++=有实根,则这样的复数z 的和为.
7.设O 为△ABC 的外心,若2AO AB AC =+ ,则sin BAC ∠的值为.
8.设整数数列a1,a1满足1012853,2a a a a a =+=,且{1 1,2,1,2,},9i i i a a a i +∈++=⋯则这样的数列的个数为.。
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a E (0、 3） ， “（3. 9), cE (9. +oo),
并且f(a) = /(b) = j(c） ε （0, 1) .
........…..........4分
自 f(a) = f(b） 得
l - log3 a = log.3 b-1 , 即 log3 a+log.3 b = 2 ， 因此 ab=32 =9. 于是 abc 嚣 9c.
60°，则这样的点 O 所构成的区域的面积为_________．
3．将 1，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为 a，b，c，d，e，f，则abc def 是偶数的概率为
_________．
4．在平面直角坐标系中，椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别为 F1 ，F2 椭圆
其中Iζ｛0.1. 2.3｝.因此 b2 , b3 ， … ．鸟的取法数为（C�)2 + (C�）2 ÷（C;)2 ÷（C!)2 = 20.
取定 b2 、鸟，… ， b7 后， 任意指定钱， 鸟的值，有22 =4种方式．
最后囱①知，应!fJl b， ε ｛I. 2｝使得纠 ＋ bz 十 ··＋ b，为偶敛，这样的鸟的取法是
则。 ， b,c 为l, 3, 5 的排列， 避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶
数的概率为I－一 762' ＝I－一7722一0 ＝一 J9O ．
。 4在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆C：毛4 ＋t b’ =l(a>b>O） 的左、右焦点
即 OQ E [I, 3］ ， 放所求的区域面积为 1r. 32 -1r · I2 = 81r .
3. 将 I, 2, 3, 4. 5, 6 随机排成一 行 ， i己为 a, b,c,d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为
答案： 主． 10
解：先考虑。bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇一｛间，若 abc 为奇敛，
ห้องสมุดไป่ตู้
2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
一、（本题满分 40 分）设 n 是正整数，a1, a2 , , an ，b1,b2, ,bn ，A，B 均为正实数，满足ai bi ，
ai Ai ， i 1, 2,
, n ，且 b1b2 a1a2
bn B ．证明： an A
(b1+1)(b2 +1) (bn 1) B+1 (a1+1)(a2 +1) (an 1) A+1
一、填空题：本六题共8小题， 每小题8分 ， 满分64分． 1. 设织合 A= {I, 2, 3、 ,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗 ， 则B门C的元
素个数为
答案：24.
解：由条件知，snc={2,
4,
G，
…
，
19S}nj11-21 ,
I,-3 . 2
2，
…
，
－ 9291I�＝｛2,
＝±
./1<
子
，
相应有•
_,.J..../1<: ＝＝�
＝ z. 综上，满足条件的所有复数
,
和为－
1＋
-一1一+一.一 Ji一 si
＋
一 -1一-一.J一i一 si
3 ＝－－
．
2
7.设。为D.ABC的外心，若 A0=AB+2AC，则 sinLBAC的值为一一一一一
伞II r,
答案：子
解：不失一般性 ， 设 t:,.ABC的外接凶半径 R=2. 白条件知 ，
①
bλ·2 -2bx=0.
②
辛!rb=O ， 则。＇ ＝I，但当 a=I 时 ， ①无实数解 ， 从而<7 ＝叶 ， 此时存在实
数 λ·＝ － ！土 -/3满足①、②，故＝＝ － 1满足条件．
着bzO，贝I］囱②知xε｛O. 2｝，但显然 x=O 不满足①，故只能是x=2 ， 代
入①隅。＝丁’进而
b
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4 分为一个档次，第 10、 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
5. 设／（x）是定义在E R 上的以2 为周期的偶函数，在区间［O, 1）上严·格边减，
1 - - ' 且满足！（的＝I,
/(2肯）＝2，
则不等式组
11 < x <2
11 三／（x）三
2 的解集为
答案·［肯－ 2、 8-2肯］．
解：由 f(x） 为f间组数及在［O. J］上严格递减知， ！（λ ）在［－ 1, O］上严格递增 ，
2AC= AO-AB= BO,
①
故AC ＝ 工 BO=I.
2
取 AC 的中点M ， 则 OA! J_ AC ，结合①知 O.M J_ BO ， 且B与A位于直线
oc OM 的同侧 ． 于是cosζBOC=cos(90° ＋ζlv!OC) = -sin LMOC = －－AI/一C ＝－－4l －
1£!::.BOC中， 由余弦定理得
16
分）己知定义在及
R+上的函数
f
x 为
f
x
=
|
log3
x
1|, 0
x
0
，设
a,b,c
4 x, x 9
是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
10．（本题满分 20 分）己知数列 a1, a2, a3 满足：对任意正整数 n，有an 2Sn an 1，其中Sn
JI在一的，并且确定了孩数 a1 的值，进而数列鸟， b2 …· ， 乌唯一对应一个满足条件的
数列。，.a2. 。
纷J二可知，满足条件的数列的个数为20x4=80.
二、解答题：本大题共3 ,J、题，满分56分 ． 解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤
。 9. （本题满分 16 分〉己知定义 在ER＋ 上的函数／（λ·）为
(2
)
1
，则不等式组
1 1
x f
2 (x)
2
的解集为_________．
6．设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实裉，则这样的复数 z 的和为
_________．
7．设 O 为△ABC 的外心，若 AO AB 2AC ，则 sin BAC 的值为_________．
＝」 BC OB2斗 OC2-20B-OC·cost:.BOC ＝在毛 ，
！ ：进而在 ！：：.ABC c户，国 iE 安定理布sin.L归C ＝ 一B2RC－ ＝ 二J4飞二白－ ．
8. 设整数数列 a.,a2, ··,a,0 满足。” ＝ 3a., a2 + a8 = 2as ， 且
ε 。，＋， ｛l+a,.2+a，｝、i = l. 2、…， 9 '
8．设整数数列 a1, a2 , , a10 满足 a10 3a1, a1 a3 2a5 ，且 ai1 {1 ai , 2 ai} ，i=l，2，…，9，则
这样的数列的个数为_ 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本题满分
二、（本题满分 40 分）如图，△ABC 为锐角三角形，AB<AC，M 为边 BC 的中点，点 D 和 E 分 别为△ABC 的外接圆上弧 BAC 和弧 BC 的中点，F 为△ABC 内切圆在 AB 边上的切点，G 为 AE 与 BC 的交点，N 在线段 EF 上，满足 NB⊥AB 证明：若 BN=EM 则 DF⊥FG．（答题时请将图 画在答卷纸上）
4,6，
…
，
48},
故B门C的元素个数为24.
2.设点P到平丽α的距离为 -13 ，点 Q在平丽α上 ， 使得直线 PQ 与。所成
角不小于 30° 且不大于 60。 ’ 则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
答案：如 ．
ε 解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 ＝ tanLOQP OQ
I｜丘3 ♂I '
2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，毎小题 8 分，满分 64 分．
1．设集合 A 1, 2,3,...,99 ，B {2x | x A}，C {x | 2x A}，则 B C 的元素个数为_________．
2．设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 O 在平面 上，使得直线与 所成角不小于 30°且不大于
c 分别是F；、凡，椭l2ll 的弦 ST 与UV 分别－＇￥· 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己
知线段PU,PS‘PV、PT 的长分另lj为L 2. 3.6 ， 则 MF., 凡的朋积为
答案： -Jl5.
解： 由对称性 ， 不妨设 P（，飞·，，， )'p ）在第一 象限，则由条件知
Xp ={-(IPTI扣I)=2, YP = {-(IPVI-IPUI)=I,
＝ 6.设复数z满足l=I=I ， 使得关于，y的方程 x' + 2:x+2=0有实根 ， 则这样