高中数学必修1第一章 集合与简易逻辑

第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A B A ∈=且I
定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y
定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合
},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞
定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：
（1）);()()(C A B A C B A I Y I Y I = （2）)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =；
（3）);(111B A C B C A C I Y = （4）).(111B A C B C A C Y I =
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若)(C B A x Y I ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即)()(C A B A x I Y I ∈；反之，)()(C A B A x I Y I ∈，则)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即A x ∈且
B x ∈或
C x ∈，即A x ∈且)(C B x Y ∈，即).(C B A x Y I ∈
（3）若B C A C x 11Y ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x I ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x I ∈，即)(111B A C B C A C I Y ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C Y I ⊆
定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法。

定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅=Λ21种不同的方法。

二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设},,2Z y x ∈，求证：
（1）2k ；
（2）)(,24Z k M k ∈∈-；
（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈
[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-
（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-
（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=
22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(
（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B 。

例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足
B A M B A B A M B M A Y Y Y I I I ===,，求集合M （用A ，B 表示）。

【解】先证M B A ⊆)(I ，若)(B A x I ∈，因为B A M A I I =，所以M x M A x ∈∈,I ，所以M B A ⊆)(I ；
再证)(B A M I ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x Y Y Y =∈1）若A x ∈，则B A M A x I I =∈；
2）若B x ∈，则B A M B x I I =∈。

所以).(B A M I ⊆
综上，.B A M I =
3．分类讨论思想的应用。

例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若
C C A A B A ==I Y ,，求.,m a
【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，
因为A B A =Y ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3。

因为C C A =I ，所以A C ⊆，若∅=C ，则=∆m ∅≠，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m
综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m 。

4．计数原理的应用。

例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A =Y ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数。

【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A ,I 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。

（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个。

5．配对方法。

例5 给定集合},,3,2,1{n I Λ=的k 个子集：k A A A ,,,21Λ，满足任何两个子集的交集非空，
并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。

【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A I ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k 。

综上，12-=n k 。

6．竞赛常用方法与例问题。

定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A I Y -+=
C B A C B C A B A C B A C B A I I I I I Y Y +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A
111I I I Y .)1(1
1I Λn i i n A =--+- 定义8 集合的划分：若I A A A n =Y ΛY Y 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅=I ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分。

定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。

【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤==Λ，
}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，
+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A I I I I I Y Y 7430100151001010061005100=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I Y Y 个。

例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。

由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数。

又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素。

例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21Λ满足：
}.2)1(,
,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i Λ 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a 。

下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21Λ满足条件。

令n a a a <<<=Λ210，则.2
)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或
1a a a n n -=-，所以n a （ⅰ）若1=a ，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a
考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则
02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾， 所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数。

（ⅱ）若1,2
)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a 。

考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或
-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾。

因此32-=-n n a a ，所以
12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n 。

故当5≥n 时，不存在满足条件的实数。

例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i I Λ求n 的最小值。

【解】 .16min =n
设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k 。

若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合。

i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k
20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n 。

当16=n 时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。

例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n
【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i Λ=则1+2+…+∑==n
i i z n 1
,43 所以∑==+n i i z n n 142)13(3。

当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5。