射影定理-初中数学习题集含答案
第三章 第1节 射影定理-解析版
第3章 解三角形 第1节 射影定理知识与方法射影定理：在ABC 中，cos cos cos cos cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩提醒：大题不建议直接使用射影定理，可按此定理的证明过程来书写.典型例题【例题】（2017·新课标Ⅱ卷）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2cos cos cos b B a C c A =+，则B =_______. 【解析】解法1：()()2cos cos cos 2sin cos sin cos sin cos sin sin sin b B a C c A B B A C C A A C B B π=+⇒=+=+=-=，即2sin cos sin B B B =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故1cos 2B =，即3B π=.解法2：由射影定理，2cos cos cos b B a C c A b =+=，故1cos 2B =，结合0B π<<知3B π=.【答案】3π变式1 在ABC中，)cos cos c A a C -=，则cos A =______.【解析】解法1：))cos cos sin cos sin cos c A a C B C A A C -=⇒-=cos sin cos sin cos B A C A A C =+()()cos sin sin sin cos B A A C B B A π=+=-=⇒. 解法2：)cos cos cos cos cos c A a C A c A a C -==+，由射影定理，cos cos c A a C b +=cos A b =，故cos A =. 【答案变式2 在ABC 中，若()sin sin sin cos cos A B C A B +=+，则C =_______.【解析】解法1：在ABC 中，()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦， ()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦，因为()sin sin sin cos cos A B C A B +=+，所以sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos B C B C A C A C C A C B +++=+， 化简得：sin cos sin cos 0B C A C +=，所以()sin sin cos 0A B C +=，因为000A B C πππ<<⎧⎪<<⎨⎪<<⎩，所以sin 0sin 0A B >⎧⎨>⎩，故sin sin 0A B +>，从而cos 0C =，所以2C π=.解法2：()222222222222sin sin sin cos cos 2222b c a a c b b c a a c b A B C A B a b c bc ac b a ⎛⎫+-+-+-+-+=+⇒+=+=+ ⎪⎝⎭，两端同乘以2ab 得：2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-， 所以3232220a a b b ab ac bc +++--=，从而()()()2220a a b b a b c a b +++-+=，即()()2220a b a b c ++-=， 所以2220a b c +-=，故222a b c +=，即2C π=.解法3：()sin sin sin cos cos cos cos A B C A B a b c A c B +=+⇒+=+，两端同时加上cos a C 和cos b C 得：()()cos cos cos cos cos cos a b a C b C c A a C c B b C +++=+++，结合射影定理可得cos cos a b a C b C b a +++=+，即()cos 0a b C +=，也即cos 0C =，又02C π<<，故2C π=.【答案】2π强化训练1.（2014·广东·★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=_______. 【解析】解法1：()cos cos 2sin cos sin cos 2sin sin 2sin b C c B b B C C B B B C B +=⇒+=⇒+=()sin 2sin sin 2sin 22aA B A B a b bπ⇒-=⇒=⇒=⇒=. 解法2：由射影定理，cos cos 222ab Cc B b a b b+=⇒=⇒=.【答案】22.（★★★）在ABC 中，若cos 2cos 2cos A C c a B b --=，则sin sin CA=______.【解析】解法1：cos 2cos 22sin sin sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C c a C AB A BC C B A B B b B---==⇒-=-()()()()sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin sin 2sin B A A B B C C B A B B C C A ππ⇒+=+⇒+=+⇒-=-sin sin 2sin 2sin CC A A⇒=⇒=. 解法2：cos 2cos 2cos 2cos 2cos cos cos cos 2cos 2cos cos A C c ab A b Cc B a B b A a B b C c B B b--=⇒-=-⇒+=+，由射影定理，2c a =，所以sin 2sin C cA a==.【答案】23.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是3a =，4b =，6c =，则cos cos cos bc A ac B ab C ++的值为_______.【解析】由射影定理，()2cos cos cos cos cos cos cos bc A ac B ab C c b A a B ab C c ab C ++=++=+222222261222a b c a b c c +-++=+==.【答案】6124.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______.【解析】解法1：cos cos sin cos cos sin 1sin sin sin A B C A B Ca b c A B C+=⇒+==， 而()()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C A B A B B A C A B A B A B A B A Bπ+-++====， 所以sin 1sin sin CA B=.解法2：由射影定理，cos cos cos cos A B b A a B ca b ab ab ++==，又由题意，cos cos sin A B C a b c +=，所以sin c Cab c=，故2sin c C ab =，所以2sin sin sin sin C C A B =， 因为0C π<<，所以sin 0C >，故sin 1sin sin CA B=.【答案】15.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a b C B =，则B =_______.【解析】解法1：cos sin sin sin cos sin a b C B A B C C B =⇒=①， 又()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，代入式①得：sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=，所以cos sin sin B C C B =，因为0180C ︒<<︒，所以sin 0C >，cos B B =，故tan B =，又0180B ︒<<︒，所以30B =︒.解法2：由射影定理，cos cos a b C c B =+，又cos sin a b C B =，所以cos cos cos sin b C c B b C B +=，从而cos sin c B B =，故tan B ，又0180B ︒<<︒，所以30B =︒.【答案】30°6.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b a C =，30C =︒，2c =，则ABC 的面积为_______.【解析】解法1：cos sin sin cos b a C B A C =⇒=， 又()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos A C A C A C +=，从而cos sin 0A C =，因为0180C ︒<<︒，所以sin 0C >，故cos 0A =，又0180A ︒<<︒，所以90A =︒，因为30C =︒，所以b =12ABC S bc =解法2：由射影定理，cos cos b a C c A =+，又由题意，cos b a C =，所以cos cos cos a C c A a C +=，从而cos 0A =，因为0180A ︒<<︒，所以90A =︒，又30C =︒，所以b =12ABC S bc =【答案7.（★★★）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos b a C c B =+，且1CA CB ⋅=，则ABC 的面积为_______.【解析】由射影定理，cos cos b a C c A =+，又cos cos b a C c B =+，所以cos cos cos cos a C c a C c B +=+，化简得：cos cos A B =，因为(),0,A B π∈，且函数cos y x =在()0,π上，所以A B =，故a b =，又1CA CB ⋅=，所以cos 1ab C =，从而2222cos 2ab C a b c =+-=，结合2a b c =⎧⎨=⎩可得a b =，所以11cos 3C ab ==，sin C ==1sin 2ABCS ab C ==【答案。
中考数学射影定理实例解析
中考数学射影定理实例解析1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,BE平分∠ABC交CD于F,EH⊥CD于H，则下列结论正确的结有（）：①CD²=AD·BD;②AC²+BD²=BC²+AD²;③B+B B=1④若F为BE中点，则AD=3BDA.1个B.2个C.3个D.4个解：①∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ACD~△CBD,即CD²=AD-DB,故①正确②∵AC²-AD²=BC²-BD²=CD²∴AC²+BD²=BC²+AD²故②正确③作EM⊥AB,则BD+EH=BM∵BE平分∠ABC,ABCE=△BEM∴BC=BM=BD+EH,所以B+B B=1故③正确：④若F为BE中点，则CF=EF=BF,∴∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°,∠A=30°∴AB=2BC=4BD∴AD=3BD。
答案：D2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D,交⊙O于点C,在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是() A.AB，CD B.PA，PC C.PA，AB D.PA，PB解:A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算：B、根据切割线定理即可计算；C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径；D、根据切线长定理，得PA=PB.相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长答案：D3.如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点(不与点A,B重合),作CD⊥AB与半圆交于点C,设AD=a,BD=b,则下列选项正确的是()A.r2>BB.r2≥BC.r2<BD.r2≤B解：连接AC,BC,∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b.∴∠ACD=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠CDB∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.∴△ACD~△CBD∴B B=B B即B=B∴CD=B答案:B4.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,给出下列结论：①∠DAC=∠ABC:②AD=CB:③点P是ACQ的外心：④AC²=AE·AB;⑤CB||GD,其中正确的结论是()A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④解∵在⊙O中，点C是AD的中点，∴AC=CD∴∠CAD=∠ABC,故①正确；∵AC≠BD,∴AD≠BC.∴AD≠BC,故②错误∵∠ACQ=90°,∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°又·*CE⊥AB,∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°∴∠ACE=∠ABC又∵C为AD的中点，∴AC=CD∴∠CAP=∠ABC∴∠ACE=∠CAP,∴AP=CP,∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠POC=90°∴∠PCQ=∠POC,∴PC=PQ∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点∴P为Rt△4CQ的外心，故③正确；∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC²=AE-AB,故④正确如图，连接BD,则∠ADG=∠ABD∵AC≠BD.∴AD≠BC,∴∠ABD≠∠BAC,∴∠ADG≠∠BAC又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC,∴∠ADG≠∠PQC∴CB与GD不平行，故⑤错误.答案:D5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,AB=10,则AD等于()A.4.4B.5.5C.6.4D.7.4解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴AC²=AD·AB∴AD=8·810=6.4答案:C6.如图所示,在△ABC中，∠C=90°,D为BC边的中点，DE⊥AB于E,则AE²-BE²等于()A.AC²B.BD²C.BC²D.DE²解：作AB的中点F,连接DF,则DF||AC DF=12AC在RT△BDF中，又DE⊥AB,得△DEF~△BDF∴E E=E E即EF·BF=DF2=14AC2∴AE²-BE²=(AE+BE)·(AE-BE)=AB·2EF=4EF·BF=AC²答案：A7.如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P,延长CP、AP交AB、BC于点M、N.若AB=2,则AP等于()解：如图，设点S为BC'的中点，连接DP,DS,DS与PC'交于点H,作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F,∴DP=CD=2,PS=CS=1即DS是PC的中垂线∴△DCS=△DPS∴∠DPS=∠DCB=90°.∴DS=DC²+CS²=2²+1=5∵BC为直径∴∠CPB=90°∴PB=B C²+P C²=255∴PE=FB=B·B B=45∴PF=BE=PB²+PE²=25∴AF=AB-FB=65∴AP=AF²+PF²=答案：B8.如图，点P是OO的直径BA延长线上一点，PC与OO相切于点C,CD⊥AB，垂足为D,连接AC、BC、OC,那么下列结论：①PC²=PA·PB:②PC·OC=OP·CD③OA²=OD·OP;④OA(CP-CD)=AP·CD,正确的结论有()个。
八年级数学上册综合算式专项练习题射影定理的应用
八年级数学上册综合算式专项练习题射影定理的应用射影定理是数学中一个重要的定理，可以应用于各种几何问题的解决。
在八年级数学上册中，我们学习了综合算式，并且可以通过应用射影定理来解决一些相关问题。
本文将对八年级数学上册综合算式专项练习题中射影定理的应用进行讨论和解析。
题目一：已知直角三角形ABC，AB=9cm，BC=12cm，将BC边以B点为圆心和BC为半径作一个圆，交AB边于E点，连接BE，并延长到D点，求BD的长度。
解析：根据题目中所给的条件，我们可以利用射影定理来解决这个问题。
首先，我们需要明确射影定理的具体表述：“在平行直线上，一个线段与其射影之积等于另一个线段与其射影之积。
”利用这个定理，我们可以得到以下等式：AC * CE = BC * CD由题目中所给条件可知，AC=9cm，BC=12cm，因此，我们可以得到：9 * CE = 12 * CD接下来，我们需要找到CE和CD的实际值。
根据射影定理的应用，CE表示的是线段CE的垂直射影，CD表示的是线段CD的垂直射影。
由于直角三角形ABC为直角三角形，因此CE就是BD的垂直射影，CD就是BD的本身。
将CE和CD分别表示为x和BD，我们可以得到：9 * x = 12 * BD将已知条件代入等式中，我们可以解得BD的长度。
题目二：已知平行四边形ABCD，AB=8cm，BC=6cm，将AB延长到E点，BC延长到F点，连接CF和DE，并延长相交于点G，求CG和BG的长度之比。
解析：该题也可以应用射影定理来解决。
根据射影定理的具体表述：“在平行直线上，一个线段与其射影之积等于另一个线段与其射影之积。
”我们可以利用这个定理来得到以下等式：CF * FG = BC * BGDE * EG = AB * BG由于平行四边形ABCD是平行四边形，所以CF和DE分别是BG的射影。
根据已知条件，可以得到：6 * FG = 8 * BG8 * EG = 6 * BG将以上两个等式联立，我们可以解得CG和BG的长度之比。
2023初中数学专题《射影定理模型》试卷含答案解析
1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下：注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是 ．模型介绍例题精讲解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝90°，∵BE ⊥AC ，∴∠AGB ＝90°＝∠ABC ，∵∠BAG ＝∠CAB ，∴△ABG ∽△ACB ，∴＝，∴AG •AC ＝AB 2（射影定理），即（AC ﹣1）•AC ＝12，解得：AC ＝或AC ＝（不合题意舍去），即AC 的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若AC ⊥BC ，则a 的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣1D ．﹣2解：设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0），C （0，t ），∵二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象过点C （0，t ），∴t ＝2；∵AC ⊥BC ，∴OC 2＝OA •OB （射影定理），即4＝|x 1x 2|＝﹣x 1x 2，根据韦达定理知x 1x 2＝，∴a ＝﹣． 故选：A ．【例3】．将沿弦BC 折叠，交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是（ ）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是 9 ．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为 2 ．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，。
射影定理复习题
定义：射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项例如：公式Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。
例题1：1、ABC 中，90A ∠=，AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD=，AC= ，22:AB AC = 。
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长3、如图2-1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．3、已知CD 是ABC 的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∽变式训练：图1—4—3，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF 。
求证：GD 2=GF ·GH 。
中考链接：如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证：DE =创新训练：如图1-2，在矩形ABCD 中，1,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠，则EDB ∠=大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。
光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。
用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。
人们那么喜欢荷花，不单单是因为它的芳香美丽洁净高雅，更因为它全身是宝，每一处都可食可药可用。
初升高衔接数学专题 射影定理(含答案)
【答案】 D
5.如图 1-1-62 所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D 为垂足，若
CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则 AD 的值是( )
图 1-1-62
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【解析】 由题意知ADDB＝12， AD·DB＝36，
∴AD2＝18，
∴AD＝3 2. 【答案】 B
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初升高衔接数学专题
【练出高分】
班级
姓名
1.已知：在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，BC＝ 15 cm，
BD＝3 cm，则 AD 的长是( )
A.5 cm
B.2 cm
C.6 cm D.24 cm
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，
6.如图所示，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，OF⊥AB，DE∶EB＝1∶3，OF ＝a，则对角线 BD 的长为________.
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初升高衔接数学专题
【解析】 由题意知，AD＝2a，DE＝14BD，
∴AD2＝DE·BD＝14BD2，
∴BD2＝4AD2＝16a2，
∴BD＝4a.
【答案】 4a
7.在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，若 BD∶AD＝1∶4，则 tan
【答案】
2 13 3
3.在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是高，AC＝12 cm，BC＝15 cm，则
S△ACD∶S△BCD＝________.
【解析】 由直角三角形的射影定理知，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD＝ABCC22＝115222＝1265，
∴SS△△ABCCDD＝BADD＝1265. 【答案】 16∶25
初中数学三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型及参考答案
三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型(射影定理模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=∠B-∠C21(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE ⊥AB于点E，则∠ECD度数为()A.5°B.8°C.10°D.12°2(2023春·河南南阳·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A.1个B.2个C.3个D.4个3(2023·安徽合肥·七年级统考期末)如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB=9cm，AC= 12cm，BC=15cm，试求：(1)AD的长度；(2)△ACE和△ABE的周长的差．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③AB⋅CD=AE⋅BC。
4(2023·陕西咸阳·统考一模)如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，并且CD,BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数为()A.130°B.120°C.110°D.100°5(2022秋·安徽宿州·八年级校考期中)如图，在△ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，若CD= 12，BE=16，则ACAB的值为( )．A.35B.34C.43D.586(2023春·河南周口·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，CF⊥AB于点F，AD⊥BC于点D，AD与CF交于点E，∠B=46°．(1)求∠AEC的度数．(2)若AD=6，求CF的长．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③AB⋅AC=AD⋅BC。
部编数学九年级下册专项32相似三角形射影定理综合应用(2种类型)(解析版)含答案
专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型） 一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广 １．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2）） 如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
【类型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（ ）A．4B．4C．4D．【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故选：A．【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（ ）A．B．C．D．2【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴＝，∵AD＝3，CD＝4，∴＝，解得：BD＝，故选：A．【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA 【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．故选：B．【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（ ）A．3B．8C．D．2【答案】A【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．【类型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP•AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故选：A．【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（ ）A．2B．C．5D．2【答案】B【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，∴，∴AC＝或﹣（舍去），故选：B．【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．【答案】8【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝ ．【答案】2【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m．A．B．C．6D．【答案】B【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝3m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴＝，即DC2＝ED•FD＝2×3＝6，解得CD＝m．故选：B．2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（ ）A．3B．4C．4D．2【答案】D【解答】解：延长EC交圆于点F，连接DF．则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．则DE＝4．在直角△ADF中，根据射影定理，得EF＝＝4．根据勾股定理，得DF＝＝4，则圆的半径是2．故选：D．3．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．【答案】6【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD2＝CD•BD＝36，∴AD＝6，故答案为：6．4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD 交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝ cm．【答案】3【解答】解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x （3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是 ．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∵AB＝4，BC＝8，∴BD＝2．即AC⋅CF＝CB⋅DF．8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即＝，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）方法一：∵BC＝CD＝6，而DE＝2CE，∴DE＝4，CE＝2，在Rt△BCE中，BE＝＝2，在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，∵△BOF∽△BED，∴＝，即＝，∴OF＝．方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，∵OG＝OF，∴△OGF为等腰直角三角形，∴∠OGF＝45°，∴G点在BE上，∵BG＝CF＝，∴GF＝，∴OF＝GF＝．。
圆与射影定理结合型压轴题专题(学生版)--2024年中考数学重难点
圆与射影定理结合型压轴题专题射影定理模型：射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形推导过程结论因为∠A=∠A∠ABC=∠ACD∴ΔABC∽ΔACD∴ACAD=ABAC①AC2=AD⋅AB;②BC2=BD⋅BA;③CD2=AD⋅BD1(长沙中考)如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．(1)PFPQ+PEPM=．(2)若PN2=PM•MN，则MQNQ=．2(北雅)如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动(不与M 、N 重合)，PH ⏊MN 于H 点，过N 点作NQ 与PH 平行交MP 的延长线于Q 点．(1)求∠QPN 的度数；(2)求证：QN 与⊙O 相切；(3)若PN 2=PM ⋅MN ，求MH NH的值．3(长沙中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记ΔBDC ，ΔABC ，ΔADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求D tan 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC =y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．4(长沙中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC=25DE，求tan∠ABD的值．5(青竹湖三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE=CE；(2)EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；(3)在(2)的条件下，若CF:CD=n(n>0)，求sin∠CAB．6(长郡)如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．(1)求证：AH=HD；(2)若BDBF =45，DF=9，求⊙O的半径．7如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB 的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE=52.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若BC=5，求阴影部分的面积；(3)若CD=3，求PC的长度(射影定理).8(雅礼)如图，已知BC ⊥AC ，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与⊙O 的交点，点D 是MB 与⊙O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且AD •AO =AM •AP ．(1)连接OP ，证明：△ADM ∽△APO ；(2)证明：PD 是⊙O 的切线；(3)若AD =24，AM =MC ，求PB MD的值．9(广益)如图，已知PB 与⊙O 相切于点B ，A 是⊙O 上的一点，满足PA =PB ，连接PO ，交AB 于E ，交⊙O 于C ，D 两点，E 在线段OD 上，连接AD ，OB 。
中考数学总复习《射影定理》专题训练(含答案)
射影定理一 、选择题1.如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）A ．2212BF AF =B ．2213BF AF =C ．2212BF AF >D ．2213BF AF < 二 、解答题 2.如图，ABC △中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH =⋅．3.已知：如图，90ACB CDA AEB ∠=∠=∠=︒,求证：AEC ACF ∠=∠．4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD AB BC ⊥∥，，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，AD BD =，过E 的直线EF AB ∥交AD 于F ．⑴ AF BE =，⑵ 2AF AE EC =⋅．FED C A H G D FE CB AFE AB C D5.如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：AD 平分BAC ∠．6.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD AB BC ⊥∥，，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，AD BD =，过E 的直线EF AB ∥交AD 于F ．⑴AF BE =，⑵2AF AE EC =⋅．7.如图，直角ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，证明：2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅，2AD BD CD =⋅．8.如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在AC 上，BD AD =，M 是AB 的中点，ME AC⊥于E ，点P 是ME 的中点，连接DP ．求证：BE DP ⊥．F E DCB A EF D C B AF E DCBA D CB A9.如图，ABC △中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH =⋅．AB C D E M P PM EDCB A H G D FE CB A射影定理答案解析一 、选择题1.A∵在Rt ABC △中，BF AC ⊥∴根据射影定理有2BF AF FC =⋅又∵EC AB ∥，点E 为DC 中点 ∴12EC CF AB AF == ∴2212BF AF FC AF =⋅=【解析】本题根据选项可以确定利用射影定理可以解决．二 、解答题2.∵,,HF AB BE AH FGB EGH ⊥⊥∠=∠∴FBG EHG ∠=∠∴Rt FBG Rt FHA △∽△ ∴BF FG FH AF=，即AF BF FG FH ⋅=⋅ 又∵在Rt ABD △DF AB ⊥根据射影定理有：2DF AF BF =⋅∴2DF FG FH =⋅【解析】熟悉了掌握了射影定理后，这一题就不难解答了．直接证明2DF FG FH =⋅有些困难，可通过射影定理转化成证明AF BF FG FH ⋅=⋅即证明BF FH FG AF=，这个结论比较明显，证明BFG △∽HFA ∆即可．3.∵在Rt ACB △中CD AB ⊥∴根据射影定理有：2AC AB AD =⋅又∵Rt AFD Rt ABE △∽△ ∴AD AF AE AB=，即AB AD AE AF ⋅=⋅ ∴2AC AE AF =⋅，又CAF EAC ∠=∠∴AEC ACF △∽△∴AEC ACF ∠=∠【解析】由题目中求角相等，根据本章学习的内容可知，我们可能由已知条件证明相似，进而得到相等的角，根据三点定形法，可初步猜测：AEC ACF △∽△．由射影定理可知：2AC AB AD =⋅，又根据两角相等两三角形相似，证明: Rt AFD Rt ABE △∽△，得到相似比例线段：AD AF AE AB =，即AB AD AE AF ⋅=⋅，根据线段的等量代换得到：2AC AE AF =⋅，可证明：AEC ACF △∽△4.⑴ ∵EF AB ∥，∴DFE DEF ∠=∠∴DF DE =，又∵AD BD =，∴AF BE =，⑵ 90ABC ∠=︒，BE AC ⊥，∴ABE BEC ∆∆∽，∴2BE AE EC =⋅∴2AF AE EC =⋅【解析】（1）根据平行线分线段成比例以及等腰三角形两底角相等得到证明．（2）由射影定理直接可得2BE AE EC =⋅，又BE AF =，线段的等量代换可得到2AF AE EC =⋅．5.连接AF ，∵EF 垂直平分AD ，∴AF DF =，∵2DF FC FB =⋅，∴2AF FC FB =⋅ ∴AF FB FC AF=， 又∵AFC BFA ∠=∠∴AFC BFA ∆∆∽，∴FAC B ∠=∠，∵FDA FAE FAC CAE ∠=∠=∠+∠，FDA B BAD ∠=∠+∠，∴BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠．【解析】解答本题的关键是要利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，再根据线段的等量代换得到2AF FC FB =⋅，利用公共角相等可证明AFC BFA △∽△，由相似得到有用的等角，再根据ADF △为等腰三角形，利用角之间的等量代换可得到证明．6.⑴ ∵EF AB ∥，∴DFE DEF ∠=∠∴DF DE =，又∵AD BD =，∴AF BE =，⑵ 90ABC ∠=︒，BE AC ⊥，∴ABE BEC ∆∆∽，∴2BE AE EC =⋅∴2AF AE EC =⋅7.∵AB AC ⊥，AD BC ⊥∴ABD ∆∽CAD ∆∽CBA ∆∵ABD ∆∽CAD ∆ ∴2BD AD AD BD CD AD CD=⇒=⋅ 同理可得，2BD AB AB BD BC AB BC =⇒=⋅，2CD AC AC CD BC AC BC =⇒=⋅ 点评：上述的结论就叫做射影定理，这个结论及相关基本图形非常重要．【解析】由两组对角分别相等证明三组相似三角形，由三组相似三角形可得到证明．8.连接DM ．∵BD AD BM AM ==，∴DM AB ⊥，ME AD ⊥∴2ME DE AE =⋅（射影定理） ∵222,12DE DE DE BC ME ME PE ME CE CE AEME ==== ∴DE BC PE CE= ∵,AC BC PE AD ⊥⊥∴DEP ECB △∽△∴PDE CBE ∠=∠∴PD BE ⊥【解析】本题证明的关键是要证明DEP ECB △∽△，证明这对相似三角形就需要由已知条件推到出有用的成比例线段，再根据都是直角三角形，才可得证．9.直接证明2DF FG FH =⋅有些困难，可通过射影定理转化成证明AF BF FG FH ⋅=⋅ 即证明BF FH FG AF =，这个结论比较明显，证明BFG △∽HFA ∆即可．。
练习10 射影定理-九年级数学(沪科版)(解析版)
练习10 射影定理一．选择题1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是( )A ．ACDB ∠=∠ B ．2CD AD BD =C ．AC BC AB CD = D ．2BC AD AB =【解答】解：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，CD AB ⊥，90B BCD ∴∠+∠=︒，ACD B ∴∠=∠，A 正确，不符合题意；90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，2CD AD BD ∴=，B 正确，不符合题意； 由三角形的面积公式得，1122AC BC AB CD =， AC BC AB CD ∴=，C 正确，不符合题意；90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，2BC BD AB ∴=，D 错误，符合题意；故选：D ．2．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，则下列结论不正确的是( )A ．2AC AD AB = B ．2CD AD BD =C ．2BC BD AB = D ．CD AD AC BC =【解答】解：如图，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，∴由射影定理得：2AC AD AB =，2BC BD AB =，2CD AD BD =； ∴CD BC AD AC=； CD AC AD BC ∴=，A ∴，B ，C 正确，D 不正确．故选：D ．二．填空题3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，5CD =，2BD =，则AC = ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，由射影定理得，2CD AD BD =，252CD AD BD ∴==， 92AB AD BD ∴=+=， 由射影定理得，593522AC AD AB ==⨯= 35． 4．如图，ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，90BED ∠=︒，EB ED =，连接AE ，若32BC =，则ABE ∆的面积为 ．【解答】解：作EF AB ⊥于点F ，90BED ∠=︒，EB ED =，EF AB ⊥， 12EF BD ∴=， 90BCA ∠=︒，CD AB ⊥，218BD AB BC ∴==，ABE ∴∆的面积11192222AB EF AB BD ==⨯⨯=， 故答案为：92．5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，若6AD =，18BD =，则AC 的长等于 ．【解答】解：6AD =，18BD =，24AB AD BD ∴=+=．Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，2624AC AD AB ∴==⨯，12AC ∴=．故答案是：12．6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的中线，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ．若2AC =，4BC =，则AE 的长为 ．【解答】解：90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的中线，AD CD BD ∴==，ACD CAD ∴∠=∠，DCB B ∠=∠，AE CD ⊥，90CAE ACD B CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，CAE B ∴∠=∠，tan tan CAE B ∴∠=，∴CE AC AC BC =， ∴224CE =， 1CE ∴=，2222215AE AC CE ∴=+=+=，故答案为：5．三．解答题7．如图，已知ABC ∆，90ACB ∠=︒．（1）求作AB 边上的高CD ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若2AD =，4BD =，求高CD 的长．【解答】解：（1）如图所示，CD 即为所求；（2）CD AB ⊥，90ACB ∠=︒，2CD AD DB ∴=，2AD =，4DB =，22CD ∴=．8．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上一点，且CD AB ⊥．（1）求证：2AC AB AD =；（2）若ABC ∆为任意三角形，试问：在AB 边上（不包括A 、B 两个顶点）是否仍存在一点D ，使2AC AB AD =，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：CD AB ⊥，90ADC ACB ∴∠=∠=︒，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，∴AC AD AB AC=， 2AC AB AD ∴=；（2）解：存在，理由：如图，过C 作ACD B ∠=∠交AB 于D ，则2AC AB AD =，证明：ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，∴AC AD AB AC=， 2AC AB AD ∴=．9．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点D 为AC 边中点，DE 垂直BD 于点D ，交BC 边于点E ，求CDE ∆面积．【解答】解：作EH AC ⊥于H ．BD DE ⊥，EH AC ⊥，90A BDE EHD ∴∠=∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB EDH ∠+∠=︒，ABD EDH ∴∠=∠，ABD HDE ∴∆∆∽， ∴AB AD DH EH=， 2AB AC ==，点D 为AC 边中点，2AB AC ∴==，1AD DC ==， ∴21DH EH=， 2DH EH ∴=，设CH x =，AB AC =，90A ∠=︒，45C ∴∠=︒，CH EH x ∴==，2DH x =，31x ∴=，13x ∴=，111112236CDE S CD EH ∆∴==⨯⨯=．1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AC BC <，则下列结论中错误的是( )A ．2CD AD DB = B ．AC DB BC AD = C ．AD BC AC CD = D ．2BC BD AB =【解答】解：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥2CD AD DB ∴=，2BC BD AB =，故A 、D 选项正确；ACD CBD ∆∆∽，∴AC AD CD BC CD BD==， AC DB BC CD ∴=，故B 选项错误；AD BC AC CD =，故C 选项正确；故选：B ．2．已知CD 是Rt ABC ∆斜边上的高，若25AB =，15BC =，则BD 的长为 ．【解答】解：由射影定理得，2BC BD AB =，则29BC BD AB==， 故答案为：9．3．【问题情境】如图1，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，我们可以利用ABC ∆与ACD ∆相似证明2AC AD AB=，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF BE⊥，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明BOF BED∆∆∽；（2）若2DE CE=，求OF的长．【解答】【问题情境】证明：如图1，CD AB⊥，90ADC∴∠=︒，而CAD BAC∠=∠，Rt ACD Rt ABC∴∆∆∽，::AC AB AD AC∴=，2AC AD AB∴=；【结论运用】（1）证明：如图2，四边形ABCD为正方形，OC BO∴⊥，90BCD∠=︒，2BC BO BD∴=，CF BE⊥，2BC BF BE∴=，BO BD BF BE∴=，即BO BF BE BD=，而OBF EBD∠=∠，BOF BED∴∆∆∽；（2）6BC CD==，而2DE CE =，4DE ∴=，2CE =，在Rt BCE ∆中，2226210BE =+=，在Rt OBC ∆中，232OB BC ==， BOF BED ∆∆∽， ∴OF BO DE BE =，即324210OF =， 65OF ∴=．4．如图，在Rt ABC ∆中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ．已知6AC =，2AD =，求AB ？【解答】解：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 2AC AD AB ∴=，又6AC =，2AD =，18AB ∴=．。
专项32 相似三角形-射影定理综合应用(2种类型)(原卷版)
专项32 相似三角形-射影定理综合应用（2种类型）一、射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
【类型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【变式1-1】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（）A．4B．4C．4D．【变式1-2】（2021秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，CD＝4，则BD的长为（）A．B．C．D．2【变式1-3】（2020秋•梁平区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA【变式1-4】（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2【类型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则AC的长为（）A．2B．C．5D．2【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为．【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝．1.（2022秋•义乌市月考）如图，小明在A时测得某树的影长为3m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）m．A．B．C．6D．2．（2012•麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（）A．3B．4C．4D．23．（2022春•周村区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为．4．（2021春•汉阴县期中）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD 交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．5．（2022•武汉模拟）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是．6．（2021秋•滦州市期中）已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长．7．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．8．（盐城校级模拟）【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的长．。
中考数学复习射影定理[人教版]
![中考数学复习射影定理[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/85e1ed390722192e4436f610.png)
C
A
D
B
2 、如图 ，在⊿ ABC中， CD⊥AB 于D，DE ⊥ AC 于E ， DF ⊥ BC 于F 。求证 ： ⊿ CEF∽⊿ CBA
C
F
E
A
D
B
3、如图:已知,在Rt△ABC中,∠C 0 =90 ,CD⊥AB于D.若AD,BD是关于 2 x的方程x -10x+m=0的两个根,且 S△ABC=20,求m的值.
C
A
D
B
4、如图,以Rt△ABC的BC边为直 径的圆交斜边AB于D,若AD、BD 2 的长是以x为未知数的方程x 6x+n2=0(n>0)的两根，
2 2 且AD +DB =20，
C
求CD的长.
A
O
D
B
5、如图，矩形ＡＢＣＤ中， Ｅ是ＢＣ上一点，且ＢＥ＝４ ＥＣ，ＡＥ⊥ＤＥ，则ＡＢ/
6、已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ， ∠ＡＢＣ＝Ｒt∠ ，对角 线ＡＣ⊥ＢＤ于Ｐ，ＡＤ：ＢＣ ＝３：４，则ＢＤ：ＡＣ ＝ 。A D P
B
C
7、如图，已知AB=AC，AD ⊥ AB。若CD=7，AB=15， 求BC的长。
A
B
E
D
C
；傲世皇朝 傲世皇朝；
编好了假话等着她呢丶"那叶道友你,你有发现什么吗?这个邪物不会再次苏醒吧?"看着这镜子中显现の生物,当真是有些恶心丶傲世皇朝道："十年前,你们也曾主持过仪式,当时他也是这样子享用食物の,但是壹个月后就会陷入沉睡了丶""这十年间,壹直也没有再苏醒丶"当然这话
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射影定理（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共1小题）
1．（2017秋•平谷区校级月考）在中，，于，若，，则的值是
A ． B
C ．2
D ．4
二．填空题（共3小题）
2．（2018秋•房山区校级月考）如图，，，已知，，则图中线段的长 ， ， ．
3．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，，，则 ．
4．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，若，，则 ．
三．解答题（共1小题）
5．（2019秋•朝阳区校级期中）已知：如图，在中，，，垂足为，，，求的长．
Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =1BD =BC ()AB AC ⊥AD BC ⊥6AB =9BC =BD =AD =AC =Rt ABC ∆90C ∠=︒CD AB ⊥D 6CD =4BD =AD =Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =8BD =CD =ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =6BD =CD
射影定理（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．（2017秋•平谷区校级月考）在中，，于，若，，则的值是
A ． B
C ．2
D ．4
【分析】利用射影定理得到，然后把，代入计算即可．
【解答】解：根据射影定理得，
即，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
二．填空题（共3小题）
2．（2018秋•房山区校级月考）如图，，，已知，，则图中线段的长 4 ，
， ．
【分析】根据射影定理得，则可计算出，再计算出，然后根据计算出，利用计算出．
【解答】解：，，
，即，解得，
，
，
Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =1BD =BC ()2BC BD BA =g 3AD =1BD =2BC BD BA =g 21(13)BC =⨯+2BC =C AB AC ⊥AD BC ⊥6AB =9BC =BD =AD =AC =2AB BD BC =g 4BD =5CD BC BD =-=2AD BD CD =g
AD 2AC CD BC =g AC AB AC ⊥Q AD BC ⊥2AB BD BC ∴=g 269BD =g 4BD =5CD BC BD ∴=-=2AD BD CD =Q g AD ∴==
，
故答案为4，，
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
3．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，，，则 9 ．
【分析】根据射影定理列出算式，计算即可．
【解答】解：，，
，
， 故答案为：9．
【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
4．（2015秋•北京校级期中）如图，在中，，于，若，，则
【分析】根据射影定理列出等积式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：，，
，
则
故答案为：
【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
三．解答题（共1小题）
5．（2019秋•朝阳区校级期中）已知：如图，在中，，，垂足为，，，
2AC CD BC =Q g AC ∴==Rt ABC ∆90C ∠=︒CD AB ⊥D 6CD =4BD =AD =90C ∠=︒Q CD AB ⊥2CD AD BD ∴=g 2
9CD AD BD
∴==Rt ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =8BD =CD =90ACB ∠=︒Q CD AB ⊥224CD AD BD ∴==g CD =ABC ∆90ACB ∠=︒CD AB ⊥D 3AD =6BD =
求的长．
【分析】根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：由射影定理得，，
【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
CD 23618CD AD DB ==⨯=g CD ∴==。