滑移线理论与特征线法河海大学分析解析共95页文档

7滑移线法全解

18.2 滑移线法slip field theory内容：滑移线法原理及应用。

重点：滑移线场slip field 的合理建立。

滑移线：塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线特点：滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广满足条件：静力学+运动学（速度场条件）18.2.1 基本概念18.2.1.1 平面变形的应力⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒=+3212000000031σσεσσ231σσσ+=m塑变屈服时()K =-=3121max σστ莫尔圆为：⎪⎩⎪⎨⎧±=+=-=ωτωσσωσσ2cos 2sin 2sin k k k xym y m x ⎪⎩⎪⎨⎧-==+==k k m mm σσσσσσω32145时18.2.2 最大切应力迹线——滑移线变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 61τ为P 1点最大切应力方向2τ为P 2点的（1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。

α族，β族18.2.2.1 ωβα及.1）逆时针方向线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,.βα 图7-32）角方向成线为线4531σσβα3）()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω18.2.2.2 滑移线方程()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==族βωωωπctg tg tg dxdy dx dy 2Hencky 方程：ωσ~m平面应变应力平衡微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂00yxy x y y x x y xσττσ将屈服准则式代入有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--∂∂=+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2yx m y x m k y k x ωωωωωωσωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。

变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴轴轴βα,注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！在α点无限近处有：0=ω αds dx = βds dy =αs x ∂∂=∂∂βs y ∂∂=∂∂0≠∂∂αωs 0≠∂∂βωs 因此变为：()线线βωσαωσββαα02)(02=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂s k s s k s m m积分后得：()()⎩⎨⎧=+=-线线βηωσαξωσk k m m 22此式即汉基应力方程（Hencky ）18.2.3 滑移线特性18.2.3.1 沿线特性沿α线：ωσ∆=∆k m 2 沿β线：ωσ∆-=∆k m 2证：设一条α线上有a 、b 两点ξωσξωσ=-=-b mb a ma k k 22 ()02=---∴b a mb ma k ωωσσωσ∆=∆∴k m 218.2.3.2 跨线特性()()⎩⎨⎧∆=∆∆=∆C B m D A m BC AD ,σσωω，证明：先沿α线，A →B 有B B m A mA k K ωωσσ22-=-沿β线B →C 有：c mc B mB k k ωωσσ22+=+ ()c A B mA mc k ωωωσσ--=-∴22（a ）再沿A →D （β1线）D mD A mA k k ωσσω22+=+D →C （沿线2α）c mc D mD k k ωωσσ22-=-()D C A mA mc k ωωωσσ22-+=-∴（b ）由于a,b 式相等D B B A ωωωω+=+∴或：B c A D ωωωω-=-⎪⎭⎪⎬⎫-=-∆=∆mB mC mA mD BC AD σσσσωω:同理可证即上式即汉基第一定理即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。

滑移线理论及应用

证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别

第七章_滑移线场理论简介

1 2K 3 2K p;
ma
1 ( 1 3 ) K p 2
根据亨盖应力方程
ma mb 2K
K p ( K ) 2 K ( p 2 K (1

) 4 4

2
)
平面变形挤压

平面变形挤压：挤压前后的宽度不变。挤压的程度用挤压前后的面积比来表示，称为挤压比。对于平面变形挤压，可由挤压前后料厚度之比表示。
xy 0
cos 2 0

4

4

τ=0 β
自由表面 α β
τ=0
4

4
自由表面 β
4
α σm K K σm
σm
K
K
σm
σ1
σm K K
σ1=2K
代数值最大的主应力σ1的作用线
σ3
σm K K
σ3=-2KLeabharlann σmσmαα
1 2 K , 3 0
代数值最大的主应力 σ1(=0)的作用线
m 2k 沿线 m 2k 沿线
, 在同一条滑移线上为常数
ma mb 2k (a b ) 正号用于线，负号线
ma mb 2k (a b )

若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点的平均应力，则可确定该滑移线上各点的应力状态
一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α

第4章滑移线场理论

点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点所移动的路程（如dSα）。
11
4.3 塑性区应力边界条件：
自由表面
Principle of Metal Forming
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
接触表面之：
摩擦切应力为零
摩擦切应力为某中间值
Principle of Metal Forming
13
摩擦切应力为最大值
7
由称Saint-Venant塑性流动方程
Principle of Metal Forming
8
4.2 滑移线的性质
4.2.1 H.Hencky方程也称沿线特性，描述滑移线上各点的平均应力变化规律。
Principle of Metal Forming
由上式知，任一族中任一条滑移线上两点的平均应力符合下列关系式：
一条滑移线（如β1或β2 ）相交两点的倾角差和静水压力变化量均保
Principle of Metal Forming
持不变。
若单元三个节点角ω、σm知，则第四点知。推论：异族截区内，一直皆直。
10
4.2.3 H.Hencky第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
14
4.2 常见的滑移线场类型
正交直线１）直线型
Principle of Metal Forming
２）简单型
奇点
有心扇形：直线＋圆弧无心扇形：包络＋渐开
15
３）直简组合型
Principle of Metal Forming

滑移线理论及应用PPT课件

a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数，如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x

2k c os2

x
sin2

y

0
m
x

2k s in2

x
cos2

y

0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。

第四章滑移线理论

3
sin (θ + µ ) ∂ −sin (θ − µ ) ∂
∂=
∂Sα
∂S β
∂x
sin 2µ
− cos (θ + µ ) ∂ + cos (θ − µ ) ∂
∂=
∂Sα
∂Sβ
∂y
sin 2µ
代入一阶拟线性偏微分方程：
− sin 2µ
∂p ∂Sα
+ 2R
∂θ ∂Sα
+γ
⎡ ⎢sin ⎣
(α
+2µ
y
β
2
α
1 θ
β
1
α
2 x
y
β
2
α 1β
θ
1 α
2 x
(a) Tresca材料
(b) Coulomb 材料
Tresca材料两族滑移线是正交的，与主应力迹线的夹角为π /4。而Coulomb材料的两族滑移线相互夹角为2μ= π/2-φ，与主应力迹线的夹解为μ，在本章，我们约定：以第一主应力σ1为基线，顺时针方向与基线成锐角的称为α线，逆时针与基线成锐解的称为β线。 α线和β线的微分方程式为：
σx −σy τ xy
2
( ( ) ) ( ) 于是有： sin 2α1 =
± σx
σx −σy 2
−σ y
2
2
+τ
2 xy
;cos 2α1
=
±τ xy
σ x −σ y
2
4
+τ
2 xy
( ( ) ) τα
=
σ
x
−σ 2
y
sin
2α
+τ
xy

工程弹塑性力学教学课件第十一章滑移线场理论

y S
0
p
2R
cos
x
sin
y
0
S
S
S
S
p* 2R C p* 2R C
（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并积分可得:
（沿线）（沿线）
p* p cosx sin y R K (或 C)
S
(p
2R )
0
( p 2R ) 0
S
p 2R C （沿线） p 2R C （沿线）
4.滑移线基本性质
滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度两族滑移线间的夹角与屈服准则有关对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间的夹角,但对其形状有影响。对c-φ型岩土材料,粘聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。
4.滑移线基本性质…
（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线 α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2 （或β2），则沿任何一条β族（或α族）的滑移线，α线（或β线）的方向与x轴的夹角的变化值保持常量。如图1，得：
RA )( p
A)
sin(
2 )( x p
x A
)
cos(
2 )(
yp
yA)
sin 2( pp pB ) (Rp RB )( p B ) sin( 2)(xp xB ) cos( 2)( yp yB )
yp
yA
tg
(
p
A 2
)( x p
xA )
yp
yB
tg
(
p
B 2
)( x p
自由表面上 n 0, n 0 。周界处处不与滑移线方向相重合。自由表面附近的应力场与自由表面的形状有关。如果自由表面是平面，其影响区域将如图7-2.

(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用

(滑移线为速度不连续线) 4. 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系：姆指指向α线正方向食指指向β线正方向中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大，沿该方向的相对变形量很小，可近似认为是平面变形问题。如：薄板轧制矩形件压缩
莫尔圆（应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”，国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料变形抗力为常数忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界：工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料

滑移线理论_弹塑性力学讲稿

R ` R R
R
"
S R S

B B`
S `
`
S
`

`
R `
A S
A`
R
`
证明：由于
1 R S 1 R S
（定义）
又可写为
R ` S R ` S
o
★ 屈服条件：（Mises）
（4-37）
化简后为
（4-38）
于是，在塑性区内主应力为
（4-39）
（4-40）
（4-41）
这就是说，在塑性区内任一点的应力状态，可用静水压力 o 与
o
纯剪应力两个分量来表示，
如图示。
o o

o o

o
★ 在不计体力的情况下，平衡方程为：
可解出
xm,m1 , ym,m1
（d) 重复计算可得出ABP范围内的塑性应力场。
(3) 第二边值问题（黎曼问题）
已知边界上某一点的两条正交的滑移线，其各点的、已知，如图示：求：区域AoBC内的塑性应力场。步骤：（a) 分网，如图示（b)求、，由汉基第 y B
(0,n) (o,2) (0,1) (m,0) (1,1) (m-1,n)

沿这两组滑移线分别有一一相
等的值和一一相等的值。而所有
也必相等，应力是均匀分布的，即称为均匀应力场。
例：图示直线边界上 n const, n 0 则
n k sin 2( ) 常数 p n k cos 2( ) 0
n
即
将上式代入（4-51（a)式得：
n k sin 2( ) n k cos 2( )

18-滑移线法-0304

但当 2 时，楔形冲头下将存在金属流动的死区。 2
3、圆弧冲头压入半无限体
建立滑移线场对称、简单场和均匀场的组合场。刚性区FEF‘，AFED为无心扇形场， ADC为有心扇形场，ABC均匀场，ECDB 为线， AC、AD为线，A点为应力奇点。 1 cos 1 p / K ； AF面上 = p，滑移线与表面交角为 2 E点滑移线与轴线交角为 4 ； OF与轴线交角为 0 。
三、粗糙平板间压缩长坯料
平板完全粗糙， =K。取b/h=3.64时，变形区由均匀应力区、刚性区、塑性变形区组成。建立滑移线场与数值积分法求解对称、均匀场和有心扇形场及其
OP
h sin 2 cos
BQ OP h cos 4
h sin l cos h cos 4 4 2 cos
AB cos AE sin h 4 l cos 2l cos sin h 4
有心扇形场ACD，以 ( = ) 角等分成小扇形区，扩展场 CDM区弦线代弧线构建四边形滑移线网格，四边形的内角
分别为、、和。族滑移线n =0，1，2，…； 2 2 2 2
族滑移线m =0，1，2，…；节点
的编号（m ，n）。
（0 ，0）点 0,0 ; 3 y p
K cos2 B K cos2 K cos2 2

p

cos2 1 2 sin 2
确定和值
设AB = l，根据几何关系得 AE 2 l cos 体积不变条件(OAB= OAE)

第九章滑移线法

逆时针方向

σ1方向（第一主方向）
KK
σ3方向
σ3方向 σ1方向
判断σ1、σ3方向
K
K
K
判断变化趋势

4
α
σ1
β
K
K
σ1β4来自α确定滑移线族别
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
9.2 汉基应力方程
汉基应力方程
m 2k C1 沿线
m 2k C2 沿线
(
1

3
)

k
1 2
(
1

3
)

m
z σz= σm= σ2
τxyτyxσy
0
y
σx
x
τ
σy （σm,+K）
τxy τyx
σ1 σ
x σx
2ω （σm,-K）
σ2= σm
σm +K
σ1
σy
σ1作用线
τ τyx
-K
xy
σm
P
σx
σ3
σ3
y

4 σm +K
P
ω σyτyx
-K τxy
σm
σx 0

& &
' x
' y

&( x &( y
m) m)
&xy & xy
……(10)
过P点取滑移线为坐标系
x , y ,&x ,&y & .
由于 , 是最大切应力所在平面上的
正应力
∴ m

第七章滑移线理论及应用

滑移线场理论是由M．列维和T．汉基等人所创立，到20世纪40年代后才逐渐形成比较完整的求解方法，滑移线场理论包括应力场理论和速度场理论。滑移线场理论是针对理想刚塑性材料在平面变形的条件下所建立的，但对于主应力互为异号的平面应力问题、简单的轴对称问题以及有硬化的材料，也可作推广应用。
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2

xy K cos 2

对于主应力状态有

4

1
2
m m
K

3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力的夹角为
与 ox 轴成夹角；

4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应力或平均应力：
2
m

1 2
(
1
2)

1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m

K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼（Riemann）问题。就是根据已知两条相交的滑移线，要求进一步求出一个区域内的滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿

第八章滑移线

181第8章滑移线理论及应用§8. 1 平面应变问题和滑移线场滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间，人们对金属塑性变形过程中，光滑试样表面出现 “滑移带”现象经过力学分析，而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法。

这里所谓“滑移线”是一个纯力学概念，它是塑性变形区内，最大剪切应力max (τ）等于材料屈服切应力（k ）的轨迹线。

对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设du Z =0），故只有三个应变分量（x d ε、y d ε、xy d γ），也称平面应变问题。

根据塑性流动法则，可知p m y x Z -==+==σσσσσ2/)(2 （8-1）式中，m σ为平均应力；p 称为静水压力。

根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量也只有三个（x σ、y σ、xy τ）（见图8-1a ），于是平面应变问题的最大切应力为：2231max ]2/)[(2/)(xyy x τσσσστ+-=-= （8-2）可见，这是一个以max τ为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆（见图8-1c ）。

图中设x σ<y σ<0（即均为压应力，因塑性加工中多半以压应力为主）。

值得注意的是绘制莫尔圆时，习惯上规定：使体素顺时针旋转的切应力为正，反之为负。

因此图8-1c 中的yx τ为正值；而xy τ取负值。

根据平面流动的塑性条件，k =max τ（对Tresca 塑性条件2/T k σ=；对Mises 塑性条件3/T k σ=.于是，由图8-1(C)的几何关系可知，有 Φ--=2sin k p x σΦ+-=2sin k p y σ （8-3）Φ=2cos k xy τ式中，)2/)((y x m p σσσ+-=-=——静水压力182Φ——定义为最大切应力)(max k =τ方向与坐标轴Ox 的夹角。

通常规定为Ox 轴正向为起始轴逆时针旋转构成的倾角Φ为正，顺时针旋转构成的倾角Φ为负（图8-1中所示Φ均为正）。

滑移线法

理想刚塑性体的平面应变问题1金属塑性加工变形的特点：材料的塑性变形很大弹性变形可以忽略冲模对金属块状材料的作用（塑性成形）塑性极限状态的荷载理论分析方法：滑移线法213滑移线的几何性质当滑移线沿着与之相交的另一族滑移线过渡到同族的另一条滑移线时，和的变化为常量。

θσHencky 第一定理：沿滑移线性质：9沿着滑移线平均应力的变化与夹角的变化成比例θσ9当滑移线为直线，均沿着滑移线为常数θσ9在被两根滑移线所截的另一族滑移线中，若某一段为直线，则被截的所有滑移线段都为直线简单滑移线场1. 均匀滑移线场αβ和线为两族相互正交的直线，代表均匀应力状态2. 中心扇形滑移线场滑移线场为同心圆族和在圆心共点的直线族组成，代表简单应力状态18滑移线场求解问题的例题1. 刚性平冲头压入半平面的极限荷载2. 单边受压力的楔形体3. 两侧带缺口板条的拉伸19212. Geiringer 速度方程速度场满足的条件：0=⋅+⋅dy dv dx dv y x 沿线：αβ沿线：0tan =⋅+y x dv dv θ0cot =⋅−y x dv dv θ沿线：αβ沿线：0=⋅−θβαd v dv 0=⋅+θαβd v dv Geiringer 方程几何意义：沿滑移线方向线应变率为零23 应力场必须满足平衡条件塑性区的应力满足屈服条件;刚性区应力点不在屈服面之外应力要满足应力边界条件¾塑性区速度和应变率是连续的, 而在刚性区应变率为零;¾体积不可压缩¾速度满足速度边界条件¾在力边界，速度使外力所做的功大于零塑性区应力和应变率满足Levy-Mises 方程解的性质。

第10章滑移线理论及应用分析解析

ω=0,dx=dsα,dy=dsβ
m 2k 0 s s m 2k 0 s s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
当沿族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
ma mb 2ka b
结论1：同一滑移线平均应力 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相等。
xy
0
xy
2G
2G
xz
yz 1 1 0 z ( y x ); 0 E 2 2G 1 z ( y x ) 得： 2
平均应力为： m
1 1 1 ( x y z ) ( x y ) ( x y ) z 3 3 2
m2,1
1 1 1 1 ( ) (2 2 ) 2,2 (2 1 ) m2,2 (2 2 ) 2,1 4 K 1 2 4K 2 2
→
2,1 1,1 2, 2 1, 2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2, 2 m 1, 2＝常数
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
汉基第一定理
汉盖第一定理：同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常数。
a b c d const ma b mdc const
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另

滑移线方法

根据质点的变形趋势判断

滑移线法就是针对具体的变形工序或变形过程，建立滑移线场，然后利用其某些特性，来求解塑性成形问题，如确定变形体内的应力分布、计算变形力、分析变形和决定毛坯的合理外形、尺寸等。

塑性加工理论及应用
6 滑移线法
6.2 汉基（Hencky）应力方程
料常数，故只要能找到沿滑移线上的 σm的变化规律，即可求得整个变形体（或变形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求解平面问题的实质。汉基应力方程给出了滑移线场内平均应力的变化与滑移线转角的关系式。其推导过程如下已知平面应变时的平衡方程为
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应力）等于材料常数k。
由图6-2可知，滑移线的微分方程为：
dy tg dx
对线
dy tg( /) ctg dx
对

线
图6-2 x-y坐标系与滑移线网络
滑移线基本概念

滑移线的判断

滑移线的主要特点

2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。 ma mb 2K (a b )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m1,1 m1,2 2K (1,1 1,2 )
沿β 2从（1，2），（2，2）
上述已知，平面塑性应变状态下的应力分量完全可由σm和K来表示，而K为材
x xy 0 x y y xy 0 y x
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
滑移线法解题步骤::
1 建立滑移线场,确定x,y坐标轴: 2 在自由表面取一点,分析应力状态: