高数答案(全集)第六章参考答案

第六章 常微分方程

1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d

2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性

3. (1)-(3)均为微分方程02

2

2=+y dx

y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得

dx y

dy cos 2

= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1

c x y +-=此外,还有解0=y

(2)分离变量,得dx x x y y d x

x dx dy y y )11

1(1)1(2112

222+-=+++=+或 两边积分,得c

x x y ln )1ln(ln )1ln(21

2++-=+

即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2

x

(3)将变量分离,得

112

2

=-+

-y

ydy x

xdx

积分得通解2

1x -+)20(12

c c y =-

还有使因子2

1x -∙012

=-y 的四个解.

x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2

)e

x

2dx-[

]

0)1( )e y +(1y

=+-dy y

e

x

2dx=dy y y ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++-

2y

11 (e 积分得

--=y e e y x arctan 2

12)1ln(212y +-21

(5)令 z=x+y+1,

z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z

dz

=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到

dz z z z se dz z

z

dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122

2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c

即-tan(

2

2z

-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2

1

4++-∏y x )

6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0

分离变量得du x dx 1)

-u(u u 2

2-=,即得y 3=c(2y -2

x ) 7. 令x

y u =

,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2

222cx x x y +=由定

解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=

8. 将方程化为x y x

y

y +

-='2

)(1，令x y

u =，得,u u x y +'=代入得

dx x du u 1112

=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx x

y

ln arcsin

= 9．化为x e x y dx dy x =

+，解得)(1x

e c x

y +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()

(-+=-x ce y x ϕϕ

11.化为

x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x

y

u =,则原方程化为dx dy y dx du 2

--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1

2])(ln 2

1

[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x

y

u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x

解得1

12

2

+-=

-x ce

y x

13．

23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx

dy

-=- 22

2

12+-=-y ce z y ，得通解1)2(22

12=+--y ce

x y

14．令x y N x y M +-=-=4,32

有

x

N

y M ∂∂==∂∂1，这是全微分方程0=du

xy x y dy x y dx x y u y x +--=---=⎰

32)

,()

0,0(22)4()3(，

即方程得通解为c y x xy =--2

32 15． 化为

012

2=+-+xdx y

x xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+2

11ln 16．

该

方

程

有

积

分

因

子

2

21

y x +，

)(arctan ))ln(21(2

22

2x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++

17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y x

x x x

x x

+-=-==='⎰

⎰

⎰

21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=⎰

18．x

x x dx x x y x

1

ln 32ln 12

--=+=

''⎰ 2

ln ln 213)1ln 3(21---=--='⎰x x x dx x x x y x 2

1ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=⎰x x x x dx x x x y x

19．令y z '=，则

x

z z =-'，

x

x x dx

dx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+⎰⎰=--⎰即

x e c x y 1)1(++-='得212

1

c e c x y x ++--=

20．令p y ='，则

dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==

''所以0)(2323

=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得

p=0或02=+-p p dy dp y

，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c p

p

11=-即

y c y c p dx dy 111+==两边积分得2

1||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='

+及y=c 。

5．证明：易验证x e x y 11=

，x e x

y -=1

2，是齐次线方程02=-'+''xy y y x 的两个线性无关解，因此x

e c e c y x

x

1)(21-+=是02=-'+''xy y y x 的通解，又易验证2*

x e y =为非齐次线性