13 植树问题与间隔问题

A12标准奥数教程

植树问题及间隔的应用

【知识点与方法】

间隔，我们肯定不陌生，在我们生活中很常见。在数学里同样有很多关于间隔的问题，奥数里最常见的就是——植树、锯木头和时钟等间隔问题。我们先从生活中最常见的间隔——植树问题讨论。

植树问题分为两大类：封闭线路植树与不封闭线路的植树。我们可以通过画图来总结一下：（同学们可以举一反三，其实像很多关于插旗的问题和植树是相同的道理）

1.封闭线路植树：棵树=总距离÷棵距

2.不封闭线路植树：①路的两端都植树：棵树=总距离÷棵距+1；②路的一端植树，另一端不植树：棵树=总距离÷棵距；③路的两端都不植树：棵数=总距离÷棵距-1

另外还有锯木头的间隔与时钟间隔问题：锯木头的问题一定要注意，所用的时间与几段木头是没有关系的，而是与锯几次有关系，大家好好想想，为什么是与锯几次有关系，同样关于时钟上的间隔问题，也是与敲几次钟没有关系，而是几次敲钟之间的间隔有关系。

【例题精选】

；

例1.从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数

分析：典型的植树问题，而且是不封闭线路，总长为900米，间隔是15米，所以段数=900÷15=60，这个时候注意，题目说的是从头到尾都栽树，所以小路一侧的树为60＋1=61，两侧就是61×2=122棵

课堂练习题：

有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆

例2.有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆

分析：如果把每2名小学生开成1段的话，那么12名小学生一共有11个间隔，也就是说可以看成11段，每一段放2盆花，就应该放2×11=22盆花

课堂练习题：

1.一段长200厘米的木条，要锯成10厘米长的小段，需要锯几次

2.蚂蚁爬树枝，每上一节需要10秒钟，问从第1节爬到第13节需要多少分钟

$

例3.某城市举行马拉松长跑比赛，从体育馆出发，最后再回到体育馆，全长42千米，沿途等距离设茶水站7个，求每两个相邻的茶水站的距离

分析：这是一个全封闭路线上的间隔问题，总线长42千米，共设7个茶水站，因此总线长分为7段，也就是段数为7段，要求每两个相邻的茶水站之间的距离也即是间隔距离，可以计算得出：42÷7=6千米

课堂练习题：

1．一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树。问：共需树苗多少株

2. 有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵

例4.马路的一边，每隔8米一棵树，小明乘汽车从学校回家，从看到第1棵树起到第153棵树止共花了4分钟，而且小明从学校到家共坐了半小时的汽车。问小明的家距离学校有多远

分析：题目综合了“植树（间隔）问题”和“行程问题”，要求出路程，必须知道速度和时间，时间是半小时也就是30分钟，关键就是要知道速度了，根据题目的描述，本题属于非封闭线路上的间隔（植树）问题。段数=树数－1=153－1=152，汽车4分钟走的路程就是152×8=1216米，每分钟走的路程也就是速度为1216÷4=304米/分。小明家到学校的距离为304×30=9120米

课堂练习题：

$

在一条路上按相等的距离植树。甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发。当甲走到从自己这边数的第二十二棵树时，乙刚走到从乙那边数的第十棵树。已知乙每分钟走36米。问：甲每分钟走多少米

例5.村庄周围栽树，要求每隔15米栽1棵杨树，而且每2棵杨树中间等距离栽2棵柳树。已知村庄周长为4500米。问需要多少棵杨树多少棵柳树相邻2棵柳树之间的间距是多少米

分析：在村庄周围栽树属于封闭线路，所以杨树棵树=段数=4500÷15=300，又因为每2棵杨树中间等距离栽2棵柳树，所以柳树数为300×2=600棵。再求2棵柳树之间的间距。因为2棵杨树间等距离栽2棵柳树，所以这2棵柳树的间距为15÷（2＋1）=5米；而在1棵杨树两边的柳树间距为5×2=10米

课堂练习题：

1.一个圆形花坛，周长是180米。每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花。问可栽多少棵芍药多少棵月季两棵月季间的株距是多少

2.一个圆形花圃周长30米。在周围每隔3米插1面红旗，每2面红旗中间插1面蓝旗。花圃周围各插了多少面红旗与蓝旗

例6.大人上楼的速度是小孩的2倍，小孩从一楼到四楼要6分钟，问大人从一楼到六楼需要几分钟

分析：题目属于非封闭路线上的间隔（植树）问题，先可以求出小孩上楼的速度，从一楼到四楼可分为3段，小孩用了6分钟走完了3段，所以每段要2分钟，大人上楼的速度是小孩的2倍，所以大人每走1段要1．分钟

．．，从一楼到六楼有5段，所以需要5分钟。/

课堂练习题：

1.小明从一楼到五楼需要4分钟。小芳的速度是小明的一半，问小芳从一楼到四楼需要多少时间

2.每层楼有12级台阶，小华从底楼爬到七楼，一共爬了多少级台阶（08年春季博师堂初级奥数期末考试题）

【课后练习题】

1.在花圃的周围放上菊花，每隔1米放1盆。花圃周围共20米长，需要多少盆菊花

2.从发电厂到闹市区一共有250根电线杆，每相邻两根电线杆之间是30米，问从发电厂到闹市区有多远

3.小明在剪一根长22米的绳子，共剪10次，剪成许多一样长的短绳子。问每根绳子长多少

4.甲村到乙村原计划栽树175棵，相邻两棵树距离8米，后决定栽树117棵，问相邻两棵树应相距多远

5.两棵树相隔115米，在中间等距离增加22棵树后，第16棵与第1棵相隔多少米

：

6.公园的周长为8040米，在公园的周围栽树绿化，每隔8米栽垂柳1棵，然后在相邻两棵垂柳之间每隔2米栽海棠树1棵。应准备垂柳和海棠各多少棵

7.公路的一边每隔8米栽1棵梧桐树，小军骑自行车5分钟共看到树251棵。问小军每分钟骑多少米

8.甲乙两地相距84千米，为了支援春播，沿途等距离设立茶水站43个，求每个茶水站之间的距离

9.从郊区到市区相距60千米，沿公路两旁植树，棵距20米，需要树多少棵若棵距15米，又需要多少棵

10.运动员参加越野赛跑，假设他的速度不变，从第一个茶水站到第三个茶水站，共花了50分钟。已知从起点到重点每两个茶水站间隔为5千米，跑完全长共用了3小时。问这次越野赛赛程多少千米

11.某市计划在一条长30千米的马路上，由起点到终点每隔2千米设立1个车站。问不包括起点站与终点站在这条马路上共有多少个车站

12.一个圆形场地，每隔4米栽1个标志物，共设置了200个标志物，问：圆形场地周长是多少米

13.一条小路的两边等距离设置花盆，路长400米，共设置了花盆82个。问相邻两花盆间距是多少

14.一个木工锯一条长13米的木头，他先把一头损坏的部分锯下1米。然后锯5次，锯成几根一样长的短木条，求每根短木条长多少米

15.一个人在湖上划船，从第1个游标划到第12个游标用了11分钟，如果这个人花了25分钟，那么他应该划到了第几个游标

16.小王沿公路等距离种树，每9棵树之间的距离是96米，这样计算的话，20棵树之间的距离是多少

17.小芳家住8楼，她从1楼到8楼需要走112个台阶，问每上1层要走多少个台阶

18.甲乙两人在长3000米的公路两旁栽树。每隔20米栽1棵柳树，在每相邻的两棵柳树间又栽1棵梧桐。已知甲比乙多栽12棵，问栽得柳树和梧桐各多少棵甲乙两人各栽多少棵