伸缩变换下的椭圆
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。
具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。
这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。
此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。
- 1 -。
伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探_李芋宏(1)
55 55A *M * M *B *M *B* 25 ⋅ M *B*2 5 5 21 22 33x x 2 yy伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探李芋宏李晓菁西南大学数学与统计学院（400715）文[1]介绍了伸缩变换下椭圆的几个性质及应用．受其启发，笔者发现伸缩变换是仿射变换的特 解 作仿射变换 x *= x ， y *= 3y ，则椭圆 x+ 9 例，仿射变换不仅能解决文[1]中椭圆的定值问题， 最值问题，存在型问题，经过探究笔者发现仿射变 y 2 =51 变换为 x2 + y 2 = 9 ，点 A ， B ， M (0 ，- 2) 分别 换也能触及椭圆的参数取值范围问题，中点弦问题 与双曲线的定值问题，特拟文介绍之．变换为点 A * ， B * ， M *(0 ，- ¸ 6) ．5 ¸1．仿射变换根据性质（2），由 AM = λ M B ，有 ¸ ¸ 1.1 仿射变换的定义平面上点 A ( x ，y ) 与 A * (x * ，y * ) 之间的变换A *M * = λ M *B * ， （1）由圆的相交弦定理：x *= a x + a y + a A *M *M *B *= C *M *M *D* = 9 ， （2）111213 且 a a - a a≠ 0 称为仿射变5y *= a x + a y + a11 2212 21其中点C * ，D * 是圆与 y 轴的交点且在圆中亦有换．点 A 和 A * 为一对对应点．1.2 仿射变换的性质(3 -6)2 ≤ M *B * 2≤ (3 + 6)2 ，（3）性质（1）仿射变换将直线变换为直线．由（1）（2）得性质（2）仿射变换将共线三点变换为共线三点， 并保持点分线段的比不变．性质（3）仿射变换保持变换前后两个三角形的 A *M * M *B * = λ M *B * 29面积 S 和 S * 之比不变，即 S * = (a a - a a ) S ．⇒ λ =⇒ λ =．11 2212 21性质（4）仿射变换保持直线与二次曲线的位置 结合（3）得9 - 4 ≤ λ ≤ 9 + 4 ．关系不变．性质（5）仿射变换将平行直线变换为平行直线． 现以一些例子来加以说明仿射变换在椭圆与双说明 本例利用仿射变换，结合圆的相交弦定理得到了结论，运算量大幅度减小．2.2 求中点弦所在直线的方程曲线中的应用．2．仿射变换的应用 22例 2 已知点 P (1，1) 为椭圆 + 4 2= 1 内一个定2.1 求参数的取值范围点，过点 P 的弦 AB 被点 P 平分，求弦 AB 所在直线22例 1 已知椭圆 + 9 5 = 1 ，点 A ， B 是椭圆上. .的方程．分析 作仿射变换 x * = x ， y * =2 y ．将椭圆变的相异的两点，点 M (0 ，- 2) 满足 AM = λ MB ，求实 数λ 的取值范围．换为圆 x 2 + y 2 = 4 ，点 P (1，1) ， A ， B 分别变换为P * (1， 2) ， A * ， B * ．由性质（2）和圆的性质可知分析 作仿射变换 x * = x ， y * =3y ，则将椭圆5点 P * 是线段 A *B * 的中点，可得OP * ⊥ A *B * ，由此可 确定 k * *，然后由所作仿射变换确定 k AB ，进而确定变换为圆 x 2 + y 2= 9 ，点 A ，B ，M (0 ，- 2) 分别变换为点 A * ，B * ，M *(0 ，- 6) ．根据题意 A ，B ，M 三A B直线的方程．解 作仿射变换 x * = x ， y * =2 y ，则椭圆变换** *为圆 x 2 + y 2= 4 ，点 P (1，1) ， A ， B 分别变换为点共线，则由性质（2） A ， B ， M 三点共线，且 ¸ ¸P * (1， 2) ， A * ， B * ．A *M * = λ M *B * ，结合圆的相交弦定理可得λ 的取值范围．由仿射变 换性质 (2) 并结合圆 的性质得2 n a 1a 2 …a n n b 1b 2 …b na 1b 2 A BOPA B□ A B OC2k abOP *⊥ A *B *，所以 k* *⋅ kOP *= -1 且 k *= ，由所 x * y * = k 2 ，点 A ， B ， C 分别变换为 A * ， B * ， C * ，作的仿射变换可推知 k * *= 2k AB ，由此知 k AB = - 1 ．2由性质（ 4 ）则平行四边形 ABOC 变换为矩形 A *B *OC * ．所以弦 AB 所在的直线方程为 x + 2 y - 3 = 0 ．而在反比例函数 x * y * = k 2 上知 S□ A *B *OC *= k 2 ，由说明 本例的一般解法为点差法．2.3 定值问题 性质（3）知 S * * *= 2ab S ❑ ABOC ，反求得 S ❑ ABOC = 2例 已知双曲线 x 2 - y 2= 1(a > 0 ，b >，过（定值）结论得证．3a 2b 20)总之，以上三例利用仿射变换或将椭圆化为圆， 双曲线上任意一点 A 作平行于渐近线的两条直线，分别交与点 B ， C ．求证所作的两条直线与渐近线 所围成的平行四边形的面积为定值ab ．2分析 此题应用常规解法较为复杂．试作仿射变 换 x * = k x - k y ， x * = k x + ky （ k 是不为 0 的实数）结合圆的性质和有关定理得到了结论；或将双曲线变换为反比例函数的图象，结合反比例函数的性质解答了问题．应该指出，不是所有椭圆和双曲线的问题都适合利用仿射变换来解决．不难发现仿射变换一般不 能保持变换前后角度大小，线段长度不变．但仿射 abab化简得 x * y * = k 2 （这是我们熟悉的反比例函数）．点A ，B ，C 分别变换为 A * ，B * ，C * ，平行四边形 ABOC 变换为矩形 A *B *OC * ，结合性质（3）可得结论．解 作仿射变换 x *= k x - k y ， x *= k x + ky （ ka b a b变换作为一个视角，从不同的角度理解和认识椭圆和双曲线对我们也大有裨益．参考文献[1] 杜盛伙．伸缩变换下椭圆的几个性质及应用[J]．福建中学数学，2010 （3），9-11是不为 0 的实数）则经简单的推算双曲线变换为一个重要不等式的证明及应用黄尚鹏湖北省监利县朱河中学（433325）1．不等式的提出假设当 n = k (k ≥ 2) 时，原不等式成立，即设 a 1 ，a 2 ，…，a n ；b 1 ，b 2 ，…，b n (n ≥ 2) 是二组正实 (a + b )(a + b )…(a + b )数，证明：≥ ( k aa …a + k ，1 2 k ≥当且仅当 1 = 2 = … = k 时，等号成立．当且仅当 a 1 = a 2 = … = an 时，等号成立．b 1 b 2 b kb 1 b 2 b n那么当 n = k +1 时，由2．不等式的证明(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 )…(a k + b k )(a k +1 + b k +1)(k +a 1a 2 …a k +1证法（一） 用数学归纳法和配项法 ++1 bb …b k -1当 n = 2 时，原不等式1 2k +1k k -1(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 ) a 1a 2 + ≥ ( ka 1a 2 …a k kb 1b 2 …b k ) [ ka k +1(k +1a 1a 2 …a k +1 )b 1b 2≥ a a + b b )2（1）11221 21 2⇔ a 1b 2 + a 2b 1 ≥ 2 ⇔ ( - 2≥ 0 ，当且仅当 ab = a b ，即 a 1 = a2 时，等号成立．1 2 2 1b 1 b 2k b 1b 2 …b kn(a 1 + b 1)(a 2 + b 2 )…(a n + b n ) + kb (k +1 b b …b k +11 2k +1)k -1 k= ( k a 1a 2 …a k + k b 1b 2 …b k k [ ka (a a …a k +1 1 2 k +1 k -1 )k +1a 1a 2b 1b 2a 2b 1 + kb (b b …b k +1 1 2k +1k -1)k +1 ]k。
椭圆中的仿射变换(伸缩变换)
y2 b2
1交于 M , N
两点，试求| MN
|
解：过右焦点作 MN 的平行线
易知： FM
b2
，
a c cos
yM M x
AF
FN b2 a c cos
N N
M N 2ab2 a2 c2 cos2
作仿射变换
x y
X bY
a
，
椭圆变为圆： X 2 Y 2 a2
直线 lMN 变为： akX bY akm 0
a2 m2 k 2 b2 2ab2 1 k 2
b2k2 b2
a2k2 b2
利用仿射变化解决椭圆问题
x2
椭圆
a2
y2 b2
1,
(a
b
0)
经变换
x y
X b a
Y
后变成圆 X 2
Y2
a2 ，在此变换下有
以下一些性质：
a
○1 点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
b
a
○2 直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的 倍
b
○3 平行线经变换后仍平行
○4 区域
D 变换后成为 D ，则面积 SD
a b
SD
○5 两平行线段的比是不变量
○6 线段 PQ 经变换后变为 PQ ，则：| PQ || PQ | cos2 a2 b2 sin 2 来自1.求证：直线 l :
Ax
By C
0 与椭圆
x2 a2
y2 b2
1, (a
b
0) 相切的充要条件是：
(aA)2 (bB)2 C 2
x X
证明：作仿射变换：
直线 lM N 变为： akX bY akc 0
巧用伸缩变换解决椭圆问题
巧用伸缩变换解决椭圆问题
单云涛
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是高中数学课程中新增内容,《普通高中数学课程标准》要求：＂了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况＂.在伸缩变换下,平面
图形要发生相应的变化.如圆在伸缩变换下可变成椭圆,而椭圆在伸缩变换下又可变
成圆.圆是我们相当熟悉的图形,它的许多性质的推导和证明都比较容易,在圆中研究图形的某种性质然后再还原到椭圆中,从而得到椭圆的相应性质,这往往要比直接在
椭圆中进行计算和证明简单得多.
【总页数】1页(P18-18)
【作者】单云涛
【作者单位】河南省鹿邑县第三高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
2.巧用伸缩变换解决椭圆问题
3.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用
4.巧用伸缩变换妙解椭圆问题
5.例谈
伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
龙源期刊网
利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
利用伸缩变换巧解椭圆问题
利用伸缩变换巧解椭圆问题
杜盛伙
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2012(000)002
【摘要】伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容．椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆．笔者在文[1]中利用伸缩变换探究了椭圆有以下三个性质：
【总页数】1页(P35-35)
【作者】杜盛伙
【作者单位】福建宁化第一中学,365400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.活用伸缩变换巧解椭圆问题
2.利用坐标变换巧解解析几何椭圆问题
3.利用伸缩变换巧解椭圆最值问题
4.活用伸缩变换巧解椭圆问题
5.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
利用伸缩变换解决椭圆中一些线段长度乘积问题
２
４
３
变为圆ꎬ借助圆幂定理从几何角度便利解决ꎬ避免了代数
解法的繁杂计算. 同时ꎬ借助伸缩变换ꎬ还可以将前 ３ 个
例题向一般情形作推广.
相关练习
１. 直线 ｌ:ｘ － ２ｙ ＋ ４ ２ ＝ ０ 与椭圆 Ｃ:
在过点 Ｐ(２ꎬ１) 的直线 ｌꎬｌ 与椭圆 Ｃ 交于不同两点 ＡꎬＢꎬ
满足 ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ｜ ＰＭ ｜ ２ ? 若存在ꎬ求出直线 ｌ 的方程ꎻ
例 １ 已知椭圆 Ｅ:
２
ｘ
＋ ｙ２ ＝ １ꎬ设不过原点 Ｏ 且斜率
４
１
为 的直线 ｌ 与椭圆 Ｅ 交于不同的两点 ＡꎬＢꎬ线段 ＡＢ 的
２
中 点 为 Ｍꎬ 直 线 ＯＭ 与 椭 圆 Ｅ 交 于 Ｃꎬ Ｄꎬ 证 明:
｜ ＭＡ ｜ ｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ＭＣ ｜ ｜ ＭＤ ｜ .
Ｘ ＝ ｘꎬ
证明 作伸缩变换
设圆 Ｃ′与 Ｘ 轴 的 另 一 交 点 为 Ｂ′ꎬ 由 于 ∠Ｂ′ Ｏ′ － ４ｋ ｜
４ｋ２ ＋ ３
１
ꎬ方程为
２
∠Ｂ′Ｑ′Ｒ′ ＝ ９０°ꎬ从而 Ｂ′ꎬＯ′ꎬＱ′ꎬＲ′四点共圆. 由圆幂定
ｙ＝
２ ｜ Ｏ′Ｐ′ ｜ ２ ꎬ其中 Ｒ 为圆 Ｃ′半径.
线与椭圆相切时的 ｜ ＰＴ ｜ ２ 问题ꎬ可借助伸缩变换ꎬ将椭圆
参考文献:
[１] 贺航飞ꎬ李宁. 借助伸缩变换解决椭圆中的一些
问题[ Ｊ] . 数学通讯( 上半月刊) ꎬ２０１８(１１) :１２ － １３ꎬ５６.
[ 责任编辑:李 璟]
１
１
１
１
１
ｋ ｋ ＝ － . 又 ｋ ＡＢ ＝ ꎬ则 ｋ ＯＭ ＝ ｋ ＣＤ ＝ － .
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一〇二中学指导教师：马萍天津市第一〇二中学严虹天津市第一〇二中学纪洪伟天津市第一〇二中学张倩天津市第一〇二中学利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题赵呈海天津市第一〇二中学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。
这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。
在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。
这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。
在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。
坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。
计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。
圆的性质——椭圆问题伸缩变换
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
伸缩变换与椭圆的性质研究
伸缩变换与椭圆的性质研究
作者：周小桥
来源：《文理导航·教育研究与实践》 2016年第10期
四川省广安第二中学校周小桥
【摘要】伸缩变换是高中数学课程中增加的一项新内容，某些平面图形不会因伸缩变换而改变，例如直线、双曲线；但是一些平面图形却要发生相应的变化，如椭圆在伸缩变换下就可以变成圆，圆在伸缩变换下也可以变成椭圆等。
有时在研究与圆有关的问题时还要回归到椭圆中，因此对椭圆相关性质的研究就显示非常重要。
【关键词】伸缩变换；椭圆；性质研究
圆与椭圆有诸多相似性质，将伸缩变换应用到椭圆中，能达起到化难为易的目的，同时还可以使学生的思维变得更加活跃，提高其探索能力和创新能力，也为培养学生的数学学习兴趣起到了一定的促进作用。
一、伸缩变换与椭圆的性质分析
1.点分线段的比是不变量。
如：线段的中点变成对应线段的中点。
结束语
新课标要求学生要学会联想与类比手段，合理应用知识迁移等学习方法，体会知识之间的
互相联系，感受数学的整体性和系统性，更透彻的理解数学的本质，提高解决相关问题的能力。
巧妙运用伸缩变换有助于解决椭圆中的相关问题，为新教材的创新使用提供了便捷有效的途径。
【参考文献】
[1]李秋明.通过伸缩变换研究椭圆的性质[J].现代教学,2009.06:28
[2]杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用[J].福建中学数学,2010.03:7-9
[3]汪正良.伸缩变换与椭圆性质再研究[J].数学通讯,2010.Z4:90-92
[4]李芋宏,李晓菁.伸缩变换下椭圆的几个性质及应用再探[J].福建中学数学,2011.09:14-15。
椭圆问题使用伸缩变换的条件
关，则可使用伸缩变换解题；否则，就不能使用．
例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学（230601）
三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题， 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件，没有避开命题设计的“陷阱”，加上三角函数 中常用的同角的平方关系，倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题，稍不注意最后就会导致出 现错解或增解，下面例析之．
之比”有关．所以，可以使用伸缩变换解题．
解 假设存在平行四边形 OPRQ（如图 2），椭圆
40
福建中学数学
2014 年第 10 期
C
:
x2 2
+
y2
= 1 经伸缩变换 T
=
⎛1 ⎜⎜⎝ 0
0⎞ 2 ⎟⎟⎠ 的作用后，变为
圆 C′ : x′2 + y′2 = 2 ．
根据伸缩变换性质可知：直线 l : y = kx + m 将变
可以使用伸缩变换．事实上，只有一小部分的题目
适用．那么，我们如何在“审题”之时，就知道伸缩变
换是否适用该题？
为此，我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”：
①什么是伸缩变换；
②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换；
③伸缩变换具有哪些性质；
④伸缩变换的使用条件．
1 什么是伸缩变换
1.1 定义
线性变换 f 将 R2 空间上的向量沿 x 轴拉伸(或
分析 本题的条件“ | AF2 | ， | AB | ， | BF2 | 成等差 数列”，其中线段 AF2 ， AB ， BF2 不共线、不平行， 所以，无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题．
通过上述的例题和伸缩变换的性质可知：若题
目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线（平
伸缩变换之椭圆与圆
＝
｛ Ｌ ： 一 。 ＋ ｏ ｓ （ ｔ 为 参 数 ） ，
吼删 ’
＝
将 它 代 人 一 若 ＝ １ 得
ｆ ０ ｓ ｉ ｎ 。 ０ 一ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ０ ） ｔ ＋２ ａ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ． ｔ ：０
Ｊ ＡＰ Ｉ
ａ
Ｉ Ｏ ＡＩ ． ’
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
箬 ．
图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
；＝
１ （ 。＞
：
孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
高考数学双曲线 椭圆仿射变换
仿射变换与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22221x y a b在形式上极为接近圆的标准方程222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a得到方程22221x y a a ．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1x y E a b变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为00,a P x y b，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b 该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程22002:a l x x y y a b即00221x x y ya b典型例题例1（2010年上海）已知椭圆22x y ⑴设直线l 【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点于是E 是CD 的中点．⑵如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为 ，射线与圆交于Q ；3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；4．连结P Q ，取其中点N ；认识仿射变换5．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P、2P 即为所求． 证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22b y y a，容易证明线段P Q 与12P P互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有12121222PQ PN PP PP PP PP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．【解析】 曲线C 的方程为2221y x m．当01m 时，曲线C 为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为,0；当1m 时，曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2（2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y，则直线l 是椭圆22334y x即2213944x y 的切线． 设O 到直线l 的距离为d ，23944d ≤（∵直线l 的斜率存在）12AOB A O B S d△△利用仿射变换处理面积问题等号当且仅当23 2d 时取得．因此AOB△．练习2（2010年朝阳一模文）已知椭圆22162x y中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标 1，AB．当ABC△的面积最大时，求直线AB的方程．B'A'O【解析】将椭圆通过仿射变换x xy y变成圆226x y，则A B C ABCS△△，1A Bk，C 坐标为,．∵直线OC ∥直线A B ，∴A B C OA BS S△△设直线A B 的方程为0x y m，则O到直线A B ，A B12OA BS△3≤∴当232m，即mOA BS△取得最大值3，此时直线A B 的方程为0xy．因此OABS△AB的方程为0x ．练习3（2011年顺义二模）已知椭圆2214xy的左、右顶点分别记为A、B．过A斜率为1的直线交椭圆于另一点S，在椭圆C上的T满足：TSA△的面积为15．试确定点T的个数．【解析】将椭圆通过仿射变换12x xy y变成圆224x y，则225S AT SATS S△△．AS ：22y x，即240x y∴圆心到直线ASAS∴T 到直线AS的距离为25142，∴在优弧上存在两个T 点2 T 点．综上，点T 的个数也即点T 的个数是2．练习4 （2010年宣武一模文）直线:220l x y 与椭圆2214y x 的交点为A 、B ．求使PAB 的面积为12的点P 的个数；【解析】 2．练习5（2011年西城二模）设直线l 与椭圆2219x y 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】 如图，将坐标系原点平移至C ，则椭圆方程变为22319x y 即22690x x y ．设直线AB 的方程为x my a ，则联立直线方程与椭圆方程有22690x my x x y a ，即266910y m yx a x a而12121y y x x ，∴6910a ，35a ，因此35CD ． 将椭圆通过变换3x x y y变为圆229x y ，则13ABC A B C S S △△O (O')B'A'D (D')C (C')∵35C D ，3O C ，∴3153435A B C O A B S C D S O D△△设O 到A B 的距离为d，1122O A B S A B d d △∴当且仅当29d 时，O A B S △取得最大值92于是13128ABC O A B S S △△≤，即ABC △面积的最大值为38．例3（2011年辽宁）如图，已知椭圆的短轴为MN ，且1C 、C 这四点按纵坐标从大到小依次为【解析】 ⑴ 设2MN a ，则椭圆1C ：2222211e x y a a ；椭圆2C ：2222211e x y a a ；231e 4BC AD．⑵对椭圆1C 作仿射变换x x y ，则1C ：222x y a ；对椭圆2C 作仿射变换x x ，1y y ，则2C ：222x y a ．BO AN EO EN BO AN k k∥211e EO EN k k设点 cos ,sin E a a （0π ），则sin cos EO k，sin cos 1EN k利用仿射变换处理弦长问题∴设cos 1cos EO EN k y k，则cos 1cos y ， 1cos 1,11y 因此 ,02,y BO AN ∥2121e，∴当0<e时，不存在；当e 时，存在．利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如：① 利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为矩形，从而简化问题；② 利用仿射变化可以将椭圆变为圆，从而可以使某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，从而简化问题． 例422x y【解析】 作仿射变换，椭圆方程变为224x y ，且OM ON ．（理科）四边形OM P N 为正方形，于是OP M N∴P 点的轨迹方程为圆228x y ， 因此P 点的轨迹方程为228x，即22184x y ．∴存在符合题意的点1F 、2F ，坐标为 2,0 ．（即椭圆的两个焦点） （文科）四边形OM P N 为矩形，OP M N ∴P 点的轨迹方程为圆2220x y ，因此P 点的轨迹方程为2220x，即2212010x y ．∴存在符合题意的点F ，坐标为,0．（即椭圆的右焦点）． 练习1（2011年海淀一模）设直线:l y kx m （12k ≤）与椭圆22143x y 相交于A 、B 两点，以线利用仿射变换凸显隐藏几何条件段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求OP 的取值范围．【解析】 用仿射变换椭圆转化为圆，于是平行四边形OAPB 变为菱形OA P B ，由12AB k ≤得A B k ≤．根据菱形的对角线互相垂直，于是OP k ≥，因此1P x ≤．也就是说，1P P x x ≤ 于是22222231344P P P P Px x OP x y x133,4因此OP的取值范围是,．练习2（2012年海淀一模理）已知直线1l ：1y kx m 与椭圆G ：2212x y 交于A 、B 两点，直线2l ：2y kx m （12m m ）与椭圆G 交于C 、D 两点，且AB CD ，如图所示．⑴ 证明：120m m ；⑵ 求四边形ABCD 的面积S 的最大值．【解析】 考虑用仿射变换．⑴ ABCD 为椭圆内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是120m m ；⑵ 圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，最大值为4，于是椭圆内接平行四边形面积．【备注】也可以看作相关直线问题⑴ 设直线y kx m 与椭圆交于两点A 、B ，则联立直线与方程，有22212102k x kmx m∴22AB k22k∴AB CD 等价于2212m m ，又12m m ，∴12m m ，即120m m⑵ 由①，AB 与CD 关于原点对称，四边形ABCD 为对称中心在原点的平行四边形．不妨设10m ，则4ABCD OABS S△21422k22211221412m k m k≤（当且仅当22112m k时取得等号）． ∴四边形ABCD 的面积S 的最大值是例5Q【解析】 如图，将椭圆22182x y通过仿射变换2x x y y变成圆228x y ，则 2,2M 过M 作x 轴的垂线，垂足为H ，交圆228x y 于点N ，则易知 2,2N ． ∵ 2,2N ，∴OM ON ，又OM A B ∥，∴ON A B 根据垂径定理，N 平分弧A B ，于是M N是A M B 的平分线．于是22MP M P M Q MQ k k k k ，又MH PQ ，∴MPQ △是等腰三角形，证毕．【备注】（2012年密云一模理）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点 3,1M ．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0m ），且交椭圆于A 、B 两不同点．⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 求m 的取值范围；⑶ 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．【解析】 ⑴ 221182x y ；⑵ 设直线l ：13y x m （0m ），则 2,00,2m ；⑶ 视为连线垂直问题的推广或用仿射变换均可解决．练习6（2011年四中高二期中考试）已知点 2,1M 是椭圆22182x y 上一点，直线102y x m m 与椭圆相交于A 、B 两点．求MAB 的内心的横坐标．【解析】 考虑到图形的特点与求解的问题，考虑使用仿射变换将椭圆转化为圆加以解决．在圆中，容易证明M Q 是B MA 的平分线；于是MQ 是BMA 的平分线．因此MAB 的内心的横坐标为M 的横坐标，也就是2．例6（201122x y【解析】 ⑴ 如图，作仿射变换x x y yC 变为圆C ：223x y ．∴32OP Q OPQ S S△△ 设O 到直线P Q 的距离为d ，则1322d ，解得d 于是P Q ，OP OQ ，因此2212x y ，2221x y 而222211223x y x y ，∴22221212x x x x 3，2222121223y y y y 2 ．综合⑵设PQ 的斜率为k ，则OM 的斜率为23k，OM PQ OM P Q333 设2249k m k ，则43m ≥．3OM PQ 52≤．⑶∵ODE ODG OEG S S S△△△32OD E OD G OE G S S S △△△∴在圆C 中，D E 、D G 、E G 所对的圆心角均为90 因此，不存在满足题意的三角形．练习7（2013北京昌平二模理）如图，已知椭圆22221x y a b （0a b ）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ． ⑴求此椭圆的方程；⑵设P 是此椭圆上异于A B ，的任意一点，PH x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ ． 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．【备注】设AQ 与椭圆交于点R ，则NR 与椭圆相切，此题与⑵均可以利用仿射变换解决．例7已知椭圆22143x y上的两点A 、点．设直线PB 与椭圆相交于D ，证明：直线利用仿射变换将问题转化为几何问题【解析】 将椭圆通过伸缩变换为圆，则需证明：若点A 、B 为关于圆的直径HG 对称的两点，HG 所在直线上的一点P 与B 点的连线交圆于D ，则AD 与PH 交于定点E ．证明如下：如图，连结AG 、GD ，设PA 与圆交于C ．HG PDBECA∵G 为弧CD 和弧AB 的中点，∴AG 、DH 分别是A 和BDG 的平分线 而DG DH ，∴DG 是EDP 的平分线．于是AE DE EGAP DP GP，因此2AE DE EG AP DP GP ， 而AE DE EG EH （相交弦定理），AP DP AP CP PG PH （切割线定理） 于是EG EH EG EG PG PH PG PG ，即EG PGEH PH ．∵PG PH 为定值（在本例中为13），∴EG EH 为定值，E 为定点（在本例中 1,0E ）．练习8 设直线l ：y kx m 与椭圆2212x y 相交于M 、N 两点，F 是椭圆的右焦点，直线FM 与直线FN 的斜率互为相反数．求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【解析】 直线l 过定点 2,0．本质与例题相同．练习9（2010年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点 9,T m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点 11,M x y 、 22,N x y ，其中0m ，10y ，20y ．设9t ，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）．【解析】 如下左图所示，利用坐标变换x xa y y b可以把椭圆22221x y a b 变换圆222x y a ，由于伸缩变换不改变共线以及线段长度的比，于是问题就转化为如下右图所示的：已知以AB 为直径圆O ，T 为与AB 垂直的圆外直线上任意一点，连结AT 、BT 与圆O 分别交于M 、N ．求证MN 恒过定点D ．x法1连结AN 、MB 并延长交于点T ，容易知道T 与T 在同一条垂直于AB 的直线上（B 为ATT △的垂心）CT'T对ABT △的割线MN ，根据梅涅劳斯定理有1AD BM T NDB MT NA ；而AM 、NB 、T T 交于一点，根据赛瓦定理有1BM T N ACMT NA CB；于是1AD CB DB AC，即AD ACDB BC 为定值，因此D 为定点． 法2CT NM A BOD 设4AC a ，TAC ，NAC ，则4cos aAT，2cos AM a ，2cos a BT ，2cos BN a ，AN AD ADN MDB AD AD DM AN AM MB MD AM DM DB MD DB MB BNADM NDB BN DB△∽△△∽△而AN AT ANT BMT BM BT △∽△，于是22824AD AT AM a DB BT BN a．法3PCD O BA M NT 设2MOC ，2NOC ，则OC 到OP 的角为 ，以O 为极点，OC 为极径，那么直线MN 的方程为 cos ,d O MN ，即 cos cos AB 于是ODcos cos AB cos cos sin sin cos cos sin sin AB1tan tan 1tan tan AB而12TAC MAB MOB ，12NAB NOB ，∴tan TC AC ，tan tan BCBTC TC因此11BC AC OD AB BC AC，于是点D 为定点．。
椭圆的伸缩变换公式 知乎
椭圆的伸缩变换公式知乎
椭圆的伸缩变换公式是指在二维平面上对椭圆进行伸缩变换的数学公式。
这种变换可以将椭圆沿着不同的轴线进行拉伸或缩放，使其变为不同的形状和大小。
椭圆的伸缩变换公式涉及到矩阵运算和线性代数知识，但在实际应用中可以通过计算机编程实现。
这种变换在图形处理、计算机动画和机器人控制等领域都有广泛的应用。
知乎上有很多关于椭圆伸缩变换公式的讨论和解释，可以帮助人们更好地理解和运用这一数学工具。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ax1
by1 1 by2 by3
1 1 x2 2 1 x3
x1
y1 1 a 0 0 y2 1 0 b 0 y3 1 0 0 1
ab S P1P2 P3
• n边形变为n边形，面积由S变为|ab|S • 特别的，椭圆面积为ab*pi
在椭圆中的应用
结论1 若MN是椭圆的过中心的弦，P是椭圆上异于M、 N的任意一点，则两条直线PM、PN的斜率之积为定值b^2/a^2 证明：椭圆经伸缩变换
伸缩变换下的椭圆
按照克莱因(F.Klein)关于几何学的爱尔兰根 (Erlangen)纲领：设给定一个集合以及此集合的元 素间的一个变换群，我们把此集合叫做空间，集合 的元素叫做点，子集叫做图形，于是空间内图形对 于此群（指群中的一切变换）的不变性质（包括不 变性与不变量）的命题系统的研究就称为这空间的 几何学。 而伸缩变换就是一种变换群，因此在伸缩变换下 图形会保持一系列的不变性质，由此可以想到对于 一个问题既然可以由特殊情形到一般情形进进行研 究，同样也可以由一般情形到特殊情形，下面先介 绍伸缩变换，然后以椭圆为例进行分析。
A F1 F2 E F
x2 y2 1 椭圆方程为： 4 3
(2)当F在x轴下方时，椭圆经伸缩变换
x ax' 为单位圆,A'F2'垂直 y by'
O'F2'，由垂径定理，弧A'H'G'对应的 圆心角为120°，由AE和AF的斜率互 为相反数可得弧E'G'=弧G'F',则弧 A'H'F'+弧E'G'=弧A'H'G',则角A'E'F'+ 角E'A'G'=角A'M'N'=60°，显然角 O'N'F'=30°，斜率为tan(30°)。 当F在x轴上方时，同理可得斜率为 tan(30°)。
A
证明：椭圆经伸缩变换
M O B
x ax' 为单位圆,则 y by'
单位圆中M'的轨迹为过O'的直径O'M'， 且其斜率为-a/bk,由变换保持同素性， 则原椭圆的弦中点轨迹为一条过 椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
A'
M' O' B'
结论4 设Q(x1,y1)是椭圆内的一点，则以点Q为中
A M O B
x ax' 为单位圆,变换保持 y by'
共线三点单比不变，M'仍为A'B'的 中点由垂径定理得O'M'垂直于A'B', 则原椭圆中Kab*Kom=-b^2/a^2
A'
M' O' B'
结论3 斜率为定值k的动直线l与椭圆交于两点，则 弦中点的轨迹是一条过椭圆中心的斜率为b^2/ka^2的直径
结论6 过椭圆外一点Q(x1,y1)作椭圆的两条切线， 则过两切点的弦所在直线的方程为 x1 x y1 y 2 1 2 A a b 证明：椭圆经伸缩变换 Q
x ax' 为单位圆,O'Q' y by'
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为 -(x1/a^2)/(y1/b^2)
思考 三角形ABC，以BC为轴(长轴或短轴均可)作一椭圆 交AB于E，交AC于F，设M、N分别是点E、F关于 直线BC的对称点，EN交MF于D点，求证：AD垂直 于BC
A E F B M D C N
A F1 F2 E F
A'
O'
F2' M'
H' F'
N'
E'
G'
在遇到椭圆与直线的位置关系问题时，可先把椭 圆伸缩变换为单位圆，然后利用变换的共线三点单比 不变，直线的斜率成为b/a倍，若椭圆的两条线斜率之 积为-b^2/a^2,则在对应圆中两线垂直等性质，使问题 得到简化。也就是从另一个角度看椭圆，加深对椭圆 的理解。
A'
B
Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x( x x1 ) y( y y1 ) 0 在椭圆C内的部分 2 2 a b
证明：结论4的推广，证明过程从结论4
(2009年辽宁高考理科第20题)：已知椭圆C经过点 A(1,3/2),两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求椭圆C的方程； (2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率 与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值， 并求出这个定值。 解:(1)c=1,2a=|AF1|+|AF2| =3/2+(9/4+4)^1/2 =4 则a=2，b=3^(1/2)
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。 • 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性) • 共线三点的单比不变
角
• 若直线垂直于x轴，则变换后仍垂直x轴，否则 变换将直线的斜率变成原来的
b 倍。 a
• 两条平行直线变换后仍为平行直线。 • 两条垂直直线若9; 2 x3 ' x1 ' x1 y1 y2 y3 1 1 的绝对值 1
S P1P2 P3
(1)
y1 ' 1 y2 ' 1 y3 ' 1 的绝对值
S P1 'P2 'P3 '
(2)
将(2)代入(1),得:
S P1 'P2 'P3 '
1 ax2 2 ax3
x1 x y1 y 2 1 2 a b
证明：椭圆经伸缩变换
P
x ax'为单位圆,P' y by'
点的切线l'斜率为-ax1/by1,由变换保持 曲线的相切关系不变得直线l为原椭圆 切线且斜率为-(x1/a^2)/(y1/b^2)，
P'
x1 x y1 y 过点P(x1,y1),则方程为 2 2 1 a b
b2 积为- 2 。 a
• 两相交（相切、相离）曲线仍变为两相交（相切、相 离）曲线。
面
• 三角形变为三角形，面积由S变为|ab|S 证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1), P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点 P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
x1 x y1 y x1 y1 点的弦所在的直线的方程为 2 2 2 2 a b a b
2 2
证明：此直线为结论3的直径所在的直 线，斜率为-b^2/ka^2，且过点
x1 x y1 y x1 y1 Q(x1,y1),则直线方程为 2 2 2 2 a b a b
2 2
结论5 过椭圆上一点P(x1,y1)的椭圆的切线方程是
M P
x ax' 为单位圆,由M'N'为 y by'
圆的直径得P'M'垂直于P'N',斜率 之积为-1，则原椭圆中斜率之积为 -b^2/a^2
M'
N
P'
N'
结论2 若AB是椭圆的不垂直于y轴的弦，M为AB 的中点，O为坐标原点，则Kab*Kom=-b^2/a^2 证明：椭圆经伸缩变换
伸缩变换
给定平面 ，称由平面 到自身的任一映射 ： 为平面 上的一个点的变换。 特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
x ax' 组 , ab 0 给出的变换叫做平面 的伸缩变 y by'
换。 从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个 方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看 伸缩变换的性质。